肥东圣泉中学初中部 信息组计算机中的集合计算机中的集合计算机中的集合计算机中的集合肥东圣泉中学初中部 信息组计算机中的集合计算机中的集合第一节 集合的基本概念 1.1 个体与集合之间的关系 1.2 集合的表示法 1.3 集合与集合之间的关系 1.4 幂集第二节 集合的基本运算 2.1 集合的补运算 2.2 集合的交运算和并运算 2.3 集合的宏运算 肥东圣泉中学初中部 信息组计算机中的集合计算机中的集合1.1 个体与集合之间的关系什么是集合，关于集合的各种不同说法如下。什么是集合，关于集合的各种不同说法如下。1.1.莫斯科大学的那汤松教授说：莫斯科大学的那汤松教授说： 凡具有凡具有某种特殊性质的的对象的的汇集称之为集。称之为集。2.2.复旦大学的陈建功教授说：复旦大学的陈建功教授说： 凡可供吾人思维的，不论它有形或无形，都叫做凡可供吾人思维的，不论它有形或无形，都叫做物。具有。具有某种条件的物，称它们的的物，称它们的全部谓之一集。谓之一集。3.3.南开大学的杨宗磐教授说：南开大学的杨宗磐教授说： 集就是集就是“乌合之之众”。不考虑怎样。不考虑怎样“乌合”起来的，众起来的，众可以具体，可以抽象。4. 4. 集合论之父集合论之父 G.Cantor G.Cantor（1845-19181845-1918）说：）说： 集是由集是由总括某些某些个体成一个整体而成的。对于每个个体，只设成一个整体而成的。对于每个个体，只设其为其为可思考对象，辨别它的异同。个体之间并不需要有任何关系。个体之间并不需要有任何关系。肥东圣泉中学初中部 信息组计算机中的集合计算机中的集合综上所述集合的概念有三要素综上所述集合的概念有三要素 1. 1. 个体（元素）个体（元素） 2. 2. 个体的可辨认性个体的可辨认性 3. 3. 集合（动词）集合（动词）通常用小写拉丁字母表示集合中的个体：通常用小写拉丁字母表示集合中的个体：a a、b b、c c、dd通常用大写拉丁字母表示集合的名称：通常用大写拉丁字母表示集合的名称：A A、B B、C C、DD个体与集合之间的关系称为属于关系。个体与集合之间的关系称为属于关系。对于某个个体对于某个个体a a和某个集合和某个集合A A而言，而言，a a只有两种可能只有两种可能 1 1）a a 属于属于A A，记为，记为 a a A A，称，称a a是是A A中的元素。中的元素。 2 2）a a 不属于不属于A A，记为，记为 a a A A ，称，称a a不是不是A A中的元素。中的元素。判断个体判断个体 a a 属于属于A A还是不属于还是不属于A A，必须使用个体的可辨认性，而且，必须使用个体的可辨认性，而且个体的可辨认性是无二义性的，即或者个体的可辨认性是无二义性的，即或者 a a 属于属于 A A或者或者 a a 不属不属于于A A，二者居其一且只居其一。，二者居其一且只居其一。关于个体的辨认有赖于各方面的公认的知识。关于个体的辨认有赖于各方面的公认的知识。集合集合（名词）肥东圣泉中学初中部 信息组计算机中的集合计算机中的集合1.2 1.2 集合的表示法集合的表示法文字表示法文字表示法 用文字表示集合的元素，两端加上花括号。用文字表示集合的元素，两端加上花括号。 在座的同学在座的同学 高等数学中的积分公式高等数学中的积分公式 元素列举法元素列举法 将集合中的元素逐一列出，两端加上花括号。将集合中的元素逐一列出，两端加上花括号。 1 1，2 2，3 3，4 4，55 风，马，牛风，马，牛 2 2，4 4，6 6，8 8，1010， 谓词表示法谓词表示法 x xp(x) p p(x) p 表示表示 x x 所满足的性质。所满足的性质。 x xx x2 2 = 1 = 1 y yy y 是开区间是开区间 (a,b) (a,b) 上的连续函数上的连续函数 使使 x x2 2 = 1 = 1 的实数的实数 1 1，-1 x-1 xx x2 2 = 1 = 1 肥东圣泉中学初中部 信息组计算机中的集合计算机中的集合集合的特殊情况集合的特殊情况不含任何元素的集合称为空集，记为不含任何元素的集合称为空集，记为 或或 。