第1页 第二课时第二课时 余弦定理余弦定理第2页 自学导引自学导引(学生用书学生用书P5) 第3页 1.了解余弦定理与勾股定理的区别与联系了解余弦定理与勾股定理的区别与联系.2.理解余弦定理的推导过程理解余弦定理的推导过程.3.掌握余弦定理及其变式掌握余弦定理及其变式,用余弦定理解决一些简单的三角形用余弦定理解决一些简单的三角形度量问题度量问题. 第4页 课前热身课前热身(学生用书学生用书P5) 第5页 1.余弦定理余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的三角形中任何一边的平方等于其他两边的_的的_减去这两边与它们的夹角的减去这两边与它们的夹角的余弦的余弦的_的两倍的两倍,即即a2=_,b2=_,c2=_.平方平方 和和 积积b2+c2-2bccosAc2+a2-2accosBa2+b2-2abcosC 第6页 2.从余弦定理从余弦定理,可以得到它的推论可以得到它的推论:cosA=_,cosB=_,cosC=_.第7页 名师讲解名师讲解(学生用书学生用书P5) 第8页 1.余弦定理的其他证法余弦定理的其他证法课本使用了向量的方法推导出了余弦定理课本使用了向量的方法推导出了余弦定理,还可以用其他方还可以用其他方法进行证明法进行证明.证法证法1:(勾股定理法勾股定理法)在三角形在三角形ABC中中,已知边已知边a,b及及C,求边求边c的长的长.如果如果C=90,那么可以用勾股定理求那么可以用勾股定理求c的长的长;如果如果C90,那么是否仍可以用勾股定理来解呢那么是否仍可以用勾股定理来解呢?很自然的想法是构造直角三角形很自然的想法是构造直角三角形,以便于应用勾股定理进行计以便于应用勾股定理进行计算算. 第9页 当当C为锐角时为锐角时(图甲图甲),高高AD把把ABC分成两个直角三角形分成两个直角三角形ADB和和ADC;当当C为钝角时为钝角时(图乙图乙),作高作高AD,则构造了两则构造了两个直角三角形个直角三角形ADB和和ADC,算出算出c的关键是先算出的关键是先算出AD和和BD(或或DC).第10页 第11页 第12页 在在RtADB中中,运用勾股定理运用勾股定理,得得c2=AD2+BD2=b2sin2C+(a-bcosC)2=a2+b2-2abcosC.同理可得同理可得b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA.第13页 证法证法2:(解析法解析法)如右图如右图,以以A点为原点点为原点,以以ABC的边的边AB所在所在直线为直线为x轴轴,以过以过A与与AB垂直的直线为垂直的直线为y轴轴,建立直角坐标建立直角坐标系系,则则A(0,0),C(bcosA,bsinA),B(c,0),由两点间的距离公由两点间的距离公式得式得BC2=(bcosA-c)2+(bsinA-0)2,a2=b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A,即即a2=b2+c2-2bccosA.同理可证同理可证b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.第14页 证法证法3:(用正弦定理证明用正弦定理证明)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.b2+c2-2bccosA=4R2(sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA)=4R2sin2B+sin2C+2sinBsinCcos(B+C)=4R2sin2B+sin2C-2sin2Bsin2C+2sinB5sinCcosBcosC第15页 =4R2sin2B(1-sin2C)+sin2C(1-sin2B)+2sinBsinCcosBcosC=4R2sin2Bcos2C+sin2Ccos2B+2sinBsinC5cosBcosC=4R2sin2(B+C)=4R2sin2A=a2.同理可证同理可证:b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.第16页 2.使用余弦定理的注意事项使用余弦定理的注意事项(1)利用余弦定理解三角形时利用余弦定理解三角形时,要注意根据条件恰当选取公式要注意根据条件恰当选取公式.一般地一般地,求边长时求边长时,使用余弦定理使用余弦定理;求角时求角时,使用定理的推论使用定理的推论.