习题习题3-13-1已知已知A A C Cn n n n是正定是正定HermiteHermite矩阵矩阵, , , ,C Cn n. .定义内积定义内积 ( , , )= A A * *.试证它试证它是内积是内积;写出相应的写出相应的C-SC-S不等式不等式: : :Cauchy-SchwarzCauchy-Schwarz不等式：不等式： 习题习题3-3(1)3-3(1)#3-3(1)#3-3(1): :已知已知A= ,A= ,试求试求U U U Un n n n使使U U* *AU=RAU=R为为上三角矩阵上三角矩阵. .解解: :det(det( E E-A)=(-A)=( +1)+1)3 3给出给出 =-1=-1是是A A的的3 3重特征值重特征值. .显然显然, , 1 1=(0,1,0)=(0,1,0)T T是是A A的一个特征向量的一个特征向量. .作酉矩阵作酉矩阵V=V=( ( 1 1, , 2 2, , 3 3),), 2 2=(1,0,0)=(1,0,0)T T, , 3 3=(0,0,1)=(0,0,1)T T, ,则则 V V* *AV= AV= 子矩阵子矩阵A A1 1的特征值仍是的特征值仍是-1,-1,对应的单位特征向量对应的单位特征向量是是 1 1=(-2/=(-2/ 5,1/5,1/ 5)5)T T, ,作作2 2阶酉矩阵阶酉矩阵W W1 1=(=( 1 1, , 2 2),), 2 2=(1/=(1/ 5,2/5,2/ 5)5)T T, ,则则W W1 1* *A A1 1W W1 1= =作作3 3阶酉矩阵阶酉矩阵W=diag(1,WW=diag(1,W1 1),U=VW,),U=VW,则则 U U* *AU=AU=为上为上三角矩阵三角矩阵. .习题习题3-93-9#3-9#3-9: :若若S,TS,T分别为实对称分别为实对称, ,反实对称矩阵反实对称矩阵, ,则则A=(E+T+iS)(E-T-iS)A=(E+T+iS)(E-T-iS)-1-1为酉矩阵为酉矩阵. . 证证: :A A* *A=(E-T-A=(E-T-iSiS) )* *) )-1-1(E+T+iS)(E+T+iS)* *(E+T+iS)(E-T-iS)(E+T+iS)(E-T-iS)-1-1 =(E+T+iS) =(E+T+iS)-1-1(E-(E-(T+iST+iS)(E+()(E+(T+iST+iS)(E-T-iS)(E-T-iS)-1-1 =(E+T+iS) =(E+T+iS)-1-1(E+T+iS)(E-T-iS)(E-T-iS)(E+T+iS)(E-T-iS)(E-T-iS)-1-1 =E =E注注: :可以不证可以不证 AAAA* *=E;=E;(E-(E-(T+iST+iS)(E+()(E+(T+iST+iS)=()=(E+(E+(T+iST+iS)(E-()(E-(T+iST+iS) =( =(E+T+iS)(E-T-iSE+T+iS)(E-T-iS) )习题习题3-123-12设设A,BA,B均是正规矩阵均是正规矩阵, ,试证试证:A:A与与B B酉酉相似的充要条件是相似的充要条件是A A与与B B的特征值相同的特征值相同 证证: :充分性：因为充分性：因为A,BA,B是正规矩阵是正规矩阵, ,所以所以存在存在U,VU,V U Un n n n 使得使得 A=Udiag(A=Udiag( 1 1, n n)U)U* *, B=Vdiag(, B=Vdiag( 1 1, n n)V)V* *, , 其中其中 1 1, n n是是A,BA,B的特征值集合的特征值集合. .于是于是B=VUB=VU* *AUVAUV* *=W=W* *AW, W=UVAW, W=UV* * U Un n n n即得证即得证A A与与B B酉相似酉相似. . 必要性必要性: :显然显然, ,因为因为, ,相似矩阵有相同的特征值相似矩阵有相同的特征值. . 习题习题3-133-13#3-13#3-13: :若若A A H Hn n n n,A,A2 2=A,=A,则则存在存在U U U Un n n n使得使得 U U* *AU=diag(EAU=diag(Er r,0),r=rank(A).,0),r=rank(A).证证: :存在存在U U U Un n n n使得使得 A=Udiag(A=Udiag( 1 1, n n)U)U* *, (*), (*)其中其中 1 1, n n是是A A的特征值的的特征值的任意排列任意排列. . A A2 2=A =A 和和 A A2 2=Udiag(=Udiag( 1 1, n n)U)U* *Udiag(Udiag( 1 1, n n)U)U* * =Udiag( =Udiag( 1 12 2, n n2 2)U)U* * i i2 2= = i i, ,即即 i i 0,1,i=1,n,.0,1,i=1,n,.取取 1 1, n n的排列使特征值的排列使特征值0 0全排在后面全排在后面, ,则则(*)(*)式即给出式即给出所需答案所需答案. .习题习题3-143-14#3-14#3-14: :若若A A H Hm m n n,A,A2 2=E,=E,则则存在存在U U U Un n n n使得使得 U U* *AU=AU=diag(Ediag(Er r,-E,-En-rn-r).).证证: :存在存在U U U Un n n n使得使得 A=Udiag(A=Udiag( 1 1, n n)U)U* *, (*), (*)其中其中 1 1, n n是是A A的特征值的的特征值的任意排列任意排列. . A A2 2=E=Udiag(1,1)U=E=Udiag(1,1)U* * 和和 A A2 2=Udiag(=Udiag( 1 1, n n)U)U* *Udiag(Udiag( 1 1, n n)U)U* * =Udiag( =Udiag( 1 12 2, n n2 2)U)U* * i i2 2=1,=1,即即 i i= = 1,i=1,n,.1,i=1,n,.