常微分方程课件制作者：闫宝强，傅希林，刘衍胜，范进军，劳会学，张艳燕第一章初等积方法第五章定性与稳定性概念第三章线性微分方程第二章基本定理第四章线性微分方程组第六章一阶偏微方程初步第1讲微分方程与解微分方程微分方程什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题.300多年前，由牛顿(Newton,16421727)和莱布尼兹(Leibniz,16461716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.例1物体下落问题设质量为m的物体，在时间t=0时，在距地面高度为H处以初始速度v(0)=v0垂直地面下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.解如图11建立坐标系，设为t时刻物体的位置坐标.于是物体下落的速度为加速度为质量为m的物体，在下落的任一时刻所受到的外力有重力mg和空气阻力，当速度不太大时，空气阻力可取为与速度成正比.于是根据牛顿第二定律F=ma(力=质量加速度)可以列出方程(1.1)其中k0为阻尼系数，g是重力加速度.(1.1)式就是一个微分方程，这里t是自变量，x是未知函数，是未知函数对t导数.现在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程(1.1)可化为（1.2）将上式对t积分两次得(1.3)一般说来，微分方程微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关系式.如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微常微分方程分方程；如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微偏微分方程分方程.本书所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程.例如下面的方程都是常微分方程(1.4)(1.5)(1.6)(1.7)在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶方程的阶.这样，一阶常微分方程的一般形式可表为(1.8)如果在(1.8)中能将y解出，则得到方程(1.9)(1.10)或(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微分形式的一阶方程.n阶隐式方程阶隐式方程的一般形式为（1.11）n阶显式方程阶显式方程的一般形式为(1.12)在方程(1.11)中，如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数y,y,y(n)的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为非线性常微分方程.这样，一个以y为未知函数，以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式：显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程(1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.通解与特解通解与特解（1.13）微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.定义定义1.设函数在区间I上连续，且有直到n阶的导数.如果把代入方程(1.11)，得到在区间I上关于x的恒等式，则称为方程(1.11)在区间I上的一个解.这样，从定义1.1可以直接验证：1.函数y=x2+C是方程(1.4)在区间(，+)上的解，其中C是任意的常数.2.函数是方程(1.5)在区间（1,+1）上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显的常数解y=，这两个解不包含在上述解中.2.函数是方程(1.5)在区间（1,+1）上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显的常数解y=，这两个解不包含在上述解中.3.函数是方程(1.6)在区间(，+)上的解，其中和是独立的任意常数.4.函数是方程(.)在区间(，+)上的解，其中和是独立的任意常数.这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，在(，+)上有事实上，在(，+)上有所以在（，）上有从而该函数是方程(1.6)的解.从上面的讨论中，可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中可以包含任意常数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，也可以不含任意常数.我们把n阶常微分方程(1.11)的含有n个独立的任意常数C1，C2，Cn的解，称为该方程的通解通解，如果方程(1.11)的解不包含任意常数，则称它为特解特解.由隐式表出的通解称为通积分通积分，而由隐式表出的特解称为特积分特积分.由上面的定义，不难看出，函数和分别是方程(1.4)，(1.5)和(1.6)的通解，函数是方程(1.7)的通积分，而函数y=是方程(1.7)的特解.通常方程的特解可对通解中的任意常数以定值确定，这种确定过程，需要下面介绍的初始初始值条件值条件，或简称初值条件初值条件.初值问题初值问题例1中的函数(1.3)显然是方程(1.2)的通解，由于C_1和C_2是两个任意常数，这表明方程(1.2)有无数个解，解的图像见下面的图a和图b所示.而实际经验表明，一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹.产生这种多解性的原因是因为方程(1.2)所表达的是任何一个自由落体，在任意瞬时t所满足的关系式，并未考虑运动的初始状态，因此，通过积分求得的其通解(1.3)所描述的是任何一个自由落体的运动规律.显然，在同一初始时刻，从不同的高度或以不同初速度自由下落的物体，应有不同的运动轨迹.为了求解满足初值条件的解，我们可以把例1中给出的两个初始值条件，即初始位置x(0)=H初始速度代入到通解中，推得于是，得到满足上述初值条件的特解为(1.14)它描述了初始高度为H，初始速度为v0的自由落体运动规律.求微分方程满足初值条件的解的问题称为初初值问题.于是我们称(1.14)是初值问题的解.对于一个n阶方程，初值条件的一般提法是其中x_0是自变量的某个取定值，而是相应的未知函数及导数的给定值.方程(1.12)的初值问题常记为(1.16(1.15)(1.16)初值问题也常称为柯西柯西（Cauchy）问题问题.对于一阶方程，若已求出通解，只要把初值条件代入通解中，得到方程从中解出C，设为C_0，代入通解，即得满足初值条件的解.对于n阶方程，若已求出通解后，代入初值条件(1.15)，得到n个方程式(1.17)如果能从(1.17)式中确定出，代回通解，即得所求初值问题的.例2求方程的满足初值条件的解.解方程通解为求导数后得将初值条件代入，得到方程组解出C_1和C_2得故所求特解为积分曲线积分曲线为了便于研究方程解的性质，我们常常考虑解的图象.一阶方程(1.9)的一个特解的图象是xoy平面上的一条曲线，称为方程(1.9)的积分曲线积分曲线，而通解的图象是平面上的一族曲线，称为积分曲线族积分曲线族.例如，方程(1.4)的通解+C是xoy平面上的一族抛物曲线.而是过点(0，0)的一条积分曲线.以后，为了叙述简便，我们对解和积分曲线这两个名词一般不加以区别.对于二阶和二阶以上的方程，也有积分曲线和积分曲线族的概念，只不过此时积分曲线所在的空间维数不同，我们将在第4章详细讨论.最后，我们要指出，本书中按习惯用代替而分别代表本节要点：本节要点：1常微分程的定义，方程的阶，隐式方程，显式方程，线性方程，非线性方程.2常微分方程解的定义，通解，特解，通积分，特积分.3初值问题及初值问题解的求法.4解的几何意义，积分曲线.第2讲变量可分离方程1什么是变量可分离方程？什么是变量可分离方程？（1.18）或（1.19）1什么是变量可分离方程？什么是变量可分离方程？1.2.1显式变量可分离方程的解法显式变量可分离方程的解法.1.在方程(1.18)中，假设g(y)是常数，不妨设g(y)=1.此时方程(1.18)变为(1.20)设f(x)在区间(a,b)上连续，那么，求方程(1.20)的解就成为求f(x)的原函数(不定积分)的问题.于是由积分上限所确定的函数(1.21)就是方程(1.21)的通解，其中C是一个任意常数，是一个固定数，是自变量.2.假设g(y)不是常数，仍设f(x)在区间(a,b)上连续，而g(y)在区间上连续.若y=y(x)是方程(1.18)的任意一个解，且满足y(x_0)=y_0，则由解的定义，有恒等式(1.22)假设g(y)0，于是可用分离变量法分离变量法把方程写成(1.23)将上式两端积分，得到恒等式(1.24)上面的恒等式表明，当g(y)0时，方程(1.18)的任意一个解必定满足下面的隐函数方程隐函数方程(1.25)反之，若是隐函数方程(1.25)的解，则有恒等式(1.24)成立，由(1.24)的两边对x求导数，就推出(1.23)成立，从而(1.22)成立，这就表明了隐函数方程(1.25)的解也是微分方程(1.18)的解.在具体求解方程时，往往把(1.24)写成不定积分形式（1.26）由上面的证明可知，当g(y)0时，微分方程(1.18)与隐函数方程(1.26)是同解方程，即若由(1.26)解出，则它是(1.18)的通解，由于(1.26)是通解的隐式表达式，所以(1.26)亦称为方程(1.18)的通积分通积分.在求解过程中，对于通积分(1.26)应该尽量把它演算到底，即用初等函数表达出来，但是，并不勉强从其中求出解的显式表达式.如果积分不能用初等函数表达出来，此时我们也认为微分方程(1.18)已经解出来了，因为从微分方程求解的意义上讲，留下的是一个积分问题，而不是一个方程问题了.3.若存在，使，则易见是方程(1.18)的一个解，这样的解称为常数解常数解.Y(x)=y_01.2.2微分形式变量可分离方程的解法微分形式变量可分离方程的解法方程是变量可分离方程的微分形式表达式.这时，x和y在方程中的地位是“平等”的，即x与y都可以被认为是自变量或函数.在求常数解时，若，则y=y_0为方程(1.19)的解.同样，若，则x=x_2也是方程(1.19)的解.当时，用它除方程(1.19)两端，分离变量，得上式两端同时积分，得到方程(1.19)的通积分本节要点：1变量可分离方程的特征2分离变量法的原理：微分方程（1.18）与分离变量后的积分方程（1.26）当时是同解方程3变量可分离方程一定存在常数解y=y_0,并且满足第3讲齐次微分方程1什么是齐次方程？什么是齐次方程？上一节，介绍了变量可分离方程的解法.有些方程，它们形式上虽然不是变量可分离方程，但是经过变量变换之后，就能化成变量可分离方程，本节介绍两类可化为变量可分离的方程.如果一阶显式方程（1.9）的右端函数可以改写为的函数，那么称方程(1.9)为一阶齐次微分方程.所以它们都是一阶齐次方程因此，一阶齐次微分方程可以写为(1.27)1.3.1齐次方程的解法齐次方程的解法方程(1.27)的特点是它的右端是一个以为变元的函数，经过如下的变量变换，它能化为变量可分离方程.令则有代入方程(1.27)得（1.28）方程(1.28)是一个变量可分离方程，当时，分离变量并积分，得到它的通积分（1.29）或即其中以代入，得到原方程(1.27)的通积分若存在常数，使，则，是(1.28)的解，由，得是原方程(1.27)的解.在一般情况下，如何判断方程(1.9)是齐次方程呢?这相当于考虑，什么样的二元函数能化成形状为的函数.下面我们说明零次齐次函数具有此性质.所谓对于变元x和y是零次齐次式，是指对于任意的常数，有恒等式因此，令，则有因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数是一个关于变元x，y的零次齐次式.如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们下面要介绍第二类这种方程.1.3.2第二类可化为变量可分离的方程第二类可化为变量可分离的方程形如(1.30)的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中，显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不是零次齐次函数，然而函数（1.31）则为零次齐次函数.事实上，我们有下面我们将通过变量变换把(1.30)中的C1及C2消去，将方程(1.30)的右端函数化成(1.31)的形式，从而把方程(1.30)化成齐次方程.令(为待定常数)则代入(1.30)得选取使得(1.32)(1.32)是一个线性非齐次方程组，它的解与系数行列式有关.如果则(1.32)有唯一组解，把取为这组解，于是(1.30)就化成齐次方程求出这个方程解，并用变换代回，即可得(1.30)的解.