第十一章 数理统计初步第一节 基本概念第二节 参数的点估计第三节 参数的区间估计第四节 参数的假设检验第五节 一元线性回归这就是一个典型的统计思维过程。数据归纳结果数理统计就是一个归纳推断的过程。问题从宿舍到教室需要花费多少时间？从宿舍到教室需要花费多少时间？相信大家在心里都有一个大概的“数数”了你是怎么得到这个“数”的？ 数理统计是以概率论为基础，关于数理统计是以概率论为基础，关于实验数据实验数据的的收集收集、整整理理、分析分析、推断推断的一门科学与艺术。的一门科学与艺术。 科学试验，或对某事物、现象进行观察获得的数据称科学试验，或对某事物、现象进行观察获得的数据称为为实验数据实验数据。可以通过某种概率分布老描述可以通过某种概率分布老描述问题什么是实验数据？特点数据受随机因素的影响。数据数据 收集、整理、分析、推断收集、整理、分析、推断数理统计就是围绕着四个过程来进行研究的.问题实验数据的处理过程？第一节 基本概念1.总体、样本、统计量2.几种常用统计量的分布总体、样本1引例引例1 某工厂为检测出厂的某工厂为检测出厂的100 000只灯泡的寿命，随机抽取了只灯泡的寿命，随机抽取了1 000只灯泡进行检测只灯泡进行检测引例引例2 为了解某城市职工的年收为了解某城市职工的年收入情况，随机抽取一少部分职入情况，随机抽取一少部分职工进行调查统计工进行调查统计引例引例3 某电器公司开发一种使用新型灯丝的灯泡，为了了解新型某电器公司开发一种使用新型灯丝的灯泡，为了了解新型灯丝灯泡的使用寿命，可抽取灯丝灯泡的使用寿命，可抽取200只新型灯丝灯泡，测试其使只新型灯丝灯泡，测试其使用寿命用寿命. 上面这些例子都有一个共同的特点，就是为了上面这些例子都有一个共同的特点，就是为了研究某个对象的兴致，只研究对象包含的一部分元素，研究某个对象的兴致，只研究对象包含的一部分元素，而不是研究对象包含的所有元素，通过这部分元素的而不是研究对象包含的所有元素，通过这部分元素的研究，推断对象全体的性质，这就引出了总体、个体、研究，推断对象全体的性质，这就引出了总体、个体、和样本的概念和样本的概念. 将试验的全部可能的观察值称为总总体体(也称为母母体体)，每一个可能的观察值称为个个体体总体中所包含的个体的个数称为总体的容容量量容量为有限的总体称为有有限限总总体体，容量为无限的总体称为无无限总体限总体 在数理统计中，人们一般通过从总体中抽取一部分个体，根据获得的数据来对总体分布进行推断，从总体中抽出的这一部分个体组成的集合称为样本样本(也称子样)，样本中样品的个数称为样本容量样本容量(也称样本量)2样本从总体中抽取样本时，通常满足两个要求：从总体中抽取样本时，通常满足两个要求： 要求每个个体都有相同机会被选入样本，这便意味着每一样本与总体有相同的分布 要求样本中每个样品取什么值不受其它样品取值的影响，这意味着 相互独立2.独立性1.代表性 满足上述两条的样本称为简单随机样本简单随机样本，获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽简单随机抽样样在今后，如果不作特殊声明，所说的样本将理解为简单随机样本简单随机样本统计量3定义1 在对样本进行观察时，每个个体的取值结果都在对样本进行观察时，每个个体的取值结果都是一个随机变量如果样本包含是一个随机变量如果样本包含n个个体，则这个个体，则这n个个个体的指标可视为个体的指标可视为n个变量，常用个变量，常用 来表示样本观察的结果就是这些随机变量的取值，来表示样本观察的结果就是这些随机变量的取值，称为样本值，常用称为样本值，常用 来表示来表示 设设 是总体是总体 的样本，的样本， 是样本的函数，如果其中不包括总体的任何未知的是样本的函数，如果其中不包括总体的任何未知的参数，那么称参数，那么称 为一个统计量。为一个统计量。 