公司公司 第十章第十章导导 热热哈尔滨工业大学（威海）汽车工程学院本章主要内容本章主要内容 （1 1）与导热有关的基本概念；与导热有关的基本概念； （2 2）导热基本定律；导热基本定律； （3 3）导热现象的数学描述方法。导热现象的数学描述方法。 （4 4）稳态导热（平壁）。）稳态导热（平壁）。 （5 5）非稳态导热简介。）非稳态导热简介。 10.1 10.1 导热理论基础导热理论基础 10.1.1 导热的基本概念导热的基本概念1. 温度场温度场 在在 时刻，物体内所有各点的温度分布称为该时刻，物体内所有各点的温度分布称为该物体在该时刻的物体在该时刻的温度场温度场。 一一般般温温度度场场是是空空间间坐坐标标和和时时间间的的函函数数，在在直直角角坐坐标系中，温度场可表示为标系中，温度场可表示为温度场分类：温度场分类： 稳态稳态 非稳态非稳态稳态传热过程稳态传热过程 非稳态传热过程非稳态传热过程传热过程分类传热过程分类:非稳态温度场非稳态温度场 ：温温度度随随时时间间变变化化的的温温度度场场，其其中中的导热称为的导热称为非稳态导热非稳态导热。稳态温度场稳态温度场 ：温温度度不不随随时时间间变变化化的的温温度度场场，其其中中的导热称为的导热称为稳态导热稳态导热。一维温度场一维温度场二维温度场二维温度场三维温度场三维温度场2. 等温面与等温线等温面与等温线 在在同同一一时时刻刻，温温度度场场中中温温度度相相同同的的点点连连成成的的线线或或面面称称为为等温线等温线或或等温面等温面。 10.1.1 导热的基本概念导热的基本概念问题：问题： 同一等温面上的点之间能否发同一等温面上的点之间能否发生热量传递生热量传递? ? 不同温度的等温面或线能否相不同温度的等温面或线能否相交交? ?3. 温度梯度温度梯度等温面法线方向的温度变化率最大，温度变化最剧烈。等温面法线方向的温度变化率最大，温度变化最剧烈。等温面法线方向的温度变化率最大，温度变化最剧烈。等温面法线方向的温度变化率最大，温度变化最剧烈。 温度梯度温度梯度：等温面法线方向的温度变化率矢量：等温面法线方向的温度变化率矢量： n-等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加的方向。等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加的方向。等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加的方向。等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加的方向。 温温温温度度度度梯梯梯梯度度度度是是是是矢矢矢矢量量量量，指指指指向温度增加的方向。向温度增加的方向。向温度增加的方向。向温度增加的方向。10.1.1 导热的基本概念导热的基本概念温度场中，温度改变的强烈程度由温温度场中，温度改变的强烈程度由温度梯度表示。度梯度表示。在温度场中，温度沿在温度场中，温度沿x方向的变化率方向的变化率( (即偏导数即偏导数) ) 在在直直角角坐坐标标系系中中，温度梯度可表示为温度梯度可表示为 分分分分别别别别为为为为x x、y y、z z 方方方方向向向向的的的的偏偏偏偏导导导导数数数数; ; ; ; i i、j j、k k 分分分分别为别为别为别为x x、y y、z z 方向的单位矢量。方向的单位矢量。方向的单位矢量。方向的单位矢量。 4. 热流密度热流密度 热流密度的大小和方向可以用热流密度的大小和方向可以用热流密度矢量热流密度矢量q 表示表示 热热流流密密度度矢矢量量的的方方向向指指向温度降低的方向向温度降低的方向。10.1.1 导热的基本概念导热的基本概念热流量：单位时间内，经由给定面热流量：单位时间内，经由给定面积传递的热量。符号积传递的热量。符号，单位，单位 W W。单位面积的热流量为热流密度。单位面积的热流量为热流密度。