上面的作法其实就是解析几何中的坐标平移.当时，直线与直线相交于一点，将二式联立求得交点()，再作坐标平移，就把原点移到().又由于在坐标平移变换下有成立，这样(1.30)就变成齐次方程了.如果，则(1.32)没有唯一组解，上述方法不可行，下面我们要说明，此时方程(1.30)也可化为变量可分离方程求解.实际上由，有成立.下面仅以来讨论，(以讨论相同).1)，此时(1.30)为令，则得到关于z的变量可分离方程2)中至多有一个为零.当时，由(1.33)必有，方程(1.30)成为这是一个变量可分离方程.3)当且时，由(1.33)有于是，原方程(1.30)成为令则代入上面方程，得到一个关于z的方程这也是一个变量可分离方程本节要点：1一阶显式方程是齐次方程右端函数是一个零次齐次函数2齐次方程解法的本质是，方程（1.27）通过变量替换化为变量可分离方程求解3方程（1.30）的解法是齐次方程解法的扩展，把一个不是齐次方程的方程，选通过变量替换化成齐次方程，再按齐次方程求解1.4一阶线性微分方程本节讨论一阶线性方程的解法以及某些可以化成线性方程的类型.一阶线性微分方程的形式是（1.34）如果，即(1.35)称为一阶线性齐次方程.如果不恒为零，则称(1.34)为一阶线性非齐次方程.1.4.1一阶线性非齐次方程的通解先考虑线性齐次方程(1.35)，注意这里“齐次”的含意与1.3节中的不同，这里指的是在(1.34)中不含“自由项”，即显然，(1.35)是一个变量可分离方程，由1.2节易知它的通解是(1.36)下面使用常数变易法再求线性非齐次方程(1.34)的解.其想法是：当C为常数时，函数(1.36)的导数，恰等于该函数乘上p(x),从而(1.36)为齐次方程(1.35)的解.现在要求非齐次方程(1.34)的解，则需要该函数的导数还要有一项等于.为此，联系到乘积导数的公式，可将(1.36)中的常数C变易为函数C(x)，即令(1.37)为方程(1.34)的解，其中C(x)待定.将(1.37)代入(1.34)，有即积分后得把上式代入(1.37)，得到(1.34)的通解公式为(1.38)在求解具体方程时，不必记忆通解公式，只要按常数变易法的步骤来求解即可.1.4.2伯努利(Bernoulli)方程形如(1.44)的方程，称为伯努利方程.伯努利方程(1.44)是一种非线性的一阶微分方程，但是经过适当的变量变换之后，它可以化成一阶线性方程.在(1.44)两端除以，得(1.45)为了化成线性方程，令则代入(1.45)得这样，就把(1.44)化成以z为未知函数的线性方程了.本节要点：1线性非齐次方程的解法本质是常数变易法，这种方法首先由拉格朗日提出，在常微分方程的解法上占有重要地位2由常数变易法求得的通解表达式（1.38）或特解表达式（1.43）能帮助我们证明解的某些渐近性质3伯努利方程实质上是一个可以通过变量替换化为线性方程的非线性方程1.5全微分方程及积分因子1.5.1全微分方程如果微分形式的一阶方程的左端恰好是一个二元函数的全微分，即则称(1.10)是全微分方程或恰当方程，而函数称为微分式(1.46)的原函数.例如方程(1.47)就是一个全微分方程.因为它的左端恰是二元函数的全微分.全微分方程如何求解呢?先看一下方程(1.47),由于它的左端是二元函数的全微分，从而方程可写成（110）若是(1.47)的解，应有恒等式从而（1.48）由此解出这说明，全微分方程(1.47)的任一解包含在表达式(1.48)中.一般地，有如下定理定理1.1假如是微分(1.46)的一个原函数，则全微分方程(1.10)的通积分为（.49）其中C为任意常数.证明先证(1.10)的任一解均满足方程(1.49).因为为(1.10)的解，故有恒等式因为为(1.10)的原函数，所以有从而于是满足(1.49).再证明(1.49)所确定的任意隐函数均为(1.10)的解.因为是由(1.49)所确定的隐函数，所以存在常数C，使将上式微分并应用是(1.46)的原函数的性质，即有从而是方程(1.10)的解，定理证毕.根据上述定理，为了求解全微分方程(1.10)，只须求出它的一个原函数，就可以得到它的通积分.下面介绍两种求原函数的方法.1.求原函数的直接观察法在某些简单情形下，可以由观察方程(1.10)直接求出它的一个原函数，从而得到它的通积分.这要求熟记一些常见的二元函数的全微分公式.2求原函数的一般方法.定理1.2如果方程(1.10)中的，在矩形区域上连续可微，则方程(1.10)是全微分方程的充要条件是：在R上有（1.50）证明必要性，设(1.10)是全微分方程，则存在原函数，使得所以将以上二式分别对y和x求偏导数，得到因为M，N连续可微，所以成立，即(1.50)成立.充分性，设(1.50)在区域R内成立，现在求一个二元函数，使它满足即由第一个等式，应有其中为y的任意可微函数，为了使，再满足必须适当选取，使满足由参变量积分的性质和条件(1.50)，上式即为参变量积分的分析性质:参变量积分（1）;是参变量若及在矩形上连续，则参变量积分（1）定义的函数在区间上可微，并且或从而应取积分后得到因为只要一个就够了，故取.于是，函数(1.51)就是所求的原函数，而全微分方程(1.10)的通积分是(1.52)定理1.2不但给出了判断方程(1.10)为全微分方程的充要条件，而且给出了当判别式(1.50)成立时，(1.51)式就是(1.10)左端的原函数，而(1.52)就是(1.10)的通积分.1.5.2积分因子以上我们给出了全微分方程的求解公式，但是，方程(1.10)未必都是全微分方程，例如，下面这个简单方程(1.54)就不是全微分方程，因为如果，将上面这个方程两端同乘以，得到方程(1.55)这是一个全微分方程，因为此时有通常我们称为方程(1.54)的积分因子，因为它可使方程(1.54)变成全微分方程(1.55).一般地，我们有下面的定义.假如存在这样的连续可微函数，使方程(1.56)成为全微分方程，我们就把称为方程(1.10)的一个积分因子.易于看到，当时，方程(1.10)与(1.56)是同解的.于是，为了求解(1.10)，只须求解(1.56)就可以了，但是如何求得积分因子呢?下面就来研究求积分因子的方法.方程(1.56)是全微分方程的充要条件为展开并整理后，上式化成（157）一般地说，偏微分方程(1.57)是不易求解的.不过，对于某些特殊情况，(1.57)的求解问题还是比较容易的.下面我们给出两种特殊的积分因子的求法.1方程(1.10)存在只与x有关的积分因子的充要条件是只与x有关，且此时有(1.58)证明必要性，若方程(1.10)存在只与x有关的积分因子，则有,这样(1.57)成为即(1.59)因为(1.59)左端只与x有关，所以它的右端也只与x有关.充分性，如果只与x有关，且是方程(1.59)的解，即不难验证，就是(1.10)的一个积分因子.证毕.2方程(1.10)存在只与y有关的积分因子的充要条件是只与y有关，且此时有(1.60)证明与1相似证明.本节要点:1全微分方程的解法本质是求一个全微分的原函数问题2求原函数的常用方法观察法，适用于简单方程公式法，（1.51）式3积分因子的求法要求掌握公式（1.58）和公式（1.60），即会求只与x有关或只与y有关的积分因子1.6一阶隐式微分方程前面几节介绍的是求解显式方程（1.9）的一些初等积分法.本节要讨论如何求解隐式方程（1.8）方程(1.8)也称为导数未解出的一阶方程.求解方程(1.8)的问题分两种情况考虑：1假如能从(1.8)中把解出，就得到一个或几个显式方程如果能用初等积分法求出这些显式方程的解，那么就得到方程(1.8)的解.例1求解方程解方程左端可以分解因式，得从而得到两个方程这两个方程都可以求积，得到它们都是原方程的解.2如果在(1.8)中不能解出y时，则可用下面介绍的“参数法”求解，本节主要介绍其中两类可积类型，类型类型类型的特点是，方程中不含y或x；类型的特点是y可以解出或x可以解出.首先，考虑类型中的方程（1.61）我们已经知道，方程(1.61)的一个解，在平面上的图象是一条曲线，而曲线是可以用参数表示的，称为参数形式解，即是定义在区间上的可微函数使得 在上恒成立.显然，如果能从方程(1.61)中求出解，再把它参数化，就可以得到(1.61)的参数形式解，但这是没有什么意义的.下面介绍的参数法，是在方程(1.61)中当解不出来时，先把方程(1.61)化成等价的参数形式，然后根据某种恒等式，可以求出原方程(1.61)的参数形式解.这种求解过程就称为参数法.具体作法如下：(1)方程(1.61)化成参数形式从几何上看，表示平面上的曲线，可以把这曲线表示为适当的参数形式（1.62）这里t是参数，当然有（1.63）成立.(2)求(1.61)的参数形式解由于(1.62)和沿着(1.61)的任何一条积分曲线上恒满足基本关系式这样，把(1.62)代入上式，得上式两端积分，得到于是，得到方程(1.61)的参数形式通解（1.64）不难验证：将(1.64)代入(1.61)得到(1.63)，这说明(1.64)确实是(1.61)的参数形式通解.同理，可以讨论类型的方程不难验证：将(1.64)代入(1.61)得到(1.63)，这说明(1.64)确实是(1.61)的参数形式通解.同理，可以讨论类型的方程(1.65)设其可以表示的参数形式由于有积分，得从而(1.65)的参数形式通解为现在，考虑类型中的方程（1.66）从几何上看，方程(1.66)表示空间中的曲面，令，有，这样(1.66)的参数形式是(1.67）同样，由基本关系式有将(1.67)代入上式，得或（1.68）这是一个关于自变量为x，未知函数为p的方程.如果能求得通解代入到(1.67)的第三个方程中，即得(1.66)的通解如果只能求得(1.68)的通积分则它与(1.67)的第三个方程联立，为(1.66)的参数形式解，若能消去参数p，可得(1.66)的通解或通积分.在上述求解过程中，请读者注意：当从方程(1.68)中解出时，只要将其代入(1.67)的第三式，就得到(1.66)的通解了，而不要再将p认为y，再积分来求y这是为什么呢?因为用参数法求解方程(1.66)的实质意义在于：当从(1.66)中不能解出时，通过参数法，把求解(1.66)化为一个以x为自变量，以为未知函数的方程(1.68)，一旦从(1.68)中解得，那么它当然满足(1.67)中的第三式，即有，而这相当于在(1.66)中先把解出，又由于方程(1.66)形式的特殊性，使得成为了原方程(1.66)的通解.同理，可以考虑类型的方程(1.69)设其参数形式为（1.70）由其本关系式，有将(1.70)代入上式，得或（1.71）如果能从(1.71)解出通解，代入到(1.70)第三式，即得(1.69)的通积分如果从(1.71)中解出通积分将它与(1.70)第三式联立，将它与(1.70)第三式联立，消去p，可得(1.69)的通积分（隐函数存在定理及求导公式)，隐函数存在定理及求导公式隐函数方程（1）设在点的某一领域内满足具有连续偏导数；，则方程（1）在的某领域内恒能唯一确定一个单值连续且有连续导数的函数，满足，并且（2）（2）称为隐函数求导公式.方程(1.73)称为克莱洛(Clairaut)方程.由(1.75)式可知，它的通解恰好是在方程(1.73)中用C取代y而成.本节要点：1求解隐式方程时，首先考虑用第一种解法，即尽可能化成显式方程求解，其次再考虑用参数法求解2理解好参数解法原理，类型和类型解法的原理是一样的例如方程参数解法的原理是：（1）方程（1.61）与其参数化方程(1.62)在平面上等价（2）由解出（1.62）的解(1.64)(3)（1.64）是（1.61）的参数形式解，因为3类型方程解法的基本思想是，先通过等价关系解得，然后代入原方程，从而得到到原方程的通解3类型方程解法的基本思想是，先通过等价关系解得y，然后代入原方程，从而得到到原方程的通解第7讲几种可降阶的高阶方程几种可降阶的高阶方程几种可降阶的高阶方程本节要介绍三种高阶方程的解法，这些解法的基本思想就是把高阶方程通过某些变换降为较低阶方程加以求解，所以称为“降阶法”.1.7.1第一种可降阶的高阶方程第一种可降阶的高阶方程方程（1.78）这种方程的特点是方程中出现的最低阶的导数为.这时只要令(1.78)中就化成（1.79）如果(1.79)能求出通解则由对积分，就可以求出y来了.第二种可降阶的高阶方程第二种可降阶的高阶方程方程这类方程的特点是不显含自变量x，这时，总可以利用代换，使方程降低一阶.以二阶方程为例.令，于是有代入原方程，就有这是一个关于未知函数p的一阶方程.如果由它可求得则有这是一个关于的变量可分离方程，可求得通积分.1.7.3恰当导数方程假如方程（1.80）的左端恰为某一函数对x的导数，即(1.80)可化为则(1.80)称为恰当导数方程恰当导数方程.这类方程的解法与全微分方程的解法相类似，显然可降低一阶，成为之后再设法求解这个方程.初等积分法小结15种基本解法分量变量法常数变易法积分因子法：化为全微分方程参数法降阶法2初等积分法的历史地位自1676年微分方程的研究工作开始，其后100多年间是初等积分发展的重要时期1841年法国数（Liouville）指出：绝大多数常微分方程不能用初等积分求解，例如方程就不能用初等积分求解这说明初等积分法有相当的局限性但是，初等积分法至今不失其重要性，一直被认为是常微分方程中非常有用的解题方法之一，也是初学者的基本训练之一第8讲应用举例一般说来，用常微分方程去解决某些实际问题的过程分以下三个步骤：I建立方程对所研究问题，根据已知定律或公式以及某些等量关系列出微分方程和相应初值条件II求解方程III分析问题通过已求得的解的性质，分析实际问题.1.8.1等角轨线我们来求这样的曲线或曲线族，使得它与某已知曲线族的每一条曲线相交成给定的角度.