电磁学电子教案使用教材：赵凯华、陈熙谋编的第二版主讲人：陈绍英、王启文、石鹏、李艳华呼伦贝尔学院物理系普通物理教研室 电磁学课题组 2006年年9月制作月制作第二章第二章 静电场中的导体和电介质静电场中的导体和电介质2.1 静电场中的导体2.2 电容和电容器2.3 电介质2.4 电场的能量和能量密度2.1.1 导体的静电平衡条件导体的静电平衡条件 当一带电体系中的电荷静止不动，从而电场分布不随时间变化时，我们就说该带电体系达到了静电平衡静电平衡。导体的特点是其体内存在着自由电荷，它们在电场的作用下可以移动，从而改变电荷的分布；反过来，电荷分布的改变又会影响到电场分布。由此可见，有导体存在时，电荷有分布和电场的分布相互影响、相互制约，并不是电荷和电场的任何一种分布都是静电平衡分布。必须满足一定的条件，导体才能达到静电平衡分布。 均匀导体的静电平衡条件就是其内场强处处为均匀导体的静电平衡条件就是其内场强处处为0 0。所谓“均匀均匀”，指其质料均匀，温质料均匀，温度均匀度均匀。 这个平衡条件可论证如下：如果导体内的电场不处处为0，则在不为0的地方自由电荷将会移动，亦即导体没有达到静电平衡。换言之，当导体达到静电平衡时，其内部的场强必定处处为0。 下面举例说明导体从非平衡态趋于平衡态的过程。(如下页图a所示)，把一个不带电的导体放在均匀电场 中。在导体所占据的那部分空间里本来是有电场的，各处电位不相等。在电场的作用下，导体中的自由电荷将发生移动，结果使导体的一端带上正电，另一端带上负电，这就是我们熟知的静电感应现象。然而，这样的过程会不会持续进行2.1.1 导体的静电平衡条件导体的静电平衡条件下去呢？不会的。因为当导体两端积累了正、负电荷之后，它们就产生一个附附加电场加电场 ， 与 叠加的结果，使导体内、外的电场都发生重新分布。在导体内部 的方向是与外加电场 相反的（见右图b示)。当导体两端的正、负电荷积累到一定程度时， 的数值就会大到足以把 完全抵消。此时导体内部的总电场 处处为0时，自由电荷便不再移动，导体两端正、负电荷不再增加，于是达到了静电平衡。很明显，如果导体内的总电场 不处处为0 ，那么在 不为0 的地方，自由电荷仍将继续移动，直到 处处为0为止。 从上述导体静电平衡条件出发，还可直接导出以下几点推论： （1 1）导体是个等到位体，导体表面是个等到位面。）导体是个等到位体，导体表面是个等到位面。因导体内任意两点 、 之间的电位差为 ，若 处处为0，则导体内部2.1.1 导体的静电平衡条件导体的静电平衡条件所有各点的电位相等，从而其表面是个等位面。 （2 2）导体以外靠近其表面地方的场强处处与表面垂直。）导体以外靠近其表面地方的场强处处与表面垂直。 因为电力线处处与等位面正交，所以导体外的场强必与它的表面垂直。 我们知道，静电场的分布是遵从一定的规律的（高斯定理和环路定理），因此空间各点的场强和电位必定存在着内在联系。在静电场中引入导体后，附近空间里原来的电力线和等位面就会发生畸变和调整，以保证新形成的电力线和等位面与导体的表面成为一个等位面这一点相适应。 静电场的边值问题的唯一性定理表明，当带电体系中各个导体的形状、大小、相对位置和电位或带电量确定了之后，它们上面的电荷分布以及空间各点的电场分布都会唯一确定下来。由此可以说，导体对电场的分布能够起到调整和控制的作用。其应用之一为静电透镜。 如右图所示，平面电极K K的电位为120伏，在它的前面放置一块中央带有圆孔的平行金属板。并将它的电位控制在30伏。这样一来，空间各处等位面的形状被这控制电极调整后如右图所示，在圆孔上等位面向右侧凸起。 现在我们来分析一下电力线发生的变化。在带圆孔的金属板G G引入之后，在孔附近电力线将 2.1.1 导体的静电平衡条件导体的静电平衡条件不再是平行线，因为它们处处与凸起了的等位面正交而向四周发散，或者说这里场强具有垂直于中心线（Z轴）而向外辐射的分量E Er r。 我们设想从金属电极K的中心发射出一束电子。因为电子带负电，当它们经过圆孔后，电场的E Er r分量就使电子受到向Z Z轴集中的电场力、结果使电子束在某点F F会聚起来。这个带孔金属板对电子束的作用，就象一个凸透镜对光束的作用一样，可以达到聚焦的目的。这种方法叫做静电聚静电聚焦焦，带孔金属板G G可以叫做静电透镜静电透镜。 在第一章中，基本上都是在给定电荷分布的前提下求场强或电位分布在给定电荷分布的前提下求场强或电位分布。在本章，由于引入导体后，由于电荷与电场的分布相互影响、相互制约，它们最终达到的平衡分布都是不能预先判知的，因而第一章中的方法对于许多实际需要往往不能适用。本节处理问题的方法不是去分析电场、电荷在相互作用下怎样达到平衡分布的复杂过程，不是去分析电场、电荷在相互作用下怎样达到平衡分布的复杂过程，而是假定这种平衡分布已经达到，以上述平衡条件为出发点，结合静电场的普遍规律而是假定这种平衡分布已经达到，以上述平衡条件为出发点，结合静电场的普遍规律（如高斯定理、环路定理等）支进一步分析问题。（如高斯定理、环路定理等）支进一步分析问题。 2.1.2 电荷分布电荷分布（1）体内无电荷）体内无电荷 在达到静电平衡时在达到静电平衡时,导体内部处处没有未抵消的净电荷导体内部处处没有未抵消的净电荷（即电荷的体度密 ），电荷只分布在导体的表面电荷只分布在导体的表面。 证明这个结论需要用高斯定理。假定导体内部某处有未被抵消的净电荷q，则可取一个完全在导体内部的闭合高斯面S将它包围起来（右图），根据高斯定理，通过S的电通量为 ，是一个非零值。这就是说，在S面上至少有些点的场强E不等于0， S面上场强不为0的这些地方就达不到静电平衡，电荷就会重新分布，直至场强处处为0，体内净电荷完全抵消为止。所以根据平衡条件的要求，在达到平衡状态以后，导体内部必定处处没有未抵消的净电荷，电荷只能分布在导体的表面上。 （2）面电荷密度与场强的关系）面电荷密度与场强的关系 在静电平衡状态下在静电平衡状态下，导体表面之外附近空间的场强导体表面之外附近空间的场强与该处导体表面的面电荷密度与该处导体表面的面电荷密度有如下关系有如下关系： （2.1）2.1.2 电荷分布电荷分布 式(2.1)证明如下:如右图示,P P点是导体表面之外附近空间的点,在P P点附近的导体表面取一面元 。这面元取得足够小，使得其上的面电荷密度 可认为是均匀的。作如右图中所示的扁圆柱形高斯面，使圆柱侧面与 垂直，圆的上底通过P P点。下底在导体内部，两底都与 平行，并无限靠近它，因此它们的面积都是 ，通过高斯面的电通量为由于导体内部场强处处为0，所以第二项积分为0。另外，由于导体表面附近的场强与导体表面垂直，故第三项积分中 ，从而这项积分也是0。在第一项沿上底的积分中上 ，又由于 很小，其上场强可认为都与P P点的场强E相等，所以有2.1.2 电荷分布电荷分布在高斯面内包围的电荷为 ，根据高斯定理， ，消去 后即可得到式（2.1）。由公式看出：导体表面电荷密度大的地方场强大；而面电荷密度小的地方场强小。 （3）表面曲率的影响）表面曲率的影响 尖端放电尖端放电 式(2.1)只给出导体表面上每一点的电荷密度和附近场强之间的对应关系，它并不能告诉我们在导体表面上电荷究竟怎样分布。定量地研究这个问题是比较复杂的，这不仅与这个导体的形状有关还和它附近有什么样的带电体有关。但是对于孤立的带电体来说，电荷的分布有如下定性的规律。大致说来，在一个孤立导体上面电荷密度的大小与表面的曲率有关。导体表面凸出而尖锐的地方（曲率较大），电荷就比较密集，即面电荷密度较大；表面较平坦的地方（曲率较小），面电荷密度较小；表面凹进去的地方（曲率为负），面电荷密度更小。但应注意，孤立导体表面的电荷密度与曲率之间并不存在单一的函数关系。2.1.2 电荷分布电荷分布 以上规律可利用右图所示的实验演示出来。带电导体A A表面P P点特别尖锐，而Q Q点凹进去。以带有绝缘柄的金属球B B接触尖端P P后，再与验电器C C接触，则金箔张开较显著。用手接触小球B B和验电器C C以除去其上的电荷后，使B B与导体的凹进处Q Q附近接触，再接触验电器C C，这时，发现验电器C C几乎不张开。这表明Q Q处电荷比P P处少得多。 式(2.1)表明，导体附近的场强E E与面电荷密度 成正比，所以孤立导体表面附近的场强分布也有同样的规律，即尖端的附近场强大，平坦的地方次之，凹进的地方最弱(见右上图b 中电力线的疏密程）。 导体尖端附近的电场特别强，它将会导致一个重要的后果，就是尖端放电尖端放电。如右下图示，在一个导体尖端附近放一根点燃的蜡烛。当我们不断地给导体充电时，火焰就好象被风吹一样2.1.2 电荷分布电荷分布朝背离尖端的方向偏斜。