勾股定理勾股定理20022002年国际数学家大会会标年国际数学家大会会标弦图弦图这个图形里这个图形里 到底蕴涵了什么到底蕴涵了什么样博大精深的知样博大精深的知识呢？识呢？ 它标志着我它标志着我国古代数学国古代数学的成就！的成就！ 毕达哥拉斯毕达哥拉斯(公元前公元前572-前前492年年),古希腊古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。著名的哲学家、数学家、天文学家。SA+SB=SCABCB BA AC C图甲图甲A A的面积的面积B B的面积的面积C C的面积的面积4 44 48 8S SA A+S+SB B=S=SC CC C图甲图甲1.1.观察图甲，小方格观察图甲，小方格的边长为的边长为1.1.正方形正方形A A、B B、C C的的面积各为多少？面积各为多少？正方形正方形A A、B B、C C的的 面积有什么关系？面积有什么关系？毕达哥拉斯毕达哥拉斯(公元前公元前572-前前492年年),古希腊著名的古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。哲学家、数学家、天文学家。A、B、C的面积有什么关系？的面积有什么关系？SA+SB=SCABC对于等腰直角三角形有这样的性质：对于等腰直角三角形有这样的性质：两直边的平方和等于斜边的平方两直边的平方和等于斜边的平方A AB BC C图乙图乙2.2.观察图乙，小方格观察图乙，小方格的边长为的边长为1.1.正方形正方形A A、B B、C C的的面积各为多少？面积各为多少？9 916162525S SA A+S+SB B=S=SC C正方形正方形A A、B B、C C的的 面积有什么关系？面积有什么关系？4 44 48 8A AB BC C图甲图甲图甲图甲 图乙图乙A A的面积的面积B B的面积的面积C C的面积的面积C CS SA A+S+SB B=S=SC CA AB B图乙图乙2.2.观察图乙，小方格观察图乙，小方格的边长为的边长为1.1.9 916162525S SA A+S+SB B=S=SC C正方形正方形A A、B B、C C的的 面积有什么关系？面积有什么关系？4 44 48 8A AB BC C图甲图甲图甲图甲 图乙图乙A A的面积的面积B B的面积的面积C C的面积的面积a ab bc ca ab bc cC CS SA A+S+SB B=S=SC CA AB BC CC C图乙图乙S SA A+S+SB B=S=SC CS SA A+S+SB B=S=SC C图甲图甲a ab bc ca ab bc c.猜想猜想a、b、c 之间的关系？之间的关系？a2 +b2 =c2命题：如果直角三角形的两直角边长分命题：如果直角三角形的两直角边长分别为别为a、b，斜边长为，斜边长为c，那么，那么a2+b2=c2caba2 +b2 =c2a aa aa aa ab bb bb bb bc cc cc cc c用用拼拼图图法法证证明明. .a a、b b、c c 之间的关系之间的关系a2 +b2 =c2S S大正方形大正方形=(a+b)=(a+b)2 2=a=a2 2+b+b2 2+2ab+2abS S大正方形大正方形=4S=4S直角三角形直角三角形+ S+ S小正方形小正方形 =4 ab+c2 =c =c2 2+2ab+2aba a2 2+b+b2 2+2ab=c+2ab=c2 2+2ab+2aba2 +b2 =c2证法一：证法一：abcS大正方形大正方形c2S小正方形小正方形（b-a）2S大正方形大正方形4S三角形三角形S小正方形小正方形弦图弦图现在我们一起来探现在我们一起来探索索“弦图弦图”的奥妙吧！的奥妙吧！证法二：证法二：黄实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实baacab经过证明被确认正确的命题叫做定理经过证明被确认正确的命题叫做定理经过证明被确认正确的命题叫做定理经过证明被确认正确的命题叫做定理. .cba用赵爽弦图证明勾股定理用赵爽弦图证明勾股定理=ba1876年年4月月1日，伽菲尔德日，伽菲尔德在在新英格兰教育日志新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的上发表了他对勾股定理的这一证法。这一证法。1881年，伽菲尔德就任美年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法了的证明，就把这一证法称为称为“总统总统”证法。证法。 美国总统的证明证法三：证法三：aabbcc伽菲尔德证法伽菲尔德证法: a2 + b2 = c2 勾股定理（勾股定理（gou-gugou-gu法则法则) )如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜斜边为边为c，那么，那么即即 直角三角形两直角边的平方和等直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。于斜边的平方。abc勾勾股股弦弦在西方又称毕达在西方又称毕达哥拉斯定理耶！哥拉斯定理耶！abc 两千多年前，古希腊有个哥拉两千多年前，古希腊有个哥拉 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯年希腊曾经发行了一枚纪念票。年希腊曾经发行了一枚纪念票。定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955勾勾 股股 世世 界界国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前国家之一。