第十四章第十四章 复杂应力状态复杂应力状态强度问题强度问题第第14章章 复杂应力状态强度问题复杂应力状态强度问题 强度极限强度极限可以通过试可以通过试验来测定。验来测定。 强度极限无法通过试验来测强度极限无法通过试验来测定，需要分析材料发生强度破定，需要分析材料发生强度破坏的力学因素，以推断在复杂坏的力学因素，以推断在复杂应力状态下的强度。应力状态下的强度。 研究材料发生强度破坏的力学因素的假说通常研究材料发生强度破坏的力学因素的假说通常称之为称之为强度理论强度理论。 1 (1) 脆性破坏：没有明显的塑性变形例如铸铁在室脆性破坏：没有明显的塑性变形例如铸铁在室温、静载下受单向拉伸时，断口平齐。温、静载下受单向拉伸时，断口平齐。1. 两种破坏形式：两种破坏形式：(2) 塑性破坏：有明显的塑性变形，例如低碳钢在塑性破坏：有明显的塑性变形，例如低碳钢在室温、静载下受单向拉（压）及三向压缩时发生室温、静载下受单向拉（压）及三向压缩时发生屈服，断口有颈缩。屈服，断口有颈缩。2. 四个基本的强度理论四个基本的强度理论(1) 关于脆性断裂的强度理论关于脆性断裂的强度理论(a) 最大拉应力理论最大拉应力理论破坏条件：破坏条件： 1 = u,b强度条件：强度条件： 1 适用范围适用范围: () 脆性材料在单向拉伸和纯剪脆性材料在单向拉伸和纯剪切应力状态下发生的破坏切应力状态下发生的破坏 () 铸铁在双向受拉和一拉一压铸铁在双向受拉和一拉一压的平面应力状态下的平面应力状态下适用范围适用范围： () 石料等脆性材料在单向压缩状石料等脆性材料在单向压缩状态下发生的破坏。态下发生的破坏。 () 铸铁一拉一压的平面应力状态铸铁一拉一压的平面应力状态下偏于安全。下偏于安全。(b) 最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论破坏条件：破坏条件： 1 = u,b ，强度条件：强度条件：强度条件：强度条件： 1 - 3 适用范围：塑性破坏，拉压屈服极限相同适用范围：塑性破坏，拉压屈服极限相同的塑性材料。的塑性材料。(2) 关于塑性屈服的强度理论关于塑性屈服的强度理论(c) 最大切应力理论最大切应力理论破坏条件：破坏条件： max = u,s ，破坏条件一：破坏条件一：u ud = u ud,u(d) 形状改变比能理论形状改变比能理论强度条件：强度条件：适用范围：塑性破坏，拉压屈服极限相同的塑性适用范围：塑性破坏，拉压屈服极限相同的塑性材料。材料。破坏条件二：破坏条件二：(3) 强度理论的相当应力强度理论的相当应力 上述四个强度理论所建立的强度条件可统一写上述四个强度理论所建立的强度条件可统一写作如下形式：作如下形式：式中，式中， r是根据不同强度理论以危险点处主应力表是根据不同强度理论以危险点处主应力表达的一个值，它相当于单轴拉伸应力状态下强度条达的一个值，它相当于单轴拉伸应力状态下强度条件件 中的拉应力中的拉应力 ，通常称，通常称 r为相当应力。为相当应力。相当应力表达式相当应力表达式强度理论名称及类型强度理论名称及类型 第一类强第一类强度理论度理论( (脆性脆性断裂的理论断裂的理论) )第二类强度第二类强度理论理论( (塑性塑性屈服的理论屈服的理论) )第一强度理论第一强度理论 最大拉应力理论最大拉应力理论第二强度理论第二强度理论 最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论第三强度理论第三强度理论 最大切应力理论最大切应力理论第四强度理论第四强度理论 形状改变能密度理论形状改变能密度理论表表14-1 四个强度理论的相当应力表达式四个强度理论的相当应力表达式3. 强度理论的应用强度理论的应用(1) 按第三强度理论：按第三强度理论：(2) 按第四强度理论：按第四强度理论：对图示平面应力状态，试证明对图示平面应力状态，试证明 前述各种强度理论是根据下列条件下材料强前述各种强度理论是根据下列条件下材料强度破坏的情况作出的假设，它们也是应用这些强度破坏的情况作出的假设，它们也是应用这些强度理论的条件：常温度理论的条件：常温( (室温室温) )，静荷载，静荷载( (徐加荷载徐加荷载) )，材料接近于均匀，材料接近于均匀, ,连续和各向同性。连续和各向同性。 需要注意同一种材料其强度破坏的类型与应需要注意同一种材料其强度破坏的类型与应力状态有关。