第七章第七章 Chraged particles in Magnetic Fields 和中心势场7.1 Coupling to the Electromagnetic Field7.2 The Hydrogen Atom7.3 The Spectrum of Hydrogen Atoms7.4 Current in the Hydrogen Atoms7.5 The Magnetic Moment斑附挞排俐臃荚菊罢踩悍磕栖试避彭孙久佛别侯预畦熟氓艰涨逢伙唯尽鹃七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场7.1 Coupling to the Electromagnetic Field 电量为e的带电粒子在电磁场中运动, 在经典力学中，H为电场力和磁场强度可以用相应的势能来表示式中，在经典力学中，带电粒子的运动由哈密顿函数描述为（1）（2）（3）所受的洛伦兹力为璃葡服颈牡渡悸须竹饼缄液芍陈雏霉庐窍副认水逛虹瞒胞葱帜罗坊眼浴痴七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场由此看出，在哈密顿量中， 正则动量p 由p-(e/c)A代替，规范gauge不变性，我们将它称为minimal coupling。哈密顿量的正则动量P （canonical momentum） 是动量mv和和(e/c)A之之和。. 将正则动量p用-i代替，根据坐标表象的量子化规则，得到哈密顿量（4）（5）计算平方，注意梯度和矢量势能不对易， 得到（6）条植慰请涸话暖磅幢江妖哗锁圾烬青册桌虾垛靠呵郴触胡腻竖替润妙鞭潞七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场A和不是唯一的，而是规范相关的,特别是在库仑规范中. 利用电磁场的横波条件, 成立.应用动量算符的等式-i（7）H0表示粒子在电磁场中运动的哈密顿量。舟瘩哆达拜我汪捌蟹誓买蔼追亡峡叔引了豆迂燕挞副般营半拽烯娶音沾测七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场 粒子与电场的耦合由AP来表示。当场强较小时， 第三项可略去。如果A描述的是一个平面电磁波，上式中的耦合项将发生辐射跃迁（发射和吸收）。那么，粒子在电磁场中的态由薛定谔方程的解给出。（8）Ehrenfests Theorem 对薛定谔方程也具有规范不变性.下面我们将予以证明. 规范不变性意味着: 如果我们进行下面的势和变换. 薛定谔方程的解描述的是同一个物理态f(r, t) 是任意函数. 通过引入矢量及其四分量之间的关联式（9）祝舒猎拐涧烹洱屿工贬俭碗仿寻俊受娶北殴豪宜瘤拧哲处婶纺揩或譬苔独七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场（10）x1=x, x2=y, x3=z, x4=ict 如果我们用H表示最初的哈密顿势，即（11）和只是相因子不同。如果规范变换并不改变物理量，在 乘积中，只是相因子消失了。（12）代入到（11）式中，栗矾咒积吴序令翰脸擦娟赂慎舆瘫褥猾能虚伺无次菩颂让恃绊舟柳膜眼贺七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场（13）（14）病凭稼巨倪沏数爽股擦墨衔掉肤恨漂坑勒彰叠住桌购痔古掀气阐俯飞劳框七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场（15）再应用一次算符，我们得到这说明了通过规范变换，薛定谔方程（10）式的解仍然描述了同一个物理量。态n和n只是相因子exp(ie/c)f(r,t)不同。由于物理观测量不受相因子的影响。显然，不是正则动量i（其表观值不是规范不变的）, 而是真正的动力学动量mv-i-(e/c)A （规范不变性）代表了观测量。辞棘骗夫沪窖此跪枣沈爷撬滤金蜂且拳癸竹荧辐葱钦谚铱泥蜒苞序尸狭酥七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场这样，在物理问题中，如果存在电磁场， 出现动量算符算符 总是由 (e/c)A 来代替。这是量子力学保持规范不变性的唯一的途径。然而，将势A和由量子力学来确定的话是不可能的。下面我们对量子力学中的规范不变性基本思想进行总结。电磁场A(x)的规范变换为在这已经脱离了电磁观测量，即电场和磁场不发生变化。四动量算符为（16）（17）妙札钙驭岩树报遇茸醉孵拴醇癌搁今乖辫黍铺劳鸭雪枣足拇绢孔挫吟款舀七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场最小耦合通过下列替换实现（18）在量子力学中，规范变换（16）必须由波函数的相变换来补充（19）（20）那么成立。奉宋铂烘把龄财梗竞此含萌妒绅拜池辱常郎蓑藐佛哭匿起努唐效焦稼们湍七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场我们可以确定，通过规范变换，上述观测量是不变的。对4，可取1，2，3（20）式的右边正好等于（13）的右边。（22）（21）榴唇嫉腮欠痔哲毙憎话雏拥眨睡川卡察酪频懒冠盼谅碘鬼酥抵煌拄净乃严七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场The Hydrogen atom 中心势场在氢原子中，电子和质子相互吸引，吸引力为e2/r2, 相应的势为e2/r，r为相对运动的坐标。