3 3 隐函数和参数方程求导法隐函数和参数方程求导法v隐函数求导隐函数求导v参数方程求导参数方程求导v导数的简单应用导数的简单应用一一. . 隐函数求导隐函数求导定义定义: :隐函数的显化隐函数的显化问题问题: :隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导? ?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导. .例例注意：注意： 1) 对幂指函数对幂指函数可用对数求导法求导可用对数求导法求导 :说明说明: :按指数函数求导公式按指数函数求导公式按幂函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:2) 有些显函数用对数求导法求导很方便有些显函数用对数求导法求导很方便 .例如例如,两边取对数两边取对数两边对两边对 x 求导求导又如又如, 对对 x 求导求导两边取对数两边取对数对数求导法则：对数求导法则：从显函数求导数比较复杂或不好从显函数求导数比较复杂或不好 求，可以化为隐函数求导，常用的方法是两边取对求，可以化为隐函数求导，常用的方法是两边取对数，再求导。数，再求导。隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导. .例例4.4.解解: 等式两边取对数得等式两边取对数得解解: :两边取对数，两边取对数，再求导再求导解解: :将方程化为：将方程化为：二二. 参数函数求导法则参数函数求导法则由复合函数及反函数的求导法则得。由复合函数及反函数的求导法则得。解：解：解解: 方程组两边对方程组两边对 t 求导求导 , 得得故故解：解：解：解：已知已知注意注意 :例例5 5解解:三三. . 由极坐标确定的函数求导由极坐标确定的函数求导然后利用参数方程求导法则。然后利用参数方程求导法则。例例. . 求螺线求螺线在对应于在对应于的点处的切线方程的点处的切线方程.解解: 化为参数方程化为参数方程当当时对应点时对应点斜率斜率 切线方程为切线方程为四四. . 导数的简单应用导数的简单应用1. 1. 切线与法线问题切线与法线问题极坐标方程极坐标方程参数方程参数方程解解: :极坐标化为参数方程：极坐标化为参数方程：法线斜率为法线斜率为1 1，法线方程为法线方程为: :证明证明: :证明证明: :为两可导函数为两可导函数之间有联系之间有联系之间也有联系之间也有联系相关变化率问题相关变化率问题解法解法:找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对 t 求导求导得相关变化率之间的关系式得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率2. 2. 相对变化率问题相对变化率问题例例. . 有装满水的正圆锥形漏斗，顶部直径为有装满水的正圆锥形漏斗，顶部直径为12cm12cm，深深18cm18cm，下接直径为，下接直径为10cm10cm的圆柱形水桶，当漏的圆柱形水桶，当漏斗水深为斗水深为12cm12cm时，水平面下降的速率为时，水平面下降的速率为1cm/s1cm/s，试求此时水桶的水平面上升的速率。试求此时水桶的水平面上升的速率。解：解：水桶的水全部由漏斗注入水桶的水全部由漏斗注入, ,得关系式得关系式因此水桶的水平上升速率为因此水桶的水平上升速率为16/25(cm/s).16/25(cm/s).Hw: p110 1(双双),2(4,5),3,6,7(2,4,10),8(2,8,9),10,12, 16,17. p119 6(2,4,6),7(2,4),8,11,12.隐函数求导法则隐函数求导法则: : 直接对方程两边求导直接对方程两边求导; ;对数求导法对数求导法: : 对方程两边取对数对方程两边取对数, ,按隐函数的求导按隐函数的求导法则求导法则求导; ;参数方程求导参数方程求导: : 实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则; ;相关变化率相关变化率: : 通过函数关系确定两个相互依赖的通过函数关系确定两个相互依赖的变化率变化率; ; 解法解法: : 通过建立两者之间的关系通过建立两者之间的关系, , 用链式用链式求导法求解求导法求解. .小小 结结