这就是尖端放电引起的后果。因为在尖端附近强电场的作用下，空气中残留的离子会发生激烈的运动。在激烈运动的过程中它们和空气分子相碰时，会使空气分子电离，从而产生了大量新的离子，这就使空气变得易于导电。与尖端上电荷 异号的离子受到吸引而趋向尖端，最后与尖端上的电荷中和。与尖端上电荷同号的离子受到排斥而飞向远方，蜡烛火焰的偏斜就是受到这种离子流形成的“电风”吹动的结果。上述实验中，不断地给导体充电，就是为了防止尖端上的电荷因不断与异号离子中和而逐渐消失，使得“电风”持续一段时间，便于观察。尖端放电时，在它周围往往隐隐地笼罩着一层光晕，叫做电晕，在黑暗中看得特别明显。在夜间高压输电线附近往往会看到这种现象。由于输电线附近的离子与空气分子碰撞时会使分子处于激发状态，2.1.2 静电场中的导体静电场中的导体从而产生光辐射，形成电晕。 高压输电线附近的电晕放电浪费了很多电能，把电能消耗在气体分子的电离和发光过程中，这是应当尽量避免的，为此高压输电线表面应当做得极光滑，其半径也不能过小。此外一些高压设备的电极常常作成光滑的球面也是为了避免尖端放电漏电，以维持高电压。 尖端放电也有可以利用的一面。最典型的就是避雷针避雷针。当带电的云层接近地表面时，由于静电感应使地面上物体带异号电荷，这些电荷比较集中地分布在突出的物体（如高大建筑物、烟囱、大树）上。当电荷积累到一定程度，就会在云层和这些物体之间发生强大的火花放电。这就是雷击现象雷击现象。为了避免雷击，如右图所示，可在高大建筑物上安装尖端导体（避雷针），用粗铜缆将避雷针通地，通地的一端埋在几尺深的潮湿泥土里或接到埋在地下的金属板（或金属管）上，以保持避雷针与大地电接触良好。当带电的云层接近时，放电就通过避雷针和通地粗铜导体这条最易于导电的通路局部持续不断地进行以免损坏建筑物。2.1.3 导体壳导体壳( (腔内无带电体的情形腔内无带电体的情形) ) （1）基本性质）基本性质 当导体壳内没有其它带电体时，在静电平衡下，导体壳的内表面上处处没有电荷，电荷只分布在外表面；空腔内没有电场，或者说，空腔内的电位处处相等。 为了证明上述结论，在导体壳内、外表面之间取一闭合曲面S S，将空腔包围起来（见右图）。由于闭合面S S完全处于导体内部，其上场强处处为0，因此没有电通量穿过它。由高斯定理可知，在S S内（即导体壳的内表面上）电荷的代数和为0。 在此基础上还需证明，在导体壳的内表面上不仅电荷的代数和为0，而且各处的面电荷密度 也为0。利用反证法，假定内表面上 并不处处为0，由于电荷的代数和为0，必然有些地方 ，有些地方 ，按照1.2节中的分析， 的地方 ， 的地方 （这里法线矢量 是由壳内壁指向腔内的）。在第一章3里我们曾经论证，电力线只能从正电荷出发，到负电荷终止，不能在没有电荷的地方中断。由此，空腔2.1.3 导体壳导体壳( (腔内无带电体的情形腔内无带电体的情形) )中没有电荷，所以从内表面 的地方发出的电力线，还会在腔内中断，只能终止在内表面 的地方。如果存在这样一根电力线，电场沿此电力线的积分必不为0。也就是说，这电力线的两端间有电位差。但这根电力线的两端都在同一导体上，静电平衡要求这两点的电位相等。因此上述结论与平衡条件相违背。由此可见，达到静电平衡时，导体壳内表面上 必须处处为0。 下面证明腔内没有电场。由于内表面附近 ，且电力线既不可能起、止于内表面，又不可能在腔内有端点或形成闭合线。所以腔内不可能有电力线和电场。没有电场就没有电位差，故腔内空间各点的电位处处相等。 （2）法拉第圆筒）法拉第圆筒 静电平衡时，导体壳内表面没有电荷的结论可以通过下页图所示的实验演示出来。图中A A、B B是两个验电器，把一个差不多封闭的空心金属圆筒C C（圆筒内无带电体）固定在一个验电器B B上。给圆筒和验电器B B以一定的电荷，则金箔张开。取一个装有绝缘柄的小球D D，使它和圆筒C C外表面接触后再碰验电器A A（图a），则A A上金箔张开，如果重复若干次，我们就能使金属箔A A张开的角度很显著，这证明圆筒C C的外表面是带上了电的。2.1.3 导体壳导体壳( (腔内无带电体的情形腔内无带电体的情形) )如果把小球D D插入圆筒上的小孔使之与圆筒的内表面相接触后，再用验电器A A检查（图b）,则发现A A的金属箔总不张开。这表明圆筒C C的内表面不带电。这就从实验上证实了上述结论。这实验称为法拉第圆筒实验，实验中的圆筒C C称为法拉第圆筒法拉第圆筒。 根据静电平衡下导体壳的内表面处处没有电荷的性质，将带电导体与导体壳内表面接触时，带电导体上的电荷一定会全部转移到导体壳的外表面上去。因此，这是从一个带电体上吸取全部电荷的有效办法。测量电量时，要在静电计上安装法拉第圆筒并将带电体接触圆筒的内表面，就是这个道理。 （3）库仑平方反比律的精确验证）库仑平方反比律的精确验证 电荷只分布在导体外表面上的结论，是建立在高斯定理的基础上的，而高斯定理又是由库仑平方反比律推导出来的。相反，如果点电荷之间的相互作用力偏离了平方反比律，即2.1.3 导体壳导体壳( (腔内无带电体的情形腔内无带电体的情形) )其中 ，则高斯定理将不成立，从而导体上的电荷也不完全分布在外表面上。用实验方法来研究导体内部是否确实没有电荷，可以比库仑扭秤实验远为精确地验证平方反比律。 这类实验首先是卡文迪许在库仑于1785年建立平方反比律之前若干年（1773年）完成的。它的装置如右图所示，金属球1由绝缘支柱2支持。绝缘的金属球壳3套在金属球1的外边，它由两个半球组成，在其中之一的上面有一个小孔。一段导线条由绝缘丝线5悬挂，可探进小孔将球1与球壳3联接起来。 这样，球1的表面就成为球壳3 内表面的一部分，实验时，先使联接在一起的球1 和球壳3带电。然后将怀线抽出，将球壳3的两半分开并移去，再用静电计检验球1上的电荷。反复实验结果表明球1上总没有电荷。2.1.3 导体壳导体壳( (腔内无带电体的情形腔内无带电体的情形) ) 由于电荷之间的相互作用力的规律具有原则意义的重大问题，后来许多人重复并改进了上述实验。目前在实验仪器灵敏度所允许的范围内可以肯定，与平方指数的偏离 即使有，也不会超过 。（可参阅书中140页小字部分）这样，平方反比律便得到了十分精确的实验验证。 （4）范德格喇夫起电机范德格喇夫起电机 利用导体壳的性质可以将电荷不断地由电位较低的导体一次一次地传递给另一电位较高的导体，使后者电位不断升高。如右图所示，绝缘金属球A A与电池的正极相联，电池负极接地，从而球A A地之间保持一定的电位差。我们用一个带有绝缘柄的金属小球B B与球A A接触后又与一个具有小孔的金属球壳C C的内壁接触，这时小球B B上原来带的电荷全部传到金属球壳C C的外表面上去。一次一次地重复这种接触过程，电荷可一次一次地被小球B B传递到金2.1.3 导体壳导体壳( (腔内无带电体的情形腔内无带电体的情形) )属壳C C的外壁上去。范德格喇夫起电机就是利用这种原理作成的。右图是它的结构示意图。大金属壳1由绝缘支柱2支持着。3是橡胶布做成的传送带，由一对转轮4带动。传送带由联接电源一端的尖端导体5喷射电荷而带电。在尖端5的对面，传送带背后的接地导体板6的作用是加强由尖端5向传送带的电荷喷射。当带电传送带经过另一尖端导体7的近旁时，尖端导体7便将电荷传送给与它相接的导体球壳1。这些电荷将全部分布到金属壳的外表面上去，使它相对于地的电位不断地提高。书中142页的图2-14为其外貌图。 范德格喇夫起电机主要用于加速带电粒子。将离子源放在金属壳内，由于金属壳相对于外界具有高电位差，因此将离子引出球壳后进入加速管时，它就象位置很高的小球在重力场中下降时获得很大动能一样，在电场力的作用下将获得很大的动能。这种高速带电粒子可供原子核反应实验之用。2.1.3 导体壳导体壳( (腔内有带电体的情形腔内有带电体的情形) ) 另外，近年来在晶体管和集成电路等半导体器件的制造工艺中新发展了一种离子注入技术。制作半导体器件时，需要在半导体中掺入某些杂质元素（如硼或磷）的离子，过去全靠扩散的办法来完成。离子注入技术是利用加速器使离子经过电场加速后形成高速离子束，然后用这离子束轰击半导体晶片而注入其中，达到一定的掺杂要求。这种离子注入法比传统的扩散法优越之处在于掺杂的条件易于控制。在离子注入技术所需的离子能量范围内（例如速度在 米/秒的数量级），用范德格拉夫起电机来加速离子是比较便当的。 2.1.3 导体壳（腔内有带电体的情形）导体壳（腔内有带电体的情形） （1）基本性质）基本性质 当导体壳内有其它带电体时，在静电平衡状态下，导体壳的内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为0。