第一章 拓扑空间与连续映射 第一节 拓扑空间 数学分析中连续概念的刻画 11 拓扑空间的定义 例子 Ex.5 （欧氏拓扑）设R是全体实数的集合， 拓扑的比较 问题1（如何构造具体的拓扑） （1）若X有一个元素，则X上一共有几个拓扑？（1个） （2）若X有两个元素，则X上一共有几个拓扑？（4个） （3）若X有三个元素，则X上一共有几个拓扑？（29个） （4）若X有n（）个元素，则4nX上一共有几个拓扑？(思考题) 1.2 由度量诱导的拓扑 13拓扑空间中的几个基本概念 闭集 Def. 1 拓扑空间X的子集A称为闭集，如果Ac是开集。 14子空间 第二节 连续映射与同胚映射 21连续映射的定义 22连续映射的性质 下列映射一定连续： 23同胚映射 下面求f 的逆映射，为此令 第三节 乘积空间与拓扑基 在第一节中，我们曾提出过如下问题： 问题3 设11(,X ) 和22(,X ) 都是拓扑空间，则如何给出1 XX2 上的拓扑结构？（乘积拓扑） 3.1 乘积空间 1 投射：注：是满足这两个投射都连续的最小拓扑。（思考为什么要这样？） 2 生成的子集族：生成的子集族：设是X的一个子集族，规定新的子集族 类似地，可以给出有限个拓扑空间的乘积空间。 任意多个集合的笛卡尔积 无限个拓扑空间的乘积空间定义比较麻烦，一般有两种： 3.2 乘积空间的性质 33 拓扑基想法：度量空间中的开集是若干个互不相交想法：度量空间中的开集是若干个互不相交的球形邻域的并。度量拓扑由球形邻域生成；的球形邻域的并。度量拓扑由球形邻域生成；乘积拓扑由一个特定的子集族生成。拓扑基乘积拓扑由一个特定的子集族生成。拓扑基就是从上述方法中抽象出来的。就是从上述方法中抽象出来的。Pro1. 是集合X 的拓扑基的充分必要条件是：补充知识：拓扑空间的子基 （可参考熊金城点集拓扑讲义）