这样的曲线称为己知曲线的等角轨线等角轨线.当所给定的角为直角时，等角轨线就称为正交轨线正交轨线.等角轨线在其它很多学科(如天文、气象等)中都有应用.下面就来介绍求等角轨线的方法.首先把问题进一步提明确一些设在(x,y)平面上，给定一个单参数曲线族(C)：.求这样的曲线，使得l与(C)中每一条曲线的交角都是定角(图13).图13设l的方程为.为了求，我们先来求出所应满足的微分方程，也就是要先求得的关系式.条件告诉我们l与(C)的曲线相交成定角，于是，可以想见，y_1和y_1必然应当与(C)中的曲线y=y(x)及其切线的斜率y有一个关系.事实上，当时，有或(1.81)当时，有(1.82)又因为在交点处，,于是，如果我们能求得的关系，即曲线族(C)所满足的微分方程(1.8)只要把y=y_1和(1.81)或(1.82)代入(1.8)，就可求得x,y_1.y_1所应满足的方程了.如何求(1.8)呢?采用分析法.设y=y(x)为(C)中任一条曲线，于是存在相应的C，使得因为要求x,y,y的关系，将上式对x求导数，得(1.84)这样，将上两式联立，即由(1.85消去C，就得到x,y(x),y(x)所应当满足的关系这个关系称为曲线族(C)的微分方程.于是，等角轨线()的微分方程就是(1.86)而正交轨线的微分方程为(1.87)为了避免符号的烦琐，以上两个方程可以不用y_1，而仍用y，只要我们明确它是所求的等角轨线的方程就行了.为了求得等角轨线或正交轨线，我们只需求解上述两个方程即可.例例1求直线束y=Cx的等角轨线和正交轨线.解解首先求直线族y=Cx的微分方程.将对求x导,得y=c，由消去C，就得到y=Cx的微分方程当时，由(1.86)知道，等角轨线的微分方程为或及即积分后得到或如果写成极坐标形式，不难看出等角轨线为对数螺线(图14).如果，由(1.87)可知，正交轨线的微分方程为即或故正交轨线为同心圆族(图15).图151.8.2动力学问题前面已经说过，动力学的基本定律是牛顿第二定律f=ma,这也是用微分方程来解决动力学的基本关系式.它的右端明显地含有加速度a，a是位移对时间的二阶导数.列出微分方程的关键就在于找到外力f和位移及对时间的导数速度的关系.只要找到这个关系，就可以由f=ma列出微分方程了.在求解动力学问题时，要特别注意力学问题中的定解条件，如初值条件等.例例2物体由高空下落，除受重力作用外，还受到空气阻力的作用，在速度不太大的情况下(低于音速的45)，空气阻力可看做与速度的平方成正比.试证明在这种情况下，落体存在极限速度v_1。解解设物体质量为m，空气阻力系数为k，又设在t时刻物体的下落速度为v，于是在时刻物体所受的合外力为(重力空气阻力)这里，建立的坐标系，使得重力mg方向向下，与运动方向一致，空气阻力方向向上，与运动方向相反。从而，根据牛顿第二定律可列出微分方程（1.88）因为是自由落体，所以有v(0)=0(1.89)解解(1.88)，由(1.89)有积分得或解出v，得当时,有(1.90)据测定，,其中为物体形状有关常数，为介质密度，为物体在地面上的投影面积.人们正是根据公式(1.90)，来为跳伞者设计保证安全的降落伞的直径大小的.在落地速度与一定时，可定出s来.第二章基本定理第二章基本定理第09讲解的存在性与唯一性定理2.1常微分方程的几何解释我们在1.1节已经给出了微分方程及其解的定义.本节将就一阶显式方程给出这些定义的几何解释.由这些解释，我们可以从方程(1.9)本身的特性了解到它的任一解所应具有的某些几何特征.首先，我们要给出“线素场”的概念.设(1.9)的右端函数f(x,y)在区域G内有定义(图21),即对G内任意一点(x,y)，都存在确定值.以(x,y)点为中点，作一单位线段，使其斜率恰为k=f(x,y)，称为在(x,y)的线素.于是在G内每一点都有一个线素.我们说，方程(1.9)在区域G上确定了一个线素场.图21（19）下面来讨论方程(1.9)的解与它确定的线素场的关系.前面，我们已经把(1.9)的解的图象称为(1.9)的积分曲线.定理定理2.1曲线L为(1.9)的积分曲线的充要条件是：在L上任一点，L的切线与(1.9)所确定的线素场在该点的线素重合；亦即L在每点均与线素场的线素相切.证明证明（略）这个定理表明这样一个事实：(1.9)的积分曲线在其上每一点都与线素场的线素相切.或者直观地说成积分曲线是始终“顺着”线素场的线素行进的曲线.2.2解的存在唯一性定理本节利用逐次逼近法，来证明微分方程(2.1)的初值问题(2.2)的解的存在与唯一性定理.2.2.1存在性与唯一性定理的叙述定理定理2.2(存在与唯一性定理)如果方程(2.1)的右端函数在闭矩形域上满足如下条件：(1)在R上连续;(2)在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数N，使对于R上任何一对点(x,y)和有不等式：则初值问题(2.2)在区间上存在唯一解其中在证明定理之前，我们先对定理的条件与结论作些说明:1.在实际应用时，李普希兹条件的检验是比较费事的.然而，我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替它.即如果函数f(x,y)在闭矩形域R上关于y的偏导数f_y(x,y)存在并有界，.则李普希兹条件成立，事实上，由拉格朗日中值定理有其中满足，从而.如果f_y(x,y)在R上连续，它在R上当然就满足李普希兹条件.2.现对定理中的数h0做些解释.从几何直观上，初值问题(2.2)可能呈现如图25所示的情况.这时，过点的积图图2-5分曲线当x=x_1或x=x_2时，其中，到达R的上边界y=y_0+b或下边界y=y_0b.于是，当时，曲线便可能没有定义.由此可见，初值问题(2.2)的解未必在整个区间上存在.但是，由2.1节的常微分方程的几何解释可知，定理2.1就是要证明：在线素场R中，存在唯一一条过点(x_0,y_0)的积分曲线它在其上每点处都与线素场在这点的线素相切.现在定理假定f(x,y)在R上连续,从而存在于是，如果从点(x_0,y_0)引两条斜率分别等于M和M的直线，则积分曲线(如果存在的话)必被限制在图26的带阴影的两个区域内，因此，只要我们取则过点(x_0,y_0)的积分曲线(如果存在的话)当x在区间上变化时，必位于R之中.图图2-62.2.2存在性的证明存在性的证明求解初值问题（2.2）求解积分方程（2.3）.因此，只要证明积分方程(2.3)的连续解在上存在而且唯一就行了.下面用毕卡(Picard)逐次逼近来证明积分方程(2.3)的连续解的存在性，可分三个步骤进行:1.构造逐次近似序列.近似序列在每一项都在上有定义，这是因为于是这样，我们在区间上，按逐次逼近手续得到了一个连续函数列(近似序列)2.证明近似序列在区间上一致收敛（序列）.“函数序列的一致收敛1设（1）是定义在I上的函数序列，若对，数列收敛，则称x_0为序列（1）的收敛点收敛点的全体叫收敛域在收敛域上每一点，序列（1）都有极限，这极限形成收敛域上的一个函数，称为极限函数设此函数为S(x)，即2若对，总存在一个只与有关的自然数N，使得对I上任何一点，当时，有，则称序列（1）在I上一致收敛证明分如下二步：（1）序列在上一致收敛级数（2.7）在上一致收敛（级数）“函数项级数的一致收敛“函数项级数的一致收敛1设函数项级数（1）在区间I上收敛于和函数S(x)，即对，数项级数收敛于S(x_0)，或级数（1）的部分和所组成的数列=3若函数项级数（1）的每一项都在I上连续，并且在I上一致收敛，则（1）的和函数在I上连续因为级数（2.7）的部分和（2）级数（2.7）在上一致收敛用数学归纳法，易证级数（2.7）从第二项开始，每一项绝对值都小于正项级数的对应项，而上面这个正项级数显然是收敛的.所以，由优级数判别法，“函数项级数的一致收敛判别法（魏尔斯特拉斯优级数判别法）函数项级数（1）若函数项级数（1）在区间I上满足（I）；（II）正项级数收敛则函数项级数（1）在区间I上一致收敛数项级数收敛的判别法（比值判别法，达朗贝尔（）判别法）若正项级数的后项与前项的比值的极限等于：则当时级数收敛，时（或）时级数发散；时级数可能收敛，也可能发散级数(2.7)在区间上不仅收敛，而且一致收敛.设其和函数为，从而近似序列在区间x_0h_0,x_0+h_0上一致收敛于.由于在区间x_0h_0,x_0+h_0上连续，因而也是连续的.3.证明是积分方程(2.3)的解，从而也是初值问题(2.2)的解.在n次近似序列（2.6）两端取极限有因为所以要证明是积分方程（2.3）的解，即成立，只需证明下面用“N语言”证明上面的极限成立由于序列在区间x_0h_0,x_0+h_0上一致收敛，因此，对任给0,存在自然数N,当nN时，对区间x_0h_0,x_0+h_0上所有x恒有从而由此推得换句话说，我们得到现在对恒等式(2.6)两端取极限，就得到此即表明函数是(2.3)的解.至此定理的存在性部分证毕.2.2.3唯一性的证明唯一性的证明下面来证明解的唯一性.为此我们先介绍一个在微分方程中很有用的不等式，即贝尔曼(Bellman)不等式.贝尔曼引理贝尔曼引理设y(x)为区间a,b上非负的连续函数，.若存在使得y(x)满足不等式(2.9)则有证明证明先证明的情形.令，于是从(2,9)式立即有上式两端同乘以因子,则有上式两端从x0到x积分，则有即由(2.9)知，,从而由上式得到的情形类似可证，引理证毕.积分方程(2.3)解的唯一性证明，采用反证法.假设积分方程(2.3)除了解之外，还另外有解，我们下面要证明：在上，必有.事实上，因为及将这两个恒等式作差，并利用李普希兹条件来估值，有令,从而由贝尔曼引理可知，在上有，即.至此，初值问题(2.2)解的存在性与唯一性全部证完.2.2.4二点说明二点说明为了加深对定理的理解，下面我们再作二点说明.1.（见教材）2.如果方程(2.1)是线性方程，即其中p(x)和q(x)在区间上连续，我们不难验证，此时方程的右端函数关于y满足李普希兹条件，在这些条件下，利用定理2.2中的方法，可以证明对任意初始值我们不难验证，此时方程的右端函数关于y满足李普希兹条件，在这些条件下，利用定理2.2中的方法，可以证明对任意初始值.线性方程满足的解在整个区间上有定义.事实上，只要注意到，此时逐次近似序列的一般项(2.6)在区间上存在且连续即可.由定理2.2知李普希兹条件是保证初值问题解唯一的充分条件，那么这个条件是否是必要的呢?下面的例子回答了这个问题.例例1试证方程经过xoy平面上任一点的解都是唯一的.证明证明右端函数除x轴外的上、下平面都满足定理2.2的条件，因此对于轴外任何点，该方程满足的解都存在且唯一.于是，只有对于轴上的点，还需要讨论其过这样点的解的唯一性.我们注意到y=0为方程的解.当y0时，因为故可得通解为为上半平面的通解,为下半平面的通解.这些解不可能y=0相交.因此，对于轴上的点，只有y=0通过，从而保证了初值解的唯一性.但是，因为故不可能存在使得从而方程右端函数在y=0的任何邻域上并不满足李普希兹条件，这个例子说明李普希兹条件不是保证初值解唯一的必要条件.为了保证方程(2.1)的初值解的唯一性，有着比李普希兹条件更弱的条件.直到现在，唯一性问题仍是一个值得研究的课题.下面的例子表明：如果仅有方程(2.1)的右端函数f(x,y)在R上连续，不能保证任何初值问题(2.2)的解是唯一的.例例2讨论方程解的唯一性.解解方程的右端函数,在全平面连续，当时，用分离变量法可求得通解，C为任意常数.又y=0也是方程的一个特解，积分曲线如图27.图2-7从图上可以看出，上半平面和下半平面上的解都是唯一的，只有通过x轴上任一点的积分曲线不是唯一的，记过该点的解为，它可表为：对任意满足的a和b.本本节要点：要点：1一阶显式方程在其定义域内定义了一个线素场，积分曲线在其上每一点都与线素场的线素相切2解的存在唯一性定理的证明3定理条件的理解（1）李普希兹条件是保证解唯一的充分条件而非必要条件（2）仅有连续条件不能保证解唯一（3）定理的结论：解的存在区间是局部的第10讲解的延展上节我们给出了初值问题(2.2)解的存在唯一性定理.应该注意到，这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是“很小”的.通常方程(2.1)的右端函数f(x,y)存在区域D可能是很大的，这样，我们自然要讨论，此时初值问题(2.2)的解的存在区间是否可以扩大.2.3.1延展解、不可延展解的定义定义2.1设是初值问题（2，2）在区间上的一个解，如果（2，2）还有一个在区间上的解，且满足(1)(2)当时，则称解是可延展可延展的，并称是在I上的一个延展解延展解.否则，如果不存在满足上述条件的解，则称是初值问题(2.2)的一个不可延展解不可延展解，(亦称饱和解).这里区间I和可以是开的也可以是闭的.3.2不可延展解的存在性定定义2.2设定义在开区域上，如果对于D上任一点，都存在以为中心的，完全属于D的闭矩形域R，使得在R上的关于y满足李普希兹条件，对于不同的点，闭矩形域R的大小以及常数N可以不同，则称在D上关于y满足局部李普希局部李普希兹条件条件.