：t./ ；:；2专题立几问题的向量解法高考复习建议 传统的立几问题是用立几的公理和定理经过从“形到“式的逻辑推理，处理线与线、线与面、面与面的位置关系以及几何体的有关问题，常需作辅助线，但有时却不易作出，而空间向量解立几问题那么表达了“数与“形的结合，经过向量的代数计算处理问题，无须添加辅助线。 用空间向量解立几问题，其根本思绪是选择向量的基底或建立空间直角坐标系，分析知向量和需求求解向量的差别，运用向量代数的运算或坐标运算，根据有关的定理或法那么，从知向求解转化。用空间向量处理的立体几何问题主要有 平行或共面问题 垂直问题 空间角问题 空间间隔问题：t./ ；:；2用向量用向量处置平行置平行问题 空空间图形的平行关系包括直形的平行关系包括直线与直与直线平行，直平行，直线与平面平行，平面与平面平行，平面与平面平行，它与平面平行，它们都可以用向量方法来研都可以用向量方法来研讨。 1设a、b是两条不重合的直线，它们的方向向量分为 ，那么 2平面与平面平行可转化为两个平面的法向量平行。3直线与平面平行可转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直。或直线a平行平面表示以 为方向向量的直线与平面平行或在平面内，因此也可以由共面向量定理证明线面平行问题。附：附：1 1、共共线向向量量定定理理：非非零零向向量量 与与向向量量 共共线的的充充要要条条件件是是存存在在独独一一确确定的定的实数数，使，使2 2、共共面面向向量量定定理理：不不共共线的的向向量量 、 与与向向量量 共共面面的的充充要要条条件件是是存存在独一确定的在独一确定的实数数x x、y y，使，使3、 向 量 根 本 定 理 ： 知 不 共 面 的 向 量 、 和 ， 那 么 空 间 任 一 向 量 可以表示为 、 、 的线性组合，即存在一组独一确定的实数x、y、z，使 例1、1994全国知ABCA1B1C1是正三棱柱，D是AC的中点，求证 AB1平面DBC1例2、2004天津在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F。1 证明PA平面EDB2证明PB平面EFD3求二面角CPBD的大小。注：证明线面平行问题可以有以下三种方法1 利用线线平行证明线面平行;2与 、共面直线a、b证明线面平行；3 为平面的法向量例3、知三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC,A1AB=A1AC，求证：A1ABC例4、如图，正方体的棱长为a, F是CC1的中点，D是下底面的中心，求证：A1O平面BDF例5、2003北京春如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为 ，侧棱长为4，E、F分别是棱AB、BC的中点, EF与BD交与G求证：平面B1EF平面BDD1B1 例6、在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB、BC的中点，试在棱BB1上找出一点M，当的值为多少时，能使D1M垂直平面B1EF? 请给出证明。 用向量用向量计算空算空间的角的角1、异面直线所成角的定义 直线a、b是异面直线，经过空间恣意一点o，分别引直线 ， 我们把直线 和 所成的锐角或直角叫做异面直线a和b所成的角。异面直线所成角的范围是 。2直线和平面所成角的定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个 平面所成的角；特别地，一条直线垂直于平面，那么它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0角。由定义知，直线与平面所成的角0， 二面角的范围是0，3二面角的大小：二面角的大小可用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。 求异面直线所成角的公式： 其中 是异面直线 上的方向向量。 求线面角大小的公式： 其中 是平面的法向量。 求二面角大小的公式： 或其中 分别是二面角的两个半平面的法向量。 用向量法求空间角逃避了在空间图形中寻觅线线角、线面角、 二面 角的平面角这一难点。表达了向量思想在立体几何中的重要位置，更 表达了“借数言形的数学思想。 留意建立坐标系后各个点的坐标要写对，计算要准确。 例例1 1：如右：如右图，直三棱柱，直三棱柱A1B1C1ABCA1B1C1ABC中，中，BCA=90BCA=90，点，点D1D1、F1F1 分分别是是A1B1A1B1、A1C1A1C1的中点，假的中点，假设BC=CA=CC1BC=CA=CC1，求，求BD1BD1与与AF1AF1所所 成的角的余弦成的角的余弦值A1C1F1B1D1ABC解： 如图建立空间直角坐标系，取BC=CA=CC1=1 xyz那么B 1,0,0)A0，1，0；例例 题题 所以直线BD1与AF1所成的角的余弦值注：注： 由向量知识知两条异面直线所成的角，与这两条直线的两个方向向量的夹角有如下关系其中 分别是直线 上的向量例例2：知：如图，在长方体：知：如图，在长方体AC1中，棱中，棱AB=BC=3，棱，棱BB1=4，点，点E是是 CC1的中点的中点 。 求：求：ED与平面与平面A1B1C所成角的大小所成角的大小 B1BA1D1C1CDEA解：如图，建立空间直角坐标系， xyz由题意知： =3，0，0； A 0，0，0；B 3，0，0；C 3，3，0；D 0，3，0；B13，0，4；A10，0，4；E 3，3，2。 设平面A1B1C的法向量为 =x，y，z那么 令z=3，那么 =0，4，3， 又由于 =3，0，2；即 ED与平面A1B1C所成角的大小为arcsin =arcsin 注：如图，设平面的法向量为 ， 直线AO与平面所成的角为 ；oACB1BA1D1C1DEAxyz设DE与面A1B1C所成角为 ，那么 Sin =|cos|= 解：如图，建立空间直角坐标系， xyz 由例2知面A1B1C的法向量为 =0，4，3 下面我们来求面A1 C1C的法向量 设 =x，y，z， 由于 =3，3，0, 令y=1，那么x=1， =1，1，0 又所求二面角为的补角， 故二面角B1A1CC1的大小为arccos B1BA1D1C1CDEA例例3：在例：在例2中，中，长方体方体AC1的棱的棱AB=BC=3，BB1=4，点点E是是CC1的中点的中点 。 求求:二面角二面角B1A1CC1的大小。的大小。 =0，0，4 如例3中，易见 是面A1C1C的法向量； 留意：在求平面法向量过程中，假设根据知条件 很容易找出平面的法向量时，就无需列方 程组求了。 xyzB1BA1D1C1CDEAcos =如图1中，cos=图2中, cos= cos =评注：用向量法求二面角的大小：注：用向量法求二面角的大小： 设平面 的法向量分别是那么求二面角 的大小可以转化为求的夹角或其补角。图1图2练 习：如如图，知：直角梯形，知：直角梯形OABC中，中，OABC， AOC=90，SO面面OABC，且，且 OS=OC=BC=1，OA=2。求：。求： OS与面与面SAB所成角所成角 二面角二面角BASO的大小的大小 异面直异面直线SA和和OB所成的角所成的角那么A2，0，0；于是我们有OABCS解：如图建立直角坐标系，xyz=2，0，-1；=-1，1，0；=1，1，0；=0，0，1；B1，1，0；S0，0，1，C0，1，0； O0，0，0；令x=1，那么y=1，z=2；从而设面SAB的法向量显然有OABCSxyz所以直线SA与OB所成角大小为.由知面SAB的法向量 =1，1，2 又OC面AOS， 是面AOS的法向量，令那么有由于所求二面角的大小等于二面角BASO的大小为OABCSxyz