W/mW/m2 210.1.2 导热的基本定律导热的基本定律 导热基本定律导热基本定律傅里叶定律傅里叶定律 对于对于各向同性物体各向同性物体, , 傅里叶定律表达式为傅里叶定律表达式为 傅傅里里叶叶定定律律表表明明, , 导导热热热热流流密密度度的的大大小小与与温温度度梯梯度度的绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。的绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。 由由傅傅里里叶叶定定律律可可知知, , 要要计计算算导导热热热热流流量量, , 需需要要知知道道材材料料的的热热导导率率（导导热热系系数数）, , 还还必必须须知知道道温温度度场场。所以所以, ,求解求解温度场温度场是导热分析的主要任务是导热分析的主要任务。比例系数比例系数均匀且各向同性：同一温度下，材料均匀且各向同性：同一温度下，材料中不同地点，以及同一地点的不同方中不同地点，以及同一地点的不同方向上导热系数值都一样。向上导热系数值都一样。10.1.3 热导率（导热系数）热导率（导热系数） 导热系数表示物质导热能力的大小导热系数表示物质导热能力的大小(1)(1)导热系数的值导热系数的值等于温度梯度的绝对值为等于温度梯度的绝对值为1K/m1K/m时的热流密度值。时的热流密度值。(2)(2)一般规律：一般规律：金属金属 液体液体 气体气体(3)(3)导热系数是物性参数。导热系数是物性参数。(4)(4)温度低于温度低于350350时时的材料为称保温材料的材料为称保温材料很好的保温材料很好的保温材料住新房和旧房住新房和旧房的感觉一样么？的感觉一样么？ 温度对导热系数的影响温度对导热系数的影响 一一般般地地说说, , 所所有有物物质质的的热热导导率率都都是是温温度度的的函函数数, ,不不同同物物质质的的热热导导率率随随温温度度的的变变化规律不同化规律不同。 在在工工业业和和日日常常生生活活中中常常见见的的温温度度范范围围内内, , 绝绝大大多多数数材材料料的的热热导导率率可可以以近近似似地地认认为随温度线性变化为随温度线性变化, , 表示为表示为 0为为按按上上式式计计算算的的0下下的的热热导导率值，并非热导率的真实值。率值，并非热导率的真实值。 b为由实验确定的常数，与物质种类有关为由实验确定的常数，与物质种类有关。 附表附表1910.1.4 导热微分方程式及单值性条件导热微分方程式及单值性条件 1.1.导热微分方程式的导出导热微分方程式的导出 导热微分方程式导热微分方程式+ +单值性条件单值性条件建建立立数数学学模模型型的的目目的的：求求解解温温度度场场依据依据：能量守恒和傅里叶定律。能量守恒和傅里叶定律。 假设假设：1 1）物体由各向同性的连续介质组成）物体由各向同性的连续介质组成； 2 2）有有内内热热源源，强强度度为为 ，表表示示单单位位时时间间、单单位位体积内的生成热，单位为体积内的生成热，单位为W/m3 。导热数学模型的组成导热数学模型的组成：如线圈中有电流如线圈中有电流通过时的发热通过时的发热以平行六面微元体作为研究对象以平行六面微元体作为研究对象以平行六面微元体作为研究对象以平行六面微元体作为研究对象1 1 1 1）根根根根据据据据物物物物体体体体的的的的形形形形状状状状选选选选择择择择坐坐坐坐标标标标系系系系, , , , 选选选选取取取取物物物物体体体体中中中中的的的的微微微微元元元元体体体体作为研究对象；作为研究对象；作为研究对象；作为研究对象； 步骤：步骤：3 3 3 3）根根根根据据据据能能能能量量量量守守守守恒恒恒恒, , , , 建建建建立立立立微微微微元元元元体体体体的的的的热平衡方程式；热平衡方程式；热平衡方程式；热平衡方程式； 4 4 4 4）根根根根据据据据傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶定定定定律律律律及及及及已已已已知知知知条条条条件件件件, , , , 对对对对热热热热平平平平衡衡衡衡方方方方程程程程式式式式进进进进行行行行归归归归纳纳纳纳、整整整整理理理理，最后得出导热微分方程式。