2.3.1a抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程.gspM MF Fl（椭圆、双曲线的第二定义）MM与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数的与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数的点点M的轨迹的轨迹当当 时，时，点点M的轨迹是的轨迹是椭圆椭圆； 当当_时，时，点点M的轨迹是的轨迹是双曲线双曲线0e1 当当_时，时，点点M的轨迹是的轨迹是抛物线抛物线e=1 H HM MF Fll解：以过解：以过F且垂直于且垂直于 l 的直线为的直线为x轴轴, ,垂足为垂足为K. .以以F, ,K的中点的中点O O为坐标为坐标原点建立直角坐标系原点建立直角坐标系xoy.两边平方两边平方, ,整理得整理得xKyoM(x,y)F依题意得依题意得这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程. .标准方程标准方程 把方程把方程 y2 = 2 2px (p0)叫做抛物线的叫做抛物线的标准方标准方程程.其中其中 p 为正常数为正常数,表示焦点在表示焦点在 x 轴正半轴上轴正半轴上.且且 p的几何意义是的几何意义是: :焦点坐标是焦点坐标是准线方程为准线方程为: :焦点到准线的距离焦点到准线的距离若抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，若抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，其开口方向有哪几种可能？其开口方向有哪几种可能？x xlF FO Oy y向左、向上、向下向左、向上、向下. .FlFl 把方程把方程 y2 = 2 2px (p0)叫做抛物线的叫做抛物线的标准方标准方程程.其中其中 p 为正常数为正常数,表示焦点在表示焦点在 x 轴正半轴上轴正半轴上.且且 p的几何意义是的几何意义是: :焦点坐标是焦点坐标是准线方程为准线方程为: :想一想想一想: : 坐标系的建立还坐标系的建立还有没有其它方案有没有其它方案也也会使抛物线方程的形式简单会使抛物线方程的形式简单 ？yxo方案方案(1)(1)yxo方案方案(2)(2)yxo方案方案(3)(3)yxo方案方案(4)(4)焦点到准线的距离焦点到准线的距离y y2 2=-2px=-2px(p0)(p0)x x2 2=2py=2py(p0)(p0)准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程图图 形形x xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yly y2 2=2px=2px(p0)(p0)x x2 2=-2py=-2py(p0)(p0)P的意义的意义:抛物抛物线的焦点到准线的焦点到准线的距离线的距离方程的特点方程的特点:(1)左边左边是二次是二次式式,(2)右边右边是一次是一次式式;决定了决定了焦点焦点的位置的位置.(3)焦点坐焦点坐标中中横（横（纵）坐）坐标的的值是一次是一次项系数的系数的1/4，准，准线方程中的数方程中的数值是一次是一次项系系数的数的 -1/4.四种抛物线的对比四种抛物线的对比数形共同点数形共同点:(1)原点在抛物线上原点在抛物线上; (2)对称轴为坐标轴对称轴为坐标轴;(3)焦点到准线的距离均为焦点到准线的距离均为P；(4) 焦点与准线和坐标轴的交点关于原点对称。焦点与准线和坐标轴的交点关于原点对称。 口诀口诀: 对称轴要看一次项对称轴要看一次项,符号确定开口方向符号确定开口方向; （看（看x的一次项系数的一次项系数,正时向右正时向右,负向左负向左; 看看y的一次项系数的一次项系数,正时向上正时向上,负向下负向下.）想一想 求抛物线的标准方程、焦点坐标、求抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程时，关键是求什么？准线方程时，关键是求什么？求求P！ 例例1 1 已知抛物线的标准方程是已知抛物线的标准方程是y y2 26x6x， 求它的焦点坐标和准线方程求它的焦点坐标和准线方程. . 焦点为焦点为准线方程为准线方程为 例例2 2 已知抛物线的焦点坐标是已知抛物线的焦点坐标是 F F(0(0，2)2)，求它的标准方程，求它的标准方程解：因为焦点在 y 轴的负半轴上，并且 = 2，p = 4 ，所以所求抛物线的标准方所以所求抛物线的标准方程是程是 x2 =8y .xyolF（0,2）例例3已知抛物线的准线方程为已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物线，求抛物线的标准方程的标准方程解：因为准线方程是 x = 1，所以 p=2 ，且焦点在 x 轴的负半轴上，所以所求抛物线的标准方程是 y2 =4x .xyolX = 1F 例例4 4 求满足下列条件的抛物线的标准求满足下列条件的抛物线的标准 方程：方程：（1 1）过点）过点(-3,2)(-3,2)；（2 2）焦点在直线）焦点在直线x x2y2y4 40 0上上. .（1 1）（2 2）O OM Mx xy yO OF Fx xy yF F例例5点点M到点到点F(4，0)的距离比它到直线的距离比它到直线l: x+5=0 的距离小的距离小 1，求点求点M的轨迹方程。的轨迹方程。|MF|+1=|x+5|ly.oxMF解（直接法）：解（直接法）：设设 M(x，y)，则则由已知，得由已知，得另解另解(定义法定义法)：由由已知，得点已知，得点M到点到点F(4，0)的距离等于它到直线的距离等于它到直线 l: x+4=0 的距离的距离.由由抛物线定义知：抛物线定义知：点点M的轨迹是以的轨迹是以F(4，0)为为焦点的抛物线焦点的抛物线.