在引例在引例1中，我们希望知道全体灯泡的平均寿命中，我们希望知道全体灯泡的平均寿命，一个简单的方法就是用样本，一个简单的方法就是用样本 的平均寿命的平均寿命 去估计总体的平均寿去估计总体的平均寿命在此过程中，称命在此过程中，称 为统计量为统计量设总体，其中已知，未知，是的一个样本，则：是统计量是统计量不是统计量不是统计量设总体，其中未知，已知，是的一个样本，则：不是统计量不是统计量是统计量是统计量几个常用的统计量几个常用的统计量设是来自总体的一个样本，是这个样本的一组观测值样本均值：几个常用的统计量几个常用的统计量设是来自总体的一个样本，是这个样本的一组观测值样本方差：几个常用的统计量几个常用的统计量设是来自总体的一个样本，是这个样本的一组观测值样本标准差：1 设总体服从正态分布，即设总体服从正态分布，即 ， 是是X的一个样本，则称的一个样本，则称为为U U 统计量统计量其中，其中， 为总体均值，为总体均值， 为总体方差为总体方差 设设 ，对给定的，对给定的 ，称满足条件，称满足条件（7）（8）或或的点的点U为标准正态分布的为标准正态分布的上上分位点分位点或或上侧临界值上侧临界值，简称，简称上上点点 在统计学中，常用到标准正态分布的上在统计学中，常用到标准正态分布的上分位点这个概念，分位点这个概念，介绍如下：介绍如下：的点的点 为标准正态分布的为标准正态分布的双侧双侧 分位点分位点或或双侧临界值双侧临界值，简，简称称双双点点，其几何意义如图，其几何意义如图2所示所示图图1图图2 在统计中，在统计中，U可直接根据式（可直接根据式（8）查书后附录一（正）查书后附录一（正态分布表）求得；态分布表）求得； 可由可由 查表求得查表求得 已知某单位职工的月奖金服从正态分布，已知某单位职工的月奖金服从正态分布，总体均值为总体均值为200，总体标准差为，总体标准差为40，从该总体中，从该总体中抽取一个容量为抽取一个容量为20的简单随机样本，求这一样本的简单随机样本，求这一样本的均值介于的均值介于190210的概率的概率例1解解：因为因为 ，所以，所以故故 ，所以，样本均值介于所以，样本均值介于190210的概率是的概率是0.737 22 设设 ， 是是X的一个样本，的一个样本，则称则称 为为 统计量，且统计量，且 类似于标准正态分布，对于给定的类似于标准正态分布，对于给定的 ，满足条件，满足条件的点的点 ， 为为 分布的分布的双侧双侧分位点分位点或或双侧双侧临界值临界值，自由度，自由度n-1.密度函数的图形密度函数的图形 分布2 设设 ， 是是X的一个样本，的一个样本，则称则称为分布其中，且为分布其中，且类似于标准正态分布，对于给定的类似于标准正态分布，对于给定的 ，满足条件，满足条件的点的点 为为t分布的分布的双侧双侧分位点分位点或或双侧临界值双侧临界值，自由，自由度度n-1.第二节 参数的点估计1.点估计的方法2.估计量的评选标准引例引例 工厂生产一批铆钉，铆钉头的直径工厂生产一批铆钉，铆钉头的直径 是一个随机变量，现在要是一个随机变量，现在要问这批铆钉头部的平均直径是多少？根据经验知道，问这批铆钉头部的平均直径是多少？根据经验知道， 服从正态分服从正态分布布 ，但参数，但参数 和和 未知，而铆钉头部的平均直径就是参数未知，而铆钉头部的平均直径就是参数 ，因此需设法估计，因此需设法估计 的值通常我们从中抽取若干铆钉进的值通常我们从中抽取若干铆钉进行直径的测定，以这些测定量的平均值作为整批铆钉头部直径的平行直径的测定，以这些测定量的平均值作为整批铆钉头部直径的平均值的近似值均值的近似值点估计是以样本的某个函数值来点估计是以样本的某个函数值来估计总体的未知参数；估计总体的未知参数；参数估计区间估计点估计区间估计则是用一个区间来估计总区间估计则是用一个区间来估计总体未知参数所在的范围，即把未知体未知参数所在的范围，即把未知参数值估计在某两个界限之间参数值估计在某两个界限之间估计中常用的方法是：估计中常用的方法是： 用一个样本的统计量用一个样本的统计量 估计总体的参数估计总体的参数 ，并称它为，并称它为估计量估计量，其具体值称为，其具体值称为估计值估计值 