4.1 4.1 晶体的光学各向异性晶体的光学各向异性4.1.1 4.1.1 张量的基础知识张量的基础知识1. 1. 张量的概念张量的概念 （1 1）. .把一个标量与一个或者多个矢量以等式的形式关把一个标量与一个或者多个矢量以等式的形式关联起来，等式的关联系数（即关联因子；下同）就是张量。联起来，等式的关联系数（即关联因子；下同）就是张量。 （2 2）. .把一个标量与一个张量以等式的形式关联起来，把一个标量与一个张量以等式的形式关联起来，其中的关联因子就是张量。其中的关联因子就是张量。 （3 3）. .把一个矢量与一个或者多个矢量以等式的形式关把一个矢量与一个或者多个矢量以等式的形式关联起来，其中的关联因子就是张量。联起来，其中的关联因子就是张量。 （4 4）. .把一个矢量与一个张量以等式的形式关联起来，把一个矢量与一个张量以等式的形式关联起来，其中的关联因子就是张量。其中的关联因子就是张量。1 由此可见，张量就是使一个矢量（或者标量）与另一由此可见，张量就是使一个矢量（或者标量）与另一个及多个其它矢量（或者张量）相关联的物理量。个及多个其它矢量（或者张量）相关联的物理量。 张量又称为并矢，其详细内容将在张量代数与张量张量又称为并矢，其详细内容将在张量代数与张量分析课程中学习。分析课程中学习。 例如，矢量例如，矢量p p与矢量与矢量q q有关，则其一般关系应为：有关，则其一般关系应为： 2 式中，式中， 是关联是关联p p和和q q的二阶张量。在直角坐标系的二阶张量。在直角坐标系O-O-x x1 1x x2 2x x3 3中，上式可表示为矩阵形式中，上式可表示为矩阵形式 ：式中，三个矩阵分别表示矢量式中，三个矩阵分别表示矢量p p、二阶张量、二阶张量 和矢量和矢量q q。二。二阶张量有九个分量，每个分量都与一对坐标阶张量有九个分量，每个分量都与一对坐标( (按一定顺序按一定顺序) )相关。张量也可以用其分量形式表示如下：相关。张量也可以用其分量形式表示如下： 3其一般分量形式为：其一般分量形式为： 按照爱因斯坦求和规则：若在同一项中下标重复两次，则按照爱因斯坦求和规则：若在同一项中下标重复两次，则可自动地按该下标求和，将上式简化为可自动地按该下标求和，将上式简化为 p pi i= =T Tijijq qj j i,ji,j=1, 2, 3 (4 - 5)=1, 2, 3 (4 - 5) 可以看出：如果可以看出：如果 是张量，则是张量，则p p矢量的某坐标分量不仅与矢量的某坐标分量不仅与q q矢量的同一坐标分量有关，还与其另外两个分量有关。矢量的同一坐标分量有关，还与其另外两个分量有关。4 如果矢量如果矢量p p与两个矢量与两个矢量u u和和v v相关，其一般关系式为：相关，其一般关系式为：分量表示式为：分量表示式为：式中，式中， 为三阶张量，它包含为三阶张量，它包含2727个张量元素，其矩阵形式为：个张量元素，其矩阵形式为： pi=Tijkujvk i, j, k=1, 2, 3 5 实际上，一个标量可以看作是一个零阶张量，一个矢量实际上，一个标量可以看作是一个零阶张量，一个矢量可以看作是一个一阶张量。从分量的标记方法看，标量无下可以看作是一个一阶张量。从分量的标记方法看，标量无下标，矢量有一个下标，二阶张量有两个下标，三阶张量有三标，矢量有一个下标，二阶张量有两个下标，三阶张量有三个下标。因此，下标的数目等于张量的阶数。个下标。因此，下标的数目等于张量的阶数。62. 2. 张量的变换张量的变换 如上所述，由于张量的分量与坐标有关，所以当坐标系发如上所述，由于张量的分量与坐标有关，所以当坐标系发生变化时，张量的表示式也将发生变化。假若在原坐标系生变化时，张量的表示式也将发生变化。假若在原坐标系 中，某张量表示式为中，某张量表示式为TijTij，在新坐标系，在新坐标系 中，该张量的表示式为中，该张量的表示式为T Tijij, , 则当原坐标系则当原坐标系O O- -x x1 1x x2 2x x3 3与新与新坐标系坐标系的坐标变换矩阵为的坐标变换矩阵为a aijij时，时，与与 的关系为的关系为 : :7 其分量表示形式为其分量表示形式为:这就是张量变换定律。如果用张量的新坐标分量表示原坐标这就是张量变换定律。如果用张量的新坐标分量表示原坐标分量，可通过逆变换得到分量，可通过逆变换得到: : 如果考虑的是矢量，则新坐标系中的矢量表示式如果考虑的是矢量，则新坐标系中的矢量表示式A A与与原坐标系中的表示式原坐标系中的表示式A A间的矩阵变换关系为间的矩阵变换关系为: :i, j, k, l=1, 2, 3 8 其分量变换公式为其分量变换公式为: : i, j=1, 2, 3 93. 