6.7 卡诺图化简法卡诺图化简法6.7.1 卡诺图卡诺图 6.7.2 逻辑函数如何填入卡诺图逻辑函数如何填入卡诺图6.7.3 卡诺图化简步骤卡诺图化简步骤HIT基础电子技术电子教案基础电子技术电子教案-卡诺图化简法卡诺图化简法 2006.066.7.1.1 卡诺图的构成卡诺图的构成 卡卡诺诺图图是是最最小小项项按按一一定定规规律律排排列列的的方方格格图图，每每一一个个最最小小项项占占有有一一个个小小方方格格。因因为为最最小小项项的的数数目目与与变变量量数数有有关关，设设变变量量数数为为n，则则最最小小项项的的数数目目为为2n 。二二个个变变量量的的卡卡诺诺图图见见下下图图所所示示。图图中中第第一一行行表表示示 ，第第二二行行表表示示A；第第一一列列表表示示 ，第第二二列列表表示示B。这这样样四四个个小小方方格格就就代代表表四四个个最最小小项项，行行和和列列的的符符号相交就以最小项的与逻辑形式记入该方格中。号相交就以最小项的与逻辑形式记入该方格中。6.7.1 卡诺图卡诺图HIT基础电子技术电子教案基础电子技术电子教案-卡诺图化简法卡诺图化简法 2006.06 对四变量卡诺图，表格第四行对四变量卡诺图，表格第四行的的“AB”标为标为“10”，应记为，应记为 ，第二列的，第二列的“CD”标为标为“01”，记，记为为 。 掌掌握握卡卡诺诺图图的的构构成成特特点点，就就可可以以从从印印在在表表格格旁旁边边的的AB、CD的的“0”、“1”值值直直接接写写出出最最小小项项的的文文字字符符号号的的内内容容。例例如如在在四四变变量量卡卡诺诺图图中中，第第四四行行第第二二列列相相交交的的 小小 方方 格格 。 所所 以以 该该 小小 格格 为为 。 这是三变量卡诺图这是三变量卡诺图HIT基础电子技术电子教案基础电子技术电子教案-卡诺图化简法卡诺图化简法 2006.066.7.1.2 邻接与化简的关系邻接与化简的关系 卡卡诺诺图图为为什什么么可可以以用用来来化化简简？这这与与最最小小项项的的排排列列满满足足邻邻接接关关系系有有关关。因因为为相相邻邻最最小小项项相相加加时时，就就可可消消去去一一个个变变量量。以四变量为例，以四变量为例，m12与与m13相邻接，则相邻接，则m12+m13为：为： 卡诺图的是按邻接卡诺图的是按邻接规律构建的，在几何位规律构建的，在几何位置上相邻的小格是邻接置上相邻的小格是邻接的。同时，第一行和第的。同时，第一行和第四行，第一列和第四列四行，第一列和第四列也是邻接的；四个角也也是邻接的；四个角也是邻接的。是邻接的。所以，在卡诺图中只要将有关的最小项重新排列、组合，就所以，在卡诺图中只要将有关的最小项重新排列、组合，就可能消去一些变量，使逻辑函数得到化简。可能消去一些变量，使逻辑函数得到化简。ABCBCDABDHIT基础电子技术电子教案基础电子技术电子教案-卡诺图化简法卡诺图化简法 2006.066.7.2 逻辑函数如何填入卡诺图逻辑函数如何填入卡诺图 6.7.2.1 与项是最小项的形式与项是最小项的形式 例例如如，将将逻逻辑辑式式 填填入入卡卡诺诺图图。它为一个三变量的逻辑式，结果见下图。它为一个三变量的逻辑式，结果见下图。 与项是最小项时，与项是最小项时，按最小项编号的位置直按最小项编号的位置直接填入。接填入。HIT基础电子技术电子教案基础电子技术电子教案-卡诺图化简法卡诺图化简法 2006.06 与与项项不不是是最最小小项项的的形形式式，按按邻邻接接关关系系直直接接填填入入卡卡诺诺图图。例如例如先填先填 ,这是这是CD;这是这是 A , 再填再填 , 这是这是AB ，这是这是D 。 所以所以 处于第一第二行和第处于第一第二行和第三列的交点上（二行一列）。三列的交点上（二行一列）。所以所以ABD处于第三行和第二、第处于第三行和第二、第三列的交点上（一行二列）。三列的交点上（一行二列）。