第三节由导数公式积分得:分部积分公式分部积分公式或1) v 容易求得 ;容易计算 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法 第五五章 例例1. 求解解: 令则 原式思考思考: 如何求提示提示: 令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求解解: 令则原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求解解: 令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求解解: 令, 则 原式再令, 则故 原式 =说明说明: 也可设为三角函数 , 但两次所设类型必须一致 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解题技巧解题技巧:把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的顺序, 前者为 后者为例例5. 求解解: 令, 则原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数例例6. 求解解: 令, 则原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求解解: 令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 令例例8. 求解解: 令则 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求解解: 令则得递推公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:递推公式已知利用递推公式可求得例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 证明递推公式证证:注注:或机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:分部积分题目的类型:1) 直接分部化简积分 ;2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C )例例43) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .例4 目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 已知的一个原函数是求解解:说明说明: 此题若先求出再求积分反而复杂.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12. 求解法解法1 先换元后分部令即则故机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 用分部积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 分部积分公式1. 使用原则 :易求出,易积分2. 使用经验 : “反对幂指三反对幂指三” , 前 u 后3. 题目类型 :分部化简 ;循环解出;递推公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13. 求解解: 令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?得 0 = 1答答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 作作 业业 P203 （A）1（3），（4 ）, （5）（9 ）（B）1（1），（8），（10）.第四节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题.求不定积分解解： 方法1(先分部 , 再换元)令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法方法2(先换元,再分部)令则故机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例14. 求解解: 令则原式原式原式原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求对比 P354 公式(128) , (129)提示提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束