定理定理2.3如果方程(2.1)的右端函数在区域上连续，且对y满足局部李普希兹条件，则对任何，初值问题(2.2)存在唯一的不可延展解.证明思路：仅证方向，（方向同理）任取点存在唯一解在=上有定义又点存在唯一解在=上有定义图28由解的唯一性，在I0和I1的公共部分上，的一个延展解继续这种延展过程，直到一个解，它再也不能向左右两方延展了，这个解就是不可延展解，就是初值问题（2.2）不可延展解的存在区间，这样，就完成了定理的证明显然，不可延展解的存在区间必定是一个开区间.因为如果区间右端点是闭的那么解的曲线可以达到.于是点，由定理2.2，可将延展到的右方，这与是不可延展解矛盾.同理，这个区间的左端点也必定是开的.2.3.3不可延展解在端点的性状下面讨论初值问题(2.2)的不可延展解，当x趋于区间的端点时的性状引理引理设是有界开区域，在D上有界、且对y满足局部李普希兹条件.如果是初值问题(2.2)在D上的不可延展解，则当时，相应积分曲线上的点都趋于D的边界.证明明首先证明极限的存在性.事实上，由于初值问题(2.2)的解满足下面的积分方程因此对任意,有由柯西收敛判别准则，“柯西收敛准则1数列收敛对，N，使当，就有2存在对，N，使当，时，总有3存在对，A0，使当，总有”可知和都存在.记D的边界为，现证明.利用反证法，假如是是D的内点，则由定理2.2可知，存在，使得解可以延到区间上，这与是不可延展解的存在区间的右端点的假设矛盾.因此点属于D的边界点.同理，点也属于D的边界点.证毕.现在我们可以给出不可延展解的重要性质：定理定理2.4如果方程(2.1)的右端函数在(有界或无界)区域D上连续，且关于y满足局部李普希兹条件，那么对于D上任意一点，方程(2.1)的以为初值的不可延展解，当时，相应积分曲线上的点都趋于D的边界.证明明作有界区域，使得且.显然，当D为平面上有界区域时，只要取Dn为D的边界的内侧邻域即可.当D为无界时，可取D与闭圆域的交集.如此取的Dn满足上面的条件.对于区域D，由于，由引理可知积分曲线可以到达D的边界点A和B对于区域D，再次利用引理，积分曲线又可以到达的边界点A和B如此继续下去，积分曲线可以到达Dn的边界点An和Bn，于是我们在积分曲线上得到两个点列因为当,分别趋于D的边界，证毕注注1.“积分曲线趋于D的边界”是指积分曲线上的点当和可以与无限接近，但是极限不一定存在.通常把向右侧延展的解称为右行解，反之则称为左行解.由上面的证明，不难得到.推推论在定理2.4中的右行不可延展解的存在区间必为下列情形之一：(1)，），(见图291)，或(2)，b)，b为有限数在后一种情形下，有且仅有下面二种可能当xb0时，无界；(见图292),在x0,b上有界，且注2.在x0,b)上有界时，若存在有限值d，那么(b,d),(见图293).若不存在，xb0时，的值振荡,那么.(见图294).左行不可延展解的存在区间有相同结论.图291图292图293图294例例1试讨论方程通过点(1,1)的解和通过点(3,1)的解的存在区间.解解此时区域D是整个平面.方程右端函数满足延展定理的条件.容易算出，方程的通解是故通过(1,1)的积分曲线为它向左可无限延展，而当x20时，y+,所以，其存在区间为(,2)参看图210.图210通过(3,1)的积分曲线为它向左不能无限延展，因为当x2+0时，y,所以其存在区间为(2,+).顺便指出：这个方程只有解y=0可以向左右两上方向无限延展.这个例子说明，尽管在整个平面满足延展定理条件，解上的点能任意接近区域D的边界，但方程的解的定义区间却不能延展到整个数轴上去.例例2讨论方程解的存在区间.解解方程右端函数在无界区域内连续，且对y满足李普希兹条件，其通解为过D内任一点的初值解.图211在(0,+)上有定义，且当x0时，该积分曲线上的点无限接近D的边界线x=0，但不趋向其上任一点(图211).在区域内的讨论是类似的.延展定理是常微分方程中一个重要定理.它能帮助我们确定解的最大存在区间.从推论和上面的例子可以看出，方程的解的最大存在区间是因解而异的.例例3考虑方程假设及在平面上连续，试证明：对于任意及,方程满足的解都在(,+)上存在.图212证明明根据题设，可以证明方程右端函数在整个平面上满足延展定理及存在与唯一性定理的条件.易于看到，为方程在(,+)上的解.由延展定理可知，满足任意，的解上的点应当无限远离原点，但是，由解的唯一性，又不能穿过直线，故只能向两侧延展，而无限远离原点，从而这解应在(,+)上存在(图212).本本节要点：要点：1不可延展解的定义2不可延展一定存在3不可延展在区间端点的性状（1）右端函数与不可延展解的关系，（2）如何判断方程解在(,+)上整体存2.4.1奇解奇解在本章2.2节的例2中，我们已经看到方程的通解是，还有一解，除解外，其余解都满足唯一性，只有解所对应的积分曲线上每一点，唯一性都被破坏.这样的解在许多方程中存在.例例1求方程的所有解.解解该方程的通解是此外还有两个特解和.由于该方程右端函数的根号前只取+号，故积分曲线如图213所示，图2-13显然解和所对应的积分曲线上每一点，解的唯一性均被破坏。本节主要讨论一阶隐式方程(1.8)和一阶显式方程(1.9)的解唯一性受到破坏的情形，显然这样的解只能存在于方程不满足解的存在唯一性定理条件的区域内。对于方程(1.9)，由定理2.2，这样的区域可用无界去检验，而对于隐式方程(1.8)，一般来说，若能解出几个显式方程那么对每一个方程，应用定理2.2即可。其次对于方程(1.8)，如果函数F(x,y,y)对所有变量连续且有连续偏导数，并且在的邻域内有成立，那么应用数学分析中的隐函数定理，可解得其中函数f(x,y)是连续的且有连续偏导数，特别有这样一来，对方程(1.8)初值解的存在唯一性定理的条件也就清楚了。因此，我们可以就方程(1.8)或(1.9)给出奇解的定义。定义定义2.3如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解奇解。奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线奇积分曲线由上述定义，可见2.2节例2中的解是方程的奇解，而例1中的解和是方程的奇解。2.4.2不存在奇解的判别法不存在奇解的判别法假设方程(1.9)的右端函数在区域上有定义，如果在D上连续且在D上有界(或连续)，那么由本章定理2.2，方程的任一解是唯一的，从而在D内一定不存在奇解。如果存在唯一性定理条件不是在整个有定义的区域D内成立，那么奇解只能存在于不满足解的存在唯一性定理条件的区域上.进一步如果再能表明在这样的区域上不存在方程的解，那么我们也可以断定该方程无奇解。例例2判断下列方程(1)(2)是否存在奇解。解解(1)方程右端函数,均在全平面上连续，故方程(1)在全平面上无奇解。(2)方程右端函数在区域上有定义且连续，在yx上有定义且连续，故不满足解的存在唯一性定理条件的点集只有y=x，即若方程(2)有奇解必定是y=x，然而y=x不是方程的解，从而方程(2)无奇解。2.4.3包络线及奇解的求法包络线及奇解的求法下面，我们从几何的角度给出一个由一阶方程(1.9)或(1.8)的通积分求它奇解的方法。当任意常数C变化时，通积分给出了一个单参数曲线族(C)，其中C为参数，我们来定义(C)的包络线。定定义2.4设给定单参数曲线族(2.10)其中C为参数，对所有变量连续可微.如果存在连续可微曲线L，其上任一点均有(C)中某一曲线与L相切，且在L上不同点，L与(C)中不同曲线相切，那么称此曲线L为曲线族(C)的包包络线或简称包包络。见图214图2-14定理定理2.5方程(1.9)的积分曲线族(C)的包络线L是(1.9)的奇积分曲线。证明证明只须证明(C)的包络线L是方程(1.9)的积分曲线即可。设p(x,y)为L上任一点，由包络线定义，必有(C)中一曲线l过p点，且与L相切，即l与L在p点有公共切线。由于l是积分曲线，它在p点的切线应与方程(1.9)所定义的线素场在该点的方向一致，所以L在p点的切线也就与方程(1.9)在该点的方向一致了。这就表明L在其上任一点的切线与方程(1.9)的线素场的方向一致，从而L是(1.9)的积分曲线。证毕。有了这个定理之后，求方程(1.9)的奇解问题就化为求(1.9)的积分曲线族的包络线的问题了.下面我们给出曲线族包络线的求法。定理定理2.6若L是曲线族(2.10)的包络线，则它满足如下的C判别式(2.11)反之，若从(2.11)解得连续可微曲线且满足：和,（称为非退化条件），则是曲线族的包络线.证明明对L上任取一点p(x,y)，由包络线定义，有(C)中一条曲线l在p点与L相切，设l所对应的参数为C，故L上的点坐标x和y均是C的连续可微函数，设为又因为p(x,y)在l上，故有恒等式(2.12)L在p点的切线斜率为l在p点的切线斜率为因为l与L在p点相切，故有，即有关系式(2.13)另一方面，在(2.12)式两端对C求导得此式与(2.13)比较，无论是在同时为零，或不同时为零的情况下均有下式(2.14)成立.即包络线满足C判别式(2.11).反之，在上任取一点q(C)=(C),(C),则有(2.15)成立.因为不同时为零，所以对(2.10)在q点利用隐函数定理可确定一条连续可微曲线,它在q点的斜率为(2.16)另一方面，在q点的斜率为(2.17)现在，由(2.15)的第一式对C求导得再利用(2.15)的第二式推出(2.18)因为和分别不同时为零，所以，由(2.18)、(2.17)和(2.16)推出,即曲线族(2.10)中有曲线在q点与曲线相切.因此，是曲线族(2.10)的包络线。例例3求的奇解.解解在本章2.2节已解得方程通解为由C判别式解得.由于,所以为原方程的奇解.例例4求方程的奇解。解解由上面的例1，该方程的通解为,由C判别式(2.19)的第二式解出代入第一式，得到。因为，故为方程的奇解。例5求克莱洛方程的奇解，其中是二次可微函数且。解解由第1章1.6节的例2可知该方程的通解为C判别式为(2.19)因为,故由(2.19)所确定的曲线必定是克莱洛方程的奇解.即克莱洛方程总有奇解。本节要点本节要点：1.奇解的定义。2.不存在奇解的判别方法。（1）全平面上解唯一不存在奇解。（2）不满足解唯一的区域上没有方程的解无奇解。3.求奇解的包络线求法。包络线满足C判别式。在非蜕化条件下，从C判别式解出的曲线包络线2.5解解对初初值的的连续依依赖性性直到现在，我们都是把初值看成固定的数值，然后再去研究微分方程(2.1)经过点的解.这个解是自变量x的函数.易于看出，当初值x0和y0变动时，对应的解也要跟着变动.所以，方程(2.1)的解也应该是初值的函数.例如，方程过点的解为，它显然是所有变量,和的函数.对于一般情形，为了表示微分方程(2.1)过点的解是所有变量,和的函数，我们采用记号.按记号的定义，应有现在提出一个应用上很重要的问题：当初值发生变化时，对应的解是怎样变化的?我们知道，很多自然现象的研究都可以归结为求某些微分方程满足其初值的解.但是这些初值是要通过实验来测定的，因此所得到的数据总会有些误差，如果所测定的初始值的微小误差引起相应解产生巨大的变化，那么在有些问题上所求的初值问题的解在实用上就不会有多大的价值.所以，实际应用上经常要求，在所研究的现象的某个有限过程中，当初值,变化不大时，相应的解变化不大.下面给出其数学上的确切的定义.定定义2.5设初值问题的解在区间上存在，如果对任意，存在,使得对于满足的一切，相应初值问题(2.2)的解都在上存在，且有则称初值问题(2.2)的解在点连续依赖于初值，(图2-16)。图 2-16定理2.7(解对初值连续依赖定理)设f(x,y)在区域D内连续，且关于变量y满足李普希兹条件.如果，初值问题(2.2)有解,且当时，,则对任意，存在，使对于满足的任意，初值问题(2.2)的解也在区间上有定义，且有证明明对给定，选取，使得闭区域U：整个含在区域D内，这是能够做到的，因为区域D是开的，且当时，,所以，只要选取足够小，以曲线为中线，宽为2的带开域U就整个包含在区域D内，如图217所示.图217选取满足其中N为李普希兹常数，另外，还要保证闭正方形含于带形区域U的内部。由存在唯一性定理可知，对于任一,在的某领域上存在唯一解，且在尚有定义的区间上，有(2.20）另外，还有对上述两式作差并估值：由贝尔曼不等式，则有(2.21)因此，只要在尚有定义的区间上，就有(2.21)式成立.下面我们要证明在区间上有定义，只证在区间上有定义，对区间可类似证明.因为解不能越过曲线，但是，由解的延展定理，解可以延展到无限接近区域D的边界，于是，它在向右延展时必须由穿出区域U，从而必须在上有定义，定理证毕.例例1考虑与2.2节例1类似的方程易知为解，为解，上半平面通解为,下半平面通解为.积分曲线大致如图218。图图2-18可以看到，对于轴上的初值,在任意有限的闭区间上解对初值连续依赖，但是，在上，无论,如何接近，当充分大时，过的积分曲线就不能与过的积分曲线(即)任意接近了。这个例子说明，解在有限闭区间上对初值的连续依赖性不能推出解在无限区间上对初值的连续依赖性，讨论后一问题属于稳定性理论，我们将在第五章作简略的介绍.第三章线性微分方程组第三章线性微分方程组31一阶微分方程组一阶微分方程组在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质.