组合变形组合变形8/30/202418-1 概述概述构构件件同同时时发发生生两两种种或或两两种种以以上上的的基基本本变变形形的情况，称为组合变形。的情况，称为组合变形。烟囱烟囱传动轴传动轴 吊车立柱吊车立柱1 1、组合变形的定义和工程实例、组合变形的定义和工程实例8/30/202422 2、组合变形解题的基本方法、组合变形解题的基本方法 解决组合变形问题的基本方法是先分解后叠加解决组合变形问题的基本方法是先分解后叠加解决组合变形问题的基本方法是先分解后叠加解决组合变形问题的基本方法是先分解后叠加, , , ,即首先将复杂的组合变形分解若干个简单的基本变即首先将复杂的组合变形分解若干个简单的基本变即首先将复杂的组合变形分解若干个简单的基本变即首先将复杂的组合变形分解若干个简单的基本变形形形形; ; ; ;然后分别考虑各个基本变形下发生的内力然后分别考虑各个基本变形下发生的内力然后分别考虑各个基本变形下发生的内力然后分别考虑各个基本变形下发生的内力、应力应力应力应力和变形情况和变形情况和变形情况和变形情况; ;最后进行叠加最后进行叠加最后进行叠加最后进行叠加。8/30/202433 3、解组合变形问题的一般步骤、解组合变形问题的一般步骤 1.1.1.1.外力分析外力分析外力分析外力分析将荷载简化为符合基本变形外力作用条件的将荷载简化为符合基本变形外力作用条件的将荷载简化为符合基本变形外力作用条件的将荷载简化为符合基本变形外力作用条件的静力等效力系静力等效力系静力等效力系静力等效力系 2.2.2.2.内力分析内力分析内力分析内力分析 分别做出各基本变形的内力图分别做出各基本变形的内力图分别做出各基本变形的内力图分别做出各基本变形的内力图, , , ,确定构件危确定构件危确定构件危确定构件危险截面位置及其相应内力分量险截面位置及其相应内力分量险截面位置及其相应内力分量险截面位置及其相应内力分量, , , ,按叠加原理按叠加原理按叠加原理按叠加原理画出危险点的应力状态图画出危险点的应力状态图画出危险点的应力状态图画出危险点的应力状态图. . . . 4.4.4.4.强度分强度分强度分强度分析析析析根据危险点的应力状态和杆件的材料按强度根据危险点的应力状态和杆件的材料按强度根据危险点的应力状态和杆件的材料按强度根据危险点的应力状态和杆件的材料按强度理论进行强度计算。理论进行强度计算。理论进行强度计算。理论进行强度计算。3.3.3.3.应力分析应力分析应力分析应力分析按危险截面上的内力值，分析危险截面上的按危险截面上的内力值，分析危险截面上的按危险截面上的内力值，分析危险截面上的按危险截面上的内力值，分析危险截面上的应力分布，确定危险点所在位置。应力分布，确定危险点所在位置。应力分布，确定危险点所在位置。应力分布，确定危险点所在位置。8/30/20244 斜弯曲斜弯曲梁变形后，轴线位于外力所在的梁变形后，轴线位于外力所在的平面之外平面之外。8-2 斜弯曲斜弯曲一、概念一、概念 平面弯曲：平面弯曲：外力施加在梁的对称面（或主平面）外力施加在梁的对称面（或主平面）内时，梁将产生平面弯曲。内时，梁将产生平面弯曲。对称弯曲：平面弯曲的一种。对称弯曲：平面弯曲的一种。即梁变形后，轴线位于外力所在的即梁变形后，轴线位于外力所在的平面之内平面之内。8/30/20245二、斜弯曲时的应力与位移计算二、斜弯曲时的应力与位移计算 在集中力在集中力F F1 1 、 F F2 2 作用下（作用下（双对称截面梁在水平双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内同时受横向外力作用）和垂直两纵向对称平面内同时受横向外力作用），梁将分别在水平纵对称面梁将分别在水平纵对称面( (OxzOxz) )和铅垂纵对称面和铅垂纵对称面( (OxyOxy) )内发生对称弯曲。