用一个数值来估计某个参数，称为参数的用一个数值来估计某个参数，称为参数的点估计点估计 现有一批支援灾区的衣裤，共现有一批支援灾区的衣裤，共500箱，每箱内箱，每箱内放的衣裤数量差不多，估计这批衣裤有多少件放的衣裤数量差不多，估计这批衣裤有多少件例1解解：为估计衣裤总数，随机抽查其中为估计衣裤总数，随机抽查其中30箱，清点的数量如下：箱，清点的数量如下： 样本的平均数是样本的平均数是 以此为总体平均数的以此为总体平均数的估计值，也就是说，每箱平均有衣裤估计值，也就是说，每箱平均有衣裤101.1件，件，500箱共计箱共计50 550件衣裤，也可以说，这批支援灾区的衣裤大约有件衣裤，也可以说，这批支援灾区的衣裤大约有5万件万件估算例估算例1的标准差的标准差例2解解：所以，总体标准差的估计值为所以，总体标准差的估计值为4.147数字特征法1用样本的数字特征来估计相应总体的数字特征的方法称为数字特征法在实际问题中常需要对总体的数学期望和方差进行点估计。设是来自总体的一个样本，即：总体均值的估计量就可以选择样本均值，同样样本方差也可以作为总体方差的估计量。即： 某厂生产一批铆钉，现在检验铆钉头部的直某厂生产一批铆钉，现在检验铆钉头部的直径，从产品中抽取径，从产品中抽取12只，测得直径（单位：只，测得直径（单位：mm）分别为：分别为：例2解解：13.30，13.38，13.40，13.32，13.43，13.4813.51，13.31，13.34，13.47，13.44，13.50设铆钉头部直径总体，其中和未知，用数字特征法估计和。和的估计量分别为顺序统计量法2例3解解：例3解解：估计量是随机变量，对不同的样本观察值它有不同的估计值，这些估计值在未知参数的真值附近波动我们希望估计值的数学期望等于未知参数的真值，并且希望的方差越小越好下面给出估计量的两个评选标准无偏性1有效性2区间估计的具体做法是：区间估计的具体做法是： 构造两个统计量构造两个统计量和和 用区间用区间 来估计未知参数来估计未知参数 的可能取值范围，要的可能取值范围，要求求 落在区间落在区间 内的概率尽可能大内的概率尽可能大 通常，我们事先给定一个很小的数通常，我们事先给定一个很小的数 （ ，常取，常取5%或或1%），按概率），按概率1- 估计总体参数估计总体参数 可能落在区间可能落在区间 内的概率内的概率 1- 称为称为置信度或置信水平置信度或置信水平， 称为检验水平称为检验水平（估计不成功的概率），区间（估计不成功的概率），区间 称为置信度为称为置信度为1- 的的置置信区间信区间 正态总体数学期望的区间估计11标准差 已知时，均值的区间估计 对于正态分布总体（对其他分布的总体，当样本容量对于正态分布总体（对其他分布的总体，当样本容量30时，时，可近似看成正态分布），如果已知总体标准差为可近似看成正态分布），如果已知总体标准差为 ，样本均值，样本均值为为 ，则在置信度为，则在置信度为1- 下，总体均值下，总体均值的置信区间为的置信区间为（1）其中，其中， 为标准正态分布的双侧为标准正态分布的双侧分位点，分位点，n为样本容量为样本容量 在上面的置信区间中， 为点估计值置信区间实际上是以 为中心，以两倍 为长度的区间，称 为边际误差解：解：例3 某旅行社为调查当地旅游者的平均消费额，某旅行社为调查当地旅游者的平均消费额，随机访问了随机访问了100名旅游者，得知平均消费额名旅游者，得知平均消费额 元根据经验，已知旅游者消费服从正态分布，元根据经验，已知旅游者消费服从正态分布，且标准差且标准差 元求该地旅游者平均消费额元求该地旅游者平均消费额的的置信度为置信度为95%的置信区间的置信区间 由给定的置信度可得由给定的置信度可得 查标准正态分布表查标准正态分布表 ，将数据，将数据 代入式（代入式（1）得）得 的置信度为的置信度为95%的置信区间为的置信区间为即在已知即在已知 元的情形下，可以元的情形下，可以95%的置信度认为每个旅的置信度认为每个旅游者的平均消费额在游者的平均消费额在77.6元至元至82.4元之间元之间2标准差 