1第七章第七章 非线性系统非线性系统内容提要内容提要内容提要内容提要7.1 7.1 7.1 7.1 典型非线性特性典型非线性特性典型非线性特性典型非线性特性 7.2 7.2 7.2 7.2 描述函数法描述函数法描述函数法描述函数法7.3 7.3 7.3 7.3 相平面法相平面法相平面法相平面法学习指导与小结学习指导与小结学习指导与小结学习指导与小结 27.1 7.1 典型非线性特性典型非线性特性 前前面面各各章章研研究究的的都都是是线线性性系系统统，或或者者虽虽然然是是非非线线性性系系统统，但但可可进进行行线线性性化化处处理理，从从而而可可视视为为线线性性系系统统。事事实实上上，几几乎乎所所有有的的实实际际控控制制系系统统，都都不不可可避避免免地地带带有有某某种种程程度度的的非非线线性性。系系统统中中只只要要具具有有一一个个非非线线性性环环节节，就就称称为为非非线线性性系系统统。因因此此实实际际的的控控制制系系统统大大都都是是非线性系统。非线性系统。 本本章章将将主主要要讨讨论论关关于于非非线线性性系系统统的的基基本本概概念念，以以及两种基本分析方法：描述函数法和相平面法。及两种基本分析方法：描述函数法和相平面法。 3 在在控控制制系系统统中中，若若控控制制装装置置或或元元件件其其输输入入输输出出间间的的静静特特性性曲曲线线，不不是是一一条条直直线线，则则称称为为非非线线性性特特性性。如如果果这这些些非非线线性性特特性性不不能能采采用用线线性性化化的的方方法法来来处处理理，称称这这类类非非线线性性为为本本质质非非线线性性。为为简简化化对对问问题题的的分分析析，通通常常将将这这些些本本质质非非线线性性特特性性用用简简单单的的折折线线来代替，称为来代替，称为典型非线性特性典型非线性特性。4yxka a0M M 饱和特性在控制系统中是普遍存在的，饱和特性在控制系统中是普遍存在的，放大器及放大器及执行机构受电源电压或功率的限制导致饱和执行机构受电源电压或功率的限制导致饱和。1饱和特性饱和特性7.1.1 7.1.1 典型非线性特性的种类典型非线性特性的种类典型非线性特性的种类典型非线性特性的种类a为线性区宽度，为线性区宽度，k为线性区斜率。为线性区斜率。52死区特性死区特性 yxka a0a为死区范围，为死区范围，k为直线段的斜率。为直线段的斜率。 死区特性一般由测量元件、放大元件、执行元件的死区特性一般由测量元件、放大元件、执行元件的不灵敏区所造成。不灵敏区所造成。 死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但其输出为零其输出为零63. 滞环特性滞环特性 铁磁元件的磁滞、齿轮传动中的齿隙、液压传动铁磁元件的磁滞、齿轮传动中的齿隙、液压传动中的油隙等均属这类特性。中的油隙等均属这类特性。 滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是在输入而是在输入输出曲线上出现闭合环路。又称为间隙输出曲线上出现闭合环路。又称为间隙特性。特性。yx0b ba a74 继电器特性继电器特性yx0ma a a mab b 继电器、接触器、可控硅等电气元件的特性通常继电器、接触器、可控硅等电气元件的特性通常表现为继电特性。表现为继电特性。8实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性。实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性。 yxa a0 bb yx0b b(1) 若若a0，称这种特性为理想继电器特性所示。，称这种特性为理想继电器特性所示。(2) 若若m=1，称为死区继电器特性。，称为死区继电器特性。(3) 若若m= 1，称为滞环继电器特性。，称为滞环继电器特性。 yxa a0 bb特殊情况：特殊情况：9 由由于于上上述述非非线线性性特特性性的的存存在在，与与线线性性系系统统相相比比，非线性系统具有如下特点：非线性系统具有如下特点：（1）稳定性的复杂性。稳定性的复杂性。（2）可能存在自激振荡现象可能存在自激振荡现象 。（3）频率响应。）频率响应。