6.7.2.2 与项不是最小项的形式与项不是最小项的形式HIT基础电子技术电子教案基础电子技术电子教案-卡诺图化简法卡诺图化简法 2006.06例：将逻辑式例：将逻辑式 P = P = + + 填入卡诺图。填入卡诺图。先填先填 ， 这是这是B， 这是这是 ； 这一与项处于第二、这一与项处于第二、第三行和第一、第二列的交第三行和第一、第二列的交点处（二行二列）。点处（二行二列）。再填再填 ，这是这是 ， 这是这是 。 这一与项处于第一、这一与项处于第一、第四行和第一、第四列的交点第四行和第一、第四列的交点处（二行二列）。处（二行二列）。HIT基础电子技术电子教案基础电子技术电子教案-卡诺图化简法卡诺图化简法 2006.06例：将逻辑式例：将逻辑式 填入卡诺图。填入卡诺图。CBBCABDABD填填填填HIT基础电子技术电子教案基础电子技术电子教案-卡诺图化简法卡诺图化简法 2006.06 例：将逻辑式例：将逻辑式 填入卡诺图填入卡诺图CDD 由上述各例题可以看出，与项中变量数越少，在卡诺图由上述各例题可以看出，与项中变量数越少，在卡诺图中占的小格越多；中占的小格越多； 最小项在卡诺图中占最小项在卡诺图中占1个小格；与最小项相比，少一个变个小格；与最小项相比，少一个变量占二个小格；少二个变量占四个小格；少三个变量占八个小量占二个小格；少二个变量占四个小格；少三个变量占八个小格，格，。HIT基础电子技术电子教案基础电子技术电子教案-卡诺图化简法卡诺图化简法 2006.06 与项在卡诺图中对应的小格，只能一个小格一组；二个小与项在卡诺图中对应的小格，只能一个小格一组；二个小格一组；四个小格一组；八个小格一组，格一组；四个小格一组；八个小格一组，即按，即按2i 的规律组的规律组成矩形带。成矩形带。i为缺少的变量数。以四变量为例，与项只有一个变为缺少的变量数。以四变量为例，与项只有一个变量，即缺少量，即缺少3个变量，应占个变量，应占23=8个小格，且组成一个矩形带；个小格，且组成一个矩形带；与项只有二个变量，即缺与项只有二个变量，即缺2个变量，应占个变量，应占22=4个小格，且组成个小格，且组成一个矩形带；与项只有三个变量，即缺少一个矩形带；与项只有三个变量，即缺少1个变量，应占个变量，应占21=2个小格，且组成一个矩形带。个小格，且组成一个矩形带。 化简逻辑函数时，将与或型逻辑函数填入卡诺图后，这样化简逻辑函数时，将与或型逻辑函数填入卡诺图后，这样原来的逻辑函数就以最小项的面貌出现在卡诺图中。然后，经原来的逻辑函数就以最小项的面貌出现在卡诺图中。然后，经过重新组合，将具有过重新组合，将具有“1”的小格按照的小格按照 2i 的规律尽可能大地圈的规律尽可能大地圈成矩形带。这样新得到的逻辑函数可能会更简单一些。成矩形带。这样新得到的逻辑函数可能会更简单一些。 下面我们来讨论如何用卡诺图进行化简。也就是如何重新下面我们来讨论如何用卡诺图进行化简。也就是如何重新组合带有组合带有“1”的小格，如何尽可能大地圈成矩形带，以得到的小格，如何尽可能大地圈成矩形带，以得到最简与或逻辑式。最简与或逻辑式。HIT基础电子技术电子教案基础电子技术电子教案-卡诺图化简法卡诺图化简法 2006.06 6.7.3.1 关于覆盖之一关于覆盖之一 由前面的讨论可知，卡诺图中的矩形带包括的小格越多，由前面的讨论可知，卡诺图中的矩形带包括的小格越多，对应的与项的变量数就越少。所以一个需要化简的逻辑函数，对应的与项的变量数就越少。所以一个需要化简的逻辑函数，填入卡诺图后，经过重新组合，圈出的矩形带应越大越好。填入卡诺图后，经过重新组合，圈出的矩形带应越大越好。 例例如如左左图图若若把把上上面面两两个个小小方方格格圈圈在在一一起起有有 ，下下面面四四个个小小方方格格圈圈在在一一起起有有 ，于于是是逻逻辑式为：辑式为：6.7.3 卡诺图化简步骤卡诺图化简步骤HIT基础电子技术电子教案基础电子技术电子教案-卡诺图化简法卡诺图化简法 2006.06 该逻辑式是否最简？