第十三章第十三章 轴对称轴对称 把一个图形沿着一条直线折叠，如果把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的轴对称图形。这条直线就是它的对称轴对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做条直线对称。这条直线叫做对称轴对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做_对称点对称点_.一一.轴对称图形轴对称图形 1、轴对称图形：、轴对称图形：2、轴对称：、轴对称：3 3、轴对称图形和轴对称的区别与联系轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形轴对称图形轴对称轴对称 区别区别联系联系图形图形 (1)(1)轴对称图形是指轴对称图形是指( )( ) 具具 有特殊形状的图形有特殊形状的图形, 只只对对( ( ) ) 图图形形而而言言; ;(2)(2)对称轴对称轴( )( ) 只有一条只有一条(1)(1)轴对称是指轴对称是指( )( )图形图形 的位置关系的位置关系, ,必须涉及必须涉及 ( )( )图形图形; ;(2)(2)只有只有( )( )对称轴对称轴. .如果把轴对称图形沿对称轴如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分分成两部分, ,那么这两个图形那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称就关于这条直线成轴对称. .如果把两个成轴对称的图形如果把两个成轴对称的图形 拼在一起看成一个整体拼在一起看成一个整体, ,那那么它就是一个轴对称图形么它就是一个轴对称图形. .一个一个一个一个不一定不一定两个两个两个两个一条一条知识回顾：4、轴对称的性质： 关于某直线对称的两个图形是全等形。关于某直线对称的两个图形是全等形。 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是轴是 任何一对对应点所连线段的垂直平分线。任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连线段的垂直平分线。 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。平分，那么这两个图形关于这条直线对称。练习：练习：1 1、国国旗旗是是一一个个国国家家的的象象征征，观观察察下下面面的的国国旗旗，是是轴轴对对称称图形的是（图形的是（ ）A.A.加拿大、韩国、乌拉圭加拿大、韩国、乌拉圭 B.B.加拿大、瑞典、澳大利亚加拿大、瑞典、澳大利亚C.C.加拿大、瑞典、瑞士加拿大、瑞典、瑞士 D.D.乌拉圭、瑞典、瑞士乌拉圭、瑞典、瑞士 加拿大加拿大 韩国韩国 澳大利亚澳大利亚 乌拉圭乌拉圭 瑞典瑞典 瑞士瑞士C2、小小明明照照镜镜子子的的时时候候，发发现现T恤恤上上的的英英文文单单词词在在镜镜子子中中呈呈现现“ ”的的样样子子，请你判断这个英文单词是（请你判断这个英文单词是（ ）(A)(B)(C)(D)A 3 3、ABCABC与与DEFDEF关于直线关于直线L L成轴成轴对称，则对称，则C C是多少度？是多少度？ L650750解:3.1 1、什么叫线段垂直平分线？、什么叫线段垂直平分线？ 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的叫做这条线段的垂直平分线垂直平分线，也叫也叫中垂线。中垂线。2 2、线段垂直平分线有什么性质？、线段垂直平分线有什么性质？ 线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点与这条线段的与这条线段的两个端点的距离相等两个端点的距离相等 （纯粹性）。你能画图说明吗？二二.线段的垂直平分线线段的垂直平分线3.逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。（完备性）4.线段垂直平分线的集合定义： 线段垂直平分线可以看作是线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等与线段两个端点距离相等的所的所有点的集合。有点的集合。三三.用坐标表示轴对称用坐标表示轴对称小结：小结： 在平面直角坐标系中，关于在平面直角坐标系中，关于x轴对称轴对称的点的点横坐标相等横坐标相等,纵坐标互为相反数纵坐标互为相反数.关关于于y轴对称的点轴对称的点横坐标互为相反数横坐标互为相反数,纵坐纵坐标相等标相等.点（点（x, y）关于关于x轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为_.点（点（x, y）关于关于y轴对称的点轴对称的点的坐标为的坐标为_.(x, y)( x, y)1、完成下表、完成下表.已知点(2,-3)(-1,2)(-6,-5)(0,-1.6)(4,0)关于x轴的对称点关于y轴的对称点(-2, -3)(2, 3)(-1,-2)(1, 2)(6, -5)(-6, 5)(0, -1.6)(0,1.6)(-4,0)(4,0)2、已知点、已知点P(2a+b,-3a)与点与点P(8,b+2).若点若点p与点与点p关于关于x轴对称，则轴对称，则a=_ b=_.若点若点p与点与点p关于关于y轴对称，则轴对称，则a=_ b=_.练 习246-20(抢答抢答)例：已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5),B(- 4，1),C(-1，3)，作出ABC关于y轴对称的图形。解：点解：点A(-3,5),B(-4,1),C(-1,3)，关于，关于y轴对称轴对称点的坐标分别为点的坐标分别为A(3,5), B(4,1),C(1,3).