未知时，均值的区间估计 对于正态分布总体（对其他分布的总体，当样本容量对于正态分布总体（对其他分布的总体，当样本容量30时，可近似看成正态分布），如果已知样本均值为时，可近似看成正态分布），如果已知样本均值为 ，但总体标准差但总体标准差 未知，则总体均值未知，则总体均值在置信度为在置信度为1-下的置信下的置信区间为区间为（2）其中，其中， 为自由度为为自由度为n-1的的t分布双侧分布双侧分位点，分位点，n为样本为样本容量，容量，S为样本标准差，即为样本标准差，即 式（2）说明，总体标准差 未知时，总体均值的置信区间为以 为中心，以 为边际误差的区间 已知培训时间总体是正态分布，管理者对已知培训时间总体是正态分布，管理者对l5名维名维修工进行了测试，所得培训时间如下表所示，试估修工进行了测试，所得培训时间如下表所示，试估计置信水平为计置信水平为95%时总体均值的置信区间时总体均值的置信区间解：解：例4已知总体是正态分布，但总体方差已知总体是正态分布，但总体方差 未知，应用式未知，应用式（2）进行计算）进行计算样本均值样本均值样本标准差样本标准差解：解：接上页置信水平为置信水平为95%时，时， ，自由度，自由度n-1=14，查表得，查表得所以，边际误差为所以，边际误差为 故在应用辅助程序后，该公司培训维修工的时间故在应用辅助程序后，该公司培训维修工的时间在置信水平为在置信水平为95%时的置信区间为时的置信区间为即即 。正态总体方差的区间估计2 对于未知方差的正态分布总体，因统计量对于未知方差的正态分布总体，因统计量所以，对给定的置信度所以，对给定的置信度1- ，由，由 分布可知分布可知成立。成立。即有即有成立。成立。故故 的的1-置信区间为置信区间为而均方差而均方差 的的1-置信区间为置信区间为（3）（4） 已知样本容量为已知样本容量为20，样本标准差为，样本标准差为50试求总体试求总体标准的标准的95%的置信区间的置信区间解：解：例5已知已知 ，查表得，查表得 将上数据代入式（将上数据代入式（4）得总体标准的）得总体标准的95%的置信区间的置信区间为（为（38.025,73.027） 第四节 参数的假设检验1.假设检验的基本思想和方法2.一个正态总体均值的假设检验法3.一个正态总体方差的假设检验法让我们先看一个例子让我们先看一个例子.基本概念基本概念 生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱外运. 怎么知道这这批罐装可乐的容量是否合批罐装可乐的容量是否合格格呢？罐装可乐的容量按标准应为355毫升.基本概念基本概念 每隔一定时间，抽查若干罐 .通常的办法是进行抽样检查.基本概念基本概念 如每隔1小时，抽查5罐，得5个容量的值 ，根据这些值来判断生产是否正常。基本概念基本概念定义1 根据样本的信息检验关于总体的某个命根据样本的信息检验关于总体的某个命题是否正确题是否正确.这类问题称作假设检验问题假设检验问题 .什么是假设？对总体参数的的数值所作的一种陈述总体参数包括总体均值总体均值、比例比例、方差方差等分析之前之前必需陈述我认为该地区新生婴儿我认为该地区新生婴儿的平均体重为的平均体重为3190克克!出于某种需要，对未知的或不完全明确的总体给出某些假设，用以说明总体可能具备的某种性质，这种假设称为统统计计假假设设。如正态分布的假设，总体均值的假设等。这个假设是否成立，还需要考察，这一过程称为假假设设检检验验，并最终作出判断，是接受假设接受假设还是拒绝假设拒绝假设。基本概念基本概念假设检验问题1统计推断的另一个重要问题是假设检验问假设检验问题题。在总体的分布函数未知或只知其形式，但不知其参数的情况下，为了推断总体的某些性质，提出某些关于总体的假设。例如：对于正态总体提出数学期望0的假设等。假设检验就是根据样本对所提出的假设作出判断：假设检验就是根据样本对所提出的假设作出判断：是是接受接受，还是，还是拒绝拒绝。