例如腔内有一物体带电 ,则内表面带电 。 证明：如右图所示，在导体壳内、外表面之间作一高斯面S S（图中虚线），由于高斯面处在导体内部，在静电平衡时场强处处为0，所以通过S S的电通量为0。2.1.3 导体壳导体壳( (腔内有带电体的情形腔内有带电体的情形) )根据高斯定理， S S内 ，所以如果导体壳内有一带电体 ，则内表面必定带电 【例题】如右图所示，金属球B B被一同心的金属球壳A A 所包围，分别给A A、B B两导体以电量+5+5微库仑和+3+3微库仑，问A A球的外表面带电多少？ 【解】若先设A A不带电，由于B B带电+3微库仑，则A A的内表面必带-3微库仑的电量，根据电荷守恒定律，在A A的外表面必带+3微库仑的电量。再使A A带+5微库仑的电量时，它将全部分布在外表面，故A A的外表面共带电+8微库仑。 （2）静电屏蔽）静电屏蔽 在静电平衡状态下，腔内无带电体的导体壳和实心导体一样，内部无电场。只要达到了静电平衡状态，不管导体壳本身带电或是导体处于外界电场中，这一结论总是对的。这样，导体壳的表面就“保护”了它所包围的区域，使之不受导体壳外表面上的电荷或外界电场的影响，这个现象称为静电屏蔽（对内）静电屏蔽（对内）。 静电屏蔽现象在实际中有重要的应用。例如为了使一些精密的电磁测量仪器不受2.1.3 导体壳（腔内有带电体的情形）导体壳（腔内有带电体的情形）外界电场的干扰，通常在仪器外面加上金属罩。实际上金属外壳不一定要严格封闭，甚至用金属网作成的外罩就能起到相当好的屏蔽作用。 工作中有时要使一个带电体不影响外界 ，例如对屋内的高压设备就要求这样。这时可以把这带电体放在接地的接地的金属壳或金属网内。可由右图来说明其原理。为方便见，假定带电体带正电。有了金属外壳之后，其内表面出现等量的负电荷。由内部带电体出发的电力线就会全部终止在外壳内表面等量的负电荷上，使电力线不能穿出导体壳。这样就把内部带电体对外界的影响全部隔绝了。实际上，应是外壳内表面的负电荷在导体壳外产生了一个电场，它和内部带电体在导体壳外产生的电场处处抵消。然而，如果外壳一接地，在它的外表面还有等量的感应电荷，它的电场将对外界产生影响（见图a），这样，内部带电体对外界的影响就全部消除了。2.1.3 导体壳（腔内有带电体的情形）导体壳（腔内有带电体的情形） （3）等电位高压带电作业）等电位高压带电作业 大家都知道,接触高压电是很危险的。怎样才能在不停电的条件下检修和维护高压线呢？原来对人体造成威胁的并不是由于电位高造成的，而是电位梯度大造成的。近年来我国工人和工程技术人员经过多次科学实验和反复实践，摸索出一套等电位带电作业的方法。作业人员全身穿戴金属丝网制成的衣、帽、手套和鞋子。金属丝网制成的衣、帽、手套和鞋子。这种保护服叫做金属均压服金属均压服。穿上均压服后，作业人员就可以用绝缘软梯和通过瓷瓶串逐渐进入电场区。当手与高压电线直接接触时，在手套与电线之间发生火花放电之后，人和高压线就等电位了，从而可以进行操作。均压服在带电作业中有以下作用：一是屏蔽和均压作用。均压服相当于一个空腔导体，对人体起到电屏蔽作用，它减弱达到人体的电场。二是分流作用。当作业人员经过电位不同的区域时，要承受一个幅值很大的脉冲电流，由于均压服与人体相比电阻很小，可以对此电流进行分流，使绝大部分电流流经均压服。这样就保证了作业的安全。作业 ： p150 1、 3、 5、 6、 10、 122.2.1 孤立导体的电容孤立导体的电容 2.2.1 孤立导体的电容孤立导体的电容 所谓“孤立孤立”导体，就是说在这导体的附近没有其它导体和带电体。 设想使一个孤立导体带电 ,它将具有一定的电位 （如右图示）。理论和实践证明，随着 的增加， 将按比例地增加。这个比例关系可写成 （2.22.2）式中 与导体的尺寸和形状有关,它是一个与 、 无关的常数，称之为该孤立导体的电容，其物理意义是使导体每升高单位电位所需的电量。电容的单位是库仑/伏特，专门名称法拉，简称法，用F F表示： 1法拉=1库仑/1伏特实际中嫌法拉这个单位太大，常用微法（记作 ）、沙法（记作 或译作“皮法”）。 2.2.1 孤立导体的电容孤立导体的电容 为了便于理解电容的意义，可以打个比喻。右图表示三个盛水容器。当我们向各容器灌水时，容器内水面便升高。可以看到，对三个容器来说，为使它们的水面都增加一个单位的高度，需要灌入的水量是不同的。使容器中的水面每升高一个单位高度要灌入的水量是由容器本身的性质（即它的截面积）所决定的。导体的“电容”与此类似。若一个导体的电容比另一个大，就表示每升高一个单位电位时，该导体上面所需增加的电量比另一个多。 【例题1】求半径为 的孤立导体球的电容。 【解】 因 ，故2.2.2 电容器及其电容电容器及其电容 2.2.2 电容器及其电容电容器及其电容 如果在一个导体A A的近旁有其它导体，则这导体的电位 不仅与它自已所带电量的多少有关，还取决于其它导体的位置和形状。这是由于电量 使邻近导体的表面产生感应电荷，它们将影响着空间的电位分布和每个导体的电位。在这种情况下，我们不可能再用一个常数 来反映 和 之间的依赖关系了。要想消除其它导体的影响，可采用静电屏蔽的方法。如右图所示，用一个封闭的导体壳B把导体A包围起来，并将B接地（ ）。这样一来，壳外的导体C、D等就示会影响A的电位了。这时若使导体A带电 ，导体壳B的内表面将带电- 。随着 的增加， 将按比例地增大，因此我们仍可定义它的电容为 2.2.2 电容器及其电容电容器及其电容当然这时 已与导体壳B B无关了。其实导体壳B B也可不接地，则它的电位 。虽然这时 、 都与外界的导体有关，但电位差 仍不受外界的影响，且正比于 ，比值不变。这种导体壳B B和其腔内的导体A A组成的导体系，叫做电容器，比值 （2.32.3）叫做它的电容。电容器的电容与导体的尺寸、形状和相对位置有关，与 和无关。组成电容器的两导体叫做电容器的极板。 实际中对电容器屏蔽的要求并不象上面所述那么苛刻。如上页图所示那样，一对平行平面导体A A、B B的面积很大，而且靠得很近，集中在两导体相对的表面上的那部分电荷将是符号相反，数量相等的，它们产生的电力线集中在两表面之间狭窄的空间里。这时外界的干扰对电荷 与电位差 之比（即电容C C）的影响实际上是可以忽略的。我们也可以把这种装置看成电容器（平行板电容器）。 电容器在实际中（主要在交流电路、电子电路中）有着广泛的应用。当你打开任何电子仪器或装置（如收音机、示波器等）的外壳时，就会看到线路里有各种各样的2.2.2 电容器及其电容电容器及其电容元件，其中不少是电容器。实际的电容器种类繁多。（156页图2-23）通常在电容器两金属极板间还夹有一层绝缘介质（叫做电介质）。绝缘介质也可以是空气或真空。按两金属极板间所用的绝缘介质所用的绝缘介质来分，有真空电容器、空气电容器、云母电容器、纸质真空电容器、空气电容器、云母电容器、纸质电容器、油浸纸介电容器、陶瓷电容器、涤纶电容器、电解电容器、聚四氟乙烯电容电容器、油浸纸介电容器、陶瓷电容器、涤纶电容器、电解电容器、聚四氟乙烯电容器、钛酸钡电容器器、钛酸钡电容器等；按其电容量的可变与否电容量的可变与否来分，有可变电容器、半可变或微调电可变电容器、半可变或微调电容器、固定电容器容器、固定电容器等。但是，常用的各种类型的电容器的基本结构相同，都由两片面积较大的金属导体极板中间夹一层绝缘介质组合而成。 下面我们来推导电容器的电容公式，由此可以看出电容量的大小是由哪些因素决定的。在下面的计算中暂不考虑绝缘介质，即认为极板间是空气或真空。 （1）平行板电容器）平行板电容器 实际常用的绝大多数电容器可看成是由两块彼此靠得很近的平行金属板组成的平行板电容器。设它们的面积都是S S，内表面间的间距是d（右图）。在极板面的线度远大于它们之间的距离在极板面的线度远大于它们之间的距离2.2.2 电容器及其电容电容器及其电容（或者说 ）的情况下，除边缘部分外，情况和两极板为无限大时差不多。这时两极板的内表面均匀带电，极板间的电场是均匀的。 设两极板A、B的带电量分别为 ，则电荷的面密度分别为 。根据式（2.1），场强为 ，电位差为从而按照电容的定义（2.3），则有对于电容器的电容通常略去下标AB不写，而写为 （2.42.4）这便是平行板电容器的电容公式。此式表明， 正比于极板面积S，反比于极板间隔d。它指明了加大电容器电容量的途径：首先必须使电容器极板的间隔小，但是由于工艺2.2.2 电容器及其电容电容器及其电容的困难，这是有一定的限度；其次要加大极板的面积，这势必要加大电容器的体积。为了体积小电容量大的电容器，需要选择适当的绝缘介质。 （2）同心球形电容器）同心球形电容器 如右图示，电容器由两个同心球形导体A、B组成，设半径分别为 和 （ ）。 设A、B分别带电 ，利用高斯定理可知，两导体之间的电场强度 ，方向沿矢径。这时两球形电极A、B之间的电位差为于是电容为2.2.2 电容器及其电容电容器及其电容消去 ，整理后得同心球形电容器的电容公式为 （2.52.5） （3）同轴柱形电容器）同轴柱形电容器 如右图示，电容器是由两个同轴柱形导体A、B组成，设其半径分别为 和 （ ），长度为L L。当 时，两端的边缘效应可以忽略，计算场强分布时可以把圆柱体看成是无限长的。利用高斯定理可知，两导体间的电场强度为其中 是每个电极在单位长度内电荷的绝对值，场的方向在垂直于轴的平面内沿着辐向。两柱形电极A、B间的电位差为2.2.3 电容器的并联、串联电容器的并联、串联在柱形电容器每个电极上的总电荷为 ，故消去 ，整理后得同轴柱形电容器的电容公式为 （2.62.6） 从以上三例归纳起来，计算电容的步骤是：设电容器两极板上分别带电荷 ，计算电容两极间的场强分布，从而计算出两极间的电位差 来；所得的 必然与 成正比，利用电容的定义 求出电容，它一定与此 无关，完全由电容器本身的性质（如几何尺寸，形状等）所决定。 2.2.3 电容器的并联、串联电容器的并联、串联 电容器的性能规格中有两个主要指标，一是它的电容量，一是它的耐压能力。使用电容器时，两极板所加的电压不能超过所规定的耐压值，否则电容器内的电介质有被击穿的危险，即电介质失去绝缘性质，电容器就损坏了。在实际工作中，当遇到单独一个电容器在电容的数值或耐压能力方面不能满足要求时，可以把几个电容器并联2.2.3 电容器的并联、串联电容器的并联、串联或串联起来使用。 （1 1）并联）并联 如右图示，其中每个电容器有一个极板接到共同点A，而另一极板则接到另一共同点B。接上电源后，每一个电容器两极板上的电位差（电压）都等于A、B两点间的电位差，设为 。但是分配在每个电容器上的电量则不同，它们分别是 ， ， 这表明，电容器并联时，电量与电容成正比地分配在各个电容器上（ ）。在所有电容器上的总电量为2.2.3 电容器的并联、串联电容器的并联、串联因此，整个电容器系统总的电容C是 （2.72.7）故电容器并联时，总电容等于各电容器电容之和总电容等于各电容器电容之和。并联后总电容增加了。 （2 2）串联）串联 如右图示，其中每个电容器的一个极板只与另一电容器的一极板相连接，把电源接到这个电容器组合的两个极板上。当给第一个电容器左边的极板带上电荷量 时，其右边的极板上就由于静电感应产生电荷量 ，而在第二个电容器左边的极板带上电荷量 ；这样依次感应。因此，串联的每一个电容器都带有相等的电荷量 。每个电容器上的电压则为 ， ，2.2.3 电容器的并联、串联电容器的并联、串联这表明，电容器串联时，电压与电容成反比地分配在各电容器上（ ）。整个串联电容器组两端的电压等于每一个电容器两极板上串联电容器组两端的电压等于每一个电容器两极板上电压之和电压之和，即而整个电容器系统总电容 ，由此得出 （2.82.8）即电容器串联后，总电容的倒数是各电容器电容的倒数之和电容器串联后，总电容的倒数是各电容器电容的倒数之和，总电容C比每个电容器的电容都有小。例如两个电容相等的电容器串联后，总电容为每个电容器电容的一半，分配在每一电容器上的电压也为总电压的一半，因此，这个串联电容器组的耐压能力为每一个电容器的两倍。作业： p168 3、 4、 5、 7、 10、 13、 14、20、24、 31、 342.3.1 电介质的极化电介质的极化 2.3.1 电介质的极化电介质的极化 电介质就是绝缘介质，它们是不导电的。前面介绍了导体在电场中的表现，电介质在外电场中又会表现出什么样的情况呢？先看演示实验，装置如下图示。 将平行板电容器两极板接在静电计和地线之间，然后充上电。这时静电计指针有一偏角（图中蓝线位置）。而静电计指针的偏转角的大小反映了电容静电计指针的偏转角的大小反映了电容器两极板间电位差的大小器两极板间电位差的大小。撤掉充电电源后，把一块玻璃板插入电容器两极板之间。这时静电计指针的偏转角减小（图中红线位置）。这表明电容器两极板的电位差减小了。由于电源已撤除，电容器极板是绝缘的，其上电荷量Q不变，故电位差U的减小意味着电容C=Q/U增大。即插入电介质板可起到增大电容的作用。2.3.1 电介质的极化电介质的极化 如果用导体板代替玻璃板插入电容器（当然不得使导体板与电容器极板接触)，我们同样可观察到类似的现象，但导体板增大电容的效果比玻璃板强得多。定性地说，使电容增大的原因是因为插入导体板之后两极板间电位差下降了。导体板在电场 的作用下产生了感应电荷，感应电荷在导体板内部产生的电场 总是与 方向相反（见下图），将它全部抵消。在电容器极板上电量不变的情形下，两极板间场强的任何削弱，都会导致电位差的下降。 电介质使电容增大的原因也可作类似的解释。可以设想，把电介质插入电场中后，由于同号电荷相斥，异号电荷相吸的结果，介质表面也会出现类似右图所示的正负电荷。我们把这种现象叫做电介质的极化，它表面上出现的这种电荷叫做极化电荷。电介质上的极化电荷与导体上的感应电荷一样，起着减弱电场、增大电容的作用。不同的是，导体上出现感应电荷，是其中自由电荷重新分布的结果；而介质上出现极化电荷，是其中束缚电荷的微小移动造成的宏观效果。由于束缚电荷的活动不能超出2.3.2 极化的微观机制极化的微观机制原子的范围，因此电介质上的极化电荷比导体上的感应电荷在数量上要少得多。极化电荷在电介质内产生的电场 不能把外场 全部抵消，只能使总场有所削弱。综上所述，导体板引起电容增大的原因在于自由电荷的重新分布；电介质引起电容增大的原因在于束缚电荷的极化。 2.3.2 极化的微观机制极化的微观机制 任何物质的分子或原子（以下统称分子）都是由带负电的电子和带正电的原子核组成的，整个分子中电荷的代数和为0。正、负电荷在分子中都不是集中于一点。但在离开分子的距离比分子的线度大得多的地方，分子中全部负电荷对于这些地方的影响将和一个单独的负点电荷等效。该等效负点电荷的位置称为这个分子的负电荷“重心”，例如一个电子绕核作匀速圆周运动时，它的“重心”就在圆心；同样，每个分子的正电荷也有一个正电荷“重心”。由此，电介质可以分成两类：在一类电介质中，当外电场不存在时，电介质分子的正、负电荷“重心”是重合的，这类分子叫做无极分子；在另一类电介质中，即使当外电场不存在时，电介质分子的正、负电荷“重心”也不重合，这样，虽然分子中正负电量代数和仍然是0，但等量的正负电荷“重心”互相错开，形成一定的电偶极矩，叫做分子的固有极矩，这类分子称为有极分子。（见下页图）2.3.2 极化的微观机制极化的微观机制 （1）无极分子的位移极化）无极分子的位移极化 ， ， 等分子都是无极分子，在没有外电场时整个分子没有电矩。加上外电场，在电场力作用下，每一分子的正负电荷“重心”错开了，形成一个电偶极子（下页图中a），分子电偶极矩的方向沿外电场方向。这种在外电场作用下产生的电偶极矩称为感生电矩。 对于一块电介质整体来说，由于介质中每一分子形成了电偶极子，它们在介质中2.3.2 极化的微观机制极化的微观机制情况可用图b表示。各个偶极子沿外电场方向排成一条条“链子”，链上相邻的偶极子间正负电荷互相靠近，因而对于均匀电介质来说，其内部各处是电中性的；但在和外电场垂直的两个介质端面上就不同了。从图中看出，一端出现负电荷，另一端出现正电荷，这就是极化电荷。极化电荷与导体中的自由电荷不同，它们不能离开电介质而转移到其它带电体上，也不能在电介质内部自由运动。在外电场的作用下电介质出现极化电荷的现象，就是电介质的极化。由于电子的质量比原子核小得多，所以在外电场作用下主要是电子位移，因而无极分子介质的极化机制常称为电子位移极化电子位移极化。 （2）有极分子的取向极化）有极分子的取向极化 在没有外电场时，虽然每一分子具有固有电矩，但由于分子的的不规则热运动，在任何一块电介质中，所有分子的固有电矩的矢量和，平均说来互相抵消，即电矩的矢量和 为0，宏观上不产生电场。现在加上外电场 ，则每个分子电矩都受到力矩作用（如右图示），使分子电矩方向转向外电场方向，于是 不是0了。但由于分子热运动的缘故，这种转向并不完全，即所有分子偶极子不是很整齐地依照外2.3.2 极化的微观机制极化的微观机制电场方向排列起来。当然，外电场越强。分子偶极子排列得越整齐。对于整个电介质来说，不管排列的整齐程度怎样，在垂直于电场方向的两个端面上也产生了极化电荷。如右图b所示，在外电场作用下，由于绝大多数分子电矩的方向都不同程度地指向右方，所以图中左端出现了未被抵消的负束缚电荷，右端出现正的束缚电荷。