1.4空间向量的应用习题课讲课人：邢启强2用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。（化为向量问题）（化为向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形）（回到图形）复习引入复习引入讲课人：邢启强3向量的有关知识：直线的方向向量：与直线平行的非零向量直线的方向向量：与直线平行的非零向量平面的法向量：与平面垂直的向量平面的法向量：与平面垂直的向量两向量数量积的定义：两向量数量积的定义：ab=|a|b|cos两向量夹角公式：两向量夹角公式：cos =复习引入复习引入讲课人：邢启强4夹角问题夹角问题复习引入复习引入讲课人：邢启强51 1、如果平面的一条斜线与它在这个平面、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是上的射影的方向向量分别是a=(1,0,1)a=(1,0,1)，b=b=（0,1,10,1,1），那么这条斜线与平面所成），那么这条斜线与平面所成的角是的角是_ ._ .2 2、已知两平面的法向量分别、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的角，则两平面所成的角为为_ ._ .600450巩固练习巩固练习讲课人：邢启强6例1图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30.已知礼物的质量为1kg,每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8m/s2,精确到0.01N)例题讲评例题讲评分析：因为降落伞匀速下落，所以降落伞分析：因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小力的合力的大小等于礼物重力的大小.8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量.解：设水平面的单位法向量为n,其中每一根绳子的拉力均为F.因为=30,所以F在n上的投影向量为| F|n.所以8根绳子拉力的合力F合=8| F|n=4 |F|n.又因为降落伞匀速下落，所以|F合|=|G礼物|=19.8=9.8(N).所以|4 |F|n|=9.8. 所以|F|= 1.41(N).讲课人：邢启强7例题讲评例题讲评例2.如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(1)求证：PA/平面EDB;(2)求证：PB平面EFD;(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小分析：分析：本题涉及的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，本题涉及的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角，这些问题都可以利用向量方法解决计算两个平面的夹角，这些问题都可以利用向量方法解决.由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题。问题中的几何元素，进而解决问题。讲课人：邢启强8例题讲评例题讲评解：以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设DC=1.讲课人：邢启强9例题讲评例题讲评解：以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设DC=1.讲课人：邢启强10二面角的平面角二面角的平面角如图，设二面角如图，设二面角 的大小为的大小为 其中其中AB 学习新知学习新知DCLBA讲课人：邢启强11 例例1 1：如如图图3 3，甲站在水，甲站在水库库底面上的点底面上的点A A处处，乙站在水乙站在水坝坝斜面上的点斜面上的点B B处处。从。从A A，B B到直到直线线l （库底与水坝的交线）的距离（库底与水坝的交线）的距离ACAC和和BDBD分别为分别为a a和和b ,CDb ,CD的长为的长为c , ABc , AB的长为的长为d d。求库底与水。求库底与水坝所成二面角的余弦值。坝所成二面角的余弦值。 ABCD图图3例题讲评例题讲评讲课人：邢启强12解：解：如图，如图，根据向量的加法法则根据向量的加法法则于是，得于是，得设向量设向量 与与 的夹角为的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。就是库底与水坝所成的二面角。因此因此ABCD图图3 例例1 1：如如图图3 3，甲站在水，甲站在水库库底面上的点底面上的点A A处处, ,乙站在水乙站在水坝坝斜面斜面上的点上的点B B处处. .从从A,BA,B到直到直线线l （库底与水坝的交线）的距离（库底与水坝的交线）的距离ACAC和和BDBD分别为分别为a a和和b ,CDb ,CD的长为的长为c ,ABc ,AB的长为的长为d d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。求库底与水坝所成二面角的余弦值. .所以所以库底与水坝所成二面角的余弦值为库底与水坝所成二面角的余弦值为例题讲评例题讲评讲课人：邢启强13如图，二面角-l-的棱上有两个点A,B,线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l.若AB=4,AC=6,BD=8,CD=2 ,求平面与平面的夹角.巩固练习巩固练习讲课人：邢启强14 如图，如图，6060的二面角的棱上有的二面角的棱上有A A、B B两点，直线两点，直线ACAC、BDBD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直ABAB，已知，已知ABAB4 4，ACAC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的长的长. . BACD 注注:利用本题中的向量关系我们还可以倒过来求二面角的大小利用本题中的向量关系我们还可以倒过来求二面角的大小.巩固练习巩固练习讲课人：邢启强151.PA,PB,PC是从点P出发的三条射线,每两条射线的夹角均为60,那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是( )提高练习提高练习课本第课本第38页第页第2题题讲课人：邢启强16巩固练习巩固练习2.如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,M,N分别是AD,BC的中点，求异面直线AN,CM所成角的余弦值。课本第课本第41页第页第2题题讲课人：邢启强17巩固练习巩固练习2.如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,M,N分别是AD,BC的中点，求异面直线AN,CM所成角的余弦值。方法3放入长方体中建立空间直角坐标系求解课本第课本第41页第页第2题题讲课人：邢启强18巩固练习巩固练习3.如图，ABC和DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD,CBA=DBC=120.求：(1)直线AD与直线BC所成角的大小；(2)直线AD与平面BCD所成角的大小；(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.课本第课本第38页第页第4题题讲课人：邢启强19巩固练习巩固练习3.如图，ABC和DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD,CBA=DBC=120.求：(1)直线AD与直线BC所成角的大小；(2)直线AD与平面BCD所成角的大小；(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.课本第课本第38页第页第4题题讲课人：邢启强20巩固练习巩固练习课本第课本第38页第页第4题题所以平面ABD和平面BDC的夹角余弦值是