取取 1 1, n n的排列使特征值的排列使特征值1(1(设共有设共有r r个个) )全排在全排在前面前面, ,则则(*)(*)式即给出式即给出所需答案所需答案. .习题习题3-163-16#3-16#3-16: :设若设若A,BA,B H Hn n n n, ,且且A A为正定为正定HermiteHermite矩阵矩阵, , 试证试证:AB:AB与与BABA的特征值都是实数的特征值都是实数. .证证1 1: :由定理由定理3.9.4,A3.9.4,A1/21/2是正定矩阵是正定矩阵, ,于是于是A A-1/2-1/2(AB)A(AB)A1/21/2=A=A1/21/2BABA1/21/2= =M M H Hm m n n, ,即即ABAB相似于一个相似于一个HermiteHermite矩阵矩阵M M. . (AB)=(AB)= (M)(M) R,R,得证得证ABAB的特征值都是实数的特征值都是实数. .又又 A A1/21/2(BA)A(BA)A-1/2-1/2=A=A1/21/2BABA1/21/2= =M M H Hm m n n, ,即即BABA相似于一个相似于一个HermiteHermite矩阵矩阵M.M. (BA)=(BA)= (M)(M) R,R,得证得证BABA的特征值都是实数的特征值都是实数. .#3-16#3-16: :设若设若A,BA,B H Hm m n n, ,且且A A正定正定, ,试证试证:AB:AB与与BABA的特的特征值都是实数征值都是实数. .证证2 2: :由定理由定理3.9.1,PAP3.9.1,PAP* *=E,=E,则则PABPPABP-1-1= =PAPPAP* *(P(P* *) )-1-1BPBP-1-1=(P=(P* *) )-1-1BPBP-1-1= =M M H Hm m n n, ,即即ABAB相似于一个相似于一个HermiteHermite矩阵矩阵M.M. (AB)=(AB)= (M)(M) R,R,得证得证ABAB的特征值都是实数的特征值都是实数. .又又因因BABA的非零特征值与的非零特征值与ABAB的非零特征值完全相的非零特征值完全相同同, ,故故BABA的特征值也都是实数的特征值也都是实数. .证证3 3:det(:det( E-AB)=det(A(E-AB)=det(A( A A-1-1-B)-B) = =detdet A A det(det( A A-1-1-B)=0.-B)=0.但但detdet A A 0,0,和和det(det( A A-1-1-B)=0-B)=0的根全为实数的根全为实数( (见例见例3.9.13.9.1的相关证明的相关证明) )习题习题3-193-19设设A A是正定是正定HermiteHermite矩阵且矩阵且A A U Un n n n, ,则则A=EA=E 证证: :存在存在U U U Un n n n使得使得 A=Udiag(A=Udiag( 1 1, n n)U)U* *, (*), (*)其中其中 1 1, n n是是A A的特征值的的特征值的任意排列任意排列. . A A 是正定蕴含是正定蕴含 i i0,i=1,n0,i=1,n A A U Un n n n 蕴含蕴含| | i i|=1,i=1,n|=1,i=1,n 因此因此 i i=1,i=1,n=1,i=1,n A=Udiag( A=Udiag( 1 1, n n)U)U* *=UEU=UEU* *=UU=UU* *=E.=E.习题习题3-203-20 试证试证: :两个半正定矩阵之和是半正两个半正定矩阵之和是半正定定; ;半正定矩阵与正定矩阵之和是正定矩阵半正定矩阵与正定矩阵之和是正定矩阵解解: : 设设A,BA,B H Hn n n n 分别是半分别是半正定矩阵正定矩阵, ,正定矩阵正定矩阵. .则则A A* *=A&B=A&B* *=B =B (A+B) (A+B)* *=A+B=A+B H Hn n n n x x C Cn n,x,x* *AxAx 0,x0,x* *BxBx 0 0 x x C Cn n,x,x* *(A+B)x(A+B)x 0 0 A A+B+B是半正定是半正定HermiteHermite矩阵矩阵. . 0 0 x x C Cn n,x,x* *AxAx 0,x0,x* *BxBx0 0 0 0 x x C Cn n,x,x* *( (A+B)xA+B)x=x=x* *Ax+xAx+x* *BxBx00 A A+B+B是正定是正定HermiteHermite矩阵矩阵. .习题习题3-223-22设设A,BA,B均是正规矩阵均是正规矩阵, ,试证试证:A:A与与B B相似的充要条件是相似的充要条件是A A与与B B酉相似酉相似证证: :因为因为A,BA,B是正规矩阵是正规矩阵, ,所以所以存在存在U,VU,V U Un n n n 使得使得 A=Udiag(A=Udiag( 1 1, n n)U)U* *, B=Vdiag(, B=Vdiag( 1 1, n n)V)V* *, , 其中其中 1 1, , n n, , , 1 1, n n分别是分别是A,BA,B的特征值集的特征值集合的任意排列合的任意排列. .必要性：若必要性：若A A与与B B相似相似, ,则则 i i= = i i,i,i=1,n,=1,n,于是于是B=VUB=VU* *AUVAUV* *=W=W* *AW, W=UVAW, W=UV* * U Un n n n即得证即得证A A与与B B酉相似酉相似. . 充分性充分性: :显然显然, ,因为因为, ,酉相似必然相似酉相似必然相似. . 习题习题3-233-23设设A A* *=A.=A.