(2)余弦定理及其推论在结构上有所不同余弦定理及其推论在结构上有所不同,因此在应用它们解因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择三角形时要根据条件灵活选择.(3)余弦定理及其推论把用余弦定理及其推论把用“边边 角角 边边”和和“边边 边边 边边”判判定三角形全等的定理从数量化的角度进行了刻画定三角形全等的定理从数量化的角度进行了刻画,使其变使其变成了可以计算的公式成了可以计算的公式.第17页 (4)要注意正弦定理或余弦定理结合使用要注意正弦定理或余弦定理结合使用,同时同时,要注意三角要注意三角公式的应用公式的应用.(5)利用余弦定理求三角形内角时利用余弦定理求三角形内角时,一般先求小角一般先求小角,后求大角后求大角.(6)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时,也可以也可以使用余弦定理使用余弦定理.如如:已知已知a、b、A,可先由余弦定理求出可先由余弦定理求出c,即即a2=b2+c2-2bccosA.此时此时,边边c的解的个数对应三角形解的的解的个数对应三角形解的个数个数.第18页 3.如何判断三角形的形状问题如何判断三角形的形状问题(1)判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形形(如锐角如锐角 直角直角 钝角钝角 等腰等腰 等边三角形等等边三角形等);(2)对于给出条件是边角关系混合在一起的问题对于给出条件是边角关系混合在一起的问题,一般地一般地,应应运用正弦定理和余弦定理运用正弦定理和余弦定理,要么把它统一为边的关系要么把它统一为边的关系;要么要么统一为角的关系统一为角的关系.再利用三角形的有关知识再利用三角形的有关知识,三角恒等变形三角恒等变形方法方法 代数恒等变形方法进行转化代数恒等变形方法进行转化 化简化简,从而得出结论从而得出结论.第19页 (3)常见结论常见结论:设设a、b、c是是ABC的角的角A B C的对边的对边,若若a2+b2=c2,则则C=90;若若a2+b2c2,则则C90;若若a2+b290;若若sin2A=sin2B,则则A=B或或A+B=第20页 典例剖析典例剖析(学生用书学生用书P6) 第21页 题型一题型一 已知两边及夹角解三角形已知两边及夹角解三角形分析分析:由条件知由条件知C为边为边a,b的夹角的夹角,故应由余弦定理来求故应由余弦定理来求c的值的值.第22页 第23页 规律技巧规律技巧:本题求出本题求出c后后,用正弦定理求角用正弦定理求角A,需要讨论确需要讨论确定定A的值的值,而求出而求出c后后,再用余弦定理求角再用余弦定理求角A,可以避免讨论可以避免讨论.第24页 第25页 题型二题型二 已知三边解三角形已知三边解三角形例例2:在在ABC中中,已知已知a=7,b=3,c=5,求最大角和求最大角和sinC.分析分析:解答本题可先由大边对大角解答本题可先由大边对大角,确定出最大的角确定出最大的角,再由正再由正 余弦定理求出最大角及余弦定理求出最大角及sinC.解解:acb,A为最大角为最大角.由余弦定理变形得由余弦定理变形得:第26页 第27页 规律技巧规律技巧:已知三角形三边求角可先用余弦定理已知三角形三边求角可先用余弦定理,再用正再用正弦定理弦定理.利用余弦定理求角时利用余弦定理求角时,角是唯一确定的角是唯一确定的,用正弦用正弦定理求角时定理求角时,则需根据三角形边角关系确定角的取值则需根据三角形边角关系确定角的取值,要要防止产生增解或漏解防止产生增解或漏解.第28页 变式训练变式训练2:在在ABC中中,已知已知(b+c)：(c+a)：(a+b)=4：5：6,求求ABC的最大内角的最大内角.分析分析:本题需根据题设条件求出本题需根据题设条件求出a,b,c的长的长,判断判断a,b,c中谁是中谁是最大的边最大的边,然后利用三角形的性质然后利用三角形的性质:大角对大边大角对大边,从而求出从而求出最大角最大角.解解:设设b+c=4k,c+a=5k,a+b=6k(k0),则则a+b+c=7.5k,解得解得a=3.5k,b=2.5k,c=1.5k,a是最大的边是最大的边,即角即角A是是ABC的最大角的最大角.第29页 点评点评:在在ABC中中,总有大角对大边的关系存在总有大角对大边的关系存在,欲求欲求ABC的最大角的最大角(边边)或最小角或最小角(边边),只需找到相应的最大边只需找到相应的最大边(角角)或或最小边最小边(角角).