三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长第二节第二节一、一、 平面图形的面积平面图形的面积二、二、 体积体积定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用 第六章第六章 一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形2. 极坐标情形极坐标情形面积元素面积元素:面积元素面积元素:1.直角坐标系情形直角坐标系情形选选 x 为积分变量为积分变量Oyabx例例1. 求椭圆求椭圆解解: 所围图形的面积所围图形的面积. 利用对称性有利用对称性有0例例2.解解: 由由得交点为得交点为1例例3.解解:面积元素：面积元素：y +dy选选 y 为积分变量为积分变量.y +dy面积元素：面积元素：例例4.解解:-24o A.x 2. 极坐标系情形极坐标系情形 ( )d o +d 元素法元素法1 取极角取极角 为积分变量，为积分变量， 其变化区间为其变化区间为 , , 以圆扇形面积近似小以圆扇形面积近似小曲边扇形面积，曲边扇形面积，得到得到面积元素：面积元素：. dAA3 作定积分作定积分r 对应对应 从从 0 变变例例5. 计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线解解:到到 2 所围图形面积所围图形面积 . 利用对称性知利用对称性知例例6.解解: 由对称性知由对称性知,例例7.解解:总面积等于第一象限部分面积的四倍总面积等于第一象限部分面积的四倍.例例8. 计算心形线计算心形线与圆与圆所围图形的面积所围图形的面积 . 解解: 利用对称性利用对称性 , 所求面积所求面积内容小结内容小结平面图形的面积平面图形的面积极坐标方程极坐标方程直角坐标方程直角坐标方程 作业作业 P284: 1(2) (4), 2 (2) (4), 5(1), 8 (2).