最后得出导热微分方程式。最后得出导热微分方程式。最后得出导热微分方程式。2 2 2 2）分分分分析析析析导导导导热热热热过过过过程程程程中中中中进进进进、出出出出微微微微元元元元体体体体边边边边界界界界及及及及其其其其内内内内部部部部的的的的能能能能量变化；量变化；量变化；量变化； 导热微分方程式的导出导热微分方程式的导出 分析导热过程中微元体的热平衡分析导热过程中微元体的热平衡 单单单单位位位位时时时时间间间间内内内内，净净净净导导导导入入入入微微微微元元元元体体体体的的的的热热热热流流流流量量量量d与与与与微微微微元元元元体体体体内内内内热热热热源源源源的的的的生生生生成成成成热热热热dV之之之之和和和和等等等等于于于于微微微微元元元元体体体体热热热热力力力力学学学学能能能能的的的的增增增增加加加加dU, , , , 即即即即 d + dV = dU d = dx + dy + dz dx = dx dx+dx = qx dydz qx+dx dydz 同理可得同理可得从从y和和z方向净导入微元体的热流量分别为方向净导入微元体的热流量分别为于是于是于是于是, , , , 在单位时间内净导入微元体的热流量为在单位时间内净导入微元体的热流量为在单位时间内净导入微元体的热流量为在单位时间内净导入微元体的热流量为 单位时间内微元体内热源的生成热：单位时间内微元体内热源的生成热：单位时间内微元体内热源的生成热：单位时间内微元体内热源的生成热： 单单单单位位位位时时时时间间间间内内内内微微微微元元元元体体体体热力学能的增加：热力学能的增加：热力学能的增加：热力学能的增加： 根据微元体的热平衡表达式根据微元体的热平衡表达式根据微元体的热平衡表达式根据微元体的热平衡表达式 d + dV = dU导热过程中微元体的热平衡导热过程中微元体的热平衡 整理可得整理可得导热微分导热微分方程式方程式 导导热热微微分分方方程程式式建建立立了了导导热热过过程程中中物物体体的的温温度度随随时时间和空间间和空间变化的函数关系。变化的函数关系。 这是：直角坐标系中，三维、非稳态、有内热源、这是：直角坐标系中，三维、非稳态、有内热源、=f(t)=f(t)时，最一般的导热微分方程。时，最一般的导热微分方程。当热导率当热导率当热导率当热导率 为常数时为常数时为常数时为常数时, , , , 导热微分方程式可简化为：导热微分方程式可简化为：导热微分方程式可简化为：导热微分方程式可简化为： 整理导热微分方程整理导热微分方程 式中式中式中式中 2 2是是是是拉普拉斯算子拉普拉斯算子拉普拉斯算子拉普拉斯算子, , , , 在直角坐标系中，在直角坐标系中，在直角坐标系中，在直角坐标系中，或写成或写成或写成或写成 称为称为称为称为热扩散率热扩散率热扩散率热扩散率, , , , 也称也称也称也称导温系数导温系数导温系数导温系数, , , , 单位为单位为单位为单位为mm2 2/s /s。 其大小反映物体被瞬态加热或冷却其大小反映物体被瞬态加热或冷却其大小反映物体被瞬态加热或冷却其大小反映物体被瞬态加热或冷却时，物体各部分温度时，物体各部分温度时，物体各部分温度时，物体各部分温度趋于均匀一致的能力，导温系数越大，物体内热量传播趋于均匀一致的能力，导温系数越大，物体内热量传播趋于均匀一致的能力，导温系数越大，物体内热量传播趋于均匀一致的能力，导温系数越大，物体内热量传播越快。越快。越快。越快。 木材木材木材木材a a =1.510=1.510-7-7 紫紫紫紫铜铜铜铜a a = 5.33= 5.331010-5-5 整理导热微分方程整理导热微分方程 导热微分方程式的简化导热微分方程式的简化 (1) (1) (1) (1) 若物体无内热源：若物体无内热源：若物体无内热源：若物体无内热源：(2) (2) (2) (2) 若稳态导热：若稳态导热：若稳态导热：若稳态导热：(3)(3)(3)(3)若稳态导热、无内热源：若稳态导热、无内热源：若稳态导热、无内热源：若稳态导热、无内热源：2t = 0，即即即即 若一维稳态导热：若一维稳态导热：若一维稳态导热：若一维稳态导热：v导热微分方程是描写导热过程共性的数学表达式导热微分方程是描写导热过程共性的数学表达式。