2.3.2 2.3.2 方差与方差与标准差准差洪泽外国语中学洪泽外国语中学 表表20.2.1显示的是上海显示的是上海2001年年2月下旬和月下旬和2002年同期的年同期的每日最高气温，如何对这两段时间的气温进行比较呢每日最高气温，如何对这两段时间的气温进行比较呢? 引例引例1 1：这段时间的这段时间的平均气温平均气温最高气温最高气温 最低气温最低气温变化范围变化范围2001年年2002年年将观察结果添入表格将观察结果添入表格这段时间的这段时间的平均气温平均气温最高气温最高气温 最低气温最低气温变化范围变化范围2001年年2002年年将观察结果添入表格将观察结果添入表格问题：有甲乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本问题：有甲乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本检查它们的抗拉强度，如下表：检查它们的抗拉强度，如下表：甲甲110120130125120125135125135125乙乙115100125130115125125145125145110115105120125130135140110115105120125130135140甲甲乙乙100145哪种钢筋的质量较好？哪种钢筋的质量较好？引例211012125130一组数据的最大值与最小值的差称为一组数据的最大值与最小值的差称为极差极差；极差越大，数据越分散，极差越小，数据极差越大，数据越分散，极差越小，数据越集中越集中 说明甲比乙稳定说明甲比乙稳定思思 考考 ： 什么样的指标可以反映一组数据变化范围什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小？的大小？ 极差最大值最小值极差最大值最小值 甲甲110115105120125130135140110115105120125130135140乙乙100145 在生活中，我们常常会和极差打交道班级里个在生活中，我们常常会和极差打交道班级里个子最高的学生比个子最矮的学生高多少？家庭中年纪最子最高的学生比个子最矮的学生高多少？家庭中年纪最大的长辈比年纪最小的孩子大多少？这些都是求极差的大的长辈比年纪最小的孩子大多少？这些都是求极差的例子例子 例例1.（口答）求下列各题的极差。（口答）求下列各题的极差。（1）某班个子最高的学生身高为）某班个子最高的学生身高为1.70米，个子最矮的米，个子最矮的学生的身高为学生的身高为1.38米，求该班所有学生身高的极差。米，求该班所有学生身高的极差。（2）小明家中，年纪最大的长辈的年龄是）小明家中，年纪最大的长辈的年龄是78岁，年纪岁，年纪最小的孩子的年龄是最小的孩子的年龄是9岁，求小明家中所有成员年龄的岁，求小明家中所有成员年龄的极差。极差。 问题问题2：小明和小兵两人参加体育项目训练，近期小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩如表的五次测试成绩如表20.2.2所示所示.谁的成绩较为稳定？为什么？谁的成绩较为稳定？为什么？姓姓 名名 平平 均均 分分小小 明明小小 兵兵 我们可以用我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最先平均，再求差，然后平方，最后再平均后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况这个结果通常称为情况这个结果通常称为方差方差（variance） 其中其中 S 2表示一组数据的方差，表示一组数据的方差， 表示一组数表示一组数据的平均数，据的平均数，x1、x2、 xn表示各个数据表示各个数据方差的计算式就是方差的计算式就是 如果一组数据与其平均值的离散程度较小，我们就说如果一组数据与其平均值的离散程度较小，我们就说它比较稳定它比较稳定思思 考考 : :什么样的数能反映一组数据与其平均值的离散什么样的数能反映一组数据与其平均值的离散程度？程度？新课讲授一般地，一般地，设一组样本数据设一组样本数据 ，其平均数，其平均数为为 , ,则称则称为这个样本的为这个样本的方差方差，为样本的为样本的标准差标准差，分别简称，分别简称样本方差样本方差，样本标准差。样本标准差。方差越小，数据的波动越小。方差越小，数据的波动越小。其算术平方根其算术平方根练习：若甲、乙两队比赛情况如下练习：若甲、乙两队比赛情况如下,下列说法哪些下列说法哪些 说法是不正确的：说法是不正确的：甲甲乙乙平均失球数平均失球数平均失球个数的标准差平均失球个数的标准差1. 52. 11. 10. 41、平均来说，甲的技术比乙的技术好；、平均来说，甲的技术比乙的技术好；2、乙比甲技术更稳定；、乙比甲技术更稳定；3、甲队有时表现差，有时表现好；、甲队有时表现差，有时表现好；4、乙队很少不失球。、乙队很少不失球。全对全对例例1：甲、乙两种水稻试验品种连续：甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量年的平均单位面积产量如下（单位：如下（单位：t/hm ），试根据这组数据估计哪一种水稻品种），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定的产量比较稳定 品种品种第一年第一年第二年第二年第三年第三年第四年第四年第五年第五年甲甲989910110102乙乙941031089798解：例例2：为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后：为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换已知某校使用的必须更换已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差天数天数151 1180180181 1210210211 1240240241 1270270271 1300300301 1330330331 1360360361 1390390灯泡数灯泡数1111820251672解：解：各组组中值依次为各组组中值依次为165165，195195，225225，255255，285285，315315，345345，375375，由此算得平均数为，由此算得平均数为这些组中值的方差为这些组中值的方差为答：略答：略注：注： 方差的另外几种形式方差的另外几种形式如果数据如果数据的平均数为的平均数为 ，方差为方差为（1 1）新数据）新数据的平均数为的平均数为，方差仍为，方差仍为 （2 2）新数据）新数据的平均数为的平均数为，方差为，方差为 （3 3）新数据）新数据的平均数为的平均数为 ，方差为方差为 ，则，则方差的运算性质：方差的运算性质：练习练习（3 3）若）若k k1 1,k,k2 2,.k,.k8 8的方差为的方差为3 3，则，则2 2（k k1 1-3),-3),2(k2(k2 2-3), .2-3), .2（k k8 8-3)-3)的方差为的方差为_课后练习课后练习1 1、2 2作业：P69练习4 习题3