内发生对称弯曲。 在梁的任意横截面在梁的任意横截面m-mm-m上，上，F F1 1 、 F F2 2引起的弯矩为引起的弯矩为 xyzC(y,z)OyzmmF1Fa2MmmzOyzMy8/30/20246 在在F2 2 单独单独作用下，梁在竖直平面内发生平面弯作用下，梁在竖直平面内发生平面弯曲，曲，z z轴为中性轴。轴为中性轴。 在在F1 1 单独单独作用下，梁在水平平面内发生平面弯作用下，梁在水平平面内发生平面弯曲，曲，y y轴为中性轴轴为中性轴。 斜弯曲是斜弯曲是两个互相垂直方向的平面弯曲的组合两个互相垂直方向的平面弯曲的组合。(2) (2) F1 1单独作用下单独作用下求应力求应力：m-m截面上第一象限某点截面上第一象限某点C(y，z)(1) (1) F2 2单独作用下单独作用下8/30/20247(3) (3) 当当F F1 1 和和F F2 2共同作用时，应用共同作用时，应用叠加法叠加法所以所以,C,C点的点的x x方向正应力为方向正应力为压压zyBD中性轴EFzMF2F1和共同作用时F2单独作用时F单独作用时1My8/30/20248强度条件强度条件：B、D角点处的切应力为零，按角点处的切应力为零，按单向应力单向应力状态状态来建立强度条件。设材料的抗拉和抗压强度相来建立强度条件。设材料的抗拉和抗压强度相同，则斜弯曲时的强度条件为同，则斜弯曲时的强度条件为中性轴中性轴：正应力为零处，即求得中性轴方程正应力为零处，即求得中性轴方程危险点危险点：m-m截面上截面上角点角点 B 有最大拉应力，有最大拉应力，D 有最大压应力；有最大压应力； E、F点的正应力为零，点的正应力为零，EF线即是中性轴。线即是中性轴。可见可见B、D点就是危险点，离中性轴最远点就是危险点，离中性轴最远8/30/20249 上式可见，中性轴是一条通过横截面形上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线心的直线, , E、F点的正应力为零，点的正应力为零，EF线线即是中性轴。其与即是中性轴。其与y轴的夹角轴的夹角 为为 是横截面上合成弯矩是横截面上合成弯矩 M 矢量与矢量与 y 轴间的夹角。轴间的夹角。 一一般般，截截面面Iy Iz，即即 ，因因而而中中性性轴轴与与合合成成弯弯矩矩M M所所在在的的平平面面并并不不相相互互垂垂直直。所所以以挠挠曲曲线线将将不不在在合合成成弯弯矩矩所所在在的平面内，即是斜弯曲。的平面内，即是斜弯曲。对圆形、正方形等对圆形、正方形等Iy=Iz的截面，得的截面，得 = = ，即是平面弯曲即是平面弯曲Ozy8/30/202410例例8-18-1 20a号号工工字字钢钢悬悬臂臂梁梁承承受受均均布布载载荷荷 q q 和和集集中中力力 F=qa/2 如如 图图 。 已已 知知 钢钢 的的 许许 用用 弯弯 曲曲 正正 应应 力力 =160MPa, =160MPa, a=1=1m。试求梁的许可载荷集度。