v求解导热问题的实质归结为对导热微分方程的求解求解导热问题的实质归结为对导热微分方程的求解。 v为完整地描写某个为完整地描写某个具体具体的导热过程，必须说明导热过程的的导热过程，必须说明导热过程的具体具体特点特点, , 使导热微分方程具有满足特定条件的使导热微分方程具有满足特定条件的“特解特解”。v使导热微分方程获得唯一解的附加条件：使导热微分方程获得唯一解的附加条件：单值性条件单值性条件v导热微分方程式导热微分方程式+ +单值性条件单值性条件构成具体导热过程完整构成具体导热过程完整 的数学描述。的数学描述。10.1.4 导热微分方程式及单值性条件导热微分方程式及单值性条件 2. 单值性条件单值性条件数学上的通解数学上的通解1)1)几何条件几何条件 说明参与导热物体的几何形状及尺寸。说明参与导热物体的几何形状及尺寸。说明参与导热物体的几何形状及尺寸。说明参与导热物体的几何形状及尺寸。2)2)物理条件物理条件 说明导热物体的物理性质说明导热物体的物理性质说明导热物体的物理性质说明导热物体的物理性质, , , , 例如物体有无内热源例如物体有无内热源例如物体有无内热源例如物体有无内热源 给出热物性参数给出热物性参数给出热物性参数给出热物性参数(、c、a等)3)3)时间条件时间条件 说明导热过程说明导热过程说明导热过程说明导热过程时间上时间上时间上时间上的特点的特点的特点的特点, , , , 是稳态导热还是非稳是稳态导热还是非稳是稳态导热还是非稳是稳态导热还是非稳态导热。对于非稳态导热态导热。对于非稳态导热态导热。对于非稳态导热态导热。对于非稳态导热, , , , 应该给出过程开始时物体内应该给出过程开始时物体内应该给出过程开始时物体内应该给出过程开始时物体内部的温度分布规律（称为初始条件）：部的温度分布规律（称为初始条件）：部的温度分布规律（称为初始条件）：部的温度分布规律（称为初始条件）： 例如：例如：例如：例如：单值性条件单值性条件稳态导热中没有初始条件稳态导热中没有初始条件4)4)边界条件边界条件 说明导热物体边界上的温度或换热情况。说明导热物体边界上的温度或换热情况。说明导热物体边界上的温度或换热情况。说明导热物体边界上的温度或换热情况。 常见的边界条件分为三类常见的边界条件分为三类常见的边界条件分为三类常见的边界条件分为三类: : : :(1) 第一类第一类边界条件边界条件 给给给给出出出出边边边边界界界界上上上上的的的的温温温温度度度度分分分分布布布布及及及及其其其其随随随随时时时时间的变化规律：间的变化规律：间的变化规律：间的变化规律： (2) 第二类第二类边界条件边界条件 给给给给出出出出边边边边界界界界上上上上的的的的热热热热流流流流密密密密度度度度分分分分布布布布及及及及其随时间的变化规律：其随时间的变化规律：其随时间的变化规律：其随时间的变化规律： 单值性条件单值性条件例如：例如：x=0时，时，t=tw1 ; x=时，时，t=tw2 0 xt tw2 tw1 非稳态非稳态稳态稳态=常数常数(3) 第三类第三类边界条件边界条件 给给给给出出出出与与与与物物物物体体体体表表表表面面面面进进进进行行行行对对对对流流流流换换换换热热热热的的的的流体的温度流体的温度流体的温度流体的温度tf及表面传热系数及表面传热系数及表面传热系数及表面传热系数h 。