知识点整理知识点整理1.1.成轴对称的两个图形全等成轴对称的两个图形全等 2. 2.如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线称点连线的垂直平分线轴对称的性质：轴对称的性质：ACBABCl 3. 3.轴对称图形中的对称线段轴对称图形中的对称线段所在直线的交点在对所在直线的交点在对称轴上或对称线段所在直线互相平行称轴上或对称线段所在直线互相平行4.4.对应点的连线对应点的连线被对称轴垂直平分，对应点连线所在被对称轴垂直平分，对应点连线所在的直线平行或者在一条直线上。的直线平行或者在一条直线上。几何几何语言语言w定理定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的距离相等. .提示:这个结论是经常用来证明两这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一条线段相等的根据之一.中垂线性质w如图，如图，wAO=BO,CDAB,PAO=BO,CDAB,P是是CDCD上任上任意一点意一点( (已知已知) )wAP=BP(AP=BP(线段垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离的点到这条线段两个端点距离相等相等).).PCBADO_如图：如图：CA=CBCA=CB BCEADEA=EBEA=EB_ 连结连结CECE 则则_ 中垂线中垂线性质逆定理性质逆定理w逆定理逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点到一条线段两个端点距离相等的点, ,在在这条线段的垂直平分线上这条线段的垂直平分线上. .点点C C在线段在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上点点E E在线段在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上则则 CECE是线段是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线如图，在边长为如图，在边长为6的菱形的菱形ABCD中，中，DAB=60，点，点E为为AB的中点，点的中点，点F为为AC上一上一动点，求动点，求EF+BF的最小值的最小值 典型例典型例题题EDCABFM.AOBCNMP121 = 2 PM OA PN OBPM=PN 逆定理逆定理：到角两边距离：到角两边距离相等的点的集合是这个相等的点的集合是这个角的平分线角的平分线角平分线上的点到角两边的距离相等角平分线上的点到角两边的距离相等角平分线的性质角平分线的性质例例. 某中学师生参加劳动，其中四个班分别某中学师生参加劳动，其中四个班分别 在在 M、N 两处，另外四个班分别在道路两处，另外四个班分别在道路 AB、AC 两处，现要在道路两处，现要在道路AB、AC 的的 交叉区设交叉区设 一个荼水供应点一个荼水供应点P , 使使P点到两点到两 条道路条道路 的距离相等，并且使的距离相等，并且使 PM = PN， 请你找出请你找出 供应点供应点 P 的位置的位置, 并说明理由并说明理由. ABCMNPDE1. 等腰三角形是轴对称图形（对称轴是？）等腰三角形是轴对称图形（对称轴是？）3. 等腰三角形等腰三角形顶角的顶角的平分线、平分线、底边底边 上的上的中线、中线、底边上的底边上的高高互相重合互相重合2. 等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的性质等腰三角形的性质: :等边对等角等边对等角三线合一三线合一4. 等等边边三三角角形形三三边边相相等等，三三个个内内角角相相等等内内角角都都相等，并且每一个内角都等于相等，并且每一个内角都等于60o.直角三角形的斜边中线等于斜边的一半直角三角形的斜边中线等于斜边的一半.AD = BD CD = ABACB = 9012DABC 直角三角形中，直角三角形中，30角所对的角所对的直角边等于斜边的一半直角边等于斜边的一半.BACA = 30AB = 2BCC = 90 1. 三条边都相等的三角形是等边三角形三条边都相等的三角形是等边三角形. 3. 有一个角是有一个角是60的等腰三角形是等边的等腰三角形是等边 三角形三角形. 2. 三个角都相等的三角形三个角都相等的三角形 是等边三角形是等边三角形.等边三角形的判定等边三角形的判定ABCAB = BC = AC等边等边ABCA =B =C等边等边ABCAB = ACA = 60o等边等边ABC第二章第二章 勾股定理与平方根勾股定理与平方根知识点整理知识点整理勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 a = cb b = ca acbc = a + b勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a、b、c满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.34532 + 42 = 52例.求证: m2n2，m2n2，2mn(mn， m，n是正整数)是直角三角形的三条边长. 