例1已知某炼铁厂的铁水含碳量X在某种工艺条件下服从正态分布N(4.55，0.1082)。现改变了工艺条件，又测了五炉铁水，其含碳量分别为：4.28，4.40，4.42，4.35，4.37根据以往的经验，总体的方差 2= 0.1082一般不会改变。试问工艺条件改变后，铁水含碳量的均值铁水含碳量的均值有无改变有无改变？ 显然，这里需要解决的问题是，如何根据样本判断现在冶显然，这里需要解决的问题是，如何根据样本判断现在冶炼的铁水的含碳量是服从炼的铁水的含碳量是服从 4.55的正态分布呢？还是与过去一的正态分布呢？还是与过去一样仍然服从样仍然服从 =4.55的正态分布呢？的正态分布呢？例2某自动车床生产了一批铁钉，现从该批铁钉中随机抽取了11根，测得长度(单位：mm)数据为：10.41，10.32，10.62，40.18，10.77，10.64，10.82，10.49，10.38，10.59，10.54。试问铁钉的长度X是否服从正态分布是否服从正态分布？而在本例中，我们关心的问题是总体而在本例中，我们关心的问题是总体X是否服从正态分布。是否服从正态分布。如同例如同例1那样，选择那样，选择是是或或否否作为假设，然后利用样本作为假设，然后利用样本对假设的对假设的真伪作出判断真伪作出判断。以上两例都是科技领域中常见的假设检验问题假设检验问题。 我们把问题中涉及到的假设称为我们把问题中涉及到的假设称为原假设原假设或称或称待待检假设检假设，一般用，一般用H0表示。而把与原假设对立的断言称表示。而把与原假设对立的断言称为为备择假设备择假设，记为，记为H1。如例1，若原假设为H0：=0=4.55，则备择假设为H1：4.55。若例2的原假设为H0：X服从正态分布，则备择假设为H1：X不服从正态分布。在许多问题中，当总体分布的类型已知时，在许多问题中，当总体分布的类型已知时，只对其中一个或几个未知参数作出假设，这类问只对其中一个或几个未知参数作出假设，这类问题通常称之为题通常称之为参数假设检验参数假设检验，而在有些问题中，当总体的分布完全不知或而在有些问题中，当总体的分布完全不知或不确切知道，就需要对总体分布作出某种假设，不确切知道，就需要对总体分布作出某种假设，这种问题称为这种问题称为分布假设检验分布假设检验接下来我们要做的事是：给出一个合理的法接下来我们要做的事是：给出一个合理的法则，根据这一法则，利用巳知样本做出判断是则，根据这一法则，利用巳知样本做出判断是接接受假设受假设H0 ，还是拒绝假设还是拒绝假设H0。假设检验原理小概率原理2假设检验就是要在原假设H0和备择假设H1中作出拒绝哪一个和接受哪一个的判断。究竟如何作出判断呢？对一个统计假设进行检验的依据是所谓小小概率原理概率原理，即：概率很小的事件在一次试验中是几乎不可概率很小的事件在一次试验中是几乎不可能发生能发生! 定义1例3在100件产品中，有一件次品，随机地从中取出一个产品是次品的事件就是小概率事件。因为此事件发生的概率=0.01很小，因此，从中任意抽一件产品恰好是次品的事件可认为几乎不可能发生的，如果确实出现了次品，我们就有理由怀疑这“100件产品中只有一件次品”的真实性。那么那么 取值多少才算是小概率呢？取值多少才算是小概率呢？显著性水平1.是一个概率值2.原假设为真时，拒绝原假设的概率被称为抽样分布的拒绝域3.表示为常用的值有0.01,0.05,0.104.由研究者事先确定U 检验法1利用统计量来检验已知方差的正态总体的均值（已知常数）的方法称为检验法定义1原假设H0：=0，备择假设H1：0。由上节的讨论可知，在H0成立的条件下，选用检验统计量:对给定的检验水平，查正态分布表得临界值U/2，再由样本值具体计算统计量U的观察值u并与U/2比较，若|U|u/2，则拒绝H0，接受H1；若|U|u/2，则接受H0。这种检验法常称为U检验法。定义1例1已知某炼铁厂的铁水含碳量X在某种工艺条件下服从正态分布N(4.55，0.1082)。