作业作业 P159 习题习题 2 3(1). 4. P164 习题习题 3 1(2)(3).8/30/20241二、格林公式的其他形式二、格林公式的其他形式第十七讲第十七讲 三、平面向量场三、平面向量场一、平面向量场的旋度与散度一、平面向量场的旋度与散度8/30/20242格林公式格林公式8/30/202438/30/20244第二型曲线积分第二型曲线积分一、平面向量场的旋度与散度一、平面向量场的旋度与散度8/30/202458/30/202468/30/202478/30/20248第二型曲线积分第二型曲线积分8/30/202498/30/2024108/30/2024118/30/202412格林公式格林公式格林公式格林公式可以写成：可以写成：格林公式的旋度形式格林公式的旋度形式二、格林公式的其他形式二、格林公式的其他形式8/30/202413格林公式形式为格林公式形式为格林公式的散度形式格林公式的散度形式8/30/202414用格林公式研究平面向量场有关概念有关概念: : 保守场保守场有势场有势场无旋场无旋场势函数势函数原函数原函数 研究哪些问题研究哪些问题?在一般区域上保守场、有势场、在一般区域上保守场、有势场、无旋场的关系无旋场的关系在单连通域上保守场、有势场、在单连通域上保守场、有势场、无旋场的关系无旋场的关系如何判断向量场是保守场？如何判断向量场是保守场？如果某个向量场有势函数如果某个向量场有势函数, ,如何如何求它的势函数求它的势函数? ?8/30/202415一、几个概念一、几个概念8/30/202416解解8/30/202417在此例中曲线积分的值只依赖在此例中曲线积分的值只依赖于两条路径的起点与终点而与于两条路径的起点与终点而与积分路径无关！积分路径无关！8/30/2024188/30/2024198/30/2024208/30/202421注意问题提法的等价性注意问题提法的等价性对应关系对应关系1. .形式对应形式对应2.问题提法对应问题提法对应3.结论对应结论对应8/30/202422二、保守场、有势场、无旋场的关系二、保守场、有势场、无旋场的关系8/30/202423证证8/30/2024248/30/202425积分中值定理积分中值定理8/30/2024268/30/202427即积分与路径无关！保守场即积分与路径无关！保守场8/30/2024288/30/202429证证8/30/2024308/30/202431（2）凑微分凑微分（3）求不定积分）求不定积分 （1）利用积分与路径无关）利用积分与路径无关三、求原函数的方法三、求原函数的方法8/30/202432(1) 取折线路径取折线路径,计算曲线积分求原函计算曲线积分求原函数数8/30/202433解解8/30/2024348/30/2024358/30/2024368/30/202437首先考察向量场是否为保守场首先考察向量场是否为保守场8/30/2024388/30/202439解解8/30/2024408/30/2024418/30/2024428/30/202443 小结小结1:1: 小结小结2:2: 在复连通域上在复连通域上 作一条包围作一条包围“奇点奇点”的封闭路径的封闭路径, 利用利用格林公式讨论格林公式讨论.关键是看绕奇点的闭路积分关键是看绕奇点的闭路积分是否等于零是否等于零! 在单连通域上在单连通域上8/30/202444