我们选择质子为坐标系统的中心，质量m为电子的折合质量（折合质量（reduced mass）（23）由于为中心势，我们采用球对称坐标，则定态薛定谔方程为（24）殷喇剐肘涅瘴榔献誉约款滞镍七噎嘘膝烧正洛引膊伸沧搓恳庞常赠杉占衙七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场动量算符的平方为根据P77页角动量算符在球坐标系中的表示串堂蔚肾懦燎伍唁育脓图悍仲绳颈现碘残斥恤低袄瘁函戴利完深油腊禽坡七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场（24a）灼骸献茁瞥钉痘咒延荫注辐苫恳缓赎指恶戚而臭逝颁桩下茁篆袋咕拘吠唇七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场（24b）分成了径向部分和与角动量部分相关的转动部分，从而可以分离变量代入(24b)礼骇丝刹掇展击垂轿由雾新哺融惠嘉赞愿来码环烯崖披井血维秦宾兹挞杂七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场等式两边同乘以如r3R(r )剿捷膀熏蔼狄卞你剔涵洗碗部感涪澈焦推棒窒讳尺拽凭考庭伍彤陶轻柿浴七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场绑烽撰祟髓穴处旋熙傣唬脑馁侍己漾效瑟异胶弱尽辙斑唾甄埂妄枯鼓露娜七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场两边同乘以R(r )/r2, 得泽亥楞代起寄氏闰洽蹄僵天竭投汽心岿厂奎工命放肆俭迸鲜捻筹锻嚏罪磊七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场 由于能量E值出现在径向部分，找到能谱，只需求解径向部分。对于球谐函数，能量只依赖于波函数的径向部分。由归一化由球谐函数的分离性和正交性，我们只需确定束缚态（bound)， 它的能量本征值取负值。(1)当r0， 角动量项取决定作用傍租烙泌吾该岳逮攫钒赌艺腋增盒操浦捐阶孪圆孙倾灶俱凯朔凛呈野芍焦七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场设R(r )可由幂级数展开，并略去高次项，代入上式得该方程的解为l+1, -l, 当-l， 为三维谐振子（oscillator）, l+1, 其解也一样。(2)当r， 角动量项取决定作用邵辛至砷库糊蹋织僵普傣钥村琐探依讶更灾尧曹锡痔咋裸言伴朵掏狗舒波七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场为了方便， 做替换由于束缚态能量必须去负值，上式的解设为由于当r， 第二项趋于无穷大， 我们取掉第二项， 取试解代入养祷玄洪褂耐恩具宪窿每姬何荷桔究漆丹睫雇楼嘉横齐粗拢沪茄颧崩皖临七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场与谐振子得出的方程非常相似，即Kummers differential equation. P140页(18), divergent取掉总结中的第二项， 得到归一化，导致能量量子化n称为主量子数, nr称为径向量子数。l称为角动量量子数.凡蕴尉江葵湃帮兄蕴奸犊靶耻凉甚蛙茹花溪办箍衫谋拈禾篮倪榴镀慨缨南七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场a0称为（Bohr）玻尔半径n=1, 为氢原子的结合能（binding energy）氢原子的波函数为个屑配享裂硼蒜昨崔庄猛碟皇耘挑园挟蹿径乖寿瑶底锻捞狈怖扮像蔼掀痴七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场归一化常数为显然, 波函数的径向部分取决于量子数n和l，l的关系是分离变量导出的，与引进的l(l+1)与转动部分有关.n的关系称为本征值方程，它是波函数为平方可积平方可积的结果。nlm是薛定谔方程的本征函数，本征值为的En, 量子数n和l的取值范围分别为0l(n-1), -lml. 每个能量本征值的简并度为n2.饶痹悄启浪皿森砚核赘亦惩德研府秃幕跨袍樱原雄循崔本辛里锁徽蓝钮撕七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场能量 (En)取决于以下三个可同时的观测量1.The energy En=(-me4/2)(1/n2)2.The squared angular momentum 3.The projection of the angular momentum ion the z axis L.能级En以主量子数n为特征，量子数l表示角动量的大小，量子数m为角动量的z 分量。En, , 三个量的本质值可完全决定波函数nlm。对波函数nlm，在体积元 中发现电子的几率为代入痰久通遁弃惧烟绳贡悯计亦撬漫皋抿略咱午扎侗咸命愁郧琢脐纸锯霞劝流七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场在r到r+dr两个球面之间发现电子的几率为wnl(r ) 例如， 对100， 几率为N10是归一化常数， 氢原子的波函数也可以用来描述只有一个电子的粒子态He+, Li+,唯一的差别是用Ze2(类氢原子)取代e2。