试证试证: :总存在总存在t0,t0,使得使得A+tEA+tE是正定是正定;A-;A-tEtE是负定是负定证证: :因为因为A A是是HermiteHermite矩阵矩阵, ,所以所以存在存在U U U Un n n n 使得使得 A=Udiag(A=Udiag( 1 1, n n)U)U* *, , 其中其中 1 1, , n n是是A A的特征值并且全为实数的特征值并且全为实数. .令令tMax|tMax| 1 1|,|,| n n|,|,于是于是, ,A+tEA+tE是是HermiteHermite矩阵矩阵并且特征值全为正数，即得证并且特征值全为正数，即得证A+tEA+tE是正定是正定HermiteHermite矩阵矩阵. . A AtEtE是是HermiteHermite矩阵矩阵并且特征值全为负数，即得证并且特征值全为负数，即得证A AtEtE是负定是负定HermiteHermite矩阵矩阵. .习题习题3-253-25#3-25#3-25:A:A* *=-=-A(AA(A SHSHn n n n) ) U=(A+E)(A-E)U=(A+E)(A-E)-1-1 U Un n n n. .( (A A SHSHn n n nA A E E的特征值全不为的特征值全不为0,0,从而从而A A E E可逆可逆) )解解: U: U* *=U=U-1-1 (A-E) (A-E)* *) )-1-1(A+E)(A+E)* *=(A-E)(A+E)=(A-E)(A+E)-1-1 (-A-E)(-A-E)-1-1(-A+E)=(A-E)(A+E)(-A+E)=(A-E)(A+E)-1-1 (A+E)(A+E)-1-1(A-E)(A-E)=(A-E)(A+E)=(A-E)(A+E)-1-1 (A-E)(A+E)=(A+E)(A-E) (A-E)(A+E)=(A+E)(A-E) A A2 2-E=A-E=A2 2-E -E 因最后一因最后一式恒成立式恒成立, ,得证得证U U* *=U=U-1-1, ,从而从而 U=(A+E)(A-E)U=(A+E)(A-E)-1-1 U Un n n n. .习题习题3-263-26设设A A为正规矩阵特征值为为正规矩阵特征值为 1 1, , n n. .试证试证:A:A* *A A的特征值为的特征值为| | 1 1| |2 2,|,| n n| |2 2. .证证: :因为因为A A是正规矩阵是正规矩阵, ,所以所以存在存在U U U Un n n n 使得使得 A=Udiag(A=Udiag( 1 1, n n)U)U* *, , 其中其中 1 1, , n n是是A A的特征值的特征值. .于是于是, ,A A* *A=Udiag(|A=Udiag(| 1 1| |2 2,|,| n n| |2 2)U)U* *. .因对角矩阵因对角矩阵diag(|diag(| 1 1| |2 2,|,| n n| |2 2) )酉相似于酉相似于A A* *A,A,故故A A* *A A的特征值为的特征值为 | | 1 1| |2 2,|,| n n| |2 2习题习题3-273-27#3-27(1)#3-27(1):A:A* *A,AAA,AA* *都是半正定都是半正定HermiteHermite矩阵矩阵. . (2)(2): :若若A A C Cm m n n, ,则则A A* *A,AAA,AA* *的非零特征值相的非零特征值相同同( (它们的谱可能不一样它们的谱可能不一样) )证证: :(1)(1): (A: (A* *A)A)* *=A=A* *A,(AAA,(AA* *) )* *=AA=AA* *. . x x C Cn n,x,x* *(A(A* *A)xA)x =(Ax)=(Ax)* *Ax=(Ax,Ax)Ax=(Ax,Ax) 0.0. (2) (2): : 对对AAAA* *的任意非零特征值的任意非零特征值 有有AAAA* *x=x= x,xx,x 0.0. 于是于是 A A* *A(AA(A* *x)=x)= (A(A* *x).x). 因因 x x 0,0,故故A A* *x x 0,0,从而得从而得证证AAAA* *的任意非零特的任意非零特征值征值 也是也是A A* *A A的非零特征值的非零特征值. . 同理可证同理可证: :A A* *A A的任意非零特征值的任意非零特征值 也是也是AAAA* *的非零的非零特征值特征值. .习题习题3-27(2)3-27(2)另一解法另一解法证证: :不难验证下列矩阵等式不难验证下列矩阵等式: : 因因S= S= 可逆可逆, ,故故从而从而det(det( E E-AA-AA* *)=0)=0与与det(det( E E-A-A* *A)=0A)=0有有相同非零相同非零解解, ,得证得证AAAA* *与与A A* *A A有相同的非零特征值有相同的非零特征值. .习题习题3-283-28设设A A为正规矩阵为正规矩阵. .试证试证:若若A Ar r=0,=0,则则A=0.A=0.若若A A2 2=A,=A,则则A A* *=A.=A.证证: :因为因为A A是正规矩阵是正规矩阵, ,所以所以存在存在U U U Un n n n 使得使得 A=Udiag(A=Udiag( 1 1, n n)U)U* *, , 其中其中 1 1, , n n是是A A的特征值的特征值. .于是于是, ,A Ar r=Udiag(=Udiag( 1 1r r, n nr r)U)U* *=0=0蕴涵蕴涵 i ir r=0,i=1,n.=0,i=1,n.后者又蕴涵后者又蕴涵 1 1= n n=0. =0. A=Udiag(0,0)U A=Udiag(0,0)U* *=0. =0. 若若 A A2 2=A,=A, 则则 i i2 2= = i i,i,i=1,n.=1,n. 后者又蕴涵后者又蕴涵 i i=0=0或或1, i=1,n,(1, i=1,n,(即正规矩阵即正规矩阵A A的特征值全为的特征值全为实数实数).). A A* *=Udiag(=Udiag( 1 1, n n)U)U* *=A. =A. 