第一章4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性学习目标1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用.2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系.3.理解周期函数的定义.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一任意角的正弦函数和余弦函数使锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PMx轴于M，设P(x，y)，|OP|r.思考思考1角的正弦、余弦分别等于什么？答案答案不会.思思考考2对确定的锐角，sin ，cos 的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？思考思考3若取|OP|1时，sin ，cos 的值怎样表示？答案答案sin y，cos x.梳梳理理(1)对于任意角，使角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，那么点P的 定义为角的正弦函数，记作；点P的 定义为角的余弦函数，记作.(2)对于给定的角，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数.纵坐标vvsin 横坐标uucos 知识点二正弦、余弦函数的定义域思考思考对于任意角，sin ，cos 都有意义吗？答案答案由三角函数的定义可知，对于任意角，sin ，cos 都有意义.梳理梳理正弦函数、余弦函数的定义域函数名定义域正弦函数R余弦函数R知识点三正弦、余弦函数值在各象限的符号思思考考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗？答答案案由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u，v)，则sin v，cos u.当为第一象限角时，v0，u0，故sin 0，cos 0，同理可得在其他象限时三角函数值的符号.梳理梳理正弦、余弦函数在各象限的符号 象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sin cos 知识点四周期函数思思考考由sin(x2k)sin x(kZ)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？答案答案2，4，6，2，等都是函数的周期.梳梳 理理 一般地，对于函数 f(x)，如果存在 ，对定义域内的_x值，都有，我们就把f(x)称为周期函数，称为这个函数的周期.特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2k(kZ，k0)为正弦函数、余弦函数的周期，其中2是正弦函数、余弦函数正周期中 的一个，称为 ，简称为周期.非零实数T任意一个f(xT)f(x)T最小最小正周期思考辨析判断正误1.函数f(x)x2满足f(36)f(3)，所以f(x)x2是以6为周期的周期函数.()提示提示周期函数需满足对定义域内每一个值x，都有f(xT)f(x)，对于f(x)x2，f(0)0，f(06)f(6)36，f(0)f(06)，f(x)x2不是以6为周期的周期函数.2.任何周期函数都有最小正周期.()提提示示对于常函数f(x)c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期.答案提示题型探究类型一正弦函数、余弦函数定义的应用命题角度命题角度1已知角已知角终边上一点坐标求三角函数值终边上一点坐标求三角函数值解答反思与感悟反思与感悟(1)已知角终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值.(2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练跟踪训练1已知角的终边过点P(3a，4a)(a0)，求2sin cos 的值.若a0，则r5a，角在第二象限，若a0，则为第一象限角，r2a，若a0，则为第三象限角，r2a，解答类型二正弦、余弦函数值符号的判断例例3(1)若是第二象限角，则点P(sin ，cos )在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析解析为第二象限角，sin 0，cos 0，点P在第四象限，故选D.答案解析(2)判断下列各式的符号.sin 145cos(210)；解解145是第二象限角，sin 1450，210360150，210是第二象限角，cos (210)0，sin 145cos(210)0.解答sin 3cos 4.解答sin 30，cos 40，sin 3cos 40.反反思思与与感感悟悟准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决正弦、余弦函数值符号判断问题的关键.跟踪训练跟踪训练3若三角形的两内角A，B满足sin Acos B0，则此三角形必为A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上三种情况都有可能解析解析由题意知，A，B(0，)，sin A0，cos B0，B为钝角.故选B.答案解析类型三周期性例例4(1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x2)f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数；证明证明f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)f(x)，由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数.证明证明由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数.反反思思与与感感悟悟(1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数T，对定义域内任意实数x，都有f(xT)f(x).跟跟踪踪训训练练4若函数yf(x)(xR)满足f(x)f(xa)f(xa)(a0，cos 0.答案解析12453A.2B.0C.1D.3解析解析f(x)是以1为一个周期的函数，kZ且k0，也是f(x)的周期.又当x(1，0)时，f(x)2x1，12453答案解析4.点P(sin 2 016，cos 2 016)位于第 象限.解析解析2 0165360216，2 016是第三象限角，sin 2 0160，cos 2 0160，点P位于第三象限.12453答案解析三5.已知角的终边在直线y2x上，求sin cos 的值.12453解答规律与方法1.三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点.2.三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确定时注意进行讨论，体现了分类讨论的思想.3.正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等，作用是把求任意角的三角函数值转化为求02(或0360)角的三角函数值.