如果物体的某一表面是绝热的即如果物体的某一表面是绝热的即如果物体的某一表面是绝热的即如果物体的某一表面是绝热的即q qw w = 0 = 0 , , , , 则则则则 根根根根据据据据边边边边界界界界面面面面的的的的热热热热平平平平衡衡衡衡，由由由由傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶定律和牛顿冷却公式可得定律和牛顿冷却公式可得定律和牛顿冷却公式可得定律和牛顿冷却公式可得 单值性条件单值性条件 上上上上式式式式描描描描述述述述的的的的第第第第三三三三类类类类边边边边界界界界条条条条件件件件是是是是线线线线性性性性的的的的, , , , 所所所所以以以以也也也也称称称称为为为为线线线线性性性性边边边边界界界界条条条条件件件件，反反反反映映映映了了了了导导导导热热热热问问问问题题题题的的的的大大大大部部部部分分分分实实实实际际际际情况。情况。情况。情况。 如如如如果果果果导导导导热热热热物物物物体体体体的的的的边边边边界界界界处处处处除除除除了了了了对对对对流流流流换换换换热热热热还还还还存存存存在在在在与与与与周周周周围环境之间的辐射换热围环境之间的辐射换热围环境之间的辐射换热围环境之间的辐射换热, , , , 则边界面的热平衡表达式为则边界面的热平衡表达式为则边界面的热平衡表达式为则边界面的热平衡表达式为 q qr r 为为为为物物物物体体体体边边边边界界界界面面面面与与与与周周周周围围围围环环环环境境境境之之之之间间间间的的的的净净净净辐辐辐辐射射射射换换换换热热热热热热热热流流流流密密密密度度度度，这这这这种种种种对对对对流流流流换换换换热热热热与与与与辐辐辐辐射射射射换换换换热热热热叠叠叠叠加加加加的的的的复复复复合合合合换换换换热热热热边边边边界条件是非线性的边界条件。界条件是非线性的边界条件。界条件是非线性的边界条件。界条件是非线性的边界条件。 本书只限于讨论具有线性边界条件的导热问题。本书只限于讨论具有线性边界条件的导热问题。本书只限于讨论具有线性边界条件的导热问题。本书只限于讨论具有线性边界条件的导热问题。 综综综综上上上上所所所所述述述述, , , , 对对对对一一一一个个个个具具具具体体体体导导导导热热热热过过过过程程程程完完完完整整整整的的的的数数数数学学学学描描描描述（即导热数学模型）应该包括述（即导热数学模型）应该包括述（即导热数学模型）应该包括述（即导热数学模型）应该包括 目目目目前前前前应应应应用用用用最最最最广广广广泛泛泛泛的的的的求求求求解解解解导导导导热热热热问问问问题题题题的的的的方方方方法法法法: : : :(1)(1)(1)(1)分分分分析析析析解解解解法法法法;(2);(2);(2);(2)数数数数值值值值解解解解法法法法;(3);(3);(3);(3)实实实实验验验验方方方方法法法法。这这这这也也也也是是是是求求求求解解解解所所所所有传热学问题的三种基本方法。有传热学问题的三种基本方法。有传热学问题的三种基本方法。有传热学问题的三种基本方法。导热导热导热导热微分方程微分方程微分方程微分方程式式式式单值性条件单值性条件单值性条件单值性条件第一步，关键一步第一步，关键一步温度场温度场温度场温度场热流量、热流分布热流量、热流分布热流量、热流分布热流量、热流分布10.2 稳态导热稳态导热10.2.1 10.2.1 平壁的稳态导热平壁的稳态导热平壁的稳态导热平壁的稳态导热oxt1. 1. 单层平壁的稳态导热单层平壁的稳态导热单层平壁的稳态导热单层平壁的稳态导热t tw1w1t tw2w2平壁的一维稳态导热微分方程式为：平壁的一维稳态导热微分方程式为：平壁的一维稳态导热微分方程式为：平壁的一维稳态导热微分方程式为：边界条件为：边界条件为：边界条件为：边界条件为：直接积分法，得温度分布：直接积分法，得温度分布：直接积分法，得温度分布：直接积分法，得温度分布：线性温度分布线性温度分布线性温度分布线性温度分布第一类边界条件第一类边界条件为常数为常数若若为温度的函数为温度的函数时情况复杂时情况复杂p156p156平壁的热流密度平壁的热流密度平壁的热流密度平壁的热流密度平壁的热流量平壁的热流量平壁的热流量平壁的热流量10.2.1 平壁的稳态导热平壁的稳态导热平壁的温度分布：平壁的温度分布：平壁的温度分布：平壁的温度分布：导热热阻导热热阻2. 2. 