习题习题3-303-30#3-30#3-30: :若若A A C Cn n n n, ,则则A A可唯一地写为可唯一地写为A=B+C,A=B+C,其中其中B B H Hn n n n,C,C SHSHn n n n. .证证: :存在性存在性 取取 B=(1/2)(A+AB=(1/2)(A+A* *),C=(1/2)(A-A),C=(1/2)(A-A* *), ), 则显然则显然B,CB,C分别是分别是HermiteHermite矩阵和反矩阵和反HermiteHermite矩阵矩阵, ,并且满足并且满足A=B+C.A=B+C. 唯一性唯一性 若若 A=B+C,A=B+C,其中其中B B H Hn n n n,C,C SHSHn n n n, ,则则A A* *=(B+C)=(B+C)* *=B=B* *+C+C* *=B-C.=B-C.于是于是 B=(1/2)(A+AB=(1/2)(A+A* *),C=(1/2)(A-A),C=(1/2)(A-A* *). ). 证证毕毕注注: :令令T=-T=-iCiC, ,则则T T* *= =iCiC* *=i(-C)=T,=i(-C)=T,即即T T H Hn n n n. .由此由此推出推出:A:A可唯一地写为可唯一地写为A=A=B+iTB+iT, ,其中其中B,TB,T H Hn n n n. .习题习题3*13*1试证：向量长度的齐次性试证：向量长度的齐次性#3*1#3*1: :试证试证证证: :令令 =(a=(a1 1,a an n) )T T , ,则则 k k =(a=(a1 1,a an n) )T T 习题习题3*23*2试证：在酉空间试证：在酉空间V V中成立广义中成立广义商高定理商高定理#3*2#3*2: :试证试证 1 1, k k V V &(&( i i, , j j)=0,)=0, i i j j 或等价地或等价地( ( 1 1+ k k, , 1 1+ k k)=()=( 1 1, , 1 1)+()+( k k, , k k) )证证: :对对k k用归纳法证明用归纳法证明.k=2.k=2时时, ,有有 ( ( 1 1+ + 2 2, , 1 1+ + 2 2) )2 2=(=( 1 1, , 1 1)+()+( 1 1, , 2 2)+()+( 2 2, , 1 1)+()+( 2 2, , 2 2) ) =( =( 1 1, , 1 1)+()+( 2 2, , 2 2) )若若k-1k-1时结论成立时结论成立, ,则则 ( ( 1 1+ k-1k-1, , k k)=0)=0( ( 1 1+ k k, , 1 1+ k k)=()=( 1 1+ k-k-1 1)+)+ k k,(,( 1 1+ k-1k-1)+)+ k k) ) = =( ( 1 1+ k-1k-1, , 1 1+ k-1k-1) )+ +( ( k k, , k k) ) = =( ( 1 1, , 1 1)+()+( k k, , k k) )+(+( k k, , k k) )习题习题3*33*3令令 1 1=(1,1,1,1)=(1,1,1,1)T T, , 2 2=(3,3,-1,-1)=(3,3,-1,-1)T T, , 3 3=(-2,0,6,8)=(-2,0,6,8)T T, ,求求SpanSpan 1 1, , 2 2, , 3 3 的标正基的标正基解解: : 1 1, , 2 2, , 3 3就是所要求的标正基就是所要求的标正基. .习题习题3*5(i)3*5(i)用归纳法证明用归纳法证明1+3+5+(1+3+5+(2n-1)2n-1)2 2=n=n2 2证证: :对对k k用归纳法证明用归纳法证明.k=1.k=1时结论显然成立时结论显然成立. . 若若n-1n-1时结论成立时结论成立1+3+5+(1+3+5+(2n-3)=(n-1)2n-3)=(n-1)2 2则则 1+3+5+(1+3+5+(2n-1)2n-1)2 2 = =1+3+5+(2n-3)1+3+5+(2n-3)+(2n-1)+(2n-1) = =(n-1)(n-1)2 2+(2n-1)+(2n-1) =n =n2 2-2n+1+2n-1-2n+1+2n-1 =n =n2 2习题习题3*63*6试证试证: : 为正规矩阵为正规矩阵解解所以所以A A为正规矩阵为正规矩阵. .易见易见:A:A不是对角阵且不是对角阵且A A* * A A和和A A* * -A-A因此因此,A,A不是不是HermiteHermite矩阵矩阵, ,也不是反也不是反HermiteHermite矩阵矩阵. .习题习题3*73*7证明证明: :对任意正定矩阵对任意正定矩阵A,A,任意任意正整数正整数k k 都有正定矩阵都有正定矩阵S S 使使 S Sk k=A=A证证: :因为因为A A是正定矩阵是正定矩阵, ,所以所以存在存在U U U Un n n n 使得使得 A=Udiag(A=Udiag( 1 1, n n)U)U* *, , 其中其中 1 1, , n n是全为正数是全为正数. .令令S=Udiag(S=Udiag( 1 11/k1/k, n n1/k1/k)U)U* *, , 其中其中 i i1/k1/k是正数是正数 i i的的k k次算术根次算术根, ,也全为正数也全为正数. .由此由此推出推出: : S Sk k=A,=A,并且并且S S酉相似于对角元全为正数酉相似于对角元全为正数的对角矩阵的对角矩阵, ,从而得证从而得证S S是正定是正定HermiteHermite矩阵矩阵习题习题4-1(1)4-1(1)4-14-1: :求求 A= A= 的满秩的满秩分解分解. .解解1 1: A : A = C = C A=BC, B=(A A=BC, B=(A5 5,A,A3 3,A,A1 1)=)=习题习题4-1(1)4-1(1)4-14-1: :求求 A= A= 的满秩的满秩分解分解. .