这种有极分子介质的极化机制称为取向极化取向极化。 应当指出，电子位移极化效应在任何电介质中都存在，而分子取向极化只是由有极分子构成的电介质所独有。但是，在有极分子构成的电介质中，取向极化的效应比位移极化强得多（约大一个数量级），因而其中取向极化是主要的。在无极分子构成的电介质中，位移极化则是唯一的极化机制。但在很高频率的电场作用下，由于分子的惯性较大，取向极化跟不上外电场的变化，所以这时无论哪种电介质只剩下电子位移极化机制仍起作用，因为其中只有惯性很小的电子，才能紧跟高频电场的变化产生位移极化。2.3.3 极化强度矢量极化强度矢量P 2.3.3 极化强度矢量极化强度矢量P （1）定义定义 当电介质处于极化状态时，电介质的任一宏观小体元 内分子的电矩矢量之和不互相抵消，即 （对 内各分子求和），而当介质没有被极化时，则将等于0。因此为了定量地描述电介质内各处极化的情况，我们引入矢量 ，它等于单位体积内的电矩矢量和，即 （2.9） 称为电极化强度矢量电极化强度矢量，它是量度电介质极化状态（包括极化的程度和方向）的物理量。它的单位是库仑库仑/ /米米2 2 。 如果在电介质中各点的极化验室强度大小和方向都相同，则称为均匀极化；否则极化是不均匀的。2.3.3 极化强度矢量极化强度矢量P（2）极化电荷的分布与极化强度矢量的关系极化电荷的分布与极化强度矢量的关系 当电介质处于极化状态时，一方面在它体内出现未被抵消的电偶极矩，这一点是通过极化强度矢量 来描述的；另一方面，在电介质的某些部位将出现未抵消的束缚电荷，即极化电荷。可以证明，对于均匀的电介质，极化电荷集中在它的表面上。电介质产生的一切宏观后果都是通过极化电荷来体现的。 为了方便，以位移极化为模型，设想介质极化时，每个分子中的正电“重心”相对负电“重心”有个位移 。用q代表分子中正、负电荷的数量，则分子电矩 。设单位体积内有 个分子，则按照定义，极化强度矢量 。 如右图示，在极化了的电介质内取一面元矢量 ，其中 为单位法线矢量。现考虑因极化而穿过此面元的极化电荷。穿过 的电荷所占据的体积是以 为底、长度为 的一个斜柱体。设 与 的夹角为 ，则此柱体的高为 ，体积为 。因为单位体积内正极化电荷为 ，故在此柱体内极化电荷总量为 ，这也就是2.3.3 极化强度矢量极化强度矢量P由于极化而穿过 的束缚电荷。 现在取一任意闭合面 ，令 为它的外法线矢量 ，则 通过整个闭合面 的通量 应等于因极化而穿出此面的束缚电荷总量。根据电荷守恒定律，这等于 面内净余的极化电荷 的负值，即 （2.10） 这公式表达了极化强度矢量 与极化电荷分布的一个普遍关系。 若把闭合面 的面元 取在电介质体内，由于不前面的束缚电荷移出时后面还有束缚电荷补充进来（见右图），可以证明，如果介质是均匀的，其体内不会出现净余的束缚电荷，即极化电荷的体密度 。对于非均匀电介质，体内是可能有极化电荷的。下面我们只考虑均匀电介质的情形。 在电介质表面上， 为锐角的地方出现一层正极化电2.3.3 极化强度矢量极化强度矢量P荷（见右图a）， 为钝角的地方则出现一层负极化电荷（见右图b）。表面电荷层的厚度是 ，故面元 上极化电荷为从而极化电荷的面密度为 （2.11）这里 是 沿介质表面外法线 方向的投影。 上式表明， 为锐角的地方， ； 为钝角的地方， 。这与前面分析的结论一致。式（2.11）是介质表面极化电荷面密度分布与极化强度矢量间的一个重要公式。【例题1】求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布，已知极化强度为 。 【解】取球心O为原点、极轴与 平行的球坐标系。由于轴对称性，表面上任一点2.3.3 极化强度矢量极化强度矢量PA的极化电荷面密度 只与 角有关。这个 也是A点外法线 与 的夹角，故这公式表明，在右半球 为正，在左半球 为负；在两半球的分界线（赤道线）上 ，在两极处 最大。【例题2】求沿轴均匀极化的电介质圆棒上的极化电荷分布，已知极化强度为 。（如右图示） 【解】在右端面上 ；在左端面上 ；在侧面上 。故正负电荷分别集中在两端面上。2.3.4 退极化场退极化场 电介质极化时出现极化电荷，而极化电荷和自由电荷一样，在周围空间（无论介质内部或外部）产生附加的电场 。因此根据场强叠加原理，在有介质存在时，空间任意的场强 是外电场 和极化电荷的电场 的矢量和： （2.12） 一般说来， 的大小和方向是逐点变化的。例如，我们把一个均匀的电介质球放在均匀外电场中极化（如图a示），介质球上的正、负极化电荷产生附加场（如图b示），它是一个不均匀的电场。 与均匀外电场 叠加后，得到的总电场（如图c示），它也是不均匀的。在介质球外部，有的地方 与方向一致（如图中左、右两端），这里总电场 增强了；有的地方 与 方向相反（如图中上、下两方），这里的总电场减弱了；一般情况是 与 成一定夹角，总电场 的方向逐点不同。然而，在电介质内部的情况比较简单，即 处处和外电场 的方向相反，其后果是使总电场 减2.3.4 退极化场退极化场弱。要知道，决定介质极化程度的不是原来的外电场 ,而是电介质内实际的电场 。 减弱了，极化强度 也将减弱。所以电荷在介质内部的附加场 总是起着减弱极化的作用，故叫做退极化场。退极化场的大小与电介质的几何形状有着密切的关系。 【例题3】求插在平行板电容器中的电介质板内的退极化场，已知极化强度 。 【解】电介质表面的极化电荷密度为 其中 。由于这些等量异号的极化电荷均匀地分布在一对平行平面上，它们在电介质内产生的附加场为 的方向与原外场 相反。 【例题4】求均匀极化的电介质球在球心产生的退极化场，已知极化强度 。 【解】以球心O为原点，取球坐标系，极轴z沿极化方向。球面各处 与外法线 的2.3.4 退极化场退极化场夹角即球坐标系中矢径与极轴的夹角 。例题1中已求得 ，电荷分布已知后，可用场强叠加原理来求退极化场 。根据轴对称性，球心的电场只有z分量，故只需计算各面元 在球心产生的元电场 有z分量的代数和。球面元 ，在 上的极化电荷 。所有面元到中心O的距离都有是 ，按照库仑定律，在球心的元电场的大小为 沿着从 所在处A点到球心O点的方向，故它在与z轴成夹角 ，故 的z分量为整个球面在球心产生的退极化场为故 的大小为2.3.4 退极化场退极化场可见，球形介质中的退极化场为平面介质的1/3。 【例题5】求沿轴均匀极化的介质细棒中点的退极化场，已知细棒的截面积为 ，长度为 ，极化强度为 （如右图示）。 【解】极化电荷集中在两端面上，由于端面面积 很小，它们可以看成是电量为的点电荷。按照库仑定律，极化电荷在中心产生的退极化场为当 时，这退极化场是可以忽略不计的。 从以上三个例题可以看出，相对于极化方向，当电介质的纵向尺度越大，横向尺度越小时，退极化场就越弱；反之，纵向尺度越小，横向尺度越大，退极化场就越强。平行板电容器中电介质里的极化最强，其数值为 。2.3.5 电介质的极化规律电介质的极化规律 极化率极化率 2.3.5 电介质的极化规律电介质的极化规律 极化率极化率 在前面两节里我们都是假定极化强度 已给定，然后由它求出极化电荷的分布和退极化场。但是实际上电介质中任一点的极化强度 是由该点的总电场 决定的。对于不同的物质， 与 的关系（极化规律）电不同的，这要由实验来确定。实验表明，对于大多数常见的各向同性电介质， 与 方向相同，数量上成简单的正比关系。因此可以写成 （2.13）比例常数 叫做极化率，它与场强无关，与电介质的种类有关，是介质材料的属性。 我们只讨论各向同性的线性是介质，即 与 同向，服从（2.13）形式的极化规律。 如前所述，在外电场 作用下，电介质发生极化。极化强度 和电介质的形状决定了极化电荷的面密度 ，而 决定退极化场 ， 又影响电介质内的总电场，最后，总场 又决定着极化强度 。由此可见， 、 、 和 这些量是彼此依赖、相互制约的。为了计算它们之中的任何一个，都需要把3.3、3.4、3.5各节所述的关系联系起来，共同考虑。2.3.5 电介质的极化规律电介质的极化规律 极化率极化率 【例题6】平行板电容器充满了极化率为 的均匀电介质。已知充电后金属极板上的自由电荷面密度 ，电介质内的极化强度 和电场 ，以及电容器的电容 与没有电介质时的电容 之比。 【解】 与 的关系为 ，退极化场 ，而 ，这里 ，其中 是自由电荷的电场，即外电场。由于 与 方向相反，故两者应相减。把所有上述关系联系起来，则有故上面的结果表明，插入电介质后电场为真空时电场的 倍，亦即在 给定时电压 减小到 倍，故插入电介质后的电容为即电介质使电容增大 倍。