例如，已知在空间运动的质点的速度与时间及点的坐标的关系为且质点在时刻经过点，求该质点的运动轨迹。因为和,所以这个问题其实就是求一阶微分方程组的满足初始条件的解。另外，在n阶微分方程（1.12）中,令就可以把它化成等价的一阶微分方程组注意，这是一个含n个未知函数的一阶微分方程组。含有n个未知函数的一阶微分方程组的一般形式为：(3.1)方程组(3.1)在上的一个解，是这样的一组函数使得在上有恒等式含有n个任意常数的解称为(3.1)的通解通解.如果通解满足方程组则称后者为(3.1)的通通积分分.如果已求得(3.1)的通解或通积分，要求满足初始条件(3.2)的解，可以把初始条件(3.2)代入通解或通积分之中，得到关于的n个方程式，如果从其中解得，再代回通解或通积分中，就得到所求的初值问题的解.为了简洁方便，经常采用向量与矩阵来研究一阶微分方程组(3.1).令n维向量函数并定义则(3.1)可记成向量形式(3.3)初始条件(3.2)可记为,其中(3.2)(3.3)的满足(3.2)的初值问题可记为(3.4)这样，从形式上看，一阶方程组与一阶方程式完全一样了.进一步，对n维向量Y和矩阵,定义易于证明以下性质：1.,当且仅当Y=0(0表示零向量，下同);2.3.对任意常数，有4.5.6.对任意常数，有7.8.称Y和A分别为向量Y和矩阵A的范数范数。进而还有如下性质有了n维空间的范数定义后，我们可以定义按范数收敛的概念.即：如果对上的任意x，有则称在上按范数收敛于Y(x).如果上式对上的x为一致的，则称在上按范数一致收敛于。另外，如果对n维向量函数F(x)有则称F(x)在连续.有了以上准备，完全类似于第二章定理2.2，我们有如下的关于初值问题(3.4)的解的存在与唯一性定理.定理定理3.1如果函数F(x,Y)在n+1维空间的区域上满足：1)连续；2)关于Y满足李普希兹条件，即存在N0,使对于R上任意两点，有则存在,使初值问题(3.4)的解在上存在且唯一，其中。定理的证明方法与定理2.2完全类似,也是首先证明(3.4)与积分方程(3.5)同解.为证(3.5)的解在上的存在性，同样用逐次逼近法，其步骤可以逐字逐句重复定理2.2的证明.最后，唯一性的证明，同样用贝尔曼不等式完成。对于方程组(3.3)也有类似第二章关于纯量方程(1.9)的解的延展定理和解对初值的连续依赖性定理，这只要在第二章相应定理中把纯量y换成向量Y即可。最后，我们要指出方程组(3.3)解的几何意义：我们已经知道，纯量方程(1.9)的一个解是二维空间xoy平面上的一条曲线，或称为积分曲线，那么，很自然地有方程组(3.3)的一个解就是n+1维空间(x,Y)中的一条曲线了，也称它为方程组(3.3)的积分曲线。3.2一阶线性微分方程组的一般概念一阶线性微分方程组的一般概念如果在一阶微分方程组(3.1)中，函数，关于是线性的，即(3.1)可以写成(3.6)则称(3.6)为一一阶线性微分方程性微分方程组。我们总假设(3.6)的系数及在某个区间上连续。为了方便，可以把(3.6)写成向量形式.为此,记及根据3.1节的记号，(3.6)就可以写成向量形式(3.7)如果在I上，,方程组(3.7)变成(3.8)我们把(3.8)称为一阶线性齐次方程组一阶线性齐次方程组。如果(3.8)与(3.7)中A(x)相同，则称(3.8)为(3.7)的对应的齐次方程组.与第二章中关于一阶线性微分方程的结果类似，我们可以证明如下的关于(3.7)的满足初始条件(3.2)的解的存在与唯一性定理.定理定理3.1如果(3.7)中的A(x)及F(x)在区间I=上连续，则对于上任一以及任意给定的，方程组(3.7)的满足初始条件(3.2)的解在上存在且唯一.这个定理的证明留给读者完成.它的结论与定理3.1的不同之处是定理3.1的解的存在区间是局部的，而定理3.1则指出解在整个区间上存在.本节要点：本节要点：1一阶微分方程组解的存在唯一性定理及解的几何意义。2一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理及其特征：系数和非齐次项连续区间上整体存在。3.3一阶线性齐次方程组的一般理论1一阶线性齐次微分方程组解的性质本节主要研究一阶线性齐次方程组(3.8)的通解结构.为此我们首先从(3.8)的解的性质入手.定理30)叫作弹性系数，根据所取的坐标系，恢复力f1的方向与位移x的方向相反，所以上式右端添一负号(2)空气的阻力f2，当速度不太大时，空气阻力f2可取为与物体B位移的速度成正比，亦即式中比例常数(0)叫作阻尼系数，式中右边的负号，是由于阻力f2的方向与物体B的速度的方向相反(3)外力因此，我们得到从而我们得物体B在外力作用下的运动微分方程式(4.1)我们将在本章第4节，详细叙述方程(4.1)所描述的弹簧振动的性质由于方程(4.1)是描述物体B在外力f(t)经常作用下的运动，所以方程(4.1)亦称为阻尼强迫振动一般的n阶线性微分方程可以写成如下形状：(4.5)方程(4.5)的初始条件记为(4.6)n阶线性微分方程与第三章讲过的一阶线性微分方程组有着密切的关系，即可以把前者化成后者，而且二者是等价的，这样就可以把前者作为后者的特例加以处理.在方程(4.5)中，令,(4.5)就可以化成一阶方程组(4.7)(4.7)可以写成向量形式(4.8)其中,方程组(4.8)的初始条件可记为Y()=Y0其中引理4.1方程(4.5)与方程组(4.7)是等价的，即若是方程(4.5)在区间I上的解，则，是方程组(4.7)在区间I上的解；反之，若，是方程组(4.7)在区间I上的是方程(4.5)在区间I上的解.证明设是方程(4.5)在区间I上的解.令，(4.9)则有(4.10)在区间I上恒成立.这表明，是方程组(4.7)在区间I上的解.反之，设，是方程组(4.7)在区间I上的解.于是(4.10)式在区间I上恒成立.由(4.10)的前n-1个等式.可以看出，函数，满足关系式(4.9)，将它们代入到(4.10)的最后一个等式，就有在区间I上恒成立，这就表明是方程(4.5)在区间I上的解.证毕.由引理4.1和第三章的定理3.1,我们立即可以得到下面的定理定理4.1如果方程(4.5)的系数(k=1,2,，n)及其右端函数f(x)在区间I上有定义且连续，则对于I上的任一及任意给定的，方程(4.5)的满足初始条件(4.6)的解在I上存在且唯一.在下面的讨论中，总假设(4.5)的系数(k=1,2,，n)及其右端函数f(x)在区间I上连续，从而，方程(4.5)的满足初始条件(4.6)的解在整个区间I上总存在且唯一.如果在(4.5)中，在区间I上恒等于零,(4.5)变成(4.11)方程(4.11)称为n阶线性齐次微分方程(或简称n阶齐次方程)，与此相应，(4.5)称为n阶线性非齐次微分方程(或简称n阶非齐次方程).有时，为了叙述上的方便，还称(4.11)为(4.5)的对应的齐次方程.4.1.2n阶线性齐次微分方程的一般理论由引理4.1，齐次方程(4.11)等价于下面的一阶线性齐次微分方程组(4.12)这里和Y与(4.8)中的相同.于是由第三章的定理3.2可知，齐次方程(4.11)的所有也构成一个线性空间.为了研究这个线性空间的性质，进而搞清楚(4.11)的解的结构，我们需要下面的定义和引理.定义4.1函数组，称为在区间I上线性相关性相关，如果存在一组不全为零的常数,，使得+=0(4.13)在区间I上恒成立.反之，如果只当=0时，才能使(4.13)在I上成立，则称函数组，在I上线性无关性无关.引理4.2一组n1阶可微的数值函数，在I上线性相关的充要条件是向量函数组,(4.14)在I上线性相关.证明若，在I上线性相关，则存在一组不全为零的常数,，使得+=0(4.15)在I上恒成立.将(4.15)0式对x逐次微分n1次，得+=0(4.15)+=0(4.15)n-1联合(4.15)，(4.15)，(4.15)n1，就得到向量函数组(4.14)是线性相关的.反之，若向量函数组(4.14)在I上线性相关，则存在不全为零的常数,，使得(4.15)，(4.15)，(4.15)n-1各式在I上恒成立，由(4.15)表明，在I上线性相关.证毕.由引理4.2，为了建立函数组线性相关与线性无关的判别法则，自然需要引入下面的定义.定义4.2设函数组，中每一个函数均有n1阶导数，我们称行列式为已知函数组的朗斯基(Wronski)行列式.有了以上的准备工作，我们现在可以清楚地看到，齐次方程(4.11)的一般理论完全可以归结为第三章中一阶线性齐次微分方程组的一般理论来加以处理.由3.3中关于齐次方程组的有关定理，可以自然地得到下面的关于齐次方程(4.11)的一系列定理.定理4.2齐次方程(4.11)的n个解，在其定义区间I上线性无关(相关)的充要条件是在I上存在点x0，使得它们的朗斯基行列式W(x)0(W(x)0).定理4.3如果，是方程(4.11)的n个线性无关解，则y=+(4.16)是方程(4.11)的通解，其中为n个任意常数.通常称定理4.3为方程(4.11)的基本定理.定义4.3方程(4.11)的定义在区间I上的n个线性无关解称为(4.11)的基本解组基本解组.由定义4.3，方程(4.11)的基本定理又可叙述为：方程(4.11)的通解为它的基本解组的线性组合.例3易于验证函数y=cosx,y=sinx是方程yy=0的解.并且由它们构成的朗斯基行列式在（，）上恒成立，因此，这两个函数是已知方程的两个线性无关解，即是一基本解组，故该方程的通解可写为y(x)=Ccosx+Csinx其中,C，C是任意常数.不难看出，对于任意的非零常数k和k函数组ykcosx，y=ksinx都是已知方程的基本解组基本定理表明，齐次方程(4.11)的所有解的集合是一个n维线性空间.进一步，我们还有定理4.4n阶齐次方程(4.11)的线性无关解的个数不超过n个.定理4.5n阶齐次方程(4.11)总存在定义在区间I上的基本解组.最后，齐次方程(4.11)的解与它的系数之间有如下关系.定理4.6设，是方程(4.11)的任意n个解，W(x)是它们朗斯基行列式，则对区间I上的任一x有W(x)=W(x)（4.11）上述关系式称为刘维尔(Liouville)公式.由公式(4.17)可以再次看出齐次方程(4.11)的朗斯基行列式的两个重要性质：方程(4.11)解的朗斯基行列式W(x)在区间I上某一点为零，则在整个区间I上恒等于零.方程(4.11)解的朗斯基行列式W(x)在区间I上某一点不等于零，则在整个区间I上恒不为零下面给出刘维尔公式的一个简单应用：对于二阶线性齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0如果已知它的一个非零特解y，依刘维尔公式(4.17),可用积分的方法求出与y1线性无关的另一特解，从而可求出它的通解.设y是已知二阶齐次方程一个解，根据公式(4.17)有或为了积分上面这个一阶线性方程，用乘上式两端，整理后可得由此可得易见是已知方程的另一个解，即C*=0,C=1所对应的解.此外，由所以，所求得的解y与已知解y是线性无关解.从而，可得已知方程的通解（4.18）其中C*和C是任意常数.例例4求方程的通解.解容易看出，已知方程有特解yx.此处,根据公式(4.18)，立刻可以求得通解4.1.3n阶线性非齐次微分方程的一般理论由于n阶非齐次方程(4.5)等价于一阶非齐次方程组(4.7)，于是由第三章的定理3.10，我们有下面的定理4.7n阶线性非齐次方程(4.5)的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和.由此可见，求(4.5)的通解问题，就归结为求(4.5)的一个特解和对应齐次方程的一个基本解组的问题了.和一阶非齐次线性微分方程组一样，对于非齐次方程(4.5)，也能够由对应齐次方程的一个基本解组求出它本身的一个特解，即常数变易法.具体作法如下.设是(4.5)的对应齐次方程的n个线性无关解，则函数y=Cy+Cy+Cnyn是(4.5)的对应齐次方程的通解，其中C，C，Cn是任意常数.现在设一组函数，使(4.19)成为非齐次方程(4.5)的解由非齐次方程(4.5)与一阶非齐次方程组(4.7)的等价关系和第三章的(3.18)式，可知，满足下面的非齐次方程组=它是关于变量的线性代数方程组，由于它的系数行列式恰是齐次方程的n个线性无关解的朗斯基行列式W(x)，故它恒不为零，因此，上述方程组关于有唯一解.解出后再积分，并代入到(4.19)中，便得到(4.5)的一个特解.例5求非齐次方程的通解.解由例3知，是对应齐次方程的线性无关解，故它的通解为现在求已知方程形如的一个特解.由关系式(4.20),满足方程组=或写成纯量方程组解上述方程组，得,积分得，故已知方程的通解为y=C1cosx+C2sinx+cosxlncosx+xsinx本讲要点：1n阶线性方程（4.5）与一阶线性方程组（4.7）的等价关系2n阶线性方程（4.5）解的存在区间的特殊性3通过（4.5）与（4.7）的等价关系得到n阶线性方程（4.5）解的线性似性质，通解结构定理以及解与系数的关系一刘维尔公式4非齐次通解结构定理及常数变易法6常数4.2n阶常系数线性齐次方程解法本节只讨论常系数线性齐次方程yn+a_1y(n-1)+a_n-1y+a_ny=0（4.21）的求解问题，这里a_11，a_2，a_n为实常数.由定理4.3，我们知道(4.21)的求解问题归结为求其基本解组即可.虽然对于一般的线性齐次微分方程，人们至今没有找到一个求其基本解组的一般方法，但是对于方程(4.21)，这一问题已彻底解决.