试求梁的许可载荷集度 q 解解：作计算简图：作计算简图, ,将自由将自由端截面端截面B上的集中力沿两上的集中力沿两主轴分解为主轴分解为 yqzaa40FOCBAFyzqaaABCDFzyx8/30/202411危险截面危险截面：由：由弯矩图弯矩图 ，可确定可确定A、D两截面为危险截面两截面为危险截面 A、D截面在截面在xoz、 xoy平面的弯曲截面系数，平面的弯曲截面系数，可查表得可查表得 在在xoz主轴平面内的主轴平面内的弯矩图弯矩图( (y轴为中性轴轴为中性轴) ) 在在xoy主轴平面内的主轴平面内的弯矩图弯矩图 ( (z轴为中性轴轴为中性轴) )0.642qa0.444qa0.321qa222ADCByM图(N m)0.617aADCBMz图0.456qa0.383qa0.266 qa222(N m)8/30/202412 可可见见，梁梁的的危危险险点点在在截截面面A的的棱棱角角处处。危危险险点点处处是是单轴应力状态，强度条件为单轴应力状态，强度条件为 即即解得解得 按叠加法，在按叠加法，在xoz主轴平面内、主轴平面内、 xoy主轴平面内的主轴平面内的弯曲正应力，在弯曲正应力，在x方向叠加方向叠加8/30/2024138-3 拉伸拉伸(压缩压缩)与弯曲组合与弯曲组合F力力作作用用在在杆杆自自由由端端形形心心处处，作作用用线线位于位于xy面内，与面内，与x轴夹角为轴夹角为 . F力力既既非非轴轴向向力力，也也非非横横向向力力，所所以变形不是基本变形。以变形不是基本变形。LxyF一、横向力与轴向力共同作用一、横向力与轴向力共同作用8/30/2024141.外力分解Fy=Fsin y为对称轴，引起平面弯曲为对称轴，引起平面弯曲Fx=Fcos 引起轴向拉伸引起轴向拉伸lxFxFyyFx2.内力分析FN=FxMz= Fy( l x )只只有有一一个个方方向向的的弯弯矩矩，就就用用平平面面弯弯曲曲的的弯弯矩矩符号规定。符号规定。+xFyFxFNMzFyll8/30/2024153.应力及强度条件FN对应的应力对应的应力Mz对应的应力对应的应力叠加：叠加：8/30/202416由于忽略了剪切应力，横截面上只有正应力，于是叠加由于忽略了剪切应力，横截面上只有正应力，于是叠加后，横截面上正应力分布规律只可能为以下三种情况：后，横截面上正应力分布规律只可能为以下三种情况：中性轴中性轴(零应力线零应力线)发生平移危险点的位置很容易发生平移危险点的位置很容易确定，在截面的最上缘或最下缘。确定，在截面的最上缘或最下缘。由于危险点的应力状态为简单应力状态由于危险点的应力状态为简单应力状态(单向拉伸单向拉伸或单向压缩或单向压缩)，故：强度条件，故：强度条件 max 8/30/202417例例 8-2已知：已知：W = 8kN，AB为工字钢，材料为为工字钢，材料为Q235钢，钢， = 100MPa。求求: 工字钢型号工字钢型号。解：解： AB受力如图受力如图这是组合变形问这是组合变形问题题 压弯组合。压弯组合。40kN作出作出AB杆的弯矩图和轴力图杆的弯矩图和轴力图8/30/202418根据内力图：危险截面为根据内力图：危险截面为C 截面截面l 设计截面的一般步骤设计截面的一般步骤u 先根据先根据弯曲正应力弯曲正应力选择工字钢型号；选择工字钢型号；u 再按组合变形的再按组合变形的最大正应力最大正应力校核强度，必要校核强度，必要时选择大一号或大二号的工字钢；时选择大一号或大二号的工字钢；u 若剪力较大时，还需校核剪切强度。若剪力较大时，还需校核剪切强度。8/30/202419可以使用可以使用l 本题不需要校核剪切强度本题不需要校核剪切强度拉拉(压压)弯组合变形时，危险点的弯组合变形时，危险点的应力状态应力状态是是单向单向应力状态应力状态。l 按按弯曲正应力弯曲正应力选择工字钢型号选择工字钢型号选选16号工字钢号工字钢8/30/202420 当直杆受到与杆的轴线平行当直杆受到与杆的轴线平行但不重合但不重合的拉力或的拉力或压力作用时，即为偏心拉伸或偏心压缩压力作用时，即为偏心拉伸或偏心压缩。