例、ABC三边a、b、c为边向外作正方形，若S1 + S2 = S3成立，则是直角三角形吗？AbcS1 S2 S3 AbcS1 S2 S3 AbcS2 S3 S1 1.平方根平方根 如果一个数的平方等于如果一个数的平方等于 a (a 0)那么这个数叫做那么这个数叫做 a 的平方根的平方根(二次方根二次方根)如：如：32 = 93是是 9 的平方根的平方根3是是 9 的平方根的平方根 9 的平方根是的平方根是 3你能说出下列各数的平方根吗？你能说出下列各数的平方根吗？16的平方根是的平方根是_; 0的平方根是的平方根是_;-25的平方根是的平方根是_.40 0不存在不存在(3)2 = 92.平方根意义平方根意义一个一个正数正数有有两个两个平方根，它们互为平方根，它们互为相反数相反数； 0 只有只有一个一个平方根，它是平方根，它是 0 本身；本身； 负数负数没有没有平方根平方根.3.平方根的表示方法平方根的表示方法正数正数 a 的平方根表示为：的平方根表示为：9 的平方根是的平方根是3，即，即如如2的平方根表示为的平方根表示为2如如5的平方根表示为的平方根表示为525的平方根表示为的平方根表示为25= = 5 54.4.算术平方根算术平方根(a 0)(a 0)且且 0 的算术平方根还是的算术平方根还是0， 正数正数 a 的正的平方根叫做的正的平方根叫做a的算术平方根的算术平方根.表示为：表示为： a5. 5. 、 、 (a 0)(a 0)的意义的意义aa a- -aa- -a a的算术平方根的算术平方根a的负的平方根的负的平方根a的平方根的平方根1. 立方根：立方根： 如果一个数的立方等于如果一个数的立方等于a，那，那么这个数叫做么这个数叫做 a 的立方根的立方根.如如: 23 = 8 2是是8的立方根的立方根 (-2)3 = - 8-2是是-8的立方根的立方根03 = 0 0是是0的立方根的立方根2. 立方根的意义：立方根的意义： 正数有一个正的立方根；负数正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；有一个负的立方根； 0 的立方根是的立方根是0.3. 立方根的表示方法：立方根的表示方法：a 的立方根表示为的立方根表示为3a被开方数被开方数根指数根指数用式子表示下列各数的立方根用式子表示下列各数的立方根 (1) 27 (2) 64 (3) 0 (1) = 3(2)= -4(3)= 0平方根与立方根平方根与立方根例题例题已知已知 ，求求 的值的值x = 3x = 3 y = -2y = -2当当x = 3，y = -2时时= (-2)= (-2) = = -8-8解：解：无限不循环小数无限不循环小数无理数：无理数：(1) 开方开不尽的数开方开不尽的数.如如(2) 常数常数； (3) 0.101001；(4)无理数与有理数的和、差、无理数与有理数的和、差、 无理数乘无理数乘 以或除以一个不以或除以一个不 为为 0 的有理数都是无理数的有理数都是无理数.实数实数有理数和无理数有理数和无理数正无理数正无理数负无理数负无理数有理数有理数正有理数正有理数零零负有理数负有理数有限小数或有限小数或无限循环小数无限循环小数实实数数无理数无理数无限不循环小数无限不循环小数 实数的相反数、倒数、绝对值实数的相反数、倒数、绝对值实数实数 a 的相反数是的相反数是a的相反数是的相反数是实数实数 a 的倒数是的倒数是a1(a0)的倒数是的倒数是实数实数a的绝对值：的绝对值：=-aa(a0)(a0)a在实数范围内分解因式在实数范围内分解因式 (3) x4 45x2 2 + 6= (x2 22) (x2 23)(4) a2 + 2a1a a2 2+2a+_= (a+_)+2a+_= (a+_)2 21 11 1= a2 + 2a + 12= (a+1)2 2 对一个近似数，从左面第一个不是第一个不是 0 的数字起，到末位数字末位数字止，所有所有的数字都称为这个近似数的有效数字有效数字.有效数字有效数字0.3140.03140.03140有有3个有效数字个有效数字有有3个有效数字个有效数字有有4个有效数字个有效数字精确到千分位精确到千分位精确到万分位精确到万分位精确到十万分位精确到十万分位 有效数字的个数越多，这个数字精确度就越高；具体精确到哪一位要看准最后一个有效数字所在的数位.近似数的精确度有两种形式(1)精确到某位精确到某位(2)保留多少个有效数字保留多少个有效数字第三章第三章 中心对称图形中心对称图形知识点整理知识点整理OBAB/ /A/ /BABACCO 在平面内，把一个在平面内，把一个图形图形绕绕一个一个定点，定点，沿某个沿某个方向转动方向转动一一个个角度角度，像这样的图形变换称，像这样的图形变换称作作旋转旋转(Circumrotation). (Circumrotation). B BOA 认识旋转认识旋转 这个定点称为这个定点称为旋转中心旋转中心， 旋转的概念旋转的概念 旋转的三要素旋转的三要素: :旋转中心旋转中心, ,旋转方向旋转方向, ,旋转角度旋转角度. .所转动的角称为所转动的角称为旋转角旋转角. .DEABFCO 探究活动探究活动 问题：问题：旋转前后的图形全等旋转前后的图形全等; ;对应点到旋转中心的距离相等对应点到旋转中心的距离相等; ;对应点与旋转中心连线段的夹角等于旋转角对应点与旋转中心连线段的夹角等于旋转角. .旋转的性质：旋转的性质：1.1.