解解2 2: A : A = C = C A=BC, B=(A A=BC, B=(A1 1,A,A2 2,A,A3 3)=)=习题习题4-1(2)4-1(2)4-1(2)4-1(2): :求求 A= A= 的满秩的满秩分解分解. .解解: A : A = C = C A=BC, B=(A A=BC, B=(A1 1,A,A3 3)=)=习题习题4-24-2求求 A= A= 的奇异值分解的奇异值分解. .解解: : A A的奇异值是的奇异值是: : 2,1; 2,1; =diag(=diag( 2,1)2,1) AA AA* *的的对应于特征值对应于特征值2,12,1的单位特征向量是的单位特征向量是(1/(1/ 2,1/2,1/ 2,0)2,0)T T, (1,0,0), (1,0,0)T TA A的奇异值分解是的奇异值分解是: :习题习题4*14*1A A与与B B酉等价酉等价A A与与B B奇异值相奇异值相同同 必要性必要性: A=UBV : A=UBV AA AA* *=UBVV=UBVV* *B B* *U U* *=UBB=UBB* *U U* * BBBB* * AA AA* *与与BBBB* *有相同的特征值集有相同的特征值集, ,得证得证A A与与B B有相同有相同的奇异值集的奇异值集. . 充分性充分性: :作作A,BA,B的奇异值分解的奇异值分解A=UDVA=UDV* *,B=U,B=U1 1DVDV1 1* *,D=diag(,D=diag( ,0),0),其中其中, , 是由它们的全部正奇异值组成的正对角是由它们的全部正奇异值组成的正对角矩阵矩阵. .于是于是U U* *AV=D=UAV=D=U1 1* *BVBV1 1 A=(UU A=(UU1 1* *)B(V)B(V1 1V V* *) )因酉矩阵的乘积因酉矩阵的乘积 UUUU1 1* *,V,V1 1V V* * 仍为酉矩阵仍为酉矩阵, ,故上式故上式表明表明A A酉等价于酉等价于B.B.习题习题4*24*24*24*2: : 设设A A C Cr rm m n n,U,U U Um m m m,V,V U Un n n n使使B=UB=U* *AV=diag(AV=diag( ,0),0), =diag(b=diag(b1 1,b br r), (*), (*) 则则|b|b1 1|,|,|b br r| |为为A A的全部正奇异值的全部正奇异值. . 证证: U: U* *AAAA* *U=BBU=BB* *= =diagdiag( (* *,0) ,0) 写成写成 2 2不对！不对！ =diag(|b=diag(|b1 1| |2 2,|b,|br r| |2 2,0,0),0,0) AAAA* * |b |b1 1|,|,|b br r| |为为A A的全部正奇异值的全部正奇异值. .奇异值分解定理另一奇异值分解定理另一( (更强更强) )表述表述定理定理: : 令令 1 1, r r为为A A C Cr rm m n n的全部正奇异值的全部正奇异值; ; =diag=diag( ( 1 1, r r),),则有则有U U U Um m m m,V,V U Un n n n使使 U U* *AV= =AV= =D D C Cr rm m n n (*)(*) 反之反之, ,若有若有U U U Um m m m,V,V U Un n n n使使(*)(*)成立成立, ,其中其中 =diag=diag(d(d1 1,d dr r),), i,di,di i0,0,则则d d1 1,d dr r为为A A的全部的全部正奇异值正奇异值. .( (奇异值分解奇异值分解的某种的某种唯一性唯一性) )证证: AA: AA* *=U V=U V* *V UV U* *=U U=U U* * diag(ddiag(d1 12 2,d,dr r2 2,0,0),0,0) d d1 1,d dr r为为A A的全部正奇异值的全部正奇异值. .注注: :后半部等价于补充题后半部等价于补充题4*2.4*2.4*34*3已知已知A A奇异值求奇异值求A AT T,A,A* *,A,A-1-1的的奇异值奇异值补充题补充题4*34*3: : 令令 1 1, r r为为A A C Cr rm m n n的全部正奇的全部正奇异值异值; ; =diag(=diag( 1 1, r r),),则有则有U U U Um m m m,V,V U Un n n n使使 A=U VA=U V* *=Udiag(=Udiag( ,0)V,0)V* * (*)(*) 易见易见 A A* *=Vdiag(=Vdiag( ,0)U,0)U* *A AT T=(Udiag(=(Udiag( ,0)V,0)V* *) )T T=(V=(V* *) )T Tdiag(diag( ,0)U,0)UT T 1 1, r r为为A A* *,A,AT T, , 的全部正奇异值的全部正奇异值( (利用奇利用奇异值分解定理的更强表述异值分解定理的更强表述).).A A-1-1=(U=(U V V* *) )-1-1=V=V -1-1U U* *=Vdiag(=Vdiag( 1 1-1-1, n n-1-1)U)U* * 1 1-1-1, n n-1-1为为A A-1-1的全部正奇异值的全部正奇异值. .习题习题#5-1#5-1(2)(2)试证试证: : x,yx,y V,xV,x yy |x-y|.|x-y|.证证：首先：首先x=(x-y)+yx=(x-y)+y x-y+yx-y+y x-yx-y x-y.x-y.其次其次x-y=-(y-x)=y-xx-y=-(y-x)=y-x y-x=y-x= -(x-y)-(x-y) x-y x-y |x-y|.|x-y|.