第章几何光学几何光学是光学的一个重要分支，它以光的直线传播等实验规律为基础，用几何方法研究光在透明介质中的传播及光学仪器的成象等问题。本章主要内容有：几何光学的基本规律、费马原理、与成象有关的基本概念、近轴成象理论。第章几何光学几何光学是光学的一个重要分支，它以1 几何光学的基本定律几何光学的基本定律光线光线光能传播方向的光能传播方向的几何线几何线光束光束有一定有一定几何关系几何关系的一些的一些光线的集合光线的集合一一. 几个定义几个定义1. 光源光源光源光源任何发光物体：太阳、烛焰、钨丝白炽灯、日任何发光物体：太阳、烛焰、钨丝白炽灯、日 光灯、高压水银荧光灯等光灯、高压水银荧光灯等点光源点光源可看成几何上的点，只有空间位置无体积的光源可看成几何上的点，只有空间位置无体积的光源2. 光线和光束光线和光束1几何光学的基本定律光线光能传播方向的几何线一.光束：（1）平行光束：所有的光线均为平行直线，通常对应无限远的光。（2）同心光束：发自或汇聚一点。（3）象散光束：既不是平行光束，也不是同心光束平行光束同心光束光束：（1）平行光束：所有的光线均为平行直线，通常对应无限象散光束二、几个规律1. 光的直线传播定律光的直线传播定律：光在均匀介质中沿直：光在均匀介质中沿直线传播线传播象散光束二、几个规律(1) 光的光的反射反射定律：反射线位于入射面内，反射线和定律：反射线位于入射面内，反射线和入射线分居法线两侧，反射角等于入射角，即入射线分居法线两侧，反射角等于入射角，即2. 光的折射反射定律：光的折射反射定律：i1i2分界面法线(1)光的反射定律：反射线位于入射面内，反射线和入射线分居(2) 光的光的折射折射定律：折射线位于入射面内定律：折射线位于入射面内, ,折射线与入折射线与入射线分居法线两侧，入射角的正弦与折射角的正弦之射线分居法线两侧，入射角的正弦与折射角的正弦之比为一与入射角无关的常数，即比为一与入射角无关的常数，即* *漫射漫射：当界面粗糙时：当界面粗糙时, ,各入射点处法线不平行各入射点处法线不平行, ,即使入即使入射光是平行的射光是平行的, ,反射光和折射光也向各方向分散开反射光和折射光也向各方向分散开漫漫反射或漫折射。反射或漫折射。介绍介绍(2)光的折射定律：折射线位于入射面内,折射线与入射线分居3.3.光的独立传播定律和光路可逆性原理光的独立传播定律和光路可逆性原理 光在传播过程中与其他光束相遇时，各光束都光在传播过程中与其他光束相遇时，各光束都各自独立各自独立传播，不改变其传播方向。传播，不改变其传播方向。光沿反方向传播时，必定沿原光路返回。即光沿反方向传播时，必定沿原光路返回。即在在几何光学中，任何光路都是几何光学中，任何光路都是可逆可逆的。的。4、全反射、全反射 只有反射光，没有透射光的现象。只有反射光，没有透射光的现象。3.光的独立传播定律和光路可逆性原理光在传播过程i1i2ic临界角：临界角：i1i2ic临界角：三、几何光学定律成立的条件三、几何光学定律成立的条件（1 1）必须是均匀介质，即同一介质的折射率处处相）必须是均匀介质，即同一介质的折射率处处相等，折射率不是位置的函数。等，折射率不是位置的函数。（2 2）必须是各向同性介质，即光在介质中传播时各）必须是各向同性介质，即光在介质中传播时各个方向的折射率相等，折射率不是方向的函数个方向的折射率相等，折射率不是方向的函数。 （3）光强不能太强，否则巨大的光能量会使线性光强不能太强，否则巨大的光能量会使线性叠加原理不再成立而出现非线性情况叠加原理不再成立而出现非线性情况。 （4）光学元件的线度应比光的波长大得多，否光学元件的线度应比光的波长大得多，否则不能把光束简化为光线。则不能把光束简化为光线。三、几何光学定律成立的条件（1）必须是均匀介质，即同一介质的2 费马原理费马原理科学真正的价值在于我们能够找到一种思想方法，科学真正的价值在于我们能够找到一种思想方法，从而解开自然界依存与运动的规律从而解开自然界依存与运动的规律一一. .费马原理的第一种表述：费马原理的第一种表述：16501650年，第一个能够称之为科学的思想方法诞生了。年，第一个能够称之为科学的思想方法诞生了。这就是费马原理这就是费马原理时间最小原理：光从一个点进到另一个点的所有时间最小原理：光从一个点进到另一个点的所有可能路径中，光只选择其中所需时间最短的路径可能路径中，光只选择其中所需时间最短的路径2费马原理科学真正的价值在于我们能够找到一种思想方反射定律的原因反射定律的原因空气水DABEEBC反射定律的原因空气水DABEEBC折射定律的原因折射定律的原因折射定律的原因二、费马定理的应用1 1、倒易原理、倒易原理若从若从A A到到B B找到一条耗时最短的路径，则由找到一条耗时最短的路径，则由B B返返回回A A同样沿这条路径耗时最短。同样沿这条路径耗时最短。2 2、光在平行平面玻璃中的路径、光在平行平面玻璃中的路径A二、费马定理的应用1、倒易原理A3、日出、日落地球的大地高处稀薄，底部稠密，光在真空中传地球的大地高处稀薄，底部稠密，光在真空中传播要比空气中快，因而太阳光不沿地平线地平线播要比空气中快，因而太阳光不沿地平线地平线进行。进行。真实太阳真实太阳太阳的像太阳的像3、日出、日落地球的大地高处稀薄，底部稠密，光在真空中传播要4 4、光学仪器的聚焦、光学仪器的聚焦唯一使其它邻近光线也能汇聚到唯一使其它邻近光线也能汇聚到AA点，只点，只有一个方法，是使这些路径所耗的时间恰有一个方法，是使这些路径所耗的时间恰好相等好相等ABBA4、光学仪器的聚焦唯一使其它邻近光线也能汇聚到A点，只有一会聚透镜会聚透镜为了汇聚电光源发出的光，而设计得光学为了汇聚电光源发出的光，而设计得光学器件。使所有沿不同路径传播的光线到达器件。使所有沿不同路径传播的光线到达AA的时间相等的时间相等会聚透镜为了汇聚电光源发出的光，而设计得光学器件。使所有沿不椭球曲面反光镜椭球曲面反光镜r1+r2=常数r1r2椭球曲面反光镜r1+r2= 常数r1r2平行光聚焦平行光聚焦XX+XP=常数常数AA=APABXDABXDABDXP平行光聚焦XX+XP= 常数ABXDABXDA结论结论综上所述，为了聚焦，所有光线传播的时综上所述，为了聚焦，所有光线传播的时间必须精确相等，同时也必须小于邻近任间必须精确相等，同时也必须小于邻近任何一条路径所花的时间何一条路径所花的时间结论综上所述，为了聚焦，所有光线传播的时间必须精确相等，同时费马原理的精确表述费马原理的精确表述光是沿着光程取极值的路径传播的光程：L=nsn1n2ninNS1S2SiSN费马原理的精确表述光是沿着光程取极值的路径传播的n1n2ni费马原理的数学表达式费马原理的数学表达式光程在取极值的路径上传播。极大值；极小值；常数。费马原理的数学表达式光程在取极值的路径上传播。费马原理光程取常数的实例光程取极小值的实例r1r2i1i2分界面法线费马原理光程取常数的实例光程取极小值的实例r1r2i1i2分光程取极大值的实例r2光程取极大值的实例r2光程光程表示光在介质中通过真实路程所需时间内表示光在介质中通过真实路程所需时间内, ,在真在真空中所能传播的路程。空中所能传播的路程。