依次连接依次连接AB,BC,CA,就得到就得到ABC关于关于y轴对称的轴对称的ABC.A31425-2-4-1-301 2 3 4 5-4 -3 -2 -1cBBAC 归纳归纳:（P44）先求出已知图形中的先求出已知图形中的 特殊点特殊点(如多边形的顶点或端点如多边形的顶点或端点)的的对应点的坐标对应点的坐标,描出并连接这些点描出并连接这些点,就就可可 得到这个图形的得到这个图形的轴对称图形轴对称图形.x y 思考思考：如图：如图,分别作出点分别作出点P,M,N关于直线关于直线x=1的对称点的对称点, 你能发现它们坐标之间分别你能发现它们坐标之间分别有什么关系吗有什么关系吗?1531425-2 -1 012345-4-3-2-1x=1P(-2,4)M(-1,1)N(5,-2)N(-3,-2)M(3,1)P(4,4)x y 点（点（x, y）关于直线）关于直线x=1对称对称的的点点的坐标为（的坐标为（2-x, y）如图，分别作出如图，分别作出ABC关于直线关于直线x=1（记为（记为m) 和直线和直线y=-1（记为（记为n）对称的图形，它们的对应点的坐标）对称的图形，它们的对应点的坐标之间分别有什么关系？之间分别有什么关系？如图： 点（x, y）关于直线x=1对称的点的坐标为（2-x, y）关于直线y=-1对称的点的坐标为（x, -2-y）点（点（x, y）关于直线）关于直线x=m对称对称的的点点的坐标为（的坐标为（2m-x, y）,关于直线关于直线y=n对称对称的的点点的坐标为（的坐标为（x, 2n-y）M(-4,-3)N(-4,-7)YmXOA(-4,5)B(-1,3)C(-4,1)xnD(6,5)E(6,1)F(3,3)G(-1,-5)类似: 若两点(x1，y1)、(x2，y2)关于直线y=n对称，则 ; 归纳:若两点(x1，y1)、(x2，y2)关于 直线x=m对称，则;y1=y2x1=x2X2=2m-x1y2=2n-y1(m= )(n= )1.如图，ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。（1）求证：PA=PB=PC。（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？APCB结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。4.利用轴对称变换作图：如图：要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道什么地方，可使所用的输气管道线最短？ABLP1.有A、B、C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置。ABC利用轴对称变换作图：利用轴对称变换作图：1. 如图，如图，A.B两地在一条河的两岸，现两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能，桥造在何处才能使从使从A到到B的路径的路径AMNB最短？（假设河最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）.ABMNE作法：作法：1.将点将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接连接AE交河对岸与点交河对岸与点M, 则点则点M为建桥的位置，为建桥的位置，MN为所建的桥为所建的桥。证证明明：由由平平移移的的性性质质，得得 BNEM 且且BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE,所以所以A.B两地的距两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在若桥的位置建在CD处，连接处，连接AC.CD.DB.CE,则则AB两地的距离为：两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在在ACE中，中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN,即即AC+CD+DB AM+MN+BN所以桥的位置建在所以桥的位置建在CD处，处，AB两地的路程最短两地的路程最短。ABMNECD 2. 如图，如图，A、B是两个蓄水池，都在河流是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，的同侧，为了方便灌溉作物， 要在河边建一个抽水站，将河水送到要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么两地，问该站建在河边什么地方，地方， 可使所修的渠道最短，试在图中确定该点，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点，作法：作法：作点作点B关于直线关于直线 a 的对称点点的对称点点C,连接连接AC交直线交直线a于点D，则点D为建抽水站的位置。抽水站的位置。证明：在直线证明：在直线 a 上另外任取一点上另外任取一点E，连接，连接AE.CE.BE.BD,点B.C关于直线 a 对称,点D.E在直线 a上，DB=DC,EB=EC,AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC在ACE中，AE+ECAC,即 AE+ECAD+DB 所以抽水站应建在河边的点抽水站应建在河边的点D处，处， CDABEa 某中学七（4）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？作法：作法：1.作点作点C关于直线关于直线 OA 的的 对称点点对称点点D, 2. 作点作点C关于直线关于直线 OB 的对称点点的对称点点E, 3.