只含一个元素的集合称为单元素集，记为只含一个元素的集合称为单元素集，记为 a a 。含讨论问题所需全部元素的集合称为全集，记为含讨论问题所需全部元素的集合称为全集，记为X X。常用集合的字母表示：常用集合的字母表示：自然数集、整数集、有理数集、实数集、复数集自然数集、整数集、有理数集、实数集、复数集分别用大写字母分别用大写字母N N、Z Z、Q Q、R R、C C表示表示有时还用有时还用Q Q表示正有理数集，用表示正有理数集，用R R表示负实数集，等等表示负实数集，等等 肥东圣泉中学初中部 信息组计算机中的集合计算机中的集合1.3 集合与集合之间的关系 定义定义1 1 设设A A，B B是两个集合是两个集合 1 1）若对于）若对于A A中的每个元素中的每个元素x x，都有，都有x x属于属于B B，则称，则称A A包含在包含在B B中，中，记为记为A A B B。同时称。同时称A A是是B B的子集。的子集。 2 2）若）若A A中的每个元素都属于中的每个元素都属于B B，且，且B B中的每个元素都属于中的每个元素都属于A A，则，则称称A A等于等于B B，记为，记为A=BA=B。子集的两种特殊情况（平凡子集）：子集的两种特殊情况（平凡子集）： 1 1）空集是任一集合的子集。）空集是任一集合的子集。 2 2）每个集合是它自己的子集。）每个集合是它自己的子集。集合与集合之间的关系称为包含关系。集合与集合之间的关系称为包含关系。肥东圣泉中学初中部 信息组计算机中的集合计算机中的集合 真子集：真子集： 对于两个集合对于两个集合A A与与B B，如果，如果A BA B，并且，并且A BA B， 就说集合就说集合A A是集合是集合B B的真子集，记作的真子集，记作A BA B （或（或B AB A） 空集是任何非空集合的真子集空集是任何非空集合的真子集全集： 如果集体S含有所要研究各个集合的全部元素， 这个集合就可以看作一个全集全集，全集通常用表示I表示肥东圣泉中学初中部 信息组计算机中的集合计算机中的集合 补集：补集： 一般地，设一般地，设S S中一个集合，中一个集合，A A是是S S的一个子集（即的一个子集（即A SA S），由），由S S中所有中所有 不属于不属于A A的元素组成的集合，叫做的元素组成的集合，叫做S S中子集中子集A A的补集（或余集），的补集（或余集）， 记作记作 A A 即即 A Axx Sxx S，且，且x Ax A肥东圣泉中学初中部 信息组计算机中的集合计算机中的集合1.4 幂集 定义定义2 2 设设A A是集合，是集合，A A的所有子集组成的集合称为的所有子集组成的集合称为A A的幂集，的幂集，记为记为 2 2A A。 2 2A A = x = x x x A A 定理定理1 1 设集合设集合A A是有限集合，是有限集合， A A = n = n，则，则 2 2A A = = 2 2 A A 。 定理定理2 2 设设 A,B A,B 是两个集合。那么是两个集合。那么 A=B A=B 当且仅当当且仅当 2 2A A = = 2 2B B。肥东圣泉中学初中部 信息组计算机中的集合计算机中的集合第二节 集合的基本运算2.1 集合的补运算（一元运算）定义1 设设X X是集合，是集合，A A是是X X的子集。的子集。 A A = x = x x x X xX x A A 称称A A 是是A A关于关于X X的补集，称的补集，称 为补运算。为补运算。定理1 设设X X是集合，是集合，A A，B B是是X X的子集。则的子集。则 1 1）(A(A ) ) =A=A； 2 2）若）若A A B B，则，则B B A A ； 3 3）若）若A =A = B B，则，则A A = = B B ； 4 4）X X = = ，=X=X。肥东圣泉中学初中部 信息组计算机中的集合计算机中的集合2.2 集合的交运算和并运算定义定义2 2 设设A A，B B是两个集合是两个集合 1 1）A AB = xB = xx x AxAx B B ， 称称A ABB为为A A与与B B的交集，称的交集，称为集合交运算。为集合交运算。 