直接用直接用真空真空中的光速来计算光在不同介质中通过一定中的光速来计算光在不同介质中通过一定几何路程所需要的时间。几何路程所需要的时间。分区均匀介质分区均匀介质: :连续介质连续介质: :光程光程表示光在介质中通过真实路程所需时间内表示光在介质中通过真实路程所需时间内, ,在真在真空中所能传播的路程。空中所能传播的路程。光程表示光在介质中通过真实路程所需时间内,在真空中所能传播的二、费马原理二、费马原理1.表述表述：光在空间两定点间传播时，实际光程为一特定的极值。2.表达式表达式：nBAds3.说明说明：意义意义：费马原理是几何光学的基本原理，用以描述光在空间两定点间的传播规律。极值的含义极值的含义：极小值，极大值，恒定值。一般情况下，实际光程大多取极小值。二、费马原理1.表述：光在空间两定点间传播时，实际光程为一特三三. 由费马原理导出几何光学定律由费马原理导出几何光学定律在均匀介质中折射率为常数1. .直线传播定律：直线传播定律：.所以光在均匀介质中沿直线传播而由公理：两点间直线距离最短的极小值为直线ABAB三.由费马原理导出几何光学定律在均匀介质中折射率为常数1.2.光的反射定律光的反射定律P是P点关于面的对称点。P，Q，O三点确定平面。直线QP与反射面交于O点。则易知当i=i时，QO +OP为光程最短的路径。Q点发出的光经反射面到达P点2.光的反射定律P是P点关于面的对称点。3.光的光的折射定律折射定律：i2n2BCACCBAn1OOPMi1XYZ点发出的光线入射到两种介质的平面分界面上，折射后到达点。 折射线在入射线和法线决定的平面内折射线在入射线和法线决定的平面内 如图：只需证明折射点C点在交线OO上即可.反证法：反证法：设有另一点C位于OO线外，则在OO上必可找到其垂足C，3.光的折射定律：i2n2BCACCBAn1OO即光程ACBACB这与费马原理矛盾!所以折射点在交线上，折射线在入射线和法线所决所以折射点在交线上，折射线在入射线和法线所决定的平面内定的平面内折射线、入射线分居法线两侧折射线、入射线分居法线两侧A、B、C点坐标如图，沿此方向入射必有ACB光程为：i2n2BACBAn1OOPMi1XYZ即光程ACBACB这与费马原理矛盾!所以i2n2BACBAn1OOPMi1XYZ光程取极值，光程对x求一阶导数,令其为0由三角形几何关系可得i2n2BACBAn1OOPMi1XYZ光程取极值，光回转抛物面焦点发出的光，反射后变为平行光，汇聚在无穷远处，光程为极大值。AB回转抛物面焦点发出的光，反射后变为平行光，汇回转椭球面内两焦点间光的路径，光程为恒定值。AB回转椭球面内两焦点间光的路径，光程为恒定值。AB在回转椭球面上一点作相切的平面和球面，则经平面反射的光线中，实际光线光程最小，经球面反射的光线中，实际光线光程最大。AB在回转椭球面上一点作相切的平面和球面，则经平面反4物像之间的等光程性可以证明：在物点Q与像点Q之间，不管光线经何路径，凡是由Q通过同样的光学系统到达Q的光线，都是等光程的。QQ4物像之间的等光程性QQ3.单心光束单心光束 实像和虚像实像和虚像一一.单心光束、实像、虚像单心光束、实像、虚像1.发光点发光点：只有几何位置而没有大小的发射光束的 光源。若光线实际发自于某点，则称该点为实发光点；若某点为诸光线反向延长线的交点，则该点称为虚发光点。2.单心光束单心光束：只有一个交点的光束，称单心光束。此交点也称为光束的顶点。3.单心光束实像和虚像一.单心光束、实像、虚像1.发光发散单心光束会聚单心光束3.实像、虚像实像、虚像 当顶点为光束的发出点时，该顶点称为光源、物点。 