多层平壁的稳态导热多层平壁的稳态导热多层平壁的稳态导热多层平壁的稳态导热例：房屋的墙壁例：房屋的墙壁例：房屋的墙壁例：房屋的墙壁 水泥沙浆层、红砖、白灰层、水泥沙浆层、红砖、白灰层、水泥沙浆层、红砖、白灰层、水泥沙浆层、红砖、白灰层、假假假假设设设设各各各各层层层层之之之之间间间间接接接接触触触触良良良良好好好好，可可可可以以以以近近近近似似似似地认为接合面上各处的温度相等。地认为接合面上各处的温度相等。地认为接合面上各处的温度相等。地认为接合面上各处的温度相等。10.2.1 平壁的稳态导热平壁的稳态导热n层层?非稳态导热基本概念非稳态导热基本概念主要内容：主要内容：10.310.3非稳态导热非稳态导热解决一维非稳态导热问题解决一维非稳态导热问题分析解分析解-解方程解方程简化法简化法-零维分析法零维分析法非稳态导热：非稳态导热： 温度场随时间变化的导热过程。温度场随时间变化的导热过程。冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却时；冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却时；冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却时；冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却时；蒸汽轮机、内燃机等动力机械在启动、停机或改变蒸汽轮机、内燃机等动力机械在启动、停机或改变蒸汽轮机、内燃机等动力机械在启动、停机或改变蒸汽轮机、内燃机等动力机械在启动、停机或改变工况时；工况时；工况时；工况时；火车制动时车轮的温度变化。火车制动时车轮的温度变化。火车制动时车轮的温度变化。火车制动时车轮的温度变化。分类分类瞬态非稳态导热瞬态非稳态导热周期性非稳态导热周期性非稳态导热10.310.3非稳态导热非稳态导热冰箱的间断冷却冰箱的间断冷却铸件的冷却铸件的冷却无内热源；初始温度与两无内热源；初始温度与两侧的流体均为侧的流体均为t t0 0。突然将。突然将两侧流体温度降低为两侧流体温度降低为t t，并保持不变。假设平壁表并保持不变。假设平壁表面与流体间对流换热系数面与流体间对流换热系数h为常数为常数 。在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征与边界条件参数的关系。温度变化特征与边界条件参数的关系。 厚度为厚度为2 2的无限大平壁；的无限大平壁；材料的导热系数材料的导热系数；热扩；热扩散率散率a为常数；为常数；温度分布？热流量？温度分布？热流量？导热微分方程导热微分方程初始条件初始条件边界条件边界条件( (对称性对称性) )无限大的平板的分析解无限大的平板的分析解-解方程解方程10.3非稳态导热非稳态导热引入变量引入变量过余温度过余温度令令上式化为：上式化为：用分离变量法可得其分析解为：用分离变量法可得其分析解为：*因此因此是是F0, Bi F0, Bi 和和 函数，即函数，即其中其中FoFo数及数及BiBi数的物理意义数的物理意义FoFo数的物理意义：数的物理意义：分子：从非稳态导热过程开始到分子：从非稳态导热过程开始到的时间；的时间；分母：具有时间的量纲，温度变化波及到分母：具有时间的量纲，温度变化波及到2 2面积面积所需的时间。所需的时间。FoFo：两个时间之比，是非稳态过程：两个时间之比，是非稳态过程的无量纲时间，表征非稳态过程进行深度的无量的无量纲时间，表征非稳态过程进行深度的无量纲时间。纲时间。BiBi数的物理意义：数的物理意义：物体内部的导热热阻与边界处的对流换热热阻之物体内部的导热热阻与边界处的对流换热热阻之比。比。第十章小结第十章小结1. 掌握稳态及非稳态导热基本概念掌握稳态及非稳态导热基本概念 2. 导热微分方程导热微分方程 3. 一维稳态导热的计算一维稳态导热的计算 4. 了解肋片导热及非稳态导热计算了解肋片导热及非稳态导热计算 作业：作业：10-1、10-5、10-6、10-7公司公司 本章结束本章结束哈尔滨工业大学（威海）汽车工程学院