现改变了工艺条件，又测了五炉铁水，其含碳量分别为：4.28，4.40，4.42，4.35，4.37根据以往的经验，总体的方差 2= 0.1082一般不会改变。试问工艺条件改变后，铁水含碳量的均值铁水含碳量的均值有无改变有无改变？注意到是的无偏估计量。因此，若H0正确，则与0的偏差一般不应太大，即不应太大，若过分大，我们有理由怀疑H0的正确性而拒绝H0。由于，因此，考察的大小等价于考察的大小，哪么如何判断是否偏大呢？具体设想是，对给定的小正数，由于事件是概率为的小概率事件，即因此，当用样本值代入统计量具体计算得到其观察值时，若，即说明在一次抽样中，小概率事件居然发生了。因此依据小概率原理，有理由拒绝H0，接受H1；若，则没有理由拒绝H0，只能接受H0。统计量统计量 称为称为检验统计量检验统计量。当检验统计量取某个区域C中的值时，就拒绝H0，则称C为H0的拒绝域，拒绝域的边界点称为临界值。如例1中拒绝域为，临界值为和 将上述检验思想归纳起来，可得参数的假设将上述检验思想归纳起来，可得参数的假设检验的检验的一般步骤一般步骤： (1)根据所讨论的实际问题建立原假设H0及备择假设H1；(2)选择合适的检验统计量U，并明确其分布；(3)对预先给定的小概率0，由P|U|U/2=确定临界值U/2；(4)由样本值具体计算统计量U的观察值U，并作出判断，若|U|U/2，则拒绝H0，接受H1；若|U|U/2，则接受H0。现在，我们来解决例1提出的问题：(1)假设H0：=0=4.55，H1：4.55；(2)选择检验用统计量;(3)对于给定小正数，如=0.05，查标准正态分表得到临界值U/2=U0.025=1.96；4)具体计算：这里n=5，故U的观察值因为| U|=3.91.96，所以拒绝H0，接受H1，即认为新工艺改变了铁水的平均含碳量。t 检验法1由于2未知，因此，不能用Z作为检验统计量，但注意到样本方差:是2的无偏估计量，因此，我们自然会想到用s2代替2，在H0成立的条件下，统计量于是，对给定的显著性水平0，查t分布表可得临界值t/2，使P|t|t/2=成立。再由样本值具体计算统计量T的观察值t，并与t/2比较，若|t |t/2，则拒绝H0，接受H1；若|t |t/2，则接受H0。这种检验法也称为t 检验法检验法。例2某厂利用某种钢生产钢筋，根据长期资料的分析，知道这种钢筋强度X服从正态分布，今随机抽取六根钢筋进行强度试验，测得强度X(单位：kg/mm2)为48.5，49.0，53.5，56.0，52.5，49.5。试问：能否据此认为这种钢筋的平均强度为52.0kg/mm2(=0.05)?解：设XN(，2)，依题意建立假设H0：=0，H1：0。这里2未知，故在H0成立的条件下应选取检验统计量解解：接上页由已知=0.05，查t分布表得临界值t/2=t0.025(61)=2.571。又由样本值算得因为，|t |0.412.571，故接受H0，即可以认为这种钢筋的平均强度为52.0kg/mm2。设总体XN(，2)，均未知，(X1，X2，Xn)来自总体X的样本，要求进行的检验(设显著性水平为0)为原假设H0：=，备择假设H1：。由于是的无偏估计量，当H0为真时，统计量因此对给定检验水平0，由2分布表求得临界值(n1)及(n1)使再由样本值(x1,x2,xn)具体计算统计量2的观察值判断：判断：这种检验法称为这种检验法称为 2检验法检验法。 例3解：某种电子元件的寿命(单位：h)XN (，2)，其中，2未知。现检测了16只电子元件，其寿命如下：159，280，101，212，224，279，179，264，222，362，168，250，149，260，485，170。试问元件寿命的方差2是否等于1002(=0.05)？依题意，假设H0：2=1002，H1：21002，选取检验统计量:因此对给定检验水平=0.05，由2分布表求得临界值解解：接上页又据样本值算得：故：因为6.26212.8127.488，所以，应接受H0，即可以认为电子元件寿命的方差2与1002无显著差异。