2.3.6 电位移矢量电位移矢量D与有介质时的与有介质时的 高斯定理高斯定理 介电常数介电常数 从前几节的讨论中看到，静电场中电介质的性质和导体有一定相似之处，这就是电荷与电场的平衡分布是相互决定的。然而电介质的性质比导体要复杂得多。因为在电介质里极化电荷的出现并不能把其内的电场完全抵消，因而在计算和讨论问题时，电介质内部需要由两个物理量 和 来描述，3.5节所用的方法计算起来较繁，最麻烦的问题是极化电荷的分布由于互相牵扯而事先不能知道。如果能制订一套方法，从头起就使这些量不出现，从而有助于计算的简化。为此我们引入一个新的物理量电位移矢量。 高斯定理是建立在库仑定律的基础上的，在有电介质存在时，它也成立，只不过计算总电场的电通量时，应计及高斯面内所包含的自由电荷 和极化电荷 ： （2.15）此外在3.3节里我们推导出下面公式式(2.12)：将前式乘以 ，与后式相加，可以消去极化电荷 ，2.3.6 电位移矢量电位移矢量D与有介质时的与有介质时的 高斯定理高斯定理 介电常数介电常数现引进一个辅助性的物理量 ，经的定义为 （2.18） 叫做电位移矢量电位移矢量，或电感应强度矢量电感应强度矢量。上面的公式可用 改写作 （2.19） 式(2.19)比原来的式(2.14)优越的地方在于其中不包含极化电荷。此外，若 与 成比例，则 与 成比例，其中比例系数为 （2.20）叫做电介质的介电常数,更确切地应称为相对介电常数。 式(2.19)和(2.20)使电介质中电场的计算大为简化。在有一定对称性的情况下，我们可以利用高斯定理式(2.19)先把 求出，这里无需知道极化电荷有多少；然后利用式(2.20)求出电场 。2.3.6 电位移矢量电位移矢量D与有介质时的与有介质时的 高斯定理高斯定理 介电常数介电常数 【例题7】利用电位移矢量的概念重解例题6。 【解】如右图示，作柱形高斯面 ，它的一个底 在一个金属极板内，另一个底 在电介质中，侧面一电力线平行。在金属内 ， ，故 上无通量；侧面上也无通量；唯一有通量的是 处。此外，包围在此高斯面内的自由电荷有 ，故根据高斯定理 式(2.19),我们有亦即其中 是自由电荷的场(外电场).利用式(2.20)得它与例题6的结果一致,但计算过程简单多了。 【例题8】在整个空间充满介电常数为 的电介质，其中有一点电荷 。求场强分布。 【解】以 为中心取任意半径 作球形高斯面 (如右图示)2.3.6 电位移矢量电位移矢量D与有介质时的与有介质时的 高斯定理高斯定理 介电常数介电常数则故不难看出，它是真空中点电荷场强 的 倍。场强减小的原因，是中心点电荷 被一层正负号与之相反的极化电荷包围了(见上页下图)，它的场把点电荷 的场抵消了一部分。通常把这个效应说成极化电荷对 起了一定的屏蔽作用屏蔽作用。 以上两例题的结果都表明， ， 。然而这是有条件的。可以证明，当均匀电介质充满电场所在空间，或均匀电介质表面是等位面时， ， 。从而当电容器充满均匀电介质后，其电容 为真空电容 的 倍： （2.22）所以，介电常数 也叫做电容率。 设无电介质时的场强为 ，它只是自由电荷产生的场强，故有 或2.3.6 电位移矢量电位移矢量D与有介质时的与有介质时的 高斯定理高斯定理 介电常数介电常数另一方面，在引入电介质后， 所满足的高斯定理为比较两式，似乎应有 ，即 与极化电荷无关。在例题7和例题8中确实看到这种情况。是否可以认为电位移矢量 就是 的 倍呢？否！ 这个关系式是有条件的。可以证明，这条件是均匀电介质充满存在电场的全部空间（上述两例题满足此条件），或者放宽一些，均匀电介质的表面为等位面。满足这些条件时， ， 与 的 倍。若上述条件不满足，一般说来 ， 。这样的例子是不难举出的。例如3.4节例题5中得到沿轴均匀极化介质细棒中点的退极化场为 从而 ， 。 为什么 和 两个矢量满足同一形式的高斯定理，但在普遍情况下它们又不相等呢？正如在第一章4中指出的，高斯定理只反映矢量场的一个侧面，单靠它不能把矢量场的分布完全确定下来。反映矢量场另一个侧面的是环路定理，对于真空中的场强 ，但在普遍情况下，电位移矢量 的环路积分 。此外，在电介质中 正比于 ，但 不一定正比于 。可见， 和 本质上是不同的，在普遍的情况下不能互相代替。2.3.6 电位移矢量电位移矢量D与有介质时的与有介质时的 高斯定理高斯定理 介电常数介电常数 在3.3节中曾提到,均匀电介质的内部无极化电荷,因此极化电荷只能分布在均匀电介质的表面或两种电介质的界面上。这个结论可用 的高斯定理(2.19)式来证明。设电介质内无自由电荷 ，在均匀电介质内部取一任意高斯面 ，则有因为 ， ，故 ，其中 是常数，故按照式（2.12）,任何 内包围的极化电荷为亦即只要均匀电介质内无自由电荷,其中必定也没有极化电荷。 2.3.7 电介质在电容器中的作用电介质在电容器中的作用 2.3节中已提到，电容器的指标有两个：电容量和耐压能力。在电容器中加入电介质，往往对提高电容器这两方面的性能都有好处。现在分别作些讨论。 （1）增大电容量，减小体积增大电容量，减小体积 前已看到，电介质可以使电容增大到 倍。用相同尺寸的电容器，其中电介质的 越大，电容量就越大。另一方面，相同电容量的电容器， 越大，体积就越小。书中197页的表给出了一些电介质的介电常数。 （2）提高耐压能力提高耐压能力 对提高电容器耐压能力起关键作用的是电介质的介电强度。电介质在通常条件下是不导电的，但在很强的电场中它们的绝缘性能会遭到破坏，这称为介质的击穿击穿。一种介质材料所能承受的最大电场强度，称为这种电介质的介电强度介电强度，或击穿场强击穿场强。从表中可以看出，多数材料的介电强度比空气高，它们对提高电容器的耐压能力有利。 提高耐压能力的问题不仅在电容器有，它在电缆中更为突出。在电缆周围的场强是不均匀的，一般是靠近导线的地方最强。在电压升高时，总是在电场最强的地方首先击穿。因而电缆外总包着多层绝缘材料，各层材料的介电常数和介电强度也不相同。很清楚，合理配置各绝缘层，在电场最强的地方使用介电常数和介电强度大的材料，可以使场强的分布均匀，提高所承受的电压。2.3.8 压电效应及其逆效应压电效应及其逆效应 有些固体电介质，由于结晶点阵的特殊结构，会产生一种特殊的现象，叫做压电现象压电现象，这现象是：当晶体发生机械形变晶体发生机械形变时，例如压缩压缩、伸长伸长，它会产生极化会产生极化，而在相对的两面上产生异号的极化电荷(见左图示) 。具有这种现象的物质，以石英（ ）、电气石、酒石酸钾钠( 又称为洛瑟尔盐)、钛酸钡( )等为代表。 在1000克/厘米 的压强下石英晶体的相对两面上能够因极化而产生约0.5伏的电位差，酒石酸钾钠晶体的压电效应更为显著。 压电现象还有逆效应，当在晶体上加电场时，晶体会发生机械形变（伸长或缩短）（见右图）。 压电效应及其逆效应已被广泛地应用于现代技术中。利用压电效应的例子有： （1）晶体振荡器：由于压电晶体的机械振动可以变为电振动，用压电晶体代替普通振荡回路做成的电振荡器称为晶体振荡器晶体振荡器。晶体振荡器突出的优点是其频率的高度稳定。在无线电技术中可用来稳定高频发生器中电振荡的频率。利用这种振荡器制造的石英钟，每昼夜的误差不超过 秒。 （2）压电晶体应用于扩音器、电唱头等电声器件中，把机械振动（声波）变为电振动。 （3）利用压电现象，可测量各种各样情况下的压力、振动，以至加速度。2.3.8 压电效应及其逆效应压电效应及其逆效应 利用逆压电效应的例子有： （1）电话耳机中利用压电晶体的逆压电效应把电的振荡还原为晶体的机械振动。晶体再把这种振动传给一块金属薄片，发出声音。 （2）超声波是频率比耳朵能听到的声波频率高得多的声波（大于2000周/秒）。利用逆压电效应可以产生超声波。将压电晶片放在平行板电极之间，在电极间加上频率与晶体片的固有频率相同的交变电压，晶片就产生强烈的振动而发射出超声波来。作业： p201 3、 5、 7、 8、 10、 12、 14、 19、 22、 27、 34、382.4.1 带电体系的静电能带电体系的静电能 2.4.1 带电体系的静电能带电体系的静电能 一一. .点电荷之间的相互作用能点电荷之间的相互作用能 移动一个带电体中的电荷,就需要抵抗电荷之间的静电力作一定的功 ,从而带电体系的静电位能静电位能(简称静电能静电能)将改变 ,二者的关系是 （2.23）这里 和 都是可正可负的。例如把同号电荷移近时， ， ，即静电能增加；把异号电荷移近时， ， ，即静电能减少。 上面说的只是静电能的变化，静电能本身的数值是相对的。要谈一个带电体所包含的全部静电能有多少，必须说明相对于何种状态而言。