此外此外 x+y=x-(-y)x+y=x-(-y) |x-y|=|x-y|x-y|=|x-y| x x yy |x-y|.|x-y|.习题习题#5-2#5-2试证试证A=A= n n maxmaxi,ji,j|a|aijij| |是矩阵范数是矩阵范数 A=(A=(a aijij) ) C Cn n n n证证: : 非负性非负性, ,齐次性显然齐次性显然 三角不等式三角不等式: :A+B=A+B= n n maxmaxi,ji,j|a|aijij+b+bijij| | n n maxmaxi,ji,j|a|aijij|+n|+n maxmaxi,ji,j|b|bijij|=A+B|=A+B 相容性相容性: :AB=AB= n n maxmaxi,ji,j|a|ai1i1b b1j1j+a aininb bnjnj| | n n2 2 maxmaxi,ti,t|a|aitit| | maxmaxtjtj|b|btjtj| | =n =n maxmaxi,ji,j|a|aijij|(n|(n maxmaxi,ji,j|b|bijij|)=AB|)=AB习题习题#5-3#5-3设设是是诱导范数诱导范数detAdetA 0 0 试证试证: : A A C Cn n n n,A,A-1-1 AA-1-1和和 AA-1-1-1-1= min= minx x 0 0(Ax/x).(Ax/x).证证: 1=E=AA: 1=E=AA-1-1 AAAA-1-1 detA detA 0 0 A0 A0 A A-1-1 1/A=A1/A=A-1-1. .AA-1-1= max= maxx x 0 0(A(A-1-1x/x)x/x) = max = maxy y 0 0(y/Ay) (y/Ay) y=Ay=A-1-1x x 0 0 x x 0 0 = max = maxy y 0 0(1/(Ay/y)(1/(Ay/y) = 1/min = 1/miny y 0 0(Ay/y)(Ay/y) AA-1-1-1-1= min= minx x 0 0(Ax/x).(Ax/x).同一向量的三种范数之间的大小关系同一向量的三种范数之间的大小关系习题习题#5-4#5-4: :对对n n维线性空间的任意向量维线性空间的任意向量x x成成立立 xx xx2 2 xx1 1 nxnx nxnx2 2 nxnx1 1 n n2 2xx 证证: :xx = = max|xmax|x1 1|,|,|x xn n| ( ( i=1i=1n n|x|xi i| |2 2) )1/2 1/2 = = xx2 2 ( (|x(|x1 1|+|x|+|xn n|)|)2 2) )1/2 1/2 = = xx1 1 n n max|xmax|x1 1|,|,|x xn n| = = nx nx 习题习题#5-6#5-6A A C Cn n n n是正定矩阵是正定矩阵, ,x x C Cn n 证明证明: :x=(xx=(x* *Ax)Ax)1/2 1/2 是向量范数是向量范数. .解解1 1: :因因A A是正定是正定HermiteHermite矩阵矩阵A,A,故故存在可逆矩阵存在可逆矩阵B B使得使得A=BA=B* *B.B.则则x x的上述表示式可写为的上述表示式可写为: :x=(xx=(x* *Ax)Ax)1/2 1/2 = =( ( (BxBx) )* *(Bx)(Bx) )1/21/2 = =BxBx2 2 其中其中2 2 是向量是向量2-2-范数范数. .再注意可逆矩阵再注意可逆矩阵B B的性的性质质:x=0 :x=0 BxBx=0,=0,即可直接推出即可直接推出非负性非负性. .kxkx=B(kx)=B(kx)2 2=|k|Bx=|k|Bx2 2=|k|x=|k|x 推出齐次性推出齐次性; ;三角不等式则由下式推出三角不等式则由下式推出: :x+y=B(x+y)x+y=B(x+y)2 2 BxBx2 2+By+By2 2#5-6#5-6 A A正定正定, ,定义定义x x C Cn n, ,xx=(x=(x* *Ax)Ax)1/21/2试证试证: : 是是一个向量范数一个向量范数. .解解2 2: :验证矩阵范数验证矩阵范数3 3条公理成立条公理成立. .前两条显然成立前两条显然成立. .只须证三角不等式只须证三角不等式. . x+y x+y2 2=(x+y)=(x+y)* *A(x+y)=(xA(x+y)=(x* *+y+y* *)(Ax+Ay)(Ax+Ay) =x =x* *Ax+yAx+y* *Ay+xAy+x* *Ay+yAy+y* *AxAx =x =x2 2+y+y2 2+2Re(x+2Re(x* *Ay)Ay)令令B B为为A A的正定的正定HermiteHermite平方根平方根:A=BB,:A=BB,则则 x x* *Ay=xAy=x* *BByBBy=(=(BxBx) )* *(By)=(By)=(Bx,ByBx,By) ) 标准内积标准内积由由Cauchy-SchwarzCauchy-Schwarz不等式不等式 |2Re(x|2Re(x* *Ay)| Ay)| 2|x2|x* *Ay|Ay| 2(Bx,Bx2(Bx,Bx) )1/21/2( (By,ByBy,By) )1/2 1/2 = = 2 2xyxy x+y x+y2 2 (x+y)(x+y)2 2, , 得证得证所需结论所需结论. .习题习题#5-7#5-7试找一个收敛的试找一个收敛的2 2阶可逆方阵序列其极限矩阶可逆方阵序列其极限矩阵不可逆阵不可逆 解解: :下列矩阵序列满足所提条件下列矩阵序列满足所提条件: :A Ak k的行列式都大于的行列式都大于0,0,故可逆故可逆, ,但极限矩阵是行列但极限矩阵是行列式不为式不为0 0的不可逆矩阵的不可逆矩阵: :习题习题#5-9 #5-9 计算矩阵幂级数计算矩阵幂级数 试计算幂级数试计算幂级数: : 解解1 1: :利用利用JordanJordan标准形标准形B=Pdiag(.5,-.3)PB=Pdiag(.5,-.3)P-1-1,P=,P=解解2 2: :利用谱半径小于利用谱半径小于1 1的矩阵性质的矩阵性质, , (B)=0.51.