早在三千多年前 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。希腊曾经发行了一枚纪念邮票。 我国是最早了解勾股定理的我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被记，它被记载于我国古代著名的数学著作载于我国古代著名的数学著作周髀算经周髀算经中。中。商高定理：商高定理：商高是公元前十一世纪的中国人。当商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作古代大约是战国时期西汉的数学著作周髀算经周髀算经中记录中记录着商高同周公的一段对话。商高说：着商高同周公的一段对话。商高说：“故折矩，勾广三，故折矩，勾广三，股修四，经隅五。股修四，经隅五。”商高那段话的意思就是说：当直角三商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为角形的两条直角边分别为3 3（短边）和（短边）和4 4（长边）时，径隅（长边）时，径隅（就是弦）则为（就是弦）则为5 5。以后人们就简单地把这个事实说成。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五勾三股四弦五”，所以在我国人们就把这个定理叫作，所以在我国人们就把这个定理叫作 “商高定理商高定理”。商高定理就商高定理就是勾股定理哦！是勾股定理哦！毕达哥拉斯定理：毕达哥拉斯定理：毕达哥拉斯毕达哥拉斯“勾股定理勾股定理”在国外，尤其在西在国外，尤其在西方被称为方被称为“毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理”或或“百百牛定理牛定理”相传这个定理是公元前相传这个定理是公元前500500多年时多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。他发现勾股定理后高兴异常，命令他他发现勾股定理后高兴异常，命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定理又叫做的发现，因此勾股定理又叫做“百牛百牛定理定理”毕达哥拉斯（毕达哥拉斯，前毕达哥拉斯（毕达哥拉斯，前572572前前497497），西方理），西方理性数学创始人，古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，性数学创始人，古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年比商高晚出生五百多年 勾股定理给出了直角三角形三边之间的关勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方系，即两直角边的平方和等于斜边的平方。cbac2=a2 + b2a2=c2b2b2 =c2-a2课堂课堂 练练 习习1 1、求下图中字母所代表的正方形的面积。、求下图中字母所代表的正方形的面积。225400A81225B6251442.2.求下列图中表示边的未知数求下列图中表示边的未知数x x、y y、z z的值的值. .8181144144x xy yz z6256255765761441441691693、求出下列直角三角形中未知边的长度、求出下列直角三角形中未知边的长度68x5x13解：（解：（1）由勾股定理得：由勾股定理得：x2 =36+64x2 =100x2=62+82x=10 x2+52=132 x2=132-52x2=169-25x2=144x=12（2）由勾股定理得：由勾股定理得：比比一一比比看看看看谁谁算算得得快快！4.4.求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长: :可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小结方法小结:8 8x x171716162020x x12125 5x xABCD7cm5如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则则正方形正方形A，B，C，D的面积之和为的面积之和为_cm2。4911、如图、如图, ,一个高一个高3 3 米米, ,宽宽4 4 米的大门米的大门, ,需在相需在相对角的顶点间加一个加固木条对角的顶点间加一个加固木条, ,则木条的长则木条的长为为( )( )A.3 A.3 米米 B.4 B.4 米米 C.5C.5米米 D.6D.6米米C5 或或 2、已知：、已知：RtBC中，中，AB，AC,则则BC的长为的长为_ .试一试试一试:4 43 3ACB4 43 3CAB、一个直角三角形的三边长为三个连续、一个直角三角形的三边长为三个连续偶数偶数,则它的三边长分别为则它的三边长分别为 ( )2、4、6 4、6、8B试一试试一试: 6、8、10 8、10、124 4、湖的两端有、湖的两端有A A、两点，从与、两点，从与A A方向成直角方向成直角的公元前方向上的点的公元前方向上的点C C测得测得CA=130CA=130米米,CB=120,CB=120米米, ,则则ABAB为为( ) ( ) ABCA.50A.50米米 B.120B.120米米 C.100C.100米米 D.130D.130米米130120?A1、判断题：、判断题： 1)直角三角形三边分别为直角三角形三边分别为 a, b, c ，则一定满足下面的，则一定满足下面的式子：式子： a2+b2 =c2( ) 2) 直角三角形的两边长分别是直角三角形的两边长分别是3和和4，则第三边长是，则第三边长是5. ( )