连接连接DE分别交直线分别交直线OA.OB于点M.N，则CM+MN+CN最短AOB. .EDMNGH 证明：证明：在直线在直线OA 上另外任取一点上另外任取一点G，连接，连接点点D,点点C关于直线关于直线OA对称，对称， 点点G.H在在OA上，上，DG=CG, DM=CM, 同理同理NC=NE，HC=HE,CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE,CG+GH+HC=DG+GH+HE,DG+GH+HEDE（两点之间，线段最短），（两点之间，线段最短），即即CG+GH+HCCM+CN+MN即即CM+CN+MN最短最短AOB. .EDMNGH4. 如图：如图：C为马厩，为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线，天的最短路线，作法：作法：1.作点作点C关于直线关于直线 OA 的的 对称点点对称点点F, 2. 作点作点D关于直线关于直线 OB 的对称点点的对称点点E, 3.连接连接EF分别交直线分别交直线OA.OB于点G.H，则CG+GH+DH最短FAOBD CEGH证明：在直线证明：在直线OA 上另外任取一点上另外任取一点G，连接，连接点点F,点点C关于直线关于直线OA对称，点对称，点G.M在在OA上，上，GF=GC,FM=CM, 同理同理HD=HE，ND=NE,CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,CG+GH+HD=FG+GH+HE,在四边形在四边形EFGH中，中，FG+GH+HEFE（两点之间，线段最短），（两点之间，线段最短），即即CG+GH+HDCM+MN+ND即即CM+MN+ND最短最短FAOBD CEMNGH4、如图，在等腰直角三角形ABC中，ACB=90，点D为BC的中点，DEAB，垂足为点E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF， （1）求证：AD CF （2）连接AF，试判断ACF的形状，并说明理由。AFBDEFC5.如图，在RtABC中，C=90，DE是AB的垂直平分线，连接AE，CAE：DAE=1：2，求B的度数。AEDBC6.如下图ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线， BCE的周长为26cm，求BC的长。AEDBC7.7.如图：在如图：在ABCABC中，中，DEDE是是ACAC的垂直的垂直平分线，平分线，AC=5AC=5厘米，厘米，ABDABD的周长等的周长等于于1313厘米，则厘米，则ABCABC的的周长是周长是 。ABDEC18厘米厘米三三.（等腰三角形（等腰三角形)知识点回顾知识点回顾1.1.等腰三角形的等腰三角形的性质性质. .等腰三角形的两个底角相等。（等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角等边对等角）. .等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（底边上的高互相重合。（三线合一三线合一）2 2、等腰三角形的判定：、等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（个角所对的边也相等。（等角对等边等角对等边）四四.（等边三角形（等边三角形)知识点回顾知识点回顾1.1.等边三角形的等边三角形的性质：性质： 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于等于60600 0 。2 2、等边三角形的判定：、等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形。三个角都相等的三角形是等边三角形。 有一个角是有一个角是60600 0的等腰三角形是等边三角形。的等腰三角形是等边三角形。3.3.在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于30300 0，那么它那么它所对的直角边等于斜边的一半。所对的直角边等于斜边的一半。 1、如图，在、如图，在ABC中，中，AB=AC时，时，(1)ADBC _= _;_=_(2) AD是中线是中线_; _= _(3) AD是角平分线是角平分线_ _;_=_BACDBADCADBDCDADBCBADCADADBCBDCD练习：练习：2 2、“有一个等腰三角形的两条边长有一个等腰三角形的两条边长分别是分别是4cm和和8cm，则周长为，则周长为 20cm3 3、若等腰三角形的一个角为、若等腰三角形的一个角为40400 0，则另外两个角的度数为则另外两个角的度数为700,700 或或 400，10004 4、已知，如图、已知，如图: AB=AC : AB=AC AD=DC=BCAD=DC=BC则则A=A=ABCD3605、已知，如图AB=AB=CD AD=BD则BAC=ABCD10801、哪个在镜子中的像跟原来的一样？、哪个在镜子中的像跟原来的一样？(直直线表示进镜子、垂直放置在纸条前线表示进镜子、垂直放置在纸条前)口 木 E 目 人 晶 S N 中 田课堂练习：课堂练习： 6、如图，在、如图，在ABC中，中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线的垂直平分线交交AC于于D，如果如果BC=10cm，那么那么BCD的周长是的周长是_cm. ABCDE26cm7、如图，、如图，P、Q是是ABC边上的两点，边上的两点，BP=PQ=QC=AP=AQ，求求BAC的度数。的度数。PABCQ6、等腰三角形的一个角为100，底角为_7、等腰三角形的周长为16cm，腰比底长2cm，则腰长为_8、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是 。9、如下图ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线， BCE的周长为26cm，求BC的长。AEDBC 作业布置：已知，如图：已知，如图：ABC中中 AB=AC E为为AC延长线上的一点延长线上的一点且且CE=BD DE交交BC于于F 求证：求证：DF=EFABCDEF(提示:过D作DGAE交BC于G证DFGEFC即可)G