7.1.2 7.1.2 非线性系统的若干特征非线性系统的若干特征非线性系统的若干特征非线性系统的若干特征设设 t = 0，系统的初始状态为，系统的初始状态为 x0 平衡状态：平衡状态： x1=0x2 =110相应的时间响应随初始条件而变。相应的时间响应随初始条件而变。当当x0 1，t lnx0/(x0 1) 时，时，随随 t 增大，增大，x(t) 递增；递增；t = lnx0 /(x0 1) 时，时，x(t)为无穷大。为无穷大。当当x01x00 该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。 当当扰扰动动使使x1时时，因因为为 (1 x2 )1时时，因因为为 (1 x2 )0，系系统统具具有有正正阻阻尼尼，此此时系统消耗能量，时系统消耗能量，x(t)的运动呈收敛形式；的运动呈收敛形式； 而而当当x=1时时，系系统统为为零零阻阻尼尼，系系统统运运动动呈呈等等幅幅振振荡荡形形式式。上上述述分分析析表表明明，系系统统能能克克服服扰扰动动对对x的的影影响响，保保持幅值为持幅值为1的等幅振荡。的等幅振荡。12 所谓所谓自激振荡自激振荡自激振荡自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用是指没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具有固定振幅和频率的时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定稳定稳定稳定周期周期周期周期运运动，简称自振。动，简称自振。 考虑著名的范德波尔方程考虑著名的范德波尔方程 0 该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。 当当扰扰动动使使x1时时，因因为为 (1 x2 )1时时，因因为为 (1 x2 )0，系系统统具具有有正正阻阻尼尼，此此时系统消耗能量，时系统消耗能量，x(t)的运动呈收敛形式；的运动呈收敛形式； 而而当当x=1时时，系系统统为为零零阻阻尼尼，系系统统运运动动呈呈等等幅幅振振荡荡形形式式。上上述述分分析析表表明明，系系统统能能克克服服扰扰动动对对x的的影影响响，保保持幅值为持幅值为1的等幅振荡。的等幅振荡。13 非线性系统对于正弦输入信号的响应非线性系统对于正弦输入信号的响应，除了含有，除了含有与输入同频率的正弦信号分量外，还含有关于与输入同频率的正弦信号分量外，还含有关于的高次的高次谐波分量，使输出波形发生非线性畸变。若系统含有谐波分量，使输出波形发生非线性畸变。若系统含有多值非线性环节，输出的各次谐波分量的幅值还可能多值非线性环节，输出的各次谐波分量的幅值还可能发生跃变。发生跃变。 考虑有名的杜芬方程考虑有名的杜芬方程 x162345 147.1.3 7.1.3 非线性系统的分析方法非线性系统的分析方法非线性系统的分析方法非线性系统的分析方法 到目前为止，非线性系统的研究还缺乏成熟，结论不能像到目前为止，非线性系统的研究还缺乏成熟，结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系统的结构，输入及初线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程上常用的方法有以下几种：始条件等具体情况进行分析。工程上常用的方法有以下几种：（1）小偏差线性化（非本质非线性）小偏差线性化（非本质非线性）（2）描述函数法（本质非线性）描述函数法（本质非线性） 这这是是一一种种频频域域分分析析方方法法，其其实实质质是是应应用用谐谐波波线线性性化化的的方方法法，将将非非线线性性特特性性线线性性化化，然然后后用用频频率率法法的的结结论论来来研研究究非非线线性性系系统统。它它是是线线性性理理论论中中的的频频率率法法在在非非线线性性系系统统中中的的推推广广，这这种种方方法法不不受受系系统阶次的限制。统阶次的限制。（3）相平面法（本质非线性）相平面法（本质非线性） 相平面法是求解一、二阶常微分方程的图解法。通过在相平相平面法是求解一、二阶常微分方程的图解法。通过在相平面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下的解。