(B)=0.51. E+ E+ k=1k=1 B Bk k=(E-B)=(E-B)-1-1= = 答案是答案是 k=1k=1 B Bk k = =解解3 3: : 也也可利用可利用 (B)(B) BB1 1=B=B =0.91=0.91=R.:21=R. 所以所以, ,此矩阵幂级数发散此矩阵幂级数发散. .(2)(2): :解解: :因因AA1 1=MAX0.9,0.8,0.9=0.91=R,=MAX0.9,0.8,0.9=0.91=R=MAX1.1,0.9,0.6=1.11=R补充题补充题5*55*5下列矩阵幂级数是否绝对收敛下列矩阵幂级数是否绝对收敛? ?(3)(3)解解1 1: :此矩阵幂级数对应幂级数的收敛半径此矩阵幂级数对应幂级数的收敛半径因因AA =MAX1.7,1.9=1.9R,=MAX1.7,1.9=1.9R=2.3R发散发散？）解解2 2: :此矩阵幂级数等价于此矩阵幂级数等价于而的矩阵幂级数绝对收敛而的矩阵幂级数绝对收敛( (BB =0.951=0.951) ). .习题习题#6-5#6-5求已知矩阵求已知矩阵A A的最小多项式的最小多项式 已知已知 A= A= 解解I I: :解解IIII: : A A( ( )=)=d dn n( ( )=D)=Dn n( ( )/D)/Dn-1n-1( ( ) ) =( =( -1)-1)3 3/(/( -1)=(-1)=( -1)-1)2 2 习题习题#6-5#6-5求已知矩阵求已知矩阵A A的最小多项式的最小多项式 已知已知 A= A= 解解I I: :因因 A+EA+E 和和 A-2EA-2E都都 0,0,并且并且(A-2E)(A+E)=(A-2E)(A+E)= 0,0,故故 A A( ( )=()=( -2)(-2)( +1)+1)习题习题#6-5#6-5求已知矩阵求已知矩阵A A的最小多项式的最小多项式 已知已知 A= A= 解解IIII: : A A( ( )=)=d dn n( ( )=D)=Dn n( ( )/D)/Dn-1n-1( ( ) ) =( =( -2)(-2)( +1)+1)2 2/(/( +1)=(+1)=( -2)(-2)( - -1)1)习题习题#6-6#6-6已知矩阵已知矩阵A A求求f(Af(A) )的的JordanJordan表示式表示式 已知已知 A= A= 解解: :因因 (A-E)(A-2E)(A-E)(A-2E) 0,0,故故 A A( ( )=()=( -1)(-1)( -2)-2)2 2, ,从从而得而得A A的初等因子为的初等因子为: : -1-1, ,( ( -2)-2)2 2. .设变换矩设变换矩阵为阵为P=(P=( 1 1, , 2 2, , 3 3),),则则 A(A( 1 1, , 2 2, , 3 3)=()=( 1 1, , 2 2, , 3 3) ) 给出给出(A-E)(A-E) 1 1=0,(A-2E)=0,(A-2E) 2 2=0,(A-=0,(A-2E)2E) 3 3= = 2 2 解这些方程组求得解这些方程组求得 P=(P=( 1 1, , 2 2, , 3 3)=)=习题习题#6-6#6-6续续: : :注注: : f(xf(x)=arctg(x/4)=arctg(x/4) f f (x(x)= )= 补充题补充题#6*1#6*1 已知已知A A和和p(p( ),),求求p(Ap(A) )已知已知 A= A= p(p( )=)= 4 4-2-2 3 3+ + -1-1,f(,f( )=)= 1212-4-4 1111+4+4 1010- - +3+3解解I I: :易见的特征多项式易见的特征多项式D(D( )=()=( -2)-2)3 3. .( (A-2E)A-2E)2 2=0&A-2E=0&A-2E 0 0 A A( ( )=()=( -2)-2)2 2= = 2 2-4-4 +4+4p(p( )=()=( 2 2+2+2 +4)(+4)( 2 2-4-4 +4)+9+4)+9 -17-17 p(Ap(A)=)= 0+9A-17E0+9A-17E = =f(f( )=)= 1010( ( 2 2-4-4 +4)-+4)- +3+3 p(Ap(A)=)= 0-A+3E0-A+3E = =解解IIII: :由由D(D( )=()=( -2)-2)3 3. .和和 A A( ( )=()=( -2)-2)2 2= = 2 2- -4 4 +4+4A A有有JordanJordan标准形标准形 并有变换矩阵并有变换矩阵P P满足满足补充题补充题#6*2#6*2求已知求已知A A的的JordanJordan标准形用于计算标准形用于计算已知已知 A= A= 求求 e etAtA,Sin(A,Sin(A) )解解: : det(det( E E-A)=(-A)=( -3)(-3)( +3)+8=+3)+8= 2 2-1-1从而得从而得A A的初等因子为的初等因子为: : -1-1, , +1.+1.设变换矩阵为设变换矩阵为P=P=( ( 1 1, , 2 2),),则则 A(A( 1 1, , 2 2)=()=( 1 1, , 2 2) ) 给出给出(A-E)(A-E) 1 1=0,(A+E)=0,(A+E) 2 2=0.=0.解这些方程组求得解这些方程组求得 P=(P=( 1 1, , 2 2)=)=补充题补充题#6*2#6*2续续: : :补充题补充题#6*2#6*2续续注注: :也可直接计算也可直接计算 Sin(ASin(A).).