其中，一个自然的作法是把(4.21)化成与之等价的一阶线性常系数齐次微分方程组，然后按3.5节的有关解法及引理4.1和引理4.2，就可以求得(4.21)的基本解组.但是这样的推导过程并不十分简洁，因此我们这里将对方程(4.21)采用下面的待定指数函数法求解.首先，研究一个简单的一阶方程y+ay=0（4.22）其中a是常数，不难求出它有特解y=e-ax.比较(4.21)与(4.22)，我们可以猜想方程(4.21)也有形如y=ex（4.23）的解，其中是待定常数.将(4.23)代入(4.21)中得到(n+an1+an+an)ex=0（4.24）因为ex0，所以有P()=n+a1n1+an+an=0（4.25）我们称(4.25)为方程(4.21)的特征方程，它的根称为特征根.这样，y=ex是方程(4.21)的解，当且仅当是特征方程(4.25)的根.下面分两种情形讨论.4.2.1特征根都是单根.定理4.8若特征方程(4.25)有n个互异根1，2，n，则（4.26）是方程(4.21)的一个基本解组.证明显然，(i=1,2,，n)分别是(4.21)的解.它们的朗斯基行列式从而(4.26)是方程(4.21)的一个基本解组.上述行列式为著名的范德蒙(Vandermond)行列式例1求方程y5y=0的通解.解特征方程为250特征根为10，25，故所求通解为y=C1+C2e5x其中C1，C2为任意常数.例2求方程y5y+6y0的通解及满足初始条件：当x=0时，y=1,y2的特解.解特征方程为25+60特征根为12，23，故所求通解为y=C1e2x+Ce3x其中C1，C2为任意常数.将初始条件代入方程组得由此解得C20，C11.因而所求特解为y=e2x特征方程(4.25)可能有复根，由于其系数是实的，它的复根一定是共轭成对地出现.即此时在相异特征根1，2，n中有复数，比如k=a+ib，(a,b为实数)，则k+1=aib也是(4.25)的根.由定理4.8，这两个特征根所对应的解是实变量复值函数yk=e(a+ib)x=eaxcosbx+ieaxsinbxyk1=e(a-ib)x=eaxcosbxieaxsinbx我们可以按照3.5节中对常数线性方程组的同样处理方法，把这两个复值解实值化，即取其实部eaxcosbx和虚部eaxsinbx作为这两个根所对应的解，并且它们与其余的特征根所对应的解仍然是线性无关的.例3求方程的通解.解特征方程为3329130或(+1)(2413)0由此得11，22+3i，323i因此，基本解组为e-x，e2xcos3x，e2xsin3x通解为y=C1e-x+e2x(C1cos3x+C3sin3x)例4求方程的通解.解特征方程为32440由于32442(1)+4(1)=(1)(4)故特征根为1，2i，2i基本解组为ex,cos2x，sin2x故所求通解为y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x通解为y=C1e-x+e2x(C1cos3x+C3sin3x)4.2.2特征根有重根设是(4.25)的重根(实的或复的)，由定理4.8知是(4.21)的一个解，如何求出其余的k1个解呢?先看一下最简单的二阶常系数方程ypy+qy0并设p24q.特征方程为2p+q=0由于p24q，易见是二重特征根，它对应的解为现求已知方程和y1线性无关的另一特解.由公式(4.18)，这一特解可取为这样，二重特征根所对应的两个线性无关解是进一步，可以证明，若1是(4.25)的k重根，则(4.21)有形如的k个特解.为此，只需证明：对m=0,1，k1，总有这里L是由方程(4.21)左端所定义的线性微分算子，即Ly=y(n)+a1y(n-1)+an-1y+any(4.27)首先，我们知道，若1是(4.25)的k重根，则有(4.28)其次，易见又由于(4.29)于是由(4.28)立刻得到函数都是(4.21)的解.一般地，当特征方程有多个重根时，如何确定该方程的基本解组，我们有下面的定理4.9如果方程(4.21)有互异的特征根1，2，p，它们的重数分别为m1，m2，mp，mi1，且m1m2mpn，则与它们对应的(4.21)的特解是(4.30)且(4.30)构成(4.21)在区间(，)上的基本解组.这个定理的证明请见教材在(4.30)中可能出现复解，比如1a+ib是(4.21)的m1重特征根，则其共轭aib也是(4.21)的m重特征根.因此，此时(4.30)中含有如下的2m1个解与单特征根处理复值解的同样作法，我们可在(4.30)中用下面的2m1个实值解替换这2m1个复值解.对于其它复根也同样处理，最后就得到方程(4.21)的n个线性无关的实解.例5求方程y4y+4y0的通解.解特征方程为244012是二重特征根，故所求通解是y=e2x(C1C2x)例6求方程的通解.解特征方程是44352440由于4435244(2)2(21)故特征根是1,22，3i，4i它们对应的实解为所求通解为例7求方程的通解.解特征方程是332310由于33231=(1)3故特征根为1,2,31所对应的解为ex,xex,x2ex故所求通解为y=ex（C1C2xC3x2）笨节所介绍的求解方程(4.21)的方法，不仅可以求出其通解和初值问题解，而且还能求出边值问题解，初值问题和边值问题都是常微分方程的定解问题常微分方程的边值问题与求解某些偏分微方程密切相关，例如弦振动方程的求解问题就归结为下面的二阶常系数线性方程边值问题是否存在非零解例8试讨论为何值时，方程y+y=0存在满足y(0)=y(1)=0的非零解解当=0时，方程的通解是y=C1+C2x要使y(0)=y(1)=0，必须C1=C2=0，于是y(x)0.当0时，方程的通解是这要使y(0)=0，必须有C1=0，于是要使y(1)=0，只要即可要使,当且仅当,从而时方程有非零解yn(x)=C2sinnx(C20,n=0,1,2,).本节要点：本节主要介绍n阶常系数线性齐次方程（4.21）的解法，所采用的是待定指数函数解法这一方法的特点是把求解方程（4.21）化为求对应特征方程（4.25）的特征根问题求解时关键是要熟练掌握特征根为单根、重根时对应解的形式4.3n阶常系数线性非齐次方程解法本节研究n阶常系数线性非齐次方程(4.33)的解法.我们已知道，(4.33)的通解等于它的对应齐次方程通解和它本身一个特解之和.我们在上一节已经掌握了齐次方程通解的求法，现在问题归结到如何求(4.33)的一个特解，其方法主要有两种，一种是常数变易法，这在4.1己介绍过，它是求非齐次方程特解的一般方法，但计算比较麻烦.下面介绍第二种方法，即待定系数法，其计算较为简便，但是主要适用于非齐次项的某些情形.这里，我们考虑如下两种类型的非齐次项其中都是已知多项式，是常数我们称前者为第一类型非齐4.3n阶常系数线性非齐次方程解法本节研究n阶常系数线性非齐次方程(4.33)后者为第二类型齐次项4.3.1第一类型非齐次项特解的待定系数解法现在，考虑时，非齐次方程(4.33)的非齐次特解的求法，先从最简单的二阶方程（4.34）开始.因为经过求任意阶导数再与常数线性组合后，仍是原类型函数，所以，自然猜想到(4.34)有形如y=Aex（4.35）的特解，其中A为待定常数.将(4.35)代入(4.34)得到则(4.36)这样，当不是特征方程2p+q=0（4.37）的根时，则用(4.36)所确定的A便得到(4.34)的特解.当是(4.37)的单根时，即，这时(4.36)无法确定A.此时，可设特解为y=Axex(4.38)并将它作为形式解代入(4.34)式，得AxA(2p)因是单特征根，故可解出(4.39)这时(4.34)便有形如(4.38)的特解，其中A由(4.39)确定.如果是(4.37)的重根，则，这时(4.38)的形式已不可用.此时，可设特解为y=Ax2将它作为形式解，代入(4.34)得到由于是二重根，故上式左端前两个括号内的数为零，由此得到综上所述，可以得到如下结论：如果不是(4.37)的根，则(4.34)有形如A的特解；如果是(4.37)的单根，则(4.34)有形如Ax的特解；如果是(4.37)的重根，则(4.34)有形如Ax2的特解.例1求方程y3ye5x的通解.解先求齐次通解，特征方程为230特征根为10，23故齐次方程的通解为y=CCe3x由于不是特征根，故已知方程有形如yAe5x的解.将它代入原方程，得到25Ae5x15Ae5x=e5x于是，已知方程有特解，从而得通解例2求方程的通解.解对应齐次方程的特征方程为10特征根是，对应齐次通解为y=Cex+Ce-x由于是特征方程的根，故已知方程有形如y=Axex的特解.将它代入原方程，得从而，故,由此得通解上述关于二阶方程的结果，可以推广到n阶常系数线性非齐次方程(4.33)设Pm(x)是m次实或复系数的多项式，即(4.40)则有(1)当不是特征根时，(4.33)有形如y1(x)=Qm(x)的特解，其中m(x)=q0xm+q1xm1+qm1x+qm(2)当是k(1)重特征根时，(4.33)有形如y1(x)=xkQm(x)的特解，其中Qm(x)也是上述的m次多项式.证明见教材例3求方程y5y6y=6x210x2的通解.解先求对应齐次方程y5y6y=0的通解.特征方程是2560由于256(2)（3），故特征根12，23，从而，对应齐次方程通解为y=C1e2x+C2e3x因为不是特征根，因而已知方程有形如y1=x2+Bx+C的特解.为确定出系数A，B，C，将它代入原方程中.由于故2A5(2Ax+B)+6(Ax+Bx+C)=6x10x+2或6Ax2+(6B10A)x+2A5B+6C=6x210x+2比较上式等号两端x的同次幂系数，可得解上述方程组，得A=1,B=0,C=0故已知方程特解为yx已知方程的通解为y=xCe2x+Ce3x例4求方程y5y5x2x的通解.解对应齐次方程的特征方程为50，(5)0特征根为0，5，齐次方程的通解为y=CCe5x由于是单特征根，故已知非齐次方程有形如y=x(AxBx+C)的特解.将它代入已知方程，并比较x的同次幂系数，得故，最后可得所求通解例5求方程y4y+4y2e2x的通解.解由于2440，1,22故齐次方程通解为y=e2x(C12x)由于是二重特征根，故已知非齐次方程有形如y1x2e2x的特解将它代入已知方程，比较x的同次幂系数，得A1所求通解为yx2e2xe2x(C12x)4.3.2第二类型非齐次项特解的待定系数解法考虑时，非齐次方程(4.33)的特解的求法设上式中的与是x的次数不高于m的多项式，但二者至少有一个的次数为m.根据欧拉公式，有这样一来f(x)可改写成(4.4.1)其中，,是m次多项式.因此，(4.41)式相当于两个(4.40)形状的函数相加.再由非齐次方程的一个性质迭加原理，情形(4.41)可化为情形(4.40).下面就来介绍迭加原理.迭加原理设有非齐次方程=f(x)+f2（x）（4.42）且y1(x),y2(x)分别是方程且y1(x),y2(x)分别是方程=f(x),=f2(x)的解，则函数y1(x)+y2(x)是方程(4.42)的解.证明由于Ly(x)=f(x)，Ly(x)=f2(x)故有证毕.根据迭加原理，就可以把情形(4.41)化为(4.40)了.再根据对于(4.40)讨论的结果，我们有如下的结论：(1)如果不是特征根，则(4.33)有形如(4.43)的特解，其中与是m次多项式(2)如果是k重特征根，则(4.33)有形如(4.44)的特解，其中与是m次多项式.为了求得对于(4.41)的情形方程(4.33)的实特解，可以由的定义，将(4.43)与(4.44)化成三角函数的形式.于是，对应于上述两种情形，有：(3)如果不是特征根，则特解具有形状其中，是系数待定的m次多项式.(4)如果是k重特征根，则特解应具形状其中，是系数待定的m次多项式.，的系数的求法和上面类似，即把y1代入原方程，再比较x的同次幂系数即可求得.值得注意的是，即使在，中有一个恒为零，这时方程(4.33)的特解仍具有形状(4.43)，(4.44).即不能当0时在(4.43)或(4.44)中就令0，而0时，就令例6求方程yy2y=ex(cosx7sinx)的通解.解先求解对应的齐次方程：yy2y=0我们有220，1，2y=CexCe2x因为数=1i不是特征根，故原方程具有形如y1ex(Acosx+Bsinx)的特解.将上式代入原方程，由于y1ex(Acosx+Bsinx)y1ex(AB)cosx+(BA)sinxy1ex2Bcosx2Asinx故或比较上述等式两端的cosx,sinx的系数，可得A+3B=1,3AB=7因此，A=2，B=1.故yex（2cosxsinx）所求通解为y=ex(2cosx+sinx)+Cex+Ce2x例7求方程y+y=2sinx的通解.解齐次方程是y+y=0，我们有210，1，2iy=C1cosx+C2sinx由于=i是特征方程的单根，故所求特解应具形式y1=x(Acosx+Bsinx)现将上式代入原方程，确定系数A，B.由于可求得A1，B0y1xcosx因而，所求通解为y=xcosx+C1cosx+C2sinx例8求方程y6y5y3ex5x2的通解.解对应的齐次方程是y6y5y0.我们有2650，11，25故它的通解是y=C1exC2e5x.因为原方程右端由两项组成，根据迭加原理，可先分别求下述二方程y6y5y3exy6y5y5x2的特解，这二特解之和即为原方程的一个特解.