这面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下的解。这是一种时域分析法，但仅适用于一阶和二阶系统。是一种时域分析法，但仅适用于一阶和二阶系统。 （4）计算机求解法计算机求解法 用用模模拟拟计计算算机机或或数数字字计计算算机机直直接接求求解解非非线线性性微微分分方方程程，对对于于分析和设计复杂的非线性系统是非常有效的方法。分析和设计复杂的非线性系统是非常有效的方法。157.2 描述函数描述函数法法基本思想基本思想基本思想基本思想： 当系统满足一定的假设条件时，系统中非线性环当系统满足一定的假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。这时非线性系统就近似等效为一个线性系统，并数。这时非线性系统就近似等效为一个线性系统，并可应用线性系统理论中的频率法对系统进行频域分析。可应用线性系统理论中的频率法对系统进行频域分析。 描述函数法主要用于分析在无外作用的情况下，描述函数法主要用于分析在无外作用的情况下，非线性系统的非线性系统的稳定性稳定性稳定性稳定性和和自振荡问题自振荡问题自振荡问题自振荡问题。16 1. 描述函数的应用条件描述函数的应用条件（1）非线性系统的结构图可简化成一个非线性环节）非线性系统的结构图可简化成一个非线性环节N 和一个线性部分和一个线性部分G(s)串联的闭环结构。串联的闭环结构。xyNG(s)r(t)=0c(t)（2）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的， 即即 y(x) = y( x)。（3）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。7.2.1 描述函数的描述函数的定义定义172.描述函数的定义描述函数的定义 设系统的非线性环节输入信号是正弦信号设系统的非线性环节输入信号是正弦信号x(t) = Asin t则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏级数级数非线性环节奇对称非线性环节奇对称，则有，则有A0 = 0其中，其中，A0 是直流分量；是直流分量； Ancosnt+Bnsinnt 为为 n次次谐谐波分量；波分量； An、Bn 为傅里叶系数。为傅里叶系数。18 由于在傅氏级数中由于在傅氏级数中n越大，谐波分量的频率越高，越大，谐波分量的频率越高，An, Bn越小。此时若系统又满足第三个条件，则高次谐越小。此时若系统又满足第三个条件，则高次谐波分量又进一步被充分衰减，故可认为非线性环节的波分量又进一步被充分衰减，故可认为非线性环节的稳态输出只含基波分量，即稳态输出只含基波分量，即19类似于线性系统中频率特性的定义，我们把非线性元类似于线性系统中频率特性的定义，我们把非线性元件稳态输出的基波分量与输入正弦信号的复数比定义件稳态输出的基波分量与输入正弦信号的复数比定义为非线性环节的描述函数，用为非线性环节的描述函数，用N(A)来表示。来表示。 由非线性环节描述函数的定义可以看出：由非线性环节描述函数的定义可以看出： (1) 描述函数类似于线性系统中的频率特性，利用描述函数类似于线性系统中的频率特性，利用描述函数的概念便可以把一个非线性元件近似地看作描述函数的概念便可以把一个非线性元件近似地看作一个线性元件，因此又叫做谐波线性化。一个线性元件，因此又叫做谐波线性化。 (2) 描述函数表达了非线性元件对基波正弦量的传描述函数表达了非线性元件对基波正弦量的传递能力。递能力。对于常见非线性特性，描述函数仅是对于常见非线性特性，描述函数仅是A的函的函数，记为数，记为N(A)。207.2.2 描述函数的求法描述函数的求法 （1）首先由非线性静特性曲线，画出正弦信号输首先由非线性静特性曲线，画出正弦信号输入下的输出波形，并写出输出波形入下的输出波形，并写出输出波形y(t)的数学表达式。的数学表达式。 （2）利用傅氏级数求出）利用傅氏级数求出y(t) 的基波分量。的基波分量。 （3）将求得的基波分量代入定义式，即得）将求得的基波分量代入定义式，即得N(A) 。 