力状态有关。 带尖锐环形深切槽的低碳钢试样，由于切槽根带尖锐环形深切槽的低碳钢试样，由于切槽根部附近材料处于接近三向等值拉伸的应力状态而发部附近材料处于接近三向等值拉伸的应力状态而发生脆性断裂。对于像低碳钢一类的塑性材料，除了生脆性断裂。对于像低碳钢一类的塑性材料，除了处于三向拉伸应力状态外，不会发生脆性断裂。处于三向拉伸应力状态外，不会发生脆性断裂。 圆柱形大理石试样，在轴向压缩并利用液体圆柱形大理石试样，在轴向压缩并利用液体径向施压时会产生显著的塑性变形而失效。径向施压时会产生显著的塑性变形而失效。纯剪切平面应力状态下许用应力的推算纯剪切平面应力状态下许用应力的推算纯剪切平面应力状态下纯剪切平面应力状态下 低碳钢一类的塑性材料，纯剪切和单轴拉伸低碳钢一类的塑性材料，纯剪切和单轴拉伸应力状态下均发生塑性的屈服，故可用单轴拉伸应力状态下均发生塑性的屈服，故可用单轴拉伸许用应力许用应力 按第三或第四强度理论推算许用切应按第三或第四强度理论推算许用切应力力 。按第三强度理论，纯剪切应力状态下的强。按第三强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为度条件为可见可见亦即亦即按第四强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为按第四强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为可见可见 在大部分钢结构设计规范中就是按在大部分钢结构设计规范中就是按 =0.577 然后取整数来确定低碳钢的许用切应力的。例如规然后取整数来确定低碳钢的许用切应力的。例如规定定 170 MPa，而，而 100 MPa。亦即亦即 铸铁一类的脆性材料，纯剪切铸铁一类的脆性材料，纯剪切( (圆杆扭转圆杆扭转) )和单和单向拉伸应力状态下均发生脆性断裂，故可用单轴拉向拉伸应力状态下均发生脆性断裂，故可用单轴拉伸许用应力伸许用应力 t 按第一或第二强度理论推算许用切应按第一或第二强度理论推算许用切应力力 。按第一强度理论，纯剪切应力状态下的强。按第一强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为度条件为可见可见按第二强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为按第二强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为因铸铁的泊松比因铸铁的泊松比n n0.25，于是有，于是有可见可见亦即亦即 思考思考: : 试按第四强度理论分析比较某塑性材料试按第四强度理论分析比较某塑性材料在图在图(a)和图和图(b)两种应力状态下的危险程度。已知两种应力状态下的危险程度。已知 和和 的数值相等。如果按第三强度理论分析，那么比较的数值相等。如果按第三强度理论分析，那么比较的结果又如何？的结果又如何？答案：按第四强度理论，答案：按第四强度理论，(a), ,(b)两种情况下同等危两种情况下同等危险。按第三强度理论则险。按第三强度理论则(a)较较(b)危险。危险。 试校核图试校核图a所示焊接工字梁的强度。已知：梁所示焊接工字梁的强度。已知：梁的横截面对于中性轴的横截面对于中性轴z的惯性矩为的惯性矩为 Iz = 88106 mm4；半个横截面对于中性轴；半个横截面对于中性轴z的静矩为的静矩为S*z,max = 338103 mm3；梁的材料为；梁的材料为Q235钢，其许用应力钢，其许用应力为为 170 MPa， 100 MPa。y例题例题14-1 由由FS和和M图可见，图可见，C偏偏左截面为危险截面，其左截面为危险截面，其应力分布如图应力分布如图d所示，所示， max在横截面的上、下边在横截面的上、下边缘处，缘处， max在中性轴处，在中性轴处，a点处的点处的 a、 a也比较大，也比较大，且该点处于平面应力状且该点处于平面应力状态。该梁应当进行正应态。该梁应当进行正应力校核、切应力校核，力校核、切应力校核，还应对还应对a点用强度理论进点用强度理论进行校核。行校核。(b)(c)yza(e) a max max a(d)(a)1. 