函数、导数及其应用函数、导数及其应用第 二 章第九讲函数与方程第九讲函数与方程1 1知知 识识 梳梳 理理2 2考考 点点 突突 破破3 3名名 师师 讲讲 坛坛知知 识识 梳梳 理理1函数的零点(1)函数零点的定义对 于 函 数 y f(x)(xD)， 把 使 _成 立 的 实 数 x叫 做 函 数 yf(x)(xD)的零点注：函数的零点不是点是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是yf(x)与x轴的交点f(x)0(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与_有交点函数yf(x)有_.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得_，这个c也就是方程f(x)0的根x轴零点f(a)f(b)0f(c)02二分法(1)对于在区间a，b上连续不断且_的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_，使区间的两个端点逐步逼近_，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2)给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；求区间(a，b)的中点c；f(a)f(b)0一分为二零点计算f(c)；()若f(c)0，则c就是函数的零点；()若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；()若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)判断是否达到精确度，即：若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复.1有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号(4)由函数yf(x)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示所以f(a)f(b)0是yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号(5)若函数f(x)在a，b上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)f(b)0函数f(x)在a，b上只有一个零点1(教材改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(4,5)解析由所给的函数值的表格可以看出，x2与x3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)f(3)0，所以函数在(2,3)内有零点，故选Bx12345f(x)42147B2(教材改编)为了求函数f(x)2x3x7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值(精确度0.1)如下表所示：则方程2x3x7的近似解(精确到0.1)可取为()A1.32B1.39C1.4D1.3解析通过上述表格得知函数唯一的零点x0在区间(1.375,1.4375)内，故选CCx1.251.31251.3751.43751.51.5625f(x)0.87160.57880.28130.21010.328430.64115CD解析lnx0解得x1，x(x2)0解得x0或2，g(x)有三个零点5函数f(x)lnx2x6的零点所在的大致区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析因为ylnx与y2x6在(0，)上都是增函数，所以f(x)lnx2x6在(0，)上是增函数又f(1)4，f(2)ln22lne20.所以零点在区间(2,3)上，故选CC6下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()解析A，B图中零点两侧不异号，D图不连续故选CC考考 点点 突突 破破考点1确定函数零点所在区间自主练透 (1)若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)0，f(1)f(2)f(4)0，则下列命题正确的是()A函数f(x)在区间(0,1)内有零点B函数f(x)在区间(1,2)内有零点C函数f(x)在区间(0,2)内有零点D函数f(x)在区间(0,4)内有零点(2)(2018河南天一大联考)函数f(x)xlnx3的零点位于区间()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)例 1DC(3)(2018全国名校联考，3)若函数yln(x1)与y21x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)分析利用零点存在定理进行判断或用数形结合法画图求解解析(1)因为f(1)f(2)f(4)0，所以f(1)、f(2)、f(4)中至少有一个小于0.若f(1)0，则在(0,1)内有零点，在(0,4)内必有零点；若f(2)0，则在(0,2)内有零点，在(0,4)内必有零点；若f(4)0，则在(0,4)内有零点故选DB(2)f(1)1ln1320，f(2)2ln23ln210，f(2)f(3)0，f(x)在区间(2,3)内有零点，故选C另解：f(x)的零点即为ylnx与y3x图象交点的横坐标，由图可知零点位于区间(2,3)内，故选C确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断考点2函数零点个数的确定师生共研例 23DD分析画出函数图象，结合图象确定零点的个数，若方程f(x)0可解，也可直接解方程求解(2)(文)在同一坐标系中作出f(x)|x|、g(x)log|x|的图象，由图可知选D(理)解法一：由f 2(x)5f(x)40得f(x)1或4.若f(x)1，当x0时，即5|x1|11，5|x1|2解得x1log52，当x0时，即x24x30，解得x1或3.若f(x)4，当x0时，5|x1|14，|x1|1解得x0或2，当x0时即x24x0，解得x4.故所求实根个数共有7个解法二：由f2(x)5f(x)40得f(x)1或4.由f(x)图象可知：f(x)1有4个根，f(x)4有3个根方程f 2(x) 5f(x)40有7个根函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a，b上是连续的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点(3)数形结合法：利用函数yf(x)的图象与x轴的交点的个数，从而判定零点的个数，或转化为两个函数图象交点个数问题画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点变式训练 1 2C考点3函数零点的应用多维探究例 3D例 4C1比较零点大小常用方法：(1)确定零点取值范围，进而比较大小；(2)数形结合法2已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解(1)(角度1)(文)(2018安徽蚌埠月考)已知函数f(x)2xx，g(x)log2xx，h(x)x3x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为()AabcBacbcDcab(理)已知e是自然对数的底数，函数f(x)exx2的零点为a，g(x)lnxx2的零点为b，则f(a)，f(1)，f(b)的大小关系为_.B变式训练 2 f(a)f(1)f(b)D分析解法一：依据零点存在定理，确定a，b，c所在区间，进而比较大小；解法二：分别作出y3x、ylog3x、yx3与yx的图象，比较其交点横坐标的大小即可(2)当a0时，|f(x)|0，由y|f(x)|的图象与x轴有两个交点，即函数y|f(x)|a有两个零点1与2，舍去；当a0时，在平面直角坐标系中，画出y|f(x)|的图象，观察图象可知，当a2时，y|f(x)|与ya才有三个交点考点4二分法及其应用自主练透例 5(0,0.5)f(0.25)71用二分法求函数零点的方法：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间周而复始怎么办？精确度上来判断2利用二分法求近似解需注意的问题(1)在第一步中：区间长度尽量小；f(a)，f(b)的值比较容易计算且f(a)f(b)0；(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的(3)虽然二分法未单独考过，但有可能像算法中的“更相减损术”一样，嵌入到程序框图中去考查名名 师师 讲讲 坛坛函数零点的综合问题例 65A以函数图象、图象的变换方法及函数的零点等相关知识为基础，通过作图、想象，发现该问题的相关数学知识及其联系，快速解决该问题变式训练 3 BB解析(1)作出y2x及y|log2(x)|的图象，不妨设x1x2则2x1log2(x1)，2x2log2(x2)由y2x是增函数知2x12x20(x10，x20)log2(x1)log2(x2)0，即log2(x1x2)00x1x21，故选B