当单心光束经光学系统折射或反射后，仍能找到一个顶点，称光束保持了其单心性。该顶点称为象点。发散单心光束会聚单心光束3.实像、虚像当顶点为光束实象：有实际光线会聚的象点。虚象：无实际光线会聚的象点。 （光束反向延长线的交点）。PPPP实像虚像光学系统光学系统实象：有实际光线会聚的象点。PPPP实像虚像光学系统光学光学系统光学系统实物成虚实象实物成虚实象光学系统光学系统物空间物空间像空间像空间实物成实象实物成实象光学系统光学系统虚物成实象虚物成实象二、物空间与像空间二、物空间与像空间光学系统实物成虚实象光学系统物空间像空间实物成实象光学系统虚4 光在平面介面上的反射和折射光在平面介面上的反射和折射 一般情况下，光在介面上反射和折射后，其单心性不再保持。但只要满足适当的条件，可以近似地得到保持。接下来的两节，主要研究在不同介面反射、折射时，光束单心性的保持情况。一、光在平面上的反射一、光在平面上的反射DMMPPCBA点光源P发出单心光束，经平面镜反射后，形成一束发散光束，其反向延长线交于一点P，且与P点对称。 平面镜是一个不破坏光束平面镜是一个不破坏光束单心性、理想成像的完善的光单心性、理想成像的完善的光学系统。并且也是唯一的一个。学系统。并且也是唯一的一个。4光在平面介面上的反射和折射一般情况下，光二、光在平面介面上的折射二、光在平面介面上的折射光束单心性的破坏光束单心性的破坏介质n1中的发光点P发出单心光束经介面XOZ折射后进入介质n2，现取其中一微元光束，在XOY平面内,其折射光束的反向延长线交于P点，并与OY轴交于P1、P2两点。折射后，光束的单心折射后，光束的单心性已被破坏性已被破坏!xB1B2n2n1OyP2P1PPi1i2i1+i1i2i2A1A2z二、光在平面介面上的折射光束单心性的破坏介质三三. .全反射全反射 光学纤维光学纤维全反射全反射：全反射的条件： 只有反射而无折射的现象称为全反射全反射。 应用：光学纤维xA3n2n1OyPi1i2icA1A2三.全反射光学纤维全反射：全反射的条件：只有四四.棱镜棱镜EDCB1.偏向角、最小偏向角： 棱镜是一种由多个平面界面组合而成的光学元件。光通过棱镜时，产生两个或两个以上界面的连续折射，传播方向发生偏折。最常用的棱镜是三棱镜。三棱镜两折射面的夹角称三棱镜顶角A。An2n1出射光与入射光之间的夹角称棱镜的偏向角。四.棱镜EDCB1.偏向角、最小偏向角：棱镜是EDCBAn2n1此时，入射角最小偏向角：可以证明：当光路对称+2sin2sinsinsin0212AAiin=:, 1n1=则由折射定律有即若此时三棱镜处于空气中达最小值即：EDCBAn2n1此时，入射角最小偏向角：可以证明：当光路对 分光：当用白光入射时，由于折射率的不同，出射光将展开成彩带即光谱。 改变光路：如右图示4504502.应用应用分光：当用白光入射时，由于折射率的不同，出射光将展开成彩5 光在单球面上的近轴成象光在单球面上的近轴成象一一.基本概念和符号规则基本概念和符号规则 光轴：光轴：若光学系统由球面组成，各球心的连线在若光学系统由球面组成，各球心的连线在一条直线上，则称为共轴球面系统，这条直线为该光一条直线上，则称为共轴球面系统，这条直线为该光学系统的光轴。学系统的光轴。nnrdhQODCQP-PM光轴顶点5光在单球面上的近轴成象一.基本概念和符号规则 （1 1）线段：光轴方向上，以顶点为起点，沿光线）线段：光轴方向上，以顶点为起点，沿光线进行方向为正，反之为负；垂直方向上，主光轴上方进行方向为正，反之为负；垂直方向上，主光轴上方为正，反之为负。为正，反之为负。 （2 2）球面的曲率半径：球心在球面顶点的右方为）球面的曲率半径：球心在球面顶点的右方为正，反之为负。正，反之为负。( (自左向右为正方向自左向右为正方向）符号规则：符号规则：nnrdhQODCQP-PM（1）线段：光轴方向上，以顶点为起点，沿光线进行方向为（3）物距：物距：自参考点（球面顶点、薄透镜的光心）到自参考点（球面顶点、薄透镜的光心）到物点，沿光线方向为正，反之为负。物点，沿光线方向为正，反之为负。（4）象距：象距：自参考点（球面顶点、薄透镜的光心）自参考点（球面顶点、薄透镜的光心）到象点，沿光线方向为正，反之为负。到象点，沿光线方向为正，反之为负。 （5）物高和象高：物高和象高：物高和象高垂直于光轴，向上为物高和象高垂直于光轴，向上为正，反之为负。正，反之为负。（6）角度：角度：以光轴或界面法线为始边，旋转到该光以光轴或界面法线为始边，旋转到该光线，旋转方向为顺时针，角度为正，反之为负。线，旋转方向为顺时针，角度为正，反之为负。此外，还规定在图上此外，还规定在图上只标记角度和线段的绝对值只标记角度和线段的绝对值，若某一字母表示负的数值，则在其前面标以负号。若某一字母表示负的数值，则在其前面标以负号。（3）物距：自参考点（球面顶点、薄透镜的光心）到物点，沿光线单球面折射光线追迹公式单球面折射光线追迹公式所谓追迹就是研究如何画出正确的光路所谓追迹就是研究如何画出正确的光路nnrdyQODCQPPM-i-i-ss-uur单球面折射光线追迹公式所谓追迹就是研究如何画出正确的光路nn根据几何关系，利用余弦定理得根据几何关系，利用余弦定理得对QMC有： (-p)2=r+(-s)2+r2-2r(r-s)cos对MCQ有： p2=s-r2+r2+2r(s-r)cos光程：L=np+np=根据几何关系，利用余弦定理得对QMC根据费马定理：dL/df=0得根据费马定理：dL/df=0yQ二、球面反射对单心性的破坏二、球面反射对单心性的破坏PACOP-s-r-s-ui-i-u从主轴上P点发出单心光束，其中一条光线在球面上A点反射，反射光与主轴交于P点。即P为P的像。()()()()()()()()jjcos2cos22222rsrrsrlsrrsrrl-+-=-+-+-=在PAC和PAC中由余弦定理有：yQ二、球面反射对单心性的破坏PACOP-sPACOP-s-r-s-ui-i-u对给定的物点，不同的入射点，对应着不同的入射线和反射线，对应着不同的。()()()()()()()()jjcos2cos22222rsrrsrnsrrsrrnnlnlPAP-+-+-+-+-=+=D光程：PACOP-s-r-s-ui对一定的球面和发光点P（S一定），不同的入射点对应有不同的S。即：同一个物点所发出的不同光线同一个物点所发出的不同光线经球面反射后不再交于一点。经球面反射后不再交于一点。由由P点所发出的单心光束经球面反射后，单心性被破坏。点所发出的单心光束经球面反射后，单心性被破坏。对一定的球面和发光点P（S一定），不同的入射点对应有不同的S三、近轴光线下球面反射的物像公式三、近轴光线下球面反射的物像公式1.近轴光线条件近轴光线条件即：对一定的反射球面，和一一对应，而与入射点无关。三、近轴光线下球面反射的物像公式1.近轴光线条件即：对一定的由P点所发出的单心光束，经球面反射后将交于一点P，光束的单心性得以保持。一个物点将有一个确定像点与之对应。光学上称： 很小的区域为近轴（或傍轴）近轴（或傍轴）区域，此区域内的光线为近轴光线。近轴光线。近轴条件下球面反射不破坏光束的单心性。2.