对于其中第一个方程，有对于第二个方程，有因而，为原方程的一个特解，其通解为本节要点：本节主要内容是介绍如何求解n阶常系数线性非齐次方程的解法非齐次方程解法主要有两种，即常数变易法待定系数法前者应用泛围较广，而后者只适用某些特殊的非齐次项形式这里我们把非齐次项分成两个类型加以讨论，但是其核心思想是一致的，即多项式和指数函数的导数还是同类函数，这是待定系数法可行性的基础4.4二阶常系数线性方程与振动现象本节主要是具体求解在4.1节提出的，描述弹簧振动的方程(4.1)并且研究其解的物理意义.如果f(t)0，即假定没有外力f(t)，这时得到方程(4.1)而称弹簧的振动为阻尼自由振动.如果f(t)0且=0，即假定没有外力且忽略阻力，这时得到方程(4.1)而称弹簧的振动为无阻尼自由振动或简谐运动.下面我们分别求解方程(4.1)，(4.1)4.4.1简谐振动无阻尼自由振动.令,方程(4.1)这是一个二阶常系数齐次方程.特征方程为2+k2=0,特征根是1,2=ik,它的通解为x=C1coskt+C2sinkt其中C1,C2是任意常数.为了阐明上式的物理意义，像三角学中常做的那样，我们把上式改写成如下形式：或记为x=Asin(kt+(4.46)其中)由此可见，物体在平衡位置附近作简谐振动(图43)图43量A称为振幅，幅角kt+称为振动的位相(或，称为初位相，是固有振动频率，为周期.易见，k仅与弹簧的刚度和物体的质量有关.因为，则周期还可以表为.将(4.50)对t微分，可以得物体运动的速度简称位相)，位相在t=0时所取之值，即为了确定振幅及初位相，必须给出初始条件.例如，假设在初始时刻t=0时，物体的位置是x=x0，速度是v=v0.这时有x0=Asin,v0=Akcos从而4.4.2阻尼自由振动如果令，则方程(4.1)(4.47)的形式.它是一个二阶常系数线性齐次方程.它的特征方程是22n+k20，特征根是(4.48)现在分三种情况讨论.(1)n2k20，这时对应于介质阻尼相对不太大的情形.如果令，则(4.48)为1,2nik1的形式.这时，方程(4.47)的通解为x=e-nt(C1cosk1tC2sink1t)用类似(4.46)的方法可将它化为x=Aentsin(k1t)（4.49）如果初始条件为：当t=0时x=x0,vv0.为了确定出相应的A及，先来计算将t=0代入x及v的表达式中，可得x0Asin，v0Ak1cosAnsin把第二个方程的两端除以第一个方程相应的两端，得从而，于是因为则(4.49)式表明，这时所发生的是阻尼振动，实际上，振幅Aent是时间t的递减函数，且当t+时，Ae-nt0(图44).图44振动的“周期”由式子振动频率较简谐振动的频率要小()，它也与物体的初始状态无关.(2)n2k2=0,这时通解为x=e-nt(C1+C2t)(4.50)此时运动不具振动性质，且当t+时，x0(图45).图45(3)n2k20，这时对应于介质阻尼相对较大的情形.令n2k2=h2，特征根为1,2=nh=(nh).因为hn，故这时两个特征根均为负，通解为易见，此时运动不是周期的，因而不具振动性质，且当t+时，x0.4.4.3阻尼强迫振动设作用于物体的外力为f(t)=Qsinpt其中p,Q均为常量.这时，方程(4.1)具形式(4.51)其中这是一个二阶常系数线性非齐次方程.它所对应的齐次方程是(4.47).我们假定介质阻尼不太大，即n2k20和t00，存在，使当时有(5.4)对所有的tt0成立，则称(5.1)的零解是稳定的.反之是不稳定的.定义5.2若(5.1)的零解是稳定的，且存在10,使当时有则称(5.1)的零解是渐近稳定的.的零解的稳定性.例2考察系统的零解的稳定性.解在上，取初值为（）的解为：其中对任一，取，则当时，有故该系的零解是稳定的.又因为可见该系统的零解是渐近稳定的.例3考察系统的零解的稳定性.解方程组以（）为初值的解为其中.由于函数et随t的递增而无限地增大.因此，对于任意，不管取得怎样小，只要t取得适当大时，就不能保证小于预先给定的正数，所以该系统的零解是不稳的.例4考虑常系数线性微分方程组(5.5)其中,A是nn阵.证明，若A的所有特征根都具严格负实部，则(5.3)的零解是渐近稳定的.证明不失一般性，我们取初始时刻,设(t)是(5.5)的标准基本解矩阵，由第3章内容知满足的解可写成(5.6)由A的所有特征根都具负实部知(5.7)于是知存在t10，使tt1时.从而对任意，取则当时，由(5.6)有当t0,t1时，由解对初值的连续相依性，对上述，存在10，当时取，综合上面讨论知，当时有即是稳定的.由(5.7)知对任意有，故是渐近稳定的.5.2李雅普诺夫第二方法上一节我们介绍了稳定性概念，但是据此来判明系统解的稳定性，其可解范围是极其有限的.李雅普诺夫创立了处理稳定性问题的两种方法：第一方法要利用微分方程的级数解，在他之后没有得到大的发展；第二方法是在不求方程解的情况下，借助一个所谓的李雅普诺夫函数V(x)和通过微分方程所计算出来的导数的符号性质，就能直接推断出解的稳定性，因此又称为直接法.本节主要介绍李雅普诺夫第二方法.为了便于理解，我们只考虑自治系统(5.11)假设在上连续，满足局部李普希兹条件，且F(0)0为介绍李雅普诺夫基本定理，先引入李雅普诺夫函数概念.定义5.3若函数满足V(0)0,和都连续，且若存在00(0()，使当，V(x)t0，当tt0,t1时，0总成立，那么存在a0使假设a0,联系到V()的单调性有aV()t0成立.从而由V(0)=0知存在h0使tt0时(5.16)成立.由条件(2)有故从(5.16)知对上述不等式两端从t0到tt0积分得.该不等式意味着矛盾.故a=0，即由于零解是稳定的，所以在t0,+上有界，再由引理知定理证毕.例2证明方程组(5.17)的零解渐近稳定.证明作李雅普诺夫函数有在区域上V(x,y)正定，负定，故由定理5.3知其零解渐近稳定.最后，我们给出不稳定性定理而略去证明.定理5.4对系统(5.11)若存在李雅普诺夫函数V(x)满足（1）正定，（2）V(x)不是常负函数，则系统(5.11)的零解是不稳定的.本讲要点：1李雅普诺夫意义下方程零解稳定性和渐近稳定性定义。2李雅普诺夫第二方法的基本原理和直观意义。5.3平面自治系统的基本概念本节考虑平面自治系统（5.18）以下总假定函数P(x,y),Q(x,y)在区域上连续并满足初值解的存在与唯一性定理的条件.5.3.1相平面、相轨线与相图我们把xOy平面称为(5.18)的相平面，而把(5.18)的解x=x(t),y=y(t)在xOy平面上的轨迹称为(5.18)的轨线或相轨线.轨线族在相平面上的图象称为(5.18)的相图.易于看出，解x=x(t),y=y(t)在相平面上的轨线，正是这个解在(t,x,y)三维空间中的积分曲线在相平面上的投影.我们以后会看到，用轨线来研究(5.18)的解通常要比用积分曲线方便得多.下面通过一个例子来说明方程组的积分曲线和轨线的关系.例1很明显，方程组有特解.它在(t,x,y)三维空间中的积分曲线是一条螺旋线(如图53(a)，它经过点(0，1，0).当t增加时，螺旋线向上方盘旋.上述解在xOy平面上的轨线是圆，它恰为上述积分曲线在xOy平面上的投影.当t增加时，轨线的方向如图53(b)所示.另外，易知对于任意常数，函数也是方程组的解.它们的积分曲线是经过点(,1,0)的螺旋线.但是，它们与解有同一条轨图53同时，我们可以看出，的积分曲线可以由的积分曲线沿t轴向下平移距离a而得到.由于a的任意性，可知轨线对应看无穷多条积分曲线.为了画出方程组在相平面上的相图，我们求出方程组通解.其中A，a为任意常数.于是，方程组的轨线就是圆族(图53（b）)特别，x=0,y=0是方程的解，它的轨线是原点O(0，0).5.3.2平面自治系统的三个基本性质性质1.积分曲线的平移不变性设x=x(t),y=y(t)是自治系统(5.18)的一个解，则对于任意常数，函数x=x(t+),y=y(t+)也是(5.18)的一个解.事实上，我们有恒等式由这个事实可以推出：将(5.18)的积分曲线沿t轴作任意平移后，仍然是(5.18)的积分性质2.轨线的唯一性如果P(x,y)，Q(x,y)满足初值解的存在与唯一性定理条件，则过相平面上的区域D的任一点，(5.18)存在一条且唯一条轨线.事实上，假设在相平面的P0点附近有两条不同的轨线段l1和l2都通过点则在(t,x,y)空间中至少存在两条不同的积分曲线段和(它们有可能属于同一条积分曲线)，使得它们在相空间中的投影分别是l1和l2(见图54)，这时不妨设t1t2现在把所在的积分曲线沿t轴向右平移t2t1，则由性质1知道，平移后得到的仍是系统(5.18)的积分曲线，并且它与至少有一个公共点因此，利用解的唯一性，和应完全重合，从而它们在相空间中有相同的投影另一方面，与在相空间显然也有相同的投影，这蕴含和在相平面中的点附近有相同的投影，而这与上面的假设矛盾.，而且只是这族积分曲线的投影.此外，由性质1同样还可知道，系统(5.18)的解的一个平移仍是(5.18)的解，并且它们满足同样的初始条件，从而由解的唯一性知=因此，在(5.18)的解族中我们只须考虑相应于初始时刻t0=0的解，并简记为=,=*性质3群的性质(略)5.3.3常点、奇点与闭轨现在考虑自治系统(5.18)的轨线类型.显然，(5.18)的一个解x=x(t),y=y(t)所对应的轨线可分为自身不相交和自身相交的两种情形.其中轨线自身相交是指，存在不同时刻t，t2，使得这样的轨线又有以下两种可能形状：(1)若对一切t（，）有，则称，为(5.18)的一个定常解.它所对应的积分曲线是(t,x,y)空间中平行于t轴的直线.对应此解的轨线是相平面中一个点().我们称()为奇点(或称平衡点).显然()是(5.18)的一个奇点的充分必要条件是不是奇点的相点称为常点(2)若存在T0，使得对一切t有,则称为(5.18)的一个周期解，T为周期.它所对应的轨线显然是相平面中的一条闭曲线，称为闭轨.由以上讨论和(5.18)轨线的唯一性，我们有如下结论：自治系统(5.18)的一条轨线只可能是下列三种类型之一：(1)奇点，(2)闭轨，(3)自不相交的非闭轨线.平面定性理论的研究目标就是：在不求解的情况下，仅从(5.18)右端函数的性质出发，在相平面上描绘出其轨线的分布图，称为相图.如何完成这一任务呢?现在我们从运动的观点给出(5.18)另一种几何解释：如果把(5.18)看成描述平面上一个运动质点的运动方程，那么(5.18)在相平面上每一点(x,y)确定了一个速度向量因而，(5.18)在相平面上定义了一个速度场或称向量场.而(5.18)的轨线就是相平面上一条与向量场(5.20)相吻合的光滑曲线.这样积分曲线与轨线的显著区别是：积分曲线可以不考虑方向，而轨线是一条有向曲线，通常用箭头在轨线上标明对应于时间t增大时的运动方向.进一步，在方程(5.18)中消去t，得到方程（5.21）由(5.21)易见，经过相平面上每一个常点只有唯一轨线，而且可以证明：常点附近的轨线拓扑等价于平行直线.这样，只有在奇点处，向量场的方向不确定.因此，为了弄清(5.18)的相图，首先要从奇点入手，弄清楚奇点附近的轨线分布情况.其次，还要弄清(5.18)是否存在闭轨，因为一条闭轨线可以把平面分成其内部和外部，再由轨线的唯一性，对应内部的轨线不能走到外部，同样对应外部的轨线也不能进入内部.最后，如果(5.18)在全平面上有定义，还要分析(5.18)在平面的无穷远处是否存在奇点.通过以上三个步骤，我们就可以定性地描绘出(5.18)在全平面上的相图了，通常称为(5.18)的全局结构.下一节，我们将对这一过程作一简单介绍.5.4平面定性理论简介本节将对如何获得平面系统(5.18)的整体相图结构作一简单介绍.5.4.1初等奇点附近的轨线分布前面我们已经得到，奇点是动力系统(5.18)的一类特殊轨线.它对于研究(5.18)的相图有重要的意义.为此，我们在本节先研究一类最简单的自治系统平面线性系统的奇点与它附近的轨线的关系.平面线性系统的一般形式为(5.22)我们假定其系数矩阵为非奇异矩阵，即其行列式(即A不以零为特征根)显然，(5.22)只有一个奇点(0，0).我们研究(5.22)在(0，0)附近的轨线分布.因为(5.22)是可解的，我们的作法是先求出系统的通解，然后消去参数t，得到轨线方程.从而了解在奇点(0，0)附近的轨线分布情况.根据奇点附近轨线分布的形式，可以确定奇点有四种类型，即结点，鞍点，焦点和中心.为了讨论问题方便，我们把方程写成向量形式.令此时方程组(5.22)可以写成向量形式(5.23)1.系数矩阵为标准型的平面线性系统的奇点附近轨线分布我们研究线性系统(5.23)在奇点(0，0)附近轨线分布的方法是，首先应用线性变换，把系统(5.23)化成标准型，并从化成标准型的方程中求出解来，确定其轨线分布，然后再回过头来考虑原系统(5.23)在奇点附近的轨线分布.根据线性代数中关于矩阵的定理，存在非奇异矩阵T，使得（J为约当标准型）.令,作代换则于是系统(5.23)化成为（5.24）由线性变换的理论可知，标准型J的形式由系数矩阵A的特征根的情况决定：（1）特征根为相异实根，时，(2)A的特征根为重根时，由A的初等因子的不同情形，A的标准型J可能有两种，为方便计，写成：或(3)A的特征根为共轭复根时，(因，特征根不能为零).考察(5.24)，为了书写方便，去掉上标，把(5.24)写成(5.24)下面就J的不同情况来研究(5.24)(即系统(5.24)的轨线分布.