如钻床的立柱、厂房中支承吊车梁的柱子。如钻床的立柱、厂房中支承吊车梁的柱子。F1F2二、偏心拉伸与偏心压缩二、偏心拉伸与偏心压缩二、偏心拉伸与偏心压缩二、偏心拉伸与偏心压缩8/30/202421 以以横横截截面面具具有有两两对对称称轴轴的的等等直直杆杆承承受受距距离离截截面面形形心为心为 e ( (称为偏心距称为偏心距) )的偏心拉力的偏心拉力F为例，来说明为例，来说明. . 将将偏偏心心拉拉力力 F 用用静静力力等等效效力力系系来来代代替替。把把A A点点处处的的拉拉力力F向向截截面面形形心心O1 1点点简简化化，得得到到轴轴向向拉拉力力F和和两两个个在在纵纵对对称称面面内内的的力力偶偶Meyey、Mezez。 因此，杆将因此，杆将发生轴向拉伸和在两个纵对称面发生轴向拉伸和在两个纵对称面O1xy、O1xz内的纯弯曲。内的纯弯曲。 z1yOeFA(y ,z )FFO1yzFFMeyzF=eMz=FyFOnnzy, yC( z)8/30/202422轴力轴力FN=F 引起的正应力引起的正应力弯矩弯矩My=Mey 引起的正应力引起的正应力弯矩弯矩Mz=Mez 引起的正应力引起的正应力按叠加法，得按叠加法，得C点的点的正应力正应力A为横截面面积；为横截面面积；Iy、Iz分别为横截面对分别为横截面对y轴、轴、z轴的轴的惯性矩。惯性矩。 在任一横截面在任一横截面n-n上任一点上任一点 C(y,z) 处的正应力分别为处的正应力分别为8/30/202423利用惯性矩与惯性半径间的关系利用惯性矩与惯性半径间的关系 C点的点的正应力表达式变为正应力表达式变为 取取 =0 ，以，以y0、z0代代表中性表中性轴上任一点的坐轴上任一点的坐标，标，则可得则可得中性轴方程中性轴方程yOz中性轴8/30/202424 可见，在偏心拉伸可见，在偏心拉伸( (压缩压缩) )情况下，中性轴是一条情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线。不通过截面形心的直线。 求出中性轴在求出中性轴在y、z两轴上的截距两轴上的截距 对对于于周周边边无无棱棱角角的的截截面面，可可作作两两条条与与中中性性轴轴平平行行的的直直线线与与横横截截面面的的周周边边相相切切，两两切切点点D1、D2，即即为为横横截截面面上上最最大大拉拉应应力力和和最最大大压压应应力力所所在在的的危危险险点点。相相应应的的应应力力即即为为最最大大拉拉应力和最大压应力的值。应力和最大压应力的值。 中性轴D (y ,z2 22 )2azayOzyD (y ,z )1118/30/202425 对对于于周周边边具具有有棱棱角角的的截截面面，其其危危险险点点必必定定在在截截面面的的棱棱角角处处。如如，矩矩形形截截面面杆杆受受偏偏心心拉拉力力F作作用用时时，若若杆杆任任一一横横截截面面上上的的内内力力分分量量为为FN=F、 My=FzF， Mz=FzF，则与各内力分量相对应的正应力为：，则与各内力分量相对应的正应力为：按叠加法叠加得按叠加法叠加得OD2D1 AFyzyOzhbD1D2 FWzFyzyOD2D1 FyFWz中性轴yzOD1 st,maxsD2c,max8/30/202426 可可见见，最最大大拉拉应应力力和和最最大大压压应应力力分分别别在在截截面面的的棱角棱角D1、D2处，其值为处，其值为危险点处仍为单轴应力状态，其强度条件为危险点处仍为单轴应力状态，其强度条件为 8/30/202427补充例题补充例题 图示矩形截面钢杆，用应变片测得杆件上、下图示矩形截面钢杆，用应变片测得杆件上、下表面的轴向正应变分别为表面的轴向正应变分别为a a1 110103 3、 b b 0.40.410103 3，材料的弹性模量，材料的弹性模量E E210GPa 210GPa 。