3.3 解解对初初值的的连续性和可微性定理性和可微性定理考察考察的解的解 对初值的一对初值的一些基本性质些基本性质v解对初值的连续性解对初值的连续性 v解对初值和参数的连续性解对初值和参数的连续性 v解对初值的可微性解对初值的可微性 内容内容内容内容: : : :yxG图例分析图例分析图例分析图例分析( ( ( (见右见右见右见右) ) ) )解可看成是关于解可看成是关于的三元函数的三元函数满足满足 解对初值的对称性解对初值的对称性: :前提前提前提前提解存在唯一解存在唯一例例: :初值问题的解不单依赖于自变量初值问题的解不单依赖于自变量 , ,同时也依赖于初值同时也依赖于初值 . .初值变动初值变动, ,相应的初值问题的解也将随之变动相应的初值问题的解也将随之变动. . Q:Q:Q:Q:当初值发生变化时当初值发生变化时当初值发生变化时当初值发生变化时, , , ,对应的解是如何变化的对应的解是如何变化的对应的解是如何变化的对应的解是如何变化的? ? ? ? 当初始值微小变动时当初始值微小变动时当初始值微小变动时当初始值微小变动时, , , ,方程的解变化是否也是很小呢？方程的解变化是否也是很小呢？方程的解变化是否也是很小呢？方程的解变化是否也是很小呢？证明则由解的唯一性知,即此解也可写成:且显然有:按解的存在范围是否有限按解的存在范围是否有限按解的存在范围是否有限按解的存在范围是否有限, , , ,又分成下面两个问题又分成下面两个问题又分成下面两个问题又分成下面两个问题: : : :Q1:Q1:解解在在某某有有限限闭闭区区间间 a, ,b 上上有有定定义义 , ,讨讨论论初初值值 的的微微小小变变化化对对解解的的影影响响情情况况 , ,称称为为解解对对初初值值的的连连续续性性 . .内内 容容包包括括 : :当当初初值值发发生生小小的的变变化化时时 , ,所所得得到到的的解解是是否否仍仍在在 a,b上上有有定定义义以以及及解解在在整整个个区区间间 a,b上上是是否否也也变变化化很很小小 ?Q2:Q2:解解在在某某个个无无限限闭闭区区间间 上上有有定定义义 , ,讨讨论论初初值值 的的微微小小变变化化是是否否仍仍有有解解在在 上上有有定定义义 , ,且且解解在在整整个个区区 间间 上上变变化化也也很很小小 ? ?这这种种问问题题称称为为解解的的稳稳定定性性问问题题 , , 将将在在第第六六章章中中讨讨论论 . .一一 解对初值的连续性解对初值的连续性定义设初值问题1.解对初值的连续依赖性初值问题引理引理引理引理 如果函数如果函数如果函数如果函数 于某域于某域于某域于某域GG内内内内连续连续，且，且，且，且关于关于 y 满足利普满足利普希茨条件希茨条件（利普希茨常数为（利普希茨常数为（利普希茨常数为（利普希茨常数为L L），），），），则对方程则对方程则对方程则对方程 的任的任的任的任意两个解意两个解意两个解意两个解 及及及及 , , , ,在它们的公共存在区间内成立着不在它们的公共存在区间内成立着不在它们的公共存在区间内成立着不在它们的公共存在区间内成立着不等式等式等式等式 . . . .其中其中其中其中 为所考虑为所考虑为所考虑为所考虑区间内的某一值。区间内的某一值。区间内的某一值。区间内的某一值。证明则于是因此两边取平方根即得2 2 2 2 定理定理定理定理1 (1 (1 (1 (解对初值的连续依赖性定理解对初值的连续依赖性定理解对初值的连续依赖性定理解对初值的连续依赖性定理) ) ) )条件条件条件条件: : : : I.I.I.I. 在在在在G G内连续且关于内连续且关于内连续且关于内连续且关于 满足局部满足局部满足局部满足局部L L L Lipsipsipsips. . . .条件条件条件条件; ; ; ; II. II. II. II. 是是是是(1)(1)(1)(1)满足满足满足满足 的解的解的解的解, , , ,定义定义定义定义 区间为区间为区间为区间为 a,ba,b.