我们设想，带电体系中的电荷可以无限分割为许多小部分，这些部分最初都分散在彼此相距很远（无限远）的位置上。通常规定，处于这种状态下的静电能为0。现有的带电体系的静电能 是相对于这种初始状态而言的。亦即， 等于把各部分从无限分散的状态聚集成现有带电体系时抵抗静电力所做的全部功 。 设带电体系由若干个带电体组成，带电体系的总静电能 由各带电体之间的相互作用能 和每个带电体的自能 组成。把每一个带电体看作一个不可分割的整体，将各带2.4.1 带电体系的静电能带电体系的静电能电体从无限远移到现在位置所作的功，等于它们之间的相互作用能；把每一个带电体上的各部分电荷从无限分散的状态聚集起来时所做的功，等于这个带电体的自能。 由点电荷组成的带电体系叫做点电荷组点电荷组。本小节只讨论点电荷组中各点电荷间的相互作用能，有关自能的问题将在以后讨论。 （1）两个点电荷的情形 设我们的带电体由两个点电荷 和 组成，它们之间的距离是 (如右图示)。在计算功 时，可以有各种不同的方式。例如可以首先把 放置到它应在的位置 上固定下来，然后再把 由无穷远处搬来，放在与 相距 远的地方 。也可以反过来，先固定 ，再搬运 。无论怎样，计算的结果应当相同。 现在我们采用上述第一种方式。在搬运 时体系中还没有其它电荷和电场，因而不需作功。搬运 时，它已经处在 的电场 中，因而需抵抗电场力 作功：其中 2.4.1 带电体系的静电能带电体系的静电能它是 在 点产生的电位（以无穷远为电位零点）。 同样可以证明，以第二种方式搬运，需要作的功为： 其中它是 在 点产生的电位。 可见，两种计算方式所得结果一致： 如上所述，这个 就等于 、 之间的相互作用能 ，把它写成对于 、 对称的形式，则有 （2.24）2.4.1 带电体系的静电能带电体系的静电能 （2）多个点电荷的情形 现把上述结果推广到多个点电荷的情形。设点电荷有 个。我们设想，把这 个点电荷 、 、 依次由无限远的地方搬运到它们应在的位置 、 、 上去。根据场强或电位叠加原理不难看出，搬运各电荷的功分别是：用通用式来表达，则有 其中 2.4.1 带电体系的静电能带电体系的静电能代表第 个电荷在第 个电荷所在位置 处产生的电位。因此建立这带电体系的总功为 (2.25) 可以证明，建立多个点电荷组成的体系时，总功 也是与搬运电荷的顺序无关的。为此只需证明 的表达式可以写成对电荷标号 、 完全对称的形式。由于而且其中距离 显然等于 ，故式(2.25)中的 可用代替,因而 可改写成 (2.26) 这公式显然已是对标号 、 对称的了。 的表达式还可进一步改写成另外的形式。用 代表式(2.26)中括弧内各项之和：2.4.1 带电体系的静电能带电体系的静电能它的物理意义是除 外其余各点电荷在 的位置 上产生的电位。因此 又可写成 (2.27)从这个式子可更加明显地看出， 是与电荷标号 、 的顺序无关的。 点电荷组的静电相互作用能 就等于上述功 ，按照(2.25) 、(2.26) 、(2.27)各式, 也可表示成几种不同的形式 (2.28) (2.29) (2.30)2.4.1 带电体系的静电能带电体系的静电能式(2.28)告诉我们：若从 个点电荷中不重复地选出各种可能的配对 来，则总静电相互作用能 是所有这些配对能量 之和。用式(2.29)来计算 ，相当于先选出某个特定的点电荷 ，求它与所有其余各点电荷之间相互作用能之和，尔后再对 求和。这样一来，每对电荷之间的能量被重复考虑了两次，故结果应除以2。在下面的两个例题里分别用这两种方法计算 。 【例题1】如右图示，在一边长为 的立方体每个顶点上放置一个点电荷- ，中心放一个点电荷+2 。求此带电体系的相互作用能。 【解】相邻顶点之间的距离是 ，故十二对相邻负电荷之间的相互作用能是 ；面对角线长度为 ，故六个面上十二对面对角顶点负电荷之间的相互作用能为 ；体对角线的长度为 ，故四对体对角顶点负电荷之间的相互作用能为 ；立方体中心到每个顶点的距离是 ，故中心正电荷与八个顶点负电荷之间的相互作用能是 。归纳起来，这个点电荷组的总相互作用能2.4.1 带电体系的静电能带电体系的静电能为 【例题2】氯化钠晶体中是一种离子晶体，它由正离子钠 和负离子 组成，它们分别带电 ( 为基本电荷)。离子实际上不是点电荷，而近似于一个带电球体，其中 的半径比 大(如右图示)。但是在计算离子间的相互作用能时，可把它们看成是电荷集中在球心的点电荷。在氯化钠晶体中正、负离子相间地排列整齐的立方点阵。设相邻正、负离子之间的距离为 ，晶体中每各离子的总数为 。求晶体的静电相互作用能。 【解】一个宏观晶体中包含的原子或离子数目非常巨大(至少达 数量级)。要想从中找出所有的配对来是不可能的。下面我们采用一种简化的计算方法，即先计算单个离子与所有远近离子之间的相互作用能，然后乘以离子总数并除以2。右上图的立方体中心是正离子，它与其它离子之间的相互作用能是2.4.1 带电体系的静电能带电体系的静电能第一项来自六个最近的负离子，它们到中心的距离都是 ；第二项来自十二个最近的正离子，它们到中心的距离都是 ；第三项来自大立方体八个顶点上的负离子，它们到中心的距离都是 。式中的“”代表图中未画出的那些更远离子的贡献。这几乎是一个无穷级数。不过越远的离子对 的贡献越小，且各项正、负相间，可以证明这级数是收敛的。数值计算的结果为 不难看出，单个负离子与所有其它离子的相互作用能 等于 ，所以晶体的总相互作用能是 表明，组成晶格点阵时，抵抗静电力作负功，或者说静电力作了正功。相反，若想把晶格点阵完全拆散，需要抵抗静电力作数量上与上式相等的正功。故 是晶体的静电结合能静电结合能。 上述计算方法的不严密之处是它不适合那些靠近晶体边界面的离子，因为在这些离子的一侧没有多的“邻居”。不过对于一个宏观晶体来说，这种离子的数目占整个离子总数 的很小一部分，这种误差是完全可以忽略不计的。 上述结果与晶体结合能的实际测量相比，约大10%。误差的来源主要是把离子看成了点电荷，和未计及量子交换效应。考虑了这些效应的修正之后，理论和实测值就符合得相当好了。2.4.1 带电体系的静电能带电体系的静电能 二二. 电荷连续分布情形的静电能电荷连续分布情形的静电能 把 写成式(2.30)的形式，便于我们推广到电荷连续分布情形。以体电荷分布为例，我们把连续的带电体分割成许多体积元 ，设电荷的体密度为 ，则每块体积元的电量为 ，按照式(2.30)，有取 的极限，上式过渡到体积分： （2.31)应注意，写出上述积分，就意味着带电体内的电荷已被无限分割，因而我们得到的已不是相互作用能 ，而是包括自能在内的总的静电能 了。同理，对于线电荷分布，有 (2.32)对于面电荷分布，有 (2.33)式中 和 分别是带电的线元和面元, 和 分别是电荷的线密度和面密度.上面三式的2.4.1 带电体系的静电带电体系的静电能能积分范围遍及所有存在电荷的地方。如果只有一个带电体，(2.31)、(2.32)、 (2.33)各式给出的就是它的自能。 【例题3】求均匀带电球壳的静电自能，设球的半径为 ，带电总量为 。 【解】由第一章4例题2的计算，球面上的电位为 ，它在球面上是个常数，故式(2.33)化为 (2.34)同学们可以根据第一章4习题18中的结果,计算一个半径为 、带电总量为 的均匀球体的静电自能。其结果为 (2.35) 在例题3中若令 ,则带电球缩成点电荷。从(2.34)、(2.35)可以看出,点电荷的自能为 。在电动力学课中将会看到，一个电子的质量(惯性) ，与它的静电自能有一定联系。如果把电子看成一个点电荷，它将具有无穷大的自能，这在理论上造成所谓“发散困难”。如果把电子看成有一定半径 的带电球，则它的自能与电荷分布情况有关。例如把电子设想成表面带电的，则自能等于 见式(2.34)；若把电子设想成体内均匀带电的,则自能等于 见式(3.35)；即不同模型得到不同的结果，但它们的数量级一样，都是 乘以一个数量级为1的因子。根据相对论的质能关系， ( 米/秒为真空中的光速),假设 全部来自静电自能 ,并取它的表达式为 ,则可导出电子的半径为 ：2.4.1 带电体系的静电能带电体系的静电能 (2.36)式(2.36)所规定的 称为电子的经典半径电子的经典半径。 现代的基本粒子理论大多建筑在点模型上。通常采用点模型会导致上述发散困难；但不采用点模型，从相对论和量子理论考虑，又会出现其它一系列问题。这是现代基本粒子理论中广泛存在的一个基本矛盾。所以从经典理论导出的式(2.36)决不是真的代表电子的线度。但是，从另一个角度看， 却是一个由电子的基本常数( 和 )组成的具有长度量纲的量,因而它在许多参与的过程(如散射)中起作用,在以后的课程中我们看到 经常在一些理论(包括近代量子理论)的公式中出现。 