下面计算几种典型非线性特性的描述函数。下面计算几种典型非线性特性的描述函数。 1. 理想继电器特性理想继电器特性 yx0M M210x t2 特点：特点：1）方波信号）方波信号2）与）与x(t)同周期同周期3）奇函数）奇函数yx0M M y0 tM 2 M22直流分量直流分量为：为：基波余弦分量的系数基波余弦分量的系数 A1为：为：23所以基波分量为所以基波分量为故理想继电器特性的描述函数为故理想继电器特性的描述函数为即即 N(A)的相位角为零度的相位角为零度,幅值是输入正弦信号幅值是输入正弦信号A的函数的函数.基波正弦分量的系数基波正弦分量的系数B1为为：242.饱和特性饱和特性 直流分量与基波余弦分量直流分量与基波余弦分量的系数为零的系数为零A0 = A1= 0，而基，而基波正弦分量的系数波正弦分量的系数B1为为y0x t2 1A a 1x0Mka M M y0 tM 2 1 1 特点：特点：1）与）与x(t)同周期同周期2）奇函数）奇函数25 式中式中1=arctan(a/A)。可得饱和特性的描述函数为可得饱和特性的描述函数为 由上式可见，饱和特性的由上式可见，饱和特性的N(A)也是输入正弦信号幅值也是输入正弦信号幅值A的函数。这说明饱和特性等效于一个变系数的比例环的函数。这说明饱和特性等效于一个变系数的比例环节，当节，当Aa时，比例系数总小于时，比例系数总小于k。26 以上介绍了描述函数的基本求法，对于复杂的非线以上介绍了描述函数的基本求法，对于复杂的非线性特性，完全可以利用这种力法求出其描述函数，但性特性，完全可以利用这种力法求出其描述函数，但计算也复杂得多。此时也可以将复杂的非线件特性分计算也复杂得多。此时也可以将复杂的非线件特性分解为若干个简单非线性特性的组合，即串并联，再由解为若干个简单非线性特性的组合，即串并联，再由已知的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非线已知的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非线件特件的描述函数。件特件的描述函数。7.2.3 组合非线性特性的描述组合非线性特性的描述1非线性特性的并联计算非线性特性的并联计算 设有两个非线性环节并联，且其非线性特性都是设有两个非线性环节并联，且其非线性特性都是单值函数，即它们的描述函数都是实数。单值函数，即它们的描述函数都是实数。27x(t)y1(t)y11(t)N1y12(t)N2 y1(t) = y11(t) + y12(t) = N1Asin t + N2Asin t = (N1+ N2 ) Asin t N = (N1+ N2 ) 总的描述函数总的描述函数 若干个非线性环节并联后的总的若干个非线性环节并联后的总的 描述函数，等于描述函数，等于各非线性环节描述函数之和。当各非线性环节描述函数之和。当N1和和N2是复数时，该是复数时，该结论仍成立。结论仍成立。280M0kxy+xk0My 例例例例7-17-1 一个具有死区的一个具有死区的非线性环节，求描述函数非线性环节，求描述函数N(A)。29 解：该死区非线性特性可分解为解：该死区非线性特性可分解为一个死区继电一个死区继电器特性器特性和和一个典型死区特性一个典型死区特性的并联，描述函数为的并联，描述函数为2非线性特性的串联计算非线性特性的串联计算必须首先求出这两个非线性环节串联后等效的非线性必须首先求出这两个非线性环节串联后等效的非线性特性，然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。特性，然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。x(t)N1y(t)N2z(t)301 20x y 例例7-2 求图所示两个非线性特性串联后总的描述函求图所示两个非线性特性串联后总的描述函数数N(A)。 k1=11 20xz1 20 z yk2=2k=2311 20x yk=232等效为一个死区加饱和的非线性特性，分解为两个具等效为一个死区加饱和的非线性特性，分解为两个具有完全相同的线性区斜率有完全相同的线性区斜率k=2和不同死区宽度和不同死区宽度 1=1及及 2=2的死区特性的并联相减。