显然不是最简形式，因为该逻辑式是否最简？显然不是最简形式，因为 显然显然 对应下面四个小对应下面四个小格；格； 对应上面四个小格，对应上面四个小格，中间二个小格被覆盖，属于公中间二个小格被覆盖，属于公共享有。共享有。 所以，为使与项最简，圈所以，为使与项最简，圈矩形带时，小格可以公用，互矩形带时，小格可以公用，互相相覆盖覆盖。HIT基础电子技术电子教案基础电子技术电子教案-卡诺图化简法卡诺图化简法 2006.066.7.3.2 关于覆盖之二关于覆盖之二 但是在小格覆盖时，需要注意，每一个矩形带中至少要但是在小格覆盖时，需要注意，每一个矩形带中至少要 有一个小格是独立的，即没有被其他矩形带所覆盖。有一个小格是独立的，即没有被其他矩形带所覆盖。 例如下图中，四个矩例如下图中，四个矩形带对应的与项分别是形带对应的与项分别是 中间的四个小格圈成中间的四个小格圈成的矩形带对应的与项的矩形带对应的与项BD虽然最简，虽然最简， 但但 BD 对应的对应的四个小格一一被其他四个四个小格一一被其他四个矩形带所覆盖，所以就应矩形带所覆盖，所以就应从最简与或式中取消，最从最简与或式中取消，最简与或式为简与或式为HIT基础电子技术电子教案基础电子技术电子教案-卡诺图化简法卡诺图化简法 2006.06 总总之之，一一个个矩矩形形带带中中的的所所有有小小格格最最少少要要有有一一个个未未被被覆覆盖盖，这这个个矩矩形形带带所所代代表表的的与与项项才才是是化化简简后后的的与与或或型型逻逻辑辑式式中中不不可可缺缺少少的的项项。反反之之，一一个个矩矩形形带带中中的的所所有有小小格格都都被被其其它它矩矩形形带带所所覆覆盖盖，那那么么这这个个矩矩形形带带所所代代表表的的与与项项就就不不是是独独立的，如果写入与或型逻辑式中就是多余的。立的，如果写入与或型逻辑式中就是多余的。 卡诺图化简法的步骤如下：卡诺图化简法的步骤如下： 1逻逻辑辑式式填填入入卡卡诺诺图图，如如果果逻逻辑辑式式不不是是与与或或型型，先先将将逻逻辑式转换为与或型。辑式转换为与或型。 2照最小的原则，尽可能将矩形带圈大一些。照最小的原则，尽可能将矩形带圈大一些。 3选选出出至至少少有有一一个个小小格格是是独独立立的的矩矩形形带带，写写出出它它们们所所对对应的最简与项的逻辑和。应的最简与项的逻辑和。 4如如有有遗遗漏漏，添添上上遗遗漏漏小小格格所所对对应应的的一一个个最最简简与与项项，它它们的逻辑和就是最简化的与或型逻辑式。们的逻辑和就是最简化的与或型逻辑式。HIT基础电子技术电子教案基础电子技术电子教案-卡诺图化简法卡诺图化简法 2006.06例例: :化简化简28化简结果化简结果:HIT基础电子技术电子教案基础电子技术电子教案-卡诺图化简法卡诺图化简法 2006.06最小项编号变量按最小项编号变量按EABCD顺序顺序轴轴 这是一个五变量的逻辑函数，先看五变量卡诺图的构成，这是一个五变量的逻辑函数，先看五变量卡诺图的构成，五变量卡诺图是在四变量卡诺图的基础上翻转构成的。五变量卡诺图是在四变量卡诺图的基础上翻转构成的。例例: :化简逻辑函数化简逻辑函数 我们将逻辑函我们将逻辑函数中带有数中带有 的与的与项填入轴左侧的项填入轴左侧的 四变量卡诺图中；四变量卡诺图中；将带有将带有E 的与项的与项填入轴右侧的填入轴右侧的E 四变量卡诺图中；四变量卡诺图中；不带变量不带变量E 的与的与项填入以轴为对项填入以轴为对称的二个四变量称的二个四变量卡诺图中。卡诺图中。 HIT基础电子技术电子教案基础电子技术电子教案-卡诺图化简法卡诺图化简法 2006.06化简结果如下：化简结果如下：HIT基础电子技术电子教案基础电子技术电子教案-卡诺图化简法卡诺图化简法 2006.06HIT基础电子技术电子教案基础电子技术电子教案-卡诺图化简法卡诺图化简法 2006.06