(1).(1).试绘出横截面上的试绘出横截面上的正应力分布图；正应力分布图；(2).(2).求拉力求拉力F F及偏心距及偏心距的距离。的距离。8/30/202428 当偏心拉（压）作用点位于当偏心拉（压）作用点位于某一个区域某一个区域时，横时，横截面上只出现截面上只出现一种性质的应力一种性质的应力( (偏心拉伸时为拉应偏心拉伸时为拉应力，偏心压缩时为压应力力，偏心压缩时为压应力) )，这样一个，这样一个截面形心附截面形心附近的区域近的区域就称为截面核心。就称为截面核心。 对于砖、石或混凝土等材料（如对于砖、石或混凝土等材料（如桥墩桥墩），由于），由于它们的它们的抗拉强度较低抗拉强度较低，在设计这类材料的偏心受压，在设计这类材料的偏心受压杆时，最好使横截面上不出现拉应力。因此，确定杆时，最好使横截面上不出现拉应力。因此，确定截面核心是很有实际意义的。截面核心是很有实际意义的。 为此，应使中性轴不与横截面相交。为此，应使中性轴不与横截面相交。三、截面核心三、截面核心三、截面核心三、截面核心8/30/202429作作一系列与一系列与截面周边相切的直线截面周边相切的直线作为中性轴，作为中性轴，由由每每一条中性轴在一条中性轴在 y、z 轴上的轴上的截距截距ay1、az1，即可求得与，即可求得与其其对应的偏心力作用点的坐标对应的偏心力作用点的坐标( (yF1,zF1)。有了一系。有了一系列点，描出截面核心边界。（一个反算过程）列点，描出截面核心边界。（一个反算过程）前面前面偏心拉（压）偏心拉（压）计算的中性轴计算的中性轴截距表达式截距表达式Ozyaay1z122114433558/30/202430例例8-4 8-4 求矩形截面的截面核心求矩形截面的截面核心 边边长长为为h和和b的的矩矩形形截截面面，y、z两对称轴为截面的形心主惯性轴。两对称轴为截面的形心主惯性轴。得得 若中性轴与若中性轴与AB 边重合，则中兴边重合，则中兴轴在坐标轴上的截距分别为轴在坐标轴上的截距分别为 b66hCzybhBAD h66bOa13d4b18/30/202431例例8-5 8-5 求圆截面核心求圆截面核心 对于圆心对于圆心 O 是极对称的，截是极对称的，截面核心的边界对于圆心也应是极面核心的边界对于圆心也应是极对称的，即为一圆心为对称的，即为一圆心为 O 的圆。的圆。 得得 作一条与圆截面周边相切于作一条与圆截面周边相切于A点的直线点的直线，将其看作为中性轴，将其看作为中性轴，并取并取OA为为y轴，于是，该中性轴轴，于是，该中性轴在在y、z两个形心主惯性轴上的截两个形心主惯性轴上的截距分别为距分别为dzyO8d8d1A18/30/202432 同同理理，分分别别将将与与BC、CD和和DA边边相相切切的的直直线线、看看作作是是中中性性轴轴，可可求求得得对对应应的的截截面面核核心心边边界界上点上点2、3、4的坐标依次为的坐标依次为 当当中中性性轴轴从从截截面面的的一一个个侧侧边边绕绕截截面面的的顶顶点点旋旋转转到到其其相相邻邻边边时时，相相应应的的外外力力作作用用点点移移动动的的轨轨迹迹是是一一条条连接点连接点1、2的直线。的直线。 于是，将于是，将1 1、2 2、3 3、4 4四点中相邻的两点连以直线，四点中相邻的两点连以直线，即得矩形截面的截面核心边界。它是个位于截面中即得矩形截面的截面核心边界。