的死区特性的并联相减。 33 前面介绍了描述函数的定义及其求法。通过描述前面介绍了描述函数的定义及其求法。通过描述函数，一个非线性环节就可看作一个线性环节，而非函数，一个非线性环节就可看作一个线性环节，而非线性系统就近似成了线性系统，于是就可进一步应用线性系统就近似成了线性系统，于是就可进一步应用线性系统的线性系统的频率法频率法进行分析进行分析.7.2.4 用描述函数法分析非线性系统用描述函数法分析非线性系统 这种利用描述函数对非线性系统进行分析的方法这种利用描述函数对非线性系统进行分析的方法称为称为描述函数法描述函数法，这种方法只能用于分析系统的稳定，这种方法只能用于分析系统的稳定性和自振荡。性和自振荡。1. 非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析 假设非线性元件和系统满足上节所要求的描述函假设非线性元件和系统满足上节所要求的描述函数法的应用条件，则非线性环节可以用描述函数数法的应用条件，则非线性环节可以用描述函数N(A)来表示，而线性部分可用传递函来表示，而线性部分可用传递函G(s)或频率特性或频率特性G(j)表示。表示。34x(t)y(t)N (A)G(s)r(t)=0c(t)而闭环系统的特征方程为而闭环系统的特征方程为或或式中式中 1/N(A)叫做非线性特性的负倒描述函数叫做非线性特性的负倒描述函数(负倒特性负倒特性曲线曲线)。由结构图可以得到线性化后的闭环系统的频率特性为由结构图可以得到线性化后的闭环系统的频率特性为35 对比在线性系统分析中应用奈氏判据，当满足对比在线性系统分析中应用奈氏判据，当满足G( j ) = 1时，系统是临界稳定的，即系统是等幅振荡状时，系统是临界稳定的，即系统是等幅振荡状态。显然，态。显然， 1/N(A)相当于线性系统中的相当于线性系统中的( 1, j0)点。点。区别在于，线性系统的临界状态是区别在于，线性系统的临界状态是( 1, j0)。而非线性。而非线性系统的临界状态是系统的临界状态是 1/N(A)曲线。曲线。 综上所述，利用奈氏判据，可以得到非线性系统综上所述，利用奈氏判据，可以得到非线性系统的的稳定性判别稳定性判别稳定性判别稳定性判别方法：方法： 首先求出非线性环节的描述函数首先求出非线性环节的描述函数N(A)，然后在极，然后在极坐标图上分别画出线性部分的坐标图上分别画出线性部分的G( j )曲线和非线性部分曲线和非线性部分的的 1/N(A)曲线，并曲线，并假设假设G(s)的极点均在的极点均在s 左半平面左半平面，则则36 (1) 若若G(s)曲线不包围曲线不包围 1/N(A)曲线，则非线性系曲线，则非线性系统是稳定的。统是稳定的。 (2) 若若G(s)曲线包围曲线包围 1/N(A)曲线，则非线性系统曲线，则非线性系统是不稳定的。是不稳定的。G( j )0Im-1/N(A)ReG( j )0ImRe-1/N(A)37G( j )0ImRe-1/N(A)M2M1 (3) 若若G(s)曲线与曲线与 1/N(A)曲线相交，则在理论上曲线相交，则在理论上将产生等幅振荡或称为自振荡。将产生等幅振荡或称为自振荡。38 例例7-补补 具有具有死区死区继电器特性非线性系继电器特性非线性系统如图所示，试确定统如图所示，试确定使系统稳定的使系统稳定的K的范围的范围。013r(t)=0c(t)39-1/N(A)解：死区继电器特性的负倒描述函数为解：死区继电器特性的负倒描述函数为当当A=1时，时， 1/N(A) = 当当A=时，时， 1/N(A)= 。其极值发生在其极值发生在A=1.414处，处，此时，此时， 1/N(A)= /6。0ImReG( j )M2M140ImG( j )= 0，得得G( j )曲线与负实轴交点处的频率曲线与负实轴交点处的频率 =1.414。将将 =1.414代代入入实实部部，得得该该交交点点为为负负实实轴轴上上 K/3这点。令这点。令解得解得412.自振荡的分析与计算自振荡的分析与计算自振荡的分析与计算自振荡的分析与计算 下面从信号的角度分析自振荡产生的条件。在图示下面从信号的角度分析自振荡产生的条件。