三三. .电荷在外电场中的能量电荷在外电场中的能量 在有的实际场合里，往往需要把带电体系中的某个电荷或电荷组(如偶极子)分离出来，把它们作为试探电荷看待。带电体系的其余部分产生的电场，对试探电荷来说是“外电场”。在4.2节例题3中就是这样处理的。在那里电子被看成试探电荷，电极K、A产生的电场对它来说是外电场。从阴极K到阳极A外电场所作的功 就是电子在外电场中的电位能差 。普遍地说，一个电荷 在外电场中P、Q两点间的电位能差为若取Q为无穷远点，并令 ，则电荷 在外电场中P点的电位能为 (2.37)2.4.1 带电体系的静电能带电体系的静电能 【例题4】求电偶极子 在均匀外电场 中的电位能（如右图示）。 【解】 按照式(2.37)电偶极子中正、负电荷的电位能分别是电偶极子在外电场中的电位能为式中 是 与 的夹角。写成矢量形式，则有 (2.38) 式(2.38)表明,当电偶极子的取向与外电场方向一致时， 电位能最低；取向相反时， 电位能最高。如果电偶极子可以绕中心 自由转动，则它总是趋向于取 的位置，即这是一个稳定平衡的位置。 2.4.1 带电体系的静电能带电体系的静电能 四四.带电体系受力问题带电体系受力问题 设处在一定位形的带电体系的电位能为 ，当它的位形发生微小变化(例如发生平移或转动)时，电位能将相应地改变 。若带电体的某一部分原来受力 或力矩 ，在位形变化时，电场力就作一定的功 。假设在此过程中没有能量的耗散和补充，根据能量守恒定律，应有 (2.39)即电场力的功等于电位能的减少。下面分别就平移和转动两种情形来讨论这个带电体系的受力问题： （1 1）平移）平移 设想带电体系有一微小位移 ,则 ,其中 是电场力在 方向上的投影。代入上式(2.39)中，则有 ，除以 ，取 的极限，得 (2.40) （2 2）转动）转动 设想带电体系绕某个方向作微小的角位移 ,则 ，其中 是力矩 在转轴方向的投影。代入式(2.39)中，则有 ，除以 ，取 的极限，得 (2.41) 利用(2.40)或许(2.41)，可以求出 或 来。用这种方法计算力或力矩，比直接计算简单得多。2.4.1 带电体系的静电能带电体系的静电能 【例题5】计算电偶极子在外电场中所受的力矩。 【解】因 ，由式(2.41)得：这结果除了负号外与第一章2例题4的表达式一致。那里给的是 的绝对值，这里给的是 的投影 负号表示它的作用使 趋于减小。 【例题6】计算电偶极子在非均匀外电场中所受的力。 【解】因 ，由式(2.40)得： ， 或 (2.42) 若电偶极矩 与场强 平行，则 ,上式表明，在此情况下，电偶极子受力的方向沿着的梯度 方向,亦即指向场强的绝对值 较大的区域。例如当我们在一个非均匀电场中放一些电介质的小颗粒或碎片时，它们就会因极化而成为沿场强方向的小电偶极子。这时电场力总是把它们拉向电场较弱的区域。经磨擦起电后的物体能够吸引轻微物体，就是这个道理。2.4.2 电容器的储能电容器的储能 2.4.2 电容器的储能电容器的储能( (电能电能) ) 如果把一个已充电的电容器两极板用导线短路而放电,可见到放电的火花.利用放电火花的热能甚至可以熔焊金属,即所谓“电容焊电容焊”。放电火花的热能是由充了电的电容器中储存的电能转化而来。那么电容器储存的电能又是从哪里来的呢？下面我们将看到，在电容器充电的过程中电源必须作功，才能克服静电场力把电荷从一个极板搬运到另一个极板上。这能量以电位能的形式储存在电容器中，放电时就把这部分电能释放出来。设每一极板上所带电荷量的绝对值为 ,两极板间的电压为 ,为了计算这电容器储存了多少电能，让我们来分析一下电容器的充电过程。充电过程可用右图所示的图象来表示，电子从电容器一个极板被拉到电源，并从电源被推到另一极板上去。这时被拉出了电子的极板带正电，推上电子的极板带负电。如此逐渐进行下去，并设充电完毕时电容器极板上带电荷量的绝对值达到 。完成这个过程要靠电源作功，从而消耗了电池储存的化学能，使之转化为电容器储存的电能。 设在充电过程中某一瞬间电容器极板上带电荷量的绝对值为 ，2.4.2 电容器的储能电容器的储能电压为 (注意与充电完毕时电荷和电压的最后值 和 相区别)。这里电压 是指正极板电位 减负极板电位 ，若在这一瞬间电源把 的电量从正极板搬运到负极板，从能量守恒有观点看来，这时电池做的功应等于电量 从正极板迁移到负极板后电位能的增加，即继续充电时电池要继续作功，此功不断地积累为电容器的电能。所以在整个的充电过程中储存于电容器的电能总量应由下列积分计算： ，其中积分下限0表示充电开始时电容器每一极板上电荷为零，上限 表示充电结束时电容器每一极板上电荷量的绝对值。 与 的关系是 ，代入上式，得这就是计算电容器储能的公式。利用 则可写成： （2.9） 式中 和 都是充电完毕时的最后值。2.4.2 电容器的储能电容器的储能 在实际中通常电容器充电后的电压值都是给定的，这时用式(2.9)中的第二种表达式，即 来讨论储能的问题较为方便。这公式表明，在一定的电压下电容电容 也是电容也是电容器储能本领大小的标志器储能本领大小的标志。对同一个电容来讲，电压越高储能越多。但不能超过电容器的耐压值，否则就会把里面的电介质击穿万里毁坏了电容器。 【例题3】某一电容为4微法，充电到600伏，求所储的电能。 【解】 一般电容器储能有限，但是若使电容器在极短时间内放电，则可得到较大的功率，这在激光和受控热核反应中都有重要的应用。 2.4.3 电场的能量的能量密度电场的能量的能量密度 2.4.3 电场的能量和能量密度电场的能量和能量密度 带电体的静电能公式和本章2节中给出的电容器的储能公式都是将电荷和电位联系在一起的。这容易给人一个错误的印象，似乎静电能集中在电荷上，对于电容器来说，似乎静电能集中在极板表面。但是静电能是与电场的存在相联系的，而电场弥散在一定的空间里。能否认为，静电能分布在电场中呢？这个问题需要用实验来回答。然而在稳恒状态下这样的实验是不可能的。因为在稳恒状态下，电荷和电场总是同时存在，相伴而生的，使我们无法分辨电能是与电荷相联系，还是与电场相联系。以后(第八章)我们会看到，随着时间迅速变化的电场和磁场将以一定的速度在空间传播，形成电磁波。在电磁波中电场可以脱离电荷而传播到很远的地方。电磁波携带能量，已是近代无线电技术中人所共知的事实了。例如，当你打开收音机的时候，由电磁波带来的能量就从天线输入，经过电子线路的作用，转化为喇叭发出的声能。大量事实证明，电能是定域在电场中的。这种看法也是与电的 “近距作用”观点一致的。 既然电能分布于电场中，最好能将电能的公式通过描述电场的特征量场强 表示出来。这一点我们将通过平行板电容器的特例来说明。2.4.3 电场的能量的能量密度电场的能量的能量密度 电容器的储能公式为 见式(2.9)。上式中 为极板上的自由电荷，它与电位移的关系是 ( 是极板面积)； 是电压，它与场强的关系是 ( 是极板间距)。代入上式，得式中 是极板间电场所占空间的体积。上面虽然只作了数学上的代换，但物理意义却变得更鲜明了。 正比于 表明，电能公布在电容器两极板间的电场中，在单位体积内有电场能量 ，这个量叫做电场能量密度电场能量密度。根据上式有： （2.43）在真空中, ,则 （2.44）两式表明,电场中的电场能量密度正比于场强的平方。无介质情形的式(2.44)纯粹是电场的能量,有介质情形的式(2.43)中还包括了介质的磁化能。 这里场能密度的表达式(2.43)和(2.44)虽然是通过平行板电容器中均匀电场的特例2.4.3 电场的能量的能量密度电场的能量的能量密度推导出来的，但它们却是普遍成立的(普遍的推导需用到矢量分析的工具,此处从略)。当电场不均匀时，总电场能量 应是电场能量密度 的体积分： (2.45)在真空中化为 (2.46)式(2.45)和(2.46)中的积分遍及存在电场的空间,适用于任何静电场能的计算。 【例题1】计算均匀带电导体球的静电能，设球的半径为 ,带电总量为 ,球外是真空。 【解】在导体球上电荷均匀分布在表面，球内无电荷，球外场强分布为半径是从 到 之间球壳的体积为 ，故 【例题2】计算均匀带电球体的静电能，设球的半径为 ,带电总量为 ,球外是真空。 【解】均匀带电球体产生的电场分布已于第一章3的例题2中用高斯定理求出，其结果为： 2.4.3 电场的能量的能量密度电场的能量的能量密度 ， ，故静电能为 以上两题的结果分别与本章2.4.2中的(2.34)和(2.35)相符.由此可见,带电体系的静电位能和电场能量是一回事,我们可以用两种方法之中的任何一种计算它。作业 p213 1、 4、 5、 7、 8