物像公式物像公式有当ACOP-s-r-sF焦点：焦点：沿主轴方向的平行光束经球面反射后将会聚于主轴上一点，该点称为反射球面的焦点(F)。2r由P点所发出的单心光束，经球面反射后将交于一点P，ACOP-s-r-sF焦距：焦距：焦点到球面顶点的距离（ ）。说明：1、它是球面反射成像的基本公式，只在近轴条件下成立；2、式中各量必须严格遵从符号法则；3、对凸球面反射同样适用；4、当光线从右至左时同样适用。球面反射的物象公式ACOP-s-r-sF焦距：焦点到球四四.球面折射对光束单心性的破坏球面折射对光束单心性的破坏Pn-u-i1A-i2nuCPOr-ss设nn从主轴上P点发出单心光束，其中一条光线在球面上A点折射，折射光与主轴交于P点。即P为P的像。四.球面折射对光束单心性的破坏Pn-u-i1A-i光程：对给定的物点，不同的入射点，对应着不同的入射线和折射线，对应着不同的 。光程：对给定的物点，不同的入射点，对应着不同的入射线和折射线Pn-u-i1A-i2nuCPOr-ssPn-u-i1A-i2nuCPO对一定的球面和发光点P（S一定），不同的入射点对应有不同的S。即：同一个物点所发出的不同光同一个物点所发出的不同光线经球面折射后不再交于一点。线经球面折射后不再交于一点。 由由P点所发出的单心光束经球面折射后，点所发出的单心光束经球面折射后，单心单心性被破坏性被破坏五五. .近轴光线下球面折射的物像公式近轴光线下球面折射的物像公式1.1.近轴光线条件及物像公式近轴光线条件及物像公式当很小时对一定的球面和发光点P（S一定），不同的入射点对2.讨论：讨论：当介质和球面一定时（n,n,r一定），S与S一一对应，即：在近轴光线条件下光束单心性得到保持。2.讨论：当介质和球面一定时（n,n,r一定），S与当介质和球面一定（即n,n,r一定）时，光焦度光焦度：表征球面光学性质单位为屈光度屈光度(D)计算时r取米为单位焦点、焦距A、像方焦点F、像方焦距FfnnO-ss当当介质和球面一定（即n,n,r一定）时，光焦度：表征B、物方焦点F、物方焦距nnO-ssF-fC、 当时 “”号表示物、像方焦点一定位于球面两侧。永远异号，即B、物方焦点F、物方焦距nnO-ssF-f例例1 1 一个折射率为1.6的玻璃哑铃，长20cm，两端的曲率半径为 2cm。若在离哑铃左端5cm处的轴上有一物点,试求像的位置和性质。O2s1nn-s1nO1-s2-s2P1P2P解：解：两次折射成像问题1、P为物对球面O1折射成像P1例1一个折射率为1.6的玻璃哑铃，长20cm，两端的曲率半径2、P1为物对球面O2折射成像2、P1为物对球面O2折射成像6 薄透镜薄透镜一一.透镜透镜1、定义：用玻璃或其它透明介质研磨抛光为两个球面或一个球面一个平面所形成的薄片。通常做成圆形。2、分类：凸透镜：中间部分比边缘厚的透镜。弯凸平凸双凸6薄透镜一.透镜1、定义：用玻璃或其它透明介质研磨抛光 凹透镜：中间部分比边缘薄的透镜。双凹平凹弯凹二、近轴条件下薄透镜的物像公式二、近轴条件下薄透镜的物像公式1、物像公式、物像公式 在近轴光线条件下，对透镜两面的折射过程分别应用球面折射成象公式（逐个球面成像法）：凹透镜：中间部分比边缘薄的透镜。双凹平凹弯凹二、近轴 第一个球面： 第二个球面面：第一个球面：第二个球面面：对薄透镜略去 后，两式相加得：薄透镜物像公式薄透镜物像公式2、高斯公式、高斯公式对薄透镜略去后，两式相加得：薄透镜物像公式2、高斯公式物象公式变为：当透镜两边介质相同时：公式变为：物象公式变为：当透镜两边介质相同时：公式变为：薄透镜简化模型凸透镜凹透镜薄透镜简化模型凸透镜凹透镜