(1)当（）时，系统(5.24)可写成纯量形式(5.25)求它的通解，得(5.26)消去参数t，得轨线方程（C为任意常数）（5.27）这里假定，即表示特征根中绝对值较大的一个(显然，这不妨碍对一般性的讨论，如，则只要互换x轴和y轴.a，同号这时由于0，轨线(5.27)是抛物线型的(参看图55及图56).同时，由(5.26)知x轴的正、负半轴及y轴的正、负半轴也都是(5.25)的轨线.由于原点(0，0)是(5.25)的奇点以及轨线的唯一性，轨线(5.27)及四条半轴轨线均不能过原点.但是由(5.26)可以看出，当0时，轨线在t时趋于原点(图55)；当0时，轨线在t时趋于原点(图56).另外，我们有于是，当0，轨线(除正、负半y轴外)的切线斜率在t时趋于零，即轨线以x轴为其切线的极限位置.当0，轨线(除正、负半y轴外)的切线斜率在t时趋于零，即轨线以x轴为其切线当t时的极限位置.如果在某奇点附近的轨线具有如图55的分布情形，我们就称这奇点为稳定结点.因此，当时，原点O是(5.25)的稳定结点.图55图56如果在某奇点附近的轨线具有如图56的分布情形，我们就称这奇点为不稳定结点.因此，当0时，原点O是(5.25)的不稳定结点.b)，异号这时，由于0，轨线(5.27)是双曲线型的(参看图57及图58).四个坐标半轴也是轨线.先讨论0的情形.由(5.26)易于看出当t时，动点(x,y)沿正、负x半轴轨线趋于奇点(0，0)，而沿正、负y半轴轨线远离奇点(0，0).而其余的轨线均在一度接近奇点(0，0)后又远离奇点(图57).图57图58对0的情形可以类似地加以讨论，轨线分布情形如图58.如果在某奇附近的轨线具有如图57或图58的分布情形，我们称这奇点为鞍点.因此，当异号时，原点O是(5.25)的鞍点.，它(2)当时，把系统(5.24)写成纯量形式就得到(5.28)积分此方程，得通解;(5.29)消去参数t，得轨线方程y=Cx(C为任意常数).根据的符号，轨线图象如图59和图510.轨线为从奇点出发的半射线.如果在奇点附近的轨线具有这样的分布，就称这奇点为临界结点.由通解(5.29)可以看出：当0时，轨线在t时趋近于原点.这时，我们称奇点O为稳定的临界结点；当0时，轨线的正向远离原点，我们称O为不稳定的临界结点.当时，系统(5.24)的纯量形式为它的通解为消去参数t，得到轨线方程易于知道有关系以当轨线接近原点时，以y轴为其切线的极限位置.此外，正、负y半轴也都是轨线.轨线在原点附近的分布情形如图511及图512所示.如果在奇点附近轨线具有这样的分布，就称它是退化结点.当0时，轨线在t时趋于奇点，称这奇点为稳定的退化结点；当0时，轨线在t时远离奇点，称这奇点为不稳定的退化结点.(3)当时，把系统(5.24)写成纯量形式（5.30）我们来积分上述方程组.将第一个方程乘以x，第二个方程乘以y，然后相加，得或写成因而得到其次，对方程(5.30)第一个方程乘以y，第二个方程乘以x，然后相减，得或写成于是得或消去参数t，得到轨线的极坐标方程（5.31）如0，则它为对数螺线族，每条螺线都以坐标原点O为渐近点.在奇点附近轨线具有这样的分布，称奇点为焦点.由于，所以当0时，随着t的无限增大，相点沿着轨线趋近于坐标原点，这时，称原点是稳定焦点(见图513)，而当0时，相点沿着轨线远离原点，这时，称原点是不稳定焦点(见图514).图513图514如0，则轨线方程(5.31)成为或它是以坐标原点为中心的圆族.在奇点附近轨线具有这样的分布，称奇点为中心.此时，由的符号来确定轨线方向.当0时，轨线的方向是逆时针的；当0时是顺时针的(见图515及图516).图515图516综上所述，方程组(5.22)经过线性变换，可化成标准型(5.24)由A的特征根的不同情况，方程(5.24)(亦即方程(5.24)的奇点可能出现四种类型：结点型，鞍点型，焦点型，中心型.本讲要点：1为什么要用相平面研究平面自治系统解的性质，主要是降低维数2平面自治系统的性质性质1：积分曲线的平移不变性性质2：轨线的唯一性3轨线的分类常点，奇点，闭轨，自不相交的非闭轨线奇点和闭轨的存在和位置是求得相图的关键4初等奇点附近的轨线分布:鞍点，结点，焦点，中心1.平面非线性系统的齐点一般的平面常系数线性系统的奇点附近轨线分布上面讲了系数矩阵为标准型的系统（5.24）的轨线在奇点O(0，0)附近的分布情况，现在回来研究一般的平面线性系统(5.22)的轨线在奇点O(0，0)附近的分布情况.我们知道，(5.22)可以从(5.24)经逆变换而得到，而且，由于是非奇异变换，也是非奇异变换，因而也就是一个仿射变换，它具有下述不变性：(1)坐标原点不变；(2)直线变成直线；(3)如果曲线(x(t),y(t)当t(或t)时趋向原点，变换后的曲线，当t(或t)时也趋向坐标原点；(4)如果曲线(x(t),y(t)当t(或t)时，盘旋地趋向原点，变换后的曲线当t(或t)时也盘旋地趋向原点.(5)闭曲线(x(t),y(t)经过变换后，所得曲线仍为闭曲线.由此可见，方程(5.24)在各种情况下的轨线，经过线性变换后得到方程(5.22)的轨线，其结点型，鞍点型，焦点型，以及中心型的轨线分布是不变的.这就是轨线结构的不变性.于是，系统(5.22)的奇点O(0，0)，当，根据A的特征根的不同情况可有如下的类型：并且，由于变换后轨线趋向原点的方向不变，所以结点、焦点的稳定性也不改变.因为A的特征根完全由A的系数确定，所以A的系数可以确定出奇点的类型.因此，下面来研究A的系数与奇点分类的关系.方程(5.22)的系数矩阵的特征方程为或为了书写方便，令于是特征方程可写为特征根为下面就分特征根为相异实根，重根及复根三种情况加以研究：综合上面的结论，由曲线4，轴及轴把O平面分成几个区域，不同的区域，对应着不同类型的奇点(图517).图517平面非线性自治系统奇点附近的轨线分布以上是面平线性系统(5.22)的轨线在奇点O(0，0)附近的分布情况.下面再根据上面的讨论，介绍一点研究一般的平面系统(5.18)的轨线在奇点附近的分布的方法.我们不妨假设原点O(0，0)是(5.18)的奇点，即P(0,0)(0,0)0.这并不失一般性.因为，如果()为(5.18)的一个奇点，只要作变换就可以把奇点移到原点(0，0).设(5.18)的右端函数P(x,y),Q(x,y)在奇点O(0,0)附近连续可微，并可以将(5.18)的右端写成其中我们把平面线性系统（5.22）称为一般平面自治系统(5.18)的一次近似.在条件的假设下，称(0，0)为系统(5.18)的初等奇点，否则，称它为高高阶奇点奇点.(5.22)的奇点的情况已讨论清楚.一个常用的手法是将(5.18)与(5.22)比较，对“摄动”(x,y)及(x,y)加上一定的条件，就可以保证对于某些类型的奇点，(5.18)在O(0，0)的邻域的轨线分布情形与(5.22)的轨线分布情形同.我们只介绍如下的一个常见的结果而不加以证明.定理定理5.5如果在一次近似(5.22)中，有且O(0，0)为其结点(不包括退化结点及临界结点)、鞍点或焦点，又(x,y)与(x,y)在O(0，0)的邻域连续可微，且满足，（5.32）则系统(5.18)的轨线在O(0，0)附近的分布情形与(5.22)的完全相同.其中.当O(0，0)为(5.22)的退化结点、临界结点或中心时，条件(5.32)不足以保证(5.18)在O(0，0)的邻域的轨线分布与(5.22)的轨线分布情形相同，还必须加强这个条件，我们不再列举了.2.极限环为了说明极限环的概念，先看看下面的例子.例1考察方程组(5.33)的轨线分布.解将方程（5.33）的第一个方程两端乘以x，第二个两端乘以y，然后相加得到(5.34)作极坐标变换由，微分之，则得所以(5.34)可写成或(5.35)其次，将方程组(5.33)的第一个方程乘以y，第二个方程乘以x，然后相减，得由，微分之，可知(5.36)于是原方程(5.33)经变换后化为(5.37)积分所得方程(5.37).易于看出，方程组(5.37)有两个特解：r=0，r=1其中r=0对应(5.33)奇点，而r=1对应于(5.33)的一个周期解，它所对应的闭轨线是以原点为中心以1为半径的圆.进一步求方程组的通解，得或为于是方程(5.33)的轨线分布如图(518).从方程组(5.33)的相图上可看出，轨线分布是这样的：(i)(0，0)为奇点，为一闭轨线.(ii)闭轨线的内部和外部的轨线，当t+时分别盘旋地趋近于该闭轨线.我们在5.3节的例1中也提到过闭轨线，但当时的闭轨线都是一族连续分布的闭轨线.而且，当时没出现其他的轨线当t时趋近于闭轨线的情况.因此，上例中的闭轨线以及它附近的轨线的分布情形，是一种新的结构.我们作如下的定义.图518定义.设系统(5.18)具有闭轨线C.假如在C充分小邻域中，除C之外，轨线全不是闭轨线，且这些非闭轨线当t或t时趋近于闭轨线C，则说闭轨线C是孤立的，并称之为(5.18)的一个极限极限环.极限环C将相平面分成两个区域：内域和外域内域和外域.定定义5.如果极限环C的内域的靠近C的轨线当t+()时盘旋地趋近于C(图519)，则称C是内内稳定定(内不内不稳定的定的)；如果在极限环C的外域的靠近C的轨线当t+()时盘旋地趋近于C(图520)，侧称C是外外稳定定的(外不外不稳定的定的)；如果当t()时，C的内部及外部靠近C的轨线都盘旋地趋近于C，则称C是稳定的定的(不不稳定的定的)(如图521(a),如果当t()时，C的内外部的稳定性相反，则称C为半半稳定的定的(图521(b).图519图520(b)图521易于看出，例1中的轨线是稳定的极限环.5.4.3极限环的存在性稳定的极限环表示了运动的一种稳定的周期态，它在非线性振动问题中有重要意义.一般说来，一个系统的极限环并不能像例1那样容易算出来.关于判断极限环存在性的方法，我们只叙述下面著名的庞卡莱班迪克松(PoincarBendixson)环域定理，其证明可参阅专著4.定理定理5.6设区域D是由两条简单闭曲线L1和L2所围成的环域，并且在上系统(5.18)无奇点；从L1和L2上出发的轨线都不能离开(或都不能进入).设L1和L2均不是闭轨线，则系统(5.18)在D内至少存在一条闭轨线，它与L1和L2的相对位置如图522，即在D内不能收缩到一点.图522如果把系统(5.18)看成一平面流体的运动方程，那么上述环域定理表明：如果流体从环域D的边界流入D，而在D内又没有渊和源,那么流体在D内有环流存在.这个力学意义是比较容易想象的.习惯上，把L1和L2分别称作PoincarBendixson环域的内、外境界线.极限环的不存在性极限环的不存在性关于平面系统(5.18)不存在极限环的判定准则常用的是下面的定理定理5.7(Bendixson判断)设在单连通区域G内，系统(5.18)的向量场(P，Q)有连续偏导数.若该向量场的散度(5.40)保持常号，且不在G的任何子域内恒等于零，则系统(5.18)在G内无闭轨.证证用反证法.假设(5.18)在G内有闭轨，其内部区域.由格林公式有(5.41)因为是(5.18)的轨线，故沿有从而(5.41)右端的曲线积分为零.然而由本定理假设，(5.41)左端的二重积分不为零，此为矛盾.因此G内无闭轨.证毕.定理定理5.8(Dulac判断)设在单连通区域G内，系统(5.18)的向量场(P，Q)有连续偏导数，并存在连续可微函数B(x,y)使得保持常号，且不在G内任何子区域内恒为零，则系统(5.18)在内无闭轨.此定理证明与定理5.7.相似.3.全局结构的一个例子全局结构的一个例子为了得到(5.18)的全局结构，需要无穷远点分析，这部分内容比较复杂，我们不能详述，仅给出一个实例说明之.详细论述可见参考文献4研究(5.18)在平面的无穷远处的性状，需要借助Poincar变换，这一变换的基本想法是：把整个xOy平面映成单位闭圆盘，平面上的有限点与圆盘内部的点一一对应，无穷远点对应为圆盘的圆周上的点.于是无穷远奇点存在于单位圆周上了.这样，对于一个具体的平面系统，求出全局结构相图的步骤是：(1)求出有限平面内的奇点和奇点类型，(2)判明是否存在闭轨，(3)无穷远点分析，即是否存在无穷远奇点并分析奇点类型.最后，把这些结果描绘在xOy平面的单位闭圆盘上，就得到系统的全局结构全局结构.例例2讨论系统(5.42)的全局结构.解解(1)奇点(5.42)有两个奇点O(0，0)和E(1，0).对于奇点O(0，0)，其线性近的方程的系数阵是它的特征根是，显然是稳定焦点.对于奇点E(1，0)，其线性近似方程的系数阵是它的特证根是,显然E(1，0)是鞍点.（）闭轨线.取函数B(x,y)=e2x,有,由定理5.8可见系统(5.42)在xOy平面上无闭轨.图524(3)无穷远奇点可以求出(5.42)存在一个无穷远奇点，且是退化结点，这个奇点分裂在单位圆周上的D(0，1)和D(0，1)处.图524给出了系统(5.42)轨线分布的全局结构如果在图524的坐标原点O(0，0)处，垂直于书面立上一个t轴，再把轨线沿t轴方向平行拉动，那么你就可以看到系统(5.42)在三维空间(t,x,y)上对应的积分曲线的性状了.本讲要点本讲要点：本讲主要对平面定性理论作了一个简单的介绍，平面定性方法的一个主要目标是：求出方程在全平面上的相图为此1先求有限平面内奇点及类型2判断方程在平面内是否有闭轨3最后求无穷远是否有奇点及类型于是就可以得到方程在全平面上的相图，只不过是用一种特殊变换把全平面收缩到一个单位圆盘上