它是个位于截面中央的菱形，央的菱形， 8/30/202433ABAB段为等直实心圆截面杆段为等直实心圆截面杆, ,作受力简化作受力简化, ,作作M、MxFABMe=Fa以圆截面杆在弯扭组合时的强度计算问题以圆截面杆在弯扭组合时的强度计算问题8-4 弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合AFlBR_Fl_FaFR8/30/202434 F力使力使AB杆发生弯曲，外力偶矩杆发生弯曲，外力偶矩Me=FR使它发生使它发生扭转。扭转。 由弯矩、扭矩图知，由弯矩、扭矩图知，危险截面危险截面为固定端截面为固定端截面A危危险截面上与弯矩和扭矩对应的险截面上与弯矩和扭矩对应的正应力、切应力正应力、切应力为为A截面的上、下两个点截面的上、下两个点C1 1和和C2 2是是危险点危险点C1 1点的应力状态，取点的应力状态，取单元体单元体得得-二向应力状态二向应力状态C12CCC34A1C2C3CC4C18/30/202435可用相应的强度理论对其校核，可用相应的强度理论对其校核，如第四强度理论，第三强度理论。在这种特定的平面如第四强度理论，第三强度理论。在这种特定的平面应力状态下，这两个强度理论的相当应力的表达式可应力状态下，这两个强度理论的相当应力的表达式可得得按应力状态分析的知识，按应力状态分析的知识， C1 1点三个主应力为点三个主应力为 8/30/202436注意到注意到 =M/W、 = Mx/Wp, 相当应力改写为相当应力改写为 上式同样适用于上式同样适用于空心圆截面杆空心圆截面杆，对其它的弯，对其它的弯扭组合，可同样采用上面的分析方法扭组合，可同样采用上面的分析方法。8/30/202437例例8-68-6 图图示示一一钢钢制制实实心心圆圆轴轴，轴轴上上的的齿齿轮轮 C C 上上作作用用有有铅铅垂垂切切向向力力5kN5kN，径径向向力力1.82kN1.82kN；齿齿轮轮 D D 上上作作用用有有水水平平切切向向力力10kN10kN，径径向向力力3.64kN3.64kN。齿齿轮轮 C C 的的节节圆圆直直径径d dC C=400mm=400mm，齿齿轮轮D D的的节节圆圆直直径径d dD D=200mm=200mm。设设许许用用应应力力 =100MPa=100MPa，试按第四强度理论求轴的直径，试按第四强度理论求轴的直径。 解解：将将每每个个齿齿轮轮上上的的切切向向外外力力向向该该轴轴的的截截面形心简化。面形心简化。ABxyzCD5kN1.82kN10kN3.64kN300300100AB1.82kNC5kN1kN.mD10kN3.64kN1kN.m8/30/202438 作作出出轴轴在在xy、xz两两纵纵对对称称平平面面内内的的两两个个弯弯矩矩图图以以及扭矩图及扭矩图 对对于于圆圆截截面面杆杆，通通过过圆圆轴轴轴轴线线的的任任一一平平面面都都是是纵纵向向对对称称平平面面，可可将将My、Mz按矢量和求得总弯矩。按矢量和求得总弯矩。 并并用用总总弯弯矩矩来来计计算算该该横横截面上的正应力。截面上的正应力。 横横截截面面B上上的的总总弯弯矩矩最最大大。再再考考虑虑扭扭矩矩图图，得得B截面是截面是危险截面危险截面. . 1kN.m0.227kN.mM图z0.568kN.m0.364kN.mM图y_T图1kN.mBxyzMyBzBMMzByBMMBByz8/30/202439 按按本节本节等直实心圆截面杆在弯扭组合下的强度条件等直实心圆截面杆在弯扭组合下的强度条件解得解得8/30/2024408/30/202441