习题习题#8-1 #8-1 求已知矩阵求已知矩阵A A的全部减号逆的全部减号逆 已知已知 A= A= 求它的全部减号逆求它的全部减号逆 解解: :习题习题#8-2 #8-2 求已知矩阵求已知矩阵A A的加号逆的加号逆 已知已知 A= A= 求它的加号逆求它的加号逆 解解: :显然显然,A,A是满行秩是满行秩, ,有秩分解有秩分解:A=E:A=E3 3A,AA,A+ +=A=A* *(AA(AA* *) )-1-1习题习题#8-4 #8-4 证明有关加号逆的等式证明有关加号逆的等式 证明证明: AA: AA+ +=AA=AA* *(AA(AA* *) )+ +=(AA=(AA* *) )+ +(AA(AA* *) )解解: A: A+ +=A=A* *(AA(AA* *) )+ + 定理定理8.3.38.3.3 AA AA+ +=AA=AA* *(AA(AA* *) )+ + AA AA+ +=(AA=(AA+ +) )* *=(AA=(AA* *(AA(AA* *) )+ +) )* * =(AA =(AA* *) )* *) )+ +(AA(AA* *) )* * * *与与+ +可交换可交换 =(AA=(AA* *) )+ +(AA(AA* *) )习题习题#8-4#8-4证明有关加号逆的等式证明有关加号逆的等式 证明证明: : 若若A A* *=A,=A,则则 AAAA+ +=A=A+ +A A解解I I: A: A+ +A=(AA=(A+ +A)A)* *=A=A* *(A(A+ +) )* * =A=A* *(A(A* *) )+ + =AA =AA+ +解解IIII:(AA:(AA* *)(AA)(AA* *) )+ +=AA=AA* *(A(A+ +) )* *A A+ + 用了定理用了定理8.3.38.3.3 =A =A(A(A+ +A)A)* *A A+ +=A=AA A+ +A AA A+ +=AA=AA+ + (AA (AA* *)(AA)(AA* *) )+ +=(AA=(AA* *) )+ +(AA(AA* *) ) 加号逆是加号逆是33逆逆 = =A A+ +A A+ +AA=AAA=A+ +(A(A+ +A)A)* *A A =A =A+ +A A* *(A(A+ +) )* *A=AA=A+ +AAAA+ +A A =A =A+ +A A补充题补充题#8*1 #8*1 求已知矩阵求已知矩阵A A的减号逆的减号逆 已知已知 A= A= 求它的全部减号逆求它的全部减号逆 解解: :补充题补充题#8*2#8*2试证试证: : A A C Cm m n n的减号逆是的减号逆是C Cn n m m的任一矩阵的任一矩阵, ,当且当且仅当仅当A A是是零矩阵零矩阵. . 解解: : 必要性显然必要性显然, ,因为若因为若A A的减号逆是零矩阵推出的减号逆是零矩阵推出A A也是零矩阵也是零矩阵:A=A0A=0.:A=A0A=0. 充分性充分性 当当A=0A=0时时, ,因为因为 X X C Cn n m m,0=0X0,0=0X0, 所以所以,X=,X=A A- -. .补充题补充题#8*3#8*3试证试证: : V,WV,W C Cn n m m, ,X=AX=A- -+ +V(EV(Em m-AA-AA- -)+(E)+(En n-A-A- -A)WA)W C Cn n m m 是是= =A A C Cm m n n的减号逆的减号逆. . 解解: :直接验证直接验证 AXAAXA=A(A=A(A- -+ +V(EV(Em m-AA-AA- -)+(E)+(En n-A-A- -A)WA)W)A)A =AA =AA- -A+AVA-AVAAA+AVA-AVAA- -A+AWA-AAA+AWA-AA- -AWAAWA =A+AVA-AVA+AWA-AWA =A+AVA-AVA+AWA-AWA =A =A补充题补充题#8*4#8*4完成定理完成定理8.2.18.2.1的证明的证明定理定理8.2.18.2.1: :设设A A C Cr rm m n n,A,A=BC=BC为满秩分解为满秩分解, ,则则A A+ +=C=C* *(CC(CC* *) )-1-1(B(B* *B)B)-1-1B B* * 是是A A的一个加号逆的一个加号逆证证: :直接验证直接验证 AAAA+ +A=BCCA=BCC* *(CC(CC* *) )-1-1(B(B* *B)B)-1-1B B* *BC=BC=BCBC=A=A A A+ +AAAA+ +=C=C* *(CC(CC* *) )-1-1(B(B* *B)B)-1-1B B* *BCCBCC* *(CC(CC* *) )-1-1(B(B* *B)B)-1-1B B* * =C =C* *(CC(CC* *) )-1-1(B(B* *B)B)-1-1B B* *=A=A+ + AA AA+ +=BCC=BCC* *(CC(CC* *) )-1-1(B(B* *B)B)-1-1B B* *=B(B=B(B* *B)B)-1-1B B* * 和和 A A+ +A=CA=C* *(CC(CC* *) )-1-1(B(B* *B)B)-1-1B B* *BC=CBC=C* *(CC(CC* *) )-1-1C C都是都是HermiteHermite矩阵矩阵 (AA(AA+ +) )* *=(B(B=(B(B* *B)B)-1-1B B* *) )* *=B(B=B(B* *B)B)-1-1) )* *B B* *=B(B=B(B* *B)B)-1-1B B* *=AA=AA+ + 补充题题补充题题#8*5 #8*5 求已知矩阵求已知矩阵A A的加号逆的加号逆 已知已知 A= A= 求它的加号逆求它的加号逆 解解I I: A: A显然是列满秩显然是列满秩, ,故故A A+ +=(A=(A* *A)A)-1-1A A* *= =补充题题补充题题#8*5 #8*5 求已知矩阵求已知矩阵A A的加号逆的加号逆 已知已知 A= A= 求它的加号逆求它的加号逆 解解IIII: :祝大家考试顺利通过！Happy 牛 year！