五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式即即解解例例 3 求证以求证以、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解解所以可设所以可设P点坐标为点坐标为所求点为所求点为例例4 设点设点在在轴上，它到点轴上，它到点的距离为到点的距离为到点的距离的两倍，的距离的两倍，的坐标的坐标.求点求点解得解得2 2、向量的方向角与方向余弦、向量的方向角与方向余弦两向量的夹角两向量的夹角类似地类似地, ,可定义可定义: :两条轴的夹角两条轴的夹角. .向量与一条轴的夹角向量与一条轴的夹角, ,定义定义非零向量非零向量与三条坐标轴的夹角与三条坐标轴的夹角称为向量称为向量的方向角的方向角.设设类似地有类似地有(1)称为向量称为向量的方向余弦的方向余弦.(1)式表明：式表明：与向与向量量同方向的单位向量同方向的单位向量恰好是向量恰好是向量的方向余弦的方向余弦.的坐标的坐标解解，已知，已知，它与，它与轴和轴和轴的夹角分别为轴的夹角分别为和和，如果，如果的坐标为的坐标为，求，求的坐标的坐标.例设有向量例设有向量解解3.向量在轴上的投影向量在轴上的投影设点设点及单位向量及单位向量确定了确定了轴轴. 任给向量任给向量作作再过点再过点作与作与轴垂直的平面，交轴垂直的平面，交轴于点轴于点(点点称为点称为点在在轴上的投影轴上的投影)则向量则向量称为向量称为向量在在轴上的分向量轴上的分向量.设设则数则数称为向量称为向量在在轴上的投影轴上的投影.记为记为或或按定义得按定义得:所以所以,向量的投影具有与向量的坐标相同的性质向量的投影具有与向量的坐标相同的性质.性质性质1性质性质2性质性质3（投影定理）（投影定理）解解小小 结结向量的线性运算：向量的线性运算： 加法，数乘加法，数乘向量的坐标向量的坐标点的坐标点的坐标向径向径空间中两点间距离公式空间中两点间距离公式向量的概念向量的概念向量的模、方向角、方向余弦向量的模、方向角、方向余弦向量在轴上的投影向量在轴上的投影投影定理投影定理两向量的夹角两向量的夹角作作 业业P12, 11,12,14, 15, 16, 17, 19