第四章 数值积分与数值微分 4.3 Romberg算法算法 4.3 Romberg算算法法 综合前几节的内容,我们知道梯形公式,Simpson公式,Cotes公式的代数精度分别为1次,3次和5次复合梯形、复合Simpson、复合Cotes公式的收敛阶分别为2阶、4阶和6阶无论从代数精度还是收敛速度,复合梯形公式都是较差的有没有办法改善梯形公式呢?华长生制作2一、复合梯形公式的递推化各节点为复合梯形(Trapz)公式为-(1)-(2)华长生制作3-(3)华长生制作4则由(1)(2)(3)式,有华长生制作5因此(1)(2)(3)式可化为如下递推公式(4)-上式称为递推的梯形公式 递推梯形公式加上一个控制精度,即可成为自动选取步长的复合梯形公式具体的方法请同学们完成思考华长生制作6二、外推加速公式由复合梯形公式的余项公式可得由(3)式华长生制作7复合Simpson公式-(5)-(6)华长生制作8因此由复合Simpson公式的余项可得即当然令自己证明-(6)-(7)华长生制作9-(8)即当然同样由复合Cotes公式的余项得令-(9)华长生制作10外推加速公式以上整个过程称为Romberg算法将上述结果综合后华长生制作11其中外推加速公式可简化为-(9)Romberg算法的收敛阶高达m+1的两倍Romberg算法求解步骤Romberg算法的代数精度为m的两倍华长生制作12romberg.m例:前侧矩形公式 z1 = 0.99212545660563 z11 = 0.99212545660563后侧矩形公式 z2 = 1.00783341987358 z22 = 1.00783341987358梯形公式 z3 = 0.99997943823961Simpson公式 z4 = 1.000000002016138阶simpson公式 z5 =1.00000000000000自选步长梯形公式 z6 = 0.99999921563419自选步长Simpson公式 z7 =1.00000051668471Romberg公式 z8 = 0.99999999999802Mote-Carlo算法 z9 = 0.99821071589516 -0.00787454339437 -0.00787454339437 0.00783341987358 0.00783341987358 -0.00002056176039 0.00000000201613 -0.00000000000000 -0.00000078436581 0.00000051668471 -0.00000000000198 -0.00178928410484Jifenbijiao.m积分法积分值绝对误差华长生制作13如何构造Romberg算法华长生制作14