结论结论结论结论: : : : 对对对对 , , , , 使得当使得当使得当使得当时时时时, ,方程方程方程方程(1)(1)(1)(1)过点过点过点过点 的解的解的解的解 在在在在 a,ba,b 上也有上也有上也有上也有定义定义定义定义, ,且且且且 方程方程方程方程0思路分析：思路分析：思路分析：思路分析：记积分曲线段记积分曲线段记积分曲线段记积分曲线段S S：显然显然显然显然S S是是是是xyxy平面上的有界闭集平面上的有界闭集平面上的有界闭集平面上的有界闭集. .第一步第一步第一步第一步: :找区域找区域找区域找区域D D, ,使使使使 , ,且且且且 在在在在D D上满足上满足上满足上满足L Lipsips. .条件条件条件条件. .yxG( (见下图见下图见下图见下图) )由已知条件由已知条件由已知条件由已知条件, ,对对对对 , ,存在以它为中心的圆存在以它为中心的圆存在以它为中心的圆存在以它为中心的圆 , ,使使使使 在其内在其内在其内在其内满足满足满足满足L L L Lipsipsipsips. . . .条件条件条件条件, , , ,利普希茨常数为利普希茨常数为利普希茨常数为利普希茨常数为 . . . .根据有限根据有限根据有限根据有限覆盖定理覆盖定理覆盖定理覆盖定理, , , ,存在存在存在存在N N, , , ,当当当当 时时时时, , , ,有有有有 对对对对 , ,记记记记则以则以则以则以 为半径的圆为半径的圆为半径的圆为半径的圆, , , ,当其圆心从当其圆心从当其圆心从当其圆心从S S的的的的左端点沿左端点沿左端点沿左端点沿S S 运动到右端点时运动到右端点时运动到右端点时运动到右端点时, , , ,扫过扫过扫过扫过的区域即为符合条件的要找区域的区域即为符合条件的要找区域的区域即为符合条件的要找区域的区域即为符合条件的要找区域D Dba00第二步第二步第二步第二步: :证明证明证明证明 在在在在 a,ba,b 上有定义上有定义上有定义上有定义. .假定假定假定假定 利用引理利用引理利用引理利用引理2 2 2 2及及及及 的连续性可得的连续性可得的连续性可得的连续性可得: : : :第三步第三步第三步第三步: :证明证明证明证明在不等式在不等式在不等式在不等式(*)(*)(*)(*)中将区间中将区间中将区间中将区间 c,dc,d 换成换成换成换成 a,ba,b 即得即得即得即得. . . . 根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性, ,显然有显然有显然有显然有: :3 3 3 3 定理定理定理定理2 2 2 2 ( ( ( (解对初值的连续性定理解对初值的连续性定理解对初值的连续性定理解对初值的连续性定理) ) ) )条件条件条件条件: : : : 在在在在G G内连续且关于内连续且关于内连续且关于内连续且关于 满足局部满足局部满足局部满足局部L L L Lipsipsipsips. . . .条件条件条件条件; ; ; ;方程方程方程方程结论结论结论结论: : : :在它的存在范围内是连续的在它的存在范围内是连续的在它的存在范围内是连续的在它的存在范围内是连续的. . . ., , , ,作为作为作为作为 的函数的函数的函数的函数证明令二二 解对初值的可微性解对初值的可微性1 1 1 1 解对初值和参数的连续依赖定理解对初值和参数的连续依赖定理解对初值和参数的连续依赖定理解对初值和参数的连续依赖定理2 2 2 2 解对初值和参数的连续性定理解对初值和参数的连续性定理解对初值和参数的连续性定理解对初值和参数的连续性定理3 3 3 3 解对初值可微性定理解对初值可微性定理解对初值可微性定理解对初值可微性定理证明因此,解对初值的连续性定理成立,即即和于是设即是初值问题的解,根据解对初值和参数的连续性定理则的解,不难求得即和于是即是初值问题的解,根据解对初值和参数的连续性定理的解, 不难求得初值问题例1 解由公式得作业vP92 1,3,4