3. 对称张量对称张量 一个二阶张量一个二阶张量T Tijij，如果有，如果有T Tijij= =T Tjiji，称为对称张，称为对称张量，它只有六个独立分量。与任何二次曲面一样，二阶对称量，它只有六个独立分量。与任何二次曲面一样，二阶对称张量存在着一个主轴坐标系，在该主轴坐标系中，张量只有张量存在着一个主轴坐标系，在该主轴坐标系中，张量只有三个对角分量非零，为对角化张量。于是，当坐标系进行主三个对角分量非零，为对角化张量。于是，当坐标系进行主轴变换时，轴变换时， 二阶对称张量即可对角化。例如，某一对称张二阶对称张量即可对角化。例如，某一对称张量量: :10经上述主轴变换后，经上述主轴变换后，可表示为可表示为:11 最后应指出，张量与矩阵是有区别的，张量代表一种物最后应指出，张量与矩阵是有区别的，张量代表一种物理量，因此在坐标变换时，改变的只是表示方式，其物理量理量，因此在坐标变换时，改变的只是表示方式，其物理量本身并不变化，而矩阵则只有数学意义。因此，有时把张量本身并不变化，而矩阵则只有数学意义。因此，有时把张量写在方括号内，把矩阵写在圆括号内，以示区别。写在方括号内，把矩阵写在圆括号内，以示区别。124.1.2 4.1.2 晶体的介电张量晶体的介电张量 由电磁场理论已知，介电常数由电磁场理论已知，介电常数是表征介质电学特性的是表征介质电学特性的参量。在各向同性介质中，电位移矢量参量。在各向同性介质中，电位移矢量D D与电场矢量与电场矢量E E满足如满足如下关系：下关系： 在此，介电常数在此，介电常数= =0 0r r是标量，电位移矢量是标量，电位移矢量D D与电场与电场矢量矢量E E的方向相同，即的方向相同，即D D矢量的每个分量只与矢量的每个分量只与E E矢量的相应分量矢量的相应分量线性相关。对于各向异性介质线性相关。对于各向异性介质( (例如晶体例如晶体) )，D D和和E E间的关系为间的关系为: : 13介电常数介电常数 是二阶张量。其分量形式为：是二阶张量。其分量形式为：即电位移矢量即电位移矢量D D的每个分量均与电场矢量的每个分量均与电场矢量E E的各个分量线性相的各个分量线性相关。在一般情况下，关。在一般情况下，D D与与E E的方向不相同。的方向不相同。 又由光的电磁理论，晶体的介电张量又由光的电磁理论，晶体的介电张量 是一个对称张是一个对称张量，因此它有六个独立分量。量，因此它有六个独立分量。 经主轴变换后的介电张量是对经主轴变换后的介电张量是对角张量，只有三个非零的对角分量，为：角张量，只有三个非零的对角分量，为：i, j=1, 2, 3141 1, ,2 2, ,3 3 称为主介电系数。由麦克斯韦关系式：称为主介电系数。由麦克斯韦关系式：还可以相应地定义三个主折射率还可以相应地定义三个主折射率n n1 1, , n n2 2, ,n n3 3。在主轴坐标系。在主轴坐标系中，电位移矢量的分量形式可表为：中，电位移矢量的分量形式可表为：15 此外，由固体物理学知道，不同晶体的结构具有不同的此外，由固体物理学知道，不同晶体的结构具有不同的空间对称性，自然界中存在的晶体按其空间对称性的不同，空间对称性，自然界中存在的晶体按其空间对称性的不同，分为七大晶系：立方晶系；四方晶系；六方晶系；三方晶分为七大晶系：立方晶系；四方晶系；六方晶系；三方晶系；正方晶系；单斜晶系；三斜晶系。系；正方晶系；单斜晶系；三斜晶系。 由于它们的对称性不同，所以在主轴坐标系中介电张量由于它们的对称性不同，所以在主轴坐标系中介电张量的独立分量数目不同，各晶系的介电张量矩阵形式如表的独立分量数目不同，各晶系的介电张量矩阵形式如表4-14-1所所示。由该表可见，三斜、单斜和正交晶系中，主介电系数示。由该表可见，三斜、单斜和正交晶系中，主介电系数1 12 23 3, ,这几类晶体在光学上称为双轴晶体；三方、这几类晶体在光学上称为双轴晶体；三方、四方、六方晶系中，主介电系数四方、六方晶系中，主介电系数1 1= =2 23 3, ,这几类晶体在这几类晶体在光学上称为单轴晶体；立方晶系在光学上是各向同性的，光学上称为单轴晶体；立方晶系在光学上是各向同性的， 1 1= =2 2= =3 3。164.1.3 4.1.3 晶体的光学各向异性晶体的光学各向异性 七大晶系的光学性质简介七大晶系的光学性质简介17表表 4 - 1 4 - 1 各晶系的介电张量矩阵各晶系的介电张量矩阵 18