其具体方法应根据已知条件去选定其具体方法应根据已知条件去选定.第30页 题型三题型三 正弦定理正弦定理 余弦定理的应用比较余弦定理的应用比较分析分析:题目已知两边和一边的对角题目已知两边和一边的对角,要求另一边和其他的角要求另一边和其他的角,可首先由正弦定理求出角可首先由正弦定理求出角C,然后再求其他的边和角然后再求其他的边和角,亦可亦可由余弦定理列出关于边长由余弦定理列出关于边长a的方程的方程,首先求出边长首先求出边长a,再由正再由正弦定理求角弦定理求角A,角角C.第31页 第32页 第33页 规律技巧规律技巧:比较两种解法比较两种解法,从中体会各自的优点从中体会各自的优点,从而总结出从而总结出适合自己思维的解题规律和方法适合自己思维的解题规律和方法.(1)解法一直接运用正弦定理解法一直接运用正弦定理,求出求出 注意注意C有两有两解解,不要漏解不要漏解.(2)解法二利用余弦定理解法二利用余弦定理,列出关于列出关于a的等量关系式建立方程的等量关系式建立方程,运用解方程的方法求出边长运用解方程的方法求出边长a.第34页 (3)在解三角形时在解三角形时,有时用正弦定理有时用正弦定理,有时用余弦定理有时用余弦定理,若已知若已知两边及夹角时两边及夹角时,可考虑使用余弦定理可考虑使用余弦定理,先求第三边先求第三边,再用正再用正弦定理或余弦定理及三角形内角和定理求解三角形中另外弦定理或余弦定理及三角形内角和定理求解三角形中另外的元素的元素.第35页 第36页 第37页 易错探究易错探究 (学生用书学生用书P7) 第38页 由余弦定理由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得得b2-9b+20=0,b=4或或b=5.第39页 错因分析错因分析:运用余弦定理求边长时运用余弦定理求边长时,易产生增解易产生增解,因此要结合因此要结合题目中隐含条件进行判断题目中隐含条件进行判断.第40页 第41页 技能演练技能演练(学生用书学生用书P8)基础强化基础强化第42页 1.在在ABC中中,a2+b2c2,则这个三角形一定是则这个三角形一定是( )A.锐角三角形锐角三角形 B.钝角三角形钝角三角形C.等腰三角形等腰三角形 D.等边三角形等边三角形解析解析:由由a2+b2c2知知,又又0C,C为钝角为钝角.故故ABC为钝角三角形为钝角三角形.答案答案:B第43页 2.在在ABC中中,已知已知a2+b2-c2=ab,则则C=( )A.60 B.120C.30 D.45或或135解析解析:由由又又0C0),则则cosC= 又又0C180,C=120.答案答案:D第45页 4.在在ABC中中,B=60,b2=ac,则这个三角形是则这个三角形是( )A.不等边三角形不等边三角形 B.等边三角形等边三角形C.等腰三角形等腰三角形 D.直角三角形直角三角形第46页 解析解析:由由b2=ac及余弦定理得及余弦定理得b2=a2+c2-2accos60即即ac=a2+c2-ac,(a-c)2=0,a=c,又又B=60,ABC为等边三角形为等边三角形.答案答案:B第47页 答案答案:D第48页 6.在在ABC中中,已知已知a,b是方程是方程x2-5x+2=0的两根的两根,C=120,则则边边c=_.解析解析:由韦达定理得由韦达定理得,a+b=5,ab=2,由由(a+b)2=a2+b2+2ab,得得a2+b2=52-22=21.c2=a2+b2-2abcos120=23.第49页 第50页 第51页 能力提升能力提升9.在在ABC中中,已知已知a=7,b=10,c=6,判断判断ABC的形状的形状.第52页 第53页 第54页 第55页 品味高考品味高考第56页 11.(2009全国全国)在在ABC中中,内角内角A,B,C的对边长分别为的对边长分别为a,b,c.已知已知a2-c2=2b,且且sinAcosC=3cosAsinC,求求b.解解:由余弦定理得由余弦定理得a2-c2=b2-2bccosA.又又a2-c2=2b,b0, b=2ccosA+2.又又sinAcosC=3cosAsinC,sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC,sin(A+C)=4cosAsinC,sinB=4sinCcosA.第57页 由正弦定理得由正弦定理得 ,故故b=4ccosA.由由 解得解得b=4.第58页 第59页