在图形的旋转过程中在图形的旋转过程中, ,哪些发生了改变哪些发生了改变? ?哪些没有发生哪些没有发生 改变改变? ?2.2.分别连结对应点分别连结对应点A A、D D与旋转中心与旋转中心O O，量一量线段，量一量线段OAOA与与 线段线段OD,OD,它们有什么关系它们有什么关系? ?任意找一对对应点任意找一对对应点, ,量一下量一下 它们与旋转中心的连线段，你能发现什么规律它们与旋转中心的连线段，你能发现什么规律? ?3.3.量一下量一下AODAOD的度数，再任意找几对对应点，分别量的度数，再任意找几对对应点，分别量 一下对应点与旋转中心连线段的度数，你又能发现一下对应点与旋转中心连线段的度数，你又能发现 什么规律？什么规律？把一个图形绕某一点旋转1800,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这点对称,也称这两个图形成中心对称,这个点叫做对称中心,两个图形中的对应点叫做对称点.中心对称与轴对称有一个对称中心点有一条对称轴直线图形沿对称轴翻折180翻折后与另一图形重合图形绕中心旋转180旋转后与另一图形重合都是两个图形的形状和位置的特殊关系 类 比对称点的连线被对称轴垂直平分对称点的连线经过对称中心,且被对称中心平分 练 一 练（1）画已知点A关于点O的对称点；1.根据下列要求画出图形.（2）画已知线段AB关于点O的对称线段；（3）画已知ABC关于点O的对称三角形.AAOBBCC找对称顶点平行四边形平行四边形边边平行四边形的对边平行平行四边形的对边平行平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等角角平行四边形的对角相等，平行四边形的对角相等，邻角互补邻角互补对角线对角线 平行四边形的对角线平行四边形的对角线 互相平分互相平分( (中心对称图形中心对称图形, ,对称中心是对对称中心是对角线的交点角线的交点) )性质：性质：从边来判定从边来判定1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形、两组对边分别相等的四边形是平行四边形3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形从角来判定从角来判定两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形从对角线来判定从对角线来判定两条对角线互相平分的四边形是平行四边形两条对角线互相平分的四边形是平行四边形理一理理一理平行四边形的判定方法平行四边形的判定方法边对角线角ABCDO矩形对边平行且相等；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且平分；有一个角是直角的平行四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形 。（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）有三个角是直角的四边形是矩形 。方法1：方法2：方法3：有一组有一组邻边邻边相等的相等的平行四边形平行四边形叫做菱形叫做菱形. .菱形的定义：菱形的定义：菱形的性质：菱形的性质：边边对角线对角线角角菱菱形形的的性性质质菱形的两条对角线互相平分菱形的两条对角线互相平分菱形的两组对边分别平行菱形的两组对边分别平行菱形的四条边相等菱形的四条边相等菱形的两组对角分别相等菱形的两组对角分别相等菱形的邻角互补菱形的邻角互补菱形的两条对角线菱形的两条对角线互相垂直互相垂直且平分，且平分，每一条每一条对角线平分一组对角对角线平分一组对角。既是中心既是中心对称图形，对称图形，又是轴对又是轴对称图形称图形归纳归纳菱形的判定方法：菱形的判定方法：有一组有一组邻边邻边相等的相等的平行四边形平行四边形是菱形是菱形. .对角线对角线互相互相垂直垂直的的平行四边形平行四边形是菱形是菱形. .有四条有四条边相等的四边形边相等的四边形是菱形是菱形. .正方形的特征：1.具有平行四边形的一切特征 两组对边平行且相等,两组对角相等,对角线互相平分2.具有矩形的一切特征 四个角都是直角,对角线相等3.具有菱形的一切特征 四条边都相等,对角线互相垂直且分别平分4.既是中心对称图形,又是轴对称图形,有四条对称轴OABCD(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 定义法菱形法矩形法有一个角是直角的菱形是正方形。有一组邻边相等的矩形是正方形。一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形1.梯形的定义直角梯形：有一个角是直角的梯形。等腰梯形：两腰相等的梯形。(1)等腰梯形是轴对称图形，上、下底的中点所确定的直线是对称轴2.等腰梯形的性质(2)等腰梯形在同一底上的两个内角相等.性质定理1.等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等。ABCD已知：梯形ABCD， ADBC，AB=CD求证：ABC=DCBBAD=CDA证明：过点D作DEAB交BC于点EE性质定理2:等腰梯形的两条对角线相等。ABCD已知：梯形ABCD， ADBC，AB=CD求证：AC=BD