2 2）A AB = xB = xx x AxAx B B ， 称称A ABB为为A A与与B B的并集，称的并集，称为集合并运算。为集合并运算。肥东圣泉中学初中部 信息组计算机中的集合计算机中的集合定理定理2 设设X是全集，是全集，A，B，C是是X的三个子集合，的三个子集合，则则 1）AA=A， AA=A 2）AA = ， AA =X 3）AX=A， AX=X 4）A = ， A =A 5）AB= BA， AB= BA 6）(AB) C = A (BC), (AB) C = A (BC) 7）A(B C) = (AB) (AC) A(B C) = (AB) (AC) 肥东圣泉中学初中部 信息组计算机中的集合计算机中的集合定理3 设设A A，B B，C C为三个集合，则为三个集合，则 1 1）A A ABAB， A AB B A A； 2 2）若）若 A A C C 且且 B B C C，则，则 AB AB C C； 3 3）若）若 C C A A 且且 C C B B，则，则 C C A AB B 。定理4 设设A A，B B为两个集合，则下面三式等价。为两个集合，则下面三式等价。 1 1）A A B 2B 2）AB = B 3) AB = B 3) A AB=A B=A 定理5 设设A A，B B为两个集合，则为两个集合，则 1 1）( ( AB)AB) = = A A BB 2 2）( ( A AB)B) = A = A BB 肥东圣泉中学初中部 信息组计算机中的集合计算机中的集合2.3 集合的宏运算 定义定义3 3 设设A,BA,B是两个集合，是两个集合，AB = AB = x xx x AxAx B B ，称，称 AB AB 为为 A A 和和 B B 的差集，称的差集，称 为集合差运算。为集合差运算。由差运算、交运算、补运算的定义知由差运算、交运算、补运算的定义知 AB = AB = A ABB 。 由于差运算可以由并、交、补运算线性表出，因此称差运算为宏由于差运算可以由并、交、补运算线性表出，因此称差运算为宏运算。运算。 肥东圣泉中学初中部 信息组计算机中的集合计算机中的集合定理定理6 6 设设X X是全集，是全集，A,B,CA,B,C是是X X的三个子集合，则的三个子集合，则 1) AB 1) AB A A ； 2) AA = 2) AA = ； 3) XA = A 3) XA = A ；AX = AX = ； 4) A 4) A = A = A ； A = A = ； 5) A 5) A(BC)= (BC)= (A AB) ( B) ( A AC) C) ； 6) A(BC)=(AB) 6) A(BC)=(AB)(A(AC)C) 7) 7) (AB)C=A(B (AB)C=A(BC) C) ； 8) A(B 8) A(BC)C) = (AB) = (AB) (AC) (AC) ； 9) A(B 9) A(BC)C) = (AB) = (AB)(AC) (AC) 。 肥东圣泉中学初中部 信息组计算机中的集合计算机中的集合例：如图，例：如图，I I为全集，集合为全集，集合M M，N N满足：满足： M N M N ，那么图中红色阴影部分用集合表示，可表示为：，那么图中红色阴影部分用集合表示，可表示为：肥东圣泉中学初中部 信息组计算机中的集合计算机中的集合肥东圣泉中学初中部 信息组计算机中的集合计算机中的集合 例：如果集合例：如果集合M M满足满足M 7M 7，1313，2020，且，且M M中至多含有一个奇数，中至多含有一个奇数， 那么符合上述条件的集合那么符合上述条件的集合M M共有共有_个个6个分析：集合分析：集合M M满足两个条件：满足两个条件：是集合是集合77，1313，2020的真子集；的真子集； 其中至多含有一个奇数，即其中至多含有一个奇数，即M M的元素中或者没有奇数的元素中或者没有奇数 或者仅有一个奇数还要注意空集或者仅有一个奇数还要注意空集 是符合条件的是符合条件的 由上得由上得M M可能是可能是 ， 20 20 ， 7 7 ， 13 13 ， 7 7，20 20 ， 13 13，20 20 肥东圣泉中学初中部 信息组计算机中的集合计算机中的集合再见再见