第第3节空间图形的基本关系与公理节空间图形的基本关系与公理最新考纲1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.1.空间图形的公理与定理(1)公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).(2)公理2：经过_的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面).(3)公理3：如果两个不重合的平面有_公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.知知 识识 梳梳 理理两点不在同一条直线上一个(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.(5)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.(6)等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角_.相等或互补2.空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言aba相交关系图形语言符号语言abAaAl独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a3.异面直线所成的角(1)定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(al1，bl2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角.常用结论与微点提醒1.空间中两个角的两边分别对应平行，则两个角相等或互补.2.异面直线的判定：经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.3.唯一性的几个结论：(1)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(2)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线.()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.()(4)若直线a不平行于平面，且a，则内的所有直线与a异面.()诊诊 断断 自自 测测解析(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.(4)由于a不平行于平面，且a，则a与平面相交，故平面内有与a相交的直线，故错误.答案(1)(2)(3)(4)2.(教 材 习 题 改 编 )如 图 所 示 ， 在 正 方 体 ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A.30B.45C.60D.90解析连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C为所求的角.又B1D1B1CD1C，D1B1C60.答案C3.(2018南昌月考)是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m，n，且Am，A，则m，n的位置关系不可能是()A.垂直B.相交C.异面D.平行解析依题意，mA，n，m与n异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.答案D4.(一题多解)(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()解析法一对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为ABCD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQCD，所以ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB平面MNQ.因此A项不正确.图(1)图(2)法二对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQAB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行.答案A5.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_.解析EF与正方体左、右两侧面均平行.所以与EF相交的侧面有4个.答案4考点一考点一空间图形的公理空间图形的公理及应用及应用【例1】(1)(2016山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由题意知a，b，若a，b相交，则a，b有公共点，从而，有公共点，可得出，相交；反之，若，相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件.答案A证明：四边形BCHG是平行四边形；C，D，F，E四点是否共面？为什么？四边形BCHG为平行四边形.四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BG綊CH，EFCH，EF与CH共面.又DFH，C，D，F，E四点共面.规律方法1.证明线共面或点共面的常用方法(1)直接法，证明直线平行或相交，从而证明线共面.(2)纳入平面法，先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.(3)辅助平面法，先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合.2.证明点共线问题的常用方法(1)公理法，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上.(2)纳入直线法，选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.【训练1】 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点.证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFA1B.又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F四点共面.(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示.则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE，D1F，DA三线共点.考点二判断空间两直线的位置关系考点二判断空间两直线的位置关系【例2】(1)若m，n为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()若直线m，n都平行于平面，则m，n一定不是相交直线；若直线m，n都垂直于平面，则m，n一定是平行直线；已知平面，互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m，则n；若直线m，n在平面内的射影互相垂直，则mn.A.B. C.D.(2)(2018唐山一中月考)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号).解析(1)对于，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，错误；对于，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故正确；对于，还有可能n或n与相交，错误；对于，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面，则m与n在内的射影分别为AB与BC，且ABBC.而m与n所成的角为60，故错误.(2)图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，NGH，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H平面GMN，GMN，因此GH与MN异面.所以在图中，GH与MN异面.答案(1)A(2)规律方法1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.【训练2】(1)(2018汉中一模)下列命题正确的是()A.若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行B.若一直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行(2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E2ED，CF2FA，则EF与BD1的位置关系是()A.相交但不垂直B.异面C.相交且垂直 D.平行解析(1)A选项，两条直线可能平行，可能异面，也可能相交；B选项，一直线可以与两垂直平面所成的角都是45；易知C正确；D中的两平面也可能相交.(2)连接D1E并延长，与AD交于点M，因为A1E2ED，可得M为AD的中点，答案(1)C(2)D解析将直三棱柱ABCA1B1C1补形为直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD.由题意知ABC120，AB2，BCCC11，又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角，答案C规律方法1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.2.求异面直线所成角的三个步骤(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角.(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角.(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.解析取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，易知BDB1E.在RtAB1E中，AB1E为异面直线AB1与BD所成的角.