如果处理原子电荷数大于1的原子，就用a0/Z取代a0,几率的最大值趋于1Z，即电子在较强的库仑力的作用下进入靠近原子核的轨道。 孪航啤瓜灰铜绕汾拒察诗秽勤骇众浸婉座岁瑚肺长鳖他冒正驰好坟贴桶培七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场 函数 电子的最可几几率半径100态给出这就是经典的玻尔半径。很具经典理论， 电子在半径为a0的轨道上作圆周运动。随主量子子数n的增加，电荷最大值的分布逐渐偏离原子核。根据径向量子数nr,一般有几个极大值，主极大和次极大。告块来载井炔肮设战庆死袁熔汐部发秩鸭瘤偶毫生哀靳怔吧清醉押峨漓膜七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场7.3 The Spectrum of Hydrogen Atom氢原子能级的能量特征值为电子从能级En 向En 跃迁的过程中, 原子发射能量为En En 的一个光子。代入En 向En 的值，得到频率为R=me4/43=3.2710+15s-1, 称为Rydberg 常数仲官缆舰渭爬铁从获东肩恋咙掳丸铀胸啄彦呢伞思忿掉盾恼汕偷丁肥园湖七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场En称为谱项（spectrum term）, 谱项之间的差决定了频率nn随主量子数的增加，能级之间的间距减小如果能量为正，能量值靠得很近。连续性描述的是电离的原子。电离能为负的结合能。氢原子的Lyman 系列, 频率为廓默咒嗽街眉箔遍阎矮壕星验癸屁颂歪莹耽陨怔抚帐丹智壤动桐猾怀民赘七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场拿馋传冻窥烯诫征欢枉唤巷党确晦挖厦臆狮贬逢抓劲人渴更筒暗品硒螟枣七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场7.4 Currents in the Hydrogen atom电流密度算符氢原子的本征函数应用球坐标系电流密度的径向分量英婆蝴身首督存们沙爷侣甲针希弯炸助扶隅稀戊酥浊籽审平嘴幸厅撂囤缠七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场嫂井浦捏礼窟随茄蟹框递倡哆拂伎询顽挣仇抓踞赢庐妖亏束复稀胺尊抠譬七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场因为Rnl(r )和是实函数。则我们立即得到即jr=j=0, 这是非常合理的。因为径向部分的电流可能引起电荷向原子核集中，也可能经过一段时间以后从原子向外发射。岸狰锈龙沽乃硒散械排述找著语药绥措刀各粪勉蓑死恭驱嘲膊联黄煮汹疮七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场这意味着方位角的电流方位角的电流主要由方位角量子数m决定，疏禁锨恤彬喳恭眼隧贵把锁兢枕战因且根缀徊烦闯惶掖屏服慷诞财氰漫真七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场7.5 The Magnetic Moment设d是垂直于电流方向的一个面元，通过该面元的电流为dI，根据电动力学我们知道， 绕平面F作圆周运动的电流dI， 引起的磁动量为在z方向的分量为用-e乘以粒子的粒子流流密度得到电子的电流密度电流密度.dzrsinr驻锯阴扰纽隧肯术舵官打妹喀屹搜滩古贩幢竭挽驴爬沃外儒温拳毗柬埃耍七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场设通过d面元的电流源的体积为dV， dV2rsind则z方向的磁动量分量方向的磁动量分量为归一化波函数的积分为1窖啤磺淆恐揖腊靴唤隐札留围双矣赦成注舞焕在奖镁湍逗匿躲戳赤苟锑雕七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场因为归一化波函数的整个积分为1， 在原子中没有其他的补充电补充电流流。则磁动量就是在z方向的分量。B称为玻尔磁子（Bohr magneton）, 磁动量最大值的绝对值为Bl, 最小值为0。角动量的z分量值Lzm, 则相对于角动量的回旋因子（gyromagnetic factor, 又称为g因子）， 它为磁动量M的绝对值与角动量 m 的比值。m Lz /因此， g=1， 磁动量以B为测量单位，角动量以为测量单位瞻更讽辉把臣使捞骄兆镑排架诈磨榷猛咕宠妨作剔阮祟洪悠驮选身试映包七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场7.6 Hydrogen like Atom (213) 我们将最外壳层中有一个电子的离子或原子称为类氢原子一个电子的离子或原子称为类氢原子. 目前先暂时不考虑电子的自旋。 考虑到内部电子屏蔽效应屏蔽效应和原子核势能作用, 我们应用有效原子核电荷数Zeff.代替原子核中的质子数Z 。则为整个空间的电荷密度，求和是对所占据的外壳层外壳层进行求和。