在图示非线性系统中，若产生自荡，则意味着系统中有一个非线性系统中，若产生自荡，则意味着系统中有一个正弦信号在流通，不妨设非线性环节的输入信号为正弦信号在流通，不妨设非线性环节的输入信号为x(t)=Asin t则非线性环节输出信号基波分量为则非线性环节输出信号基波分量为y1(t)= N(A) A sin t + N(A)而线性部分的输出信号为而线性部分的输出信号为c(t) = G( j )N(A) Asin t + G( j )+ N(A)根据系统中存在自振荡的假设，根据系统中存在自振荡的假设，r(t)=0，故，故x(t) = c(t)即即 Asin t = G( j )N(A) Asin t + G( j )+ N(A)42所以所以 G( j )N(A) = 1 G( j ) + N(A) = G( j )0ImRe -1/N(A)M2M1dcbaM1点是稳定的自振荡。点是稳定的自振荡。M2是不稳定的振荡点。是不稳定的振荡点。 对于稳定的自振荡，其对于稳定的自振荡，其振幅和频率是确定的，并可振幅和频率是确定的，并可以测量得到。计算时以测量得到。计算时:振幅振幅振幅振幅可由可由 1/ N(A)曲线的自曲线的自变量变量A 的大小来确定，的大小来确定，振荡频率振荡频率振荡频率振荡频率由由G( j )曲线的自曲线的自变量变量 来确定。来确定。43值得注意的是，由前面推导自振荡产生的条件时可知，值得注意的是，由前面推导自振荡产生的条件时可知，对于稳定的自振荡，计算所得到的振幅和频率是非线对于稳定的自振荡，计算所得到的振幅和频率是非线性环节的输入性环节的输入信信号号x(t)=Asin t的振幅和频率，而不是系的振幅和频率，而不是系统的输出信号统的输出信号c(t)。 例例例例7-37-3 具有理想继电器特性非线性系统如图具有理想继电器特性非线性系统如图所示，试确定其自振荡的幅值和频率。所示，试确定其自振荡的幅值和频率。01r(t)=0c(t) 144解：理想继电器特性的描述函数为解：理想继电器特性的描述函数为G( j )0ImRe 1/N(A)求求G( j )与与 1/N(A)曲线的交点。曲线的交点。令令ImG( j ) =0，得，得 =1.414 (rad/s)。Re G( j ) =1.414= 1.66A=2.145013r(t)=0c(t) 例例例例7-47-4 设控制系统的结构图如图所示，图中死区设控制系统的结构图如图所示，图中死区继电器特性的参数为继电器特性的参数为a=1,b=3. (1) 计算自振荡的振幅和频率计算自振荡的振幅和频率. (2) 为消除自振荡，继电器特性参数应如何调整为消除自振荡，继电器特性参数应如何调整.46-1/N(A)解：死区继电器特性的负倒描述函数为解：死区继电器特性的负倒描述函数为当当A=1时，时， 1/N(A) = 当当A=时，时， 1/N(A)= 。其极值发生在其极值发生在A=1.414处，处，此时，此时， 1/N(A)= /6。0ImReG( j )M2M147ImG( j )= 0，得得G( j )曲曲线线与与负负实实轴轴交交点点处处的的频频率率 =1.414。将将 =1.414代代入入实实部部，得得该该交交点点为为负负实实轴轴上上-0.66这点。这点。 令令解解得得A1=1.11及及A2=2.3。不不难难看看出出，A2=2.3为为稳稳定定自自振振荡荡的的幅幅值值。因因此此，系系统统实实际际存存在在的的自自振振荡荡幅幅值值A=2.3，频率频率 =1.414 (rad/s)。 (2) 为为使使系系统统不不产产生生自自振振荡荡，可可通通过过调调整整继继电电器器特特性性的的死死区区参参数数来来实实现现。此此时时，应应使使-1/N(A)的的极极值值小小于于G( j )曲线与负实轴的交点坐标，即曲线与负实轴的交点坐标，即48由此可得由此可得 2.36若若取取= 2，即即调调整整a = 1.5，则则-1/N(A)的的极极值值为为 /4 = 0.785。显显然然，这这时时两两条条曲曲线线不不相相交交，从从而而保保证证系系统统不不产产生生自自振振荡荡。同同样样道道理理，也也可可以以在在不不改改变变继继电电器器特特性性参参数数的的情情况况下下，通通过过减减小小G(j )的的传传递递系系数数，使使G(j )曲线与负实轴的交点右移，使系统减小或消除自振荡。曲线与负实轴的交点右移，使系统减小或消除自振荡。49