按正应力强度条件校核按正应力强度条件校核 弯矩图如图弯矩图如图c所示，可知最大弯矩为所示，可知最大弯矩为Mmax80 kNm。最大正应力为最大正应力为故该梁满足正应力强度条件。故该梁满足正应力强度条件。(c)2. 按切应力强度条件校核按切应力强度条件校核此梁的剪力图如图此梁的剪力图如图b，最大剪力为最大剪力为FS,max=200 kN。梁的所有横截面上切应力的最大值在梁的所有横截面上切应力的最大值在AC段各横截段各横截面上的中性轴处：面上的中性轴处：它小于许用切应力它小于许用切应力 , ,满足切应力强度条件。满足切应力强度条件。(b)3. 用强度理论校核用强度理论校核a点的强度点的强度a点的单元体如图点的单元体如图f所示，所示，a点的正应力和切应力分点的正应力和切应力分别为别为 a aa(f)y 由于梁的材料由于梁的材料Q235钢为塑性材料，故用第三或钢为塑性材料，故用第三或第四强度理论校核第四强度理论校核a点的强度。点的强度。 所以所以a点的强度也是安全的。点的强度也是安全的。 1. 在腹板和翼的交界处是有应力集中的，按上述在腹板和翼的交界处是有应力集中的，按上述方法对方法对a点进行强度校核只是一种实用计算方法。点进行强度校核只是一种实用计算方法。对工字型钢不需要对腹板和翼缘交界处的点用强度对工字型钢不需要对腹板和翼缘交界处的点用强度理论进行强度校核。因为该处有圆弧过度，增加了理论进行强度校核。因为该处有圆弧过度，增加了该处截面的厚度。该处截面的厚度。 a aa(f)y 2. 图示平面应力状态为工程中常见的应力状态，图示平面应力状态为工程中常见的应力状态，其主应力分别为其主应力分别为将它们分别代入将它们分别代入 r3= 1 1- 3及及后，得后，得在解题时，可直接引用以上两式，而不必推导。在解题时，可直接引用以上两式，而不必推导。 图示两端密封的圆筒形薄壁压力容器，内压力图示两端密封的圆筒形薄壁压力容器，内压力的压强为的压强为p。试按第四强度理论写出圆筒内壁的相试按第四强度理论写出圆筒内壁的相当应力表达式。当应力表达式。例题例题 14-2图示受内压力作用得圆筒图示受内压力作用得圆筒形薄壁容器，由于两端得形薄壁容器，由于两端得内压力作用使圆筒产生轴内压力作用使圆筒产生轴向拉伸，所以其横截面上向拉伸，所以其横截面上有均匀分布的拉应力有均匀分布的拉应力 ；由于径向内压力的作用使由于径向内压力的作用使圆筒的周长增加，因此其径向截面上有均匀分布的圆筒的周长增加，因此其径向截面上有均匀分布的拉应力拉应力 ；由于径向内压力为轴对称荷载，所以；由于径向内压力为轴对称荷载，所以径向截面上无切应力，圆筒外壁上任一点的单元体径向截面上无切应力，圆筒外壁上任一点的单元体如图所示。如图所示。 a1. 求圆筒横截面上的正应力求圆筒横截面上的正应力 根据圆筒本身及其受力的对称性，圆筒产生根据圆筒本身及其受力的对称性，圆筒产生轴向拉伸变形，于是得圆筒横截面上的正应力为轴向拉伸变形，于是得圆筒横截面上的正应力为式中，式中， 为端部为端部分布内压力的合力，其方向分布内压力的合力，其方向沿圆筒的轴线。沿圆筒的轴线。解解: 在单位长度圆筒上以纵截面取的分离体如图在单位长度圆筒上以纵截面取的分离体如图所示。根据该分离体及与之对应的下半部的对称所示。根据该分离体及与之对应的下半部的对称性可以判定圆筒径向截面上无切应力。性可以判定圆筒径向截面上无切应力。2. 求圆筒径向截面径向上的正应力求圆筒径向截面径向上的正应力 图中所示径向截面图中所示径向截面上的法向力上的法向力FN由正应力由正应力 构成，构成， 即即 FN d d1。D 作用于图示分离体内壁上的分布压力作用于图示分离体内壁上的分布压力 p的合的合力在力在y轴上的投影为轴上的投影为Fp，它们的关系曾在例题，它们的关系曾在例题2-3中中导出，导出， FppD。于是由平衡方程于是由平衡方程亦即亦即得出圆筒纵截面上的正应力：得出圆筒纵截面上的正应力：D3. 圆筒内壁上沿半径方向的正应力为圆筒内壁上沿半径方向的正应力为D 4. 圆筒内壁上各点的应力状态如图所示，它们圆筒内壁上各点的应力状态如图所示，它们都是主应力，且都是主应力，且 由于由于p与与 ( pD/2d d ) 和和 ( pD/4d d ) 相比很小，故相比很小，故可认为可认为 30。5. 按第四强度理论写出的相当应力表达式为按第四强度理论写出的相当应力表达式为