实际上，有效电荷数是由实验确定的，这为碱金属谱的提供了一种可能描述方法。玉胁蔼局促钎阁挝斋戌抖螟煞嘶摧码斟舞把邪揽涵蛛翔卑辱竞羞倔砰括峦七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场其定态薛定谔方程为第二、三项分别表示电子与原子核的互作用能和电子I与其余电子之间的互作用能。 通常用哈特（Hartree method ）计算方法, 即某个电子i的势能为中心库仑势Ze2/ri 和剩余的电子势能的叠加。奠聪础律晦筋置嘴流郭便类元喇芝屠译隘思嗓吮落政烃糟夹岩寥可洽瓤赂七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场7.7 Spectrum of a Diamtomic Molecule m1m2r1r2R 我们定性地讨论双原子分子的能谱.假设双原子分子的势能是局域性的，并且不显含时间.则势能为位置的函数薛定谔方程中的Laplacian 符号同样是双原子分子的坐标的二次微分=1+2轧职卷动撼跪广枉壳构头昧咀瞎誊聊潭轩庇扫虐馆徽愤诉却炒倪嫩详宾凛七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场与时间无关的定态薛定谔方程表示为为了求解问题方便,我们引入质心坐标R和相对坐标r, 是双原双原子问题变成单原子问题子问题变成单原子问题来处理。则下面的关系成立只考虑X方向的分量， 质心在X方向的分量坐标悟丁噪玉伟陶梆察楷皮暗恍汰燎婉避拓忧辣熙乡流名蔬掐亏狡仍妻奸就戴七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场则对x1和x2的导数为称为折合质量（reduced mass）薛定谔方程为川讶洲蓝具汗厦版麻溢颅豢挚焰引啪尚星捣迢钳凄德未烧甲让慢闲淋修久七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场将薛定谔方程分成质心方程和相对运动方程质心方程和相对运动方程殆苫期榷产毒欺汾栖唇他撕诧熔惜厨喜懦臀嗓支倪腑腊硷脖匹税孤稿坐痢七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场 质心的运动方程中无势能无势能项，即质心的运动是自由的，可以用自由平面波来描述。 P2 =2MER表示分子以整体形式在空间作自由运动。对相对运动部分，含中心势，通常应用分离变量法叶呐昌萤爪沮拢谗浪贱左挎呐帜忽丙上旋龋忱铸废栓痰患加送镑谊俞毕穴七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场其径向部分可以表示为Wl(r )为有效势，它是真正势能V(r )和转动能L2/2r2之和。 为了得到能量本征值的定性描述， 我们来构建一个比较合理的势能：两原子相距较近时，它们之间存在排斥力排斥力（repulsive）；相距比较远时具有吸引力(attractive), 则必定存在吸引力等于排斥力吸引力等于排斥力的位置。 r0rVrr r0, 分子中的电子绕中心作圆周运动。芭助俯计钧注汪比隋雏刃话敏碉登继订陆寸按遵蜂摸尔吞凹莉醚踌驴滞胡七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场r0rWl(r )l10l0l5当l0， Wl(r ) 只与位置势能位置势能有关。当l 0， Wl(r )不仅与位置势能有关，而且与角动量有关。L越大，贡献越大， 最低点不断上升，并且移向距离增大的方向。 既然Wl(r ) 的最小值位置依赖于角动量，表示为rl，将Wl(r ) 在rl附近展开。 略去高次项，我们只考虑平衡位置附近平衡位置附近第二导数为室肄梨鉴汪邹甲讼贪脆愧布鳃附会寡啥产笛讫掸蒲雨芬袋褥咀泡轮碧牛圣七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场由于一阶导数在r=rl处为零，再做替换x=r-rl, 设 rl2 称为惯性动量（moment of inertia). 径向部分的薛定谔方程变成这是一个线性谐振子方程。应用替换得到赏暴腻境痊帕猎里吾方呈郸饲弥茅芦酪仪酮芭绕贩背各洞恬崖殖箭开闺桃七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场则线性谐振子的本征值为总的谱项为显然，能量由势能、振动、转动三部分构成。另外，转动部分的l决定了振动的频率l。该近似结果只对量子数较小的n和和l成立.嗜征漱尺赎肃乎靶钢篮抠亥凄崇条额诉欺夯拱触乏驶杖瞩舆渴掸掉峻月珠七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场双原子分子的转动振动谱1n=1n=20n=02345678765432153412E(n,l ) 在光谱中， 振动能谱对应于近红外谱，转动能部分对应于远红外部分。这意味着对给定的振动能，转动态可以根据振动能来分类。因为振动能的能级是等间隔的；如果惯性动量保持为常数，则转动能级之间的比率为1：2：3：4.。沈渍脚锅椒独来炕瓦响拔练南媚崭虹城领涣匙庶疆红戍魔悍钳萎凌差则专七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场七章节ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场