第六章用有限单元法解平面问题例题例题第十一节第十一节 应用变分原理导出有限单元法的基本方程应用变分原理导出有限单元法的基本方程 第十节第十节 计算实例计算实例 第九节第九节 计算成果的整理计算成果的整理 第八节第八节 解题的具体步骤解题的具体步骤 单元的划分单元的划分第七节第七节 结构的整体分析结点平衡方程组结构的整体分析结点平衡方程组习题的提示与答案习题的提示与答案教学参考资料教学参考资料第六章用有限单元法解平面问题第六章第六章 用有限单元法解平面问题用有限单元法解平面问题1.有限元法有限元法（FiniteElementMethod）FEM2.FEM的特点的特点概述概述（1 1）具有）具有通用性和灵活性通用性和灵活性。首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用 分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。简称简称FEM，是弹性力学的一种是弹性力学的一种近似解法。近似解法。第六章用有限单元法解平面问题简史3.FEM简史简史 （2 2）对同一类问题，可以编制出）对同一类问题，可以编制出通用程序通用程序，应用计算机进行计算。应用计算机进行计算。 （3 3）只要适当加密网格，就可以达到工程）只要适当加密网格，就可以达到工程要求的精度。要求的精度。 1943 1943年柯朗第一次提出了年柯朗第一次提出了FEMFEM的概念。的概念。 FEM FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展是上世纪中期才出现，并得到迅速发展 和广泛应用的一种数值解法。和广泛应用的一种数值解法。 第六章用有限单元法解平面问题 1970 1970年后，年后，FEMFEM被引入我国，并很快地得到应被引入我国，并很快地得到应用和发展。用和发展。简史 1956 1956年，特纳等人提出了年，特纳等人提出了FEMFEM。2020世纪世纪5050年代，平面问题的年代，平面问题的FEMFEM建立，并应用建立，并应用于工程问题。于工程问题。 1960 1960年提出了年提出了FEMFEM的名称。的名称。 20 20世纪世纪6060年代后，年代后，FEMFEM应用于各种力学问题和应用于各种力学问题和非线性问题，并得到迅速发展。非线性问题，并得到迅速发展。第六章用有限单元法解平面问题导出方法5.5.本章介绍平面问题的本章介绍平面问题的FEMFEM 4.FEMFEM的主要导出方法的主要导出方法应用静力方法或变分方法导出。应用静力方法或变分方法导出。仅叙述按位移求解的方法。仅叙述按位移求解的方法。且一般都以平面应力问题来表示。且一般都以平面应力问题来表示。第六章用有限单元法解平面问题6-1 基本量和基本方程的基本量和基本方程的 矩矩阵表示表示 本章无特别指明，均表示为本章无特别指明，均表示为平面应力平面应力 问题问题的公式。的公式。 采用采用矩阵表示矩阵表示, ,可使公式统一、简洁，可使公式统一、简洁， 且便于编制程序。且便于编制程序。第六章用有限单元法解平面问题基本物理量基本物理量： 体力体力: :基本物理量位移函数位移函数:应变应变:应力应力:结点位移列阵结点位移列阵:结点力列阵结点力列阵: :面力面力: :第六章用有限单元法解平面问题 物理方程物理方程: FEM中应用的方程：中应用的方程： 几何方程几何方程:应用的方程其中其中D D为弹性矩阵，对于平面应力问题是为弹性矩阵，对于平面应力问题是: :第六章用有限单元法解平面问题-结点虚位移点虚位移; ; - -对应的虚的虚应变。应用的方程ij虚功方程虚功方程:其中其中: : 在在FEMFEM中，用结点的平衡方程代替平衡中，用结点的平衡方程代替平衡微分方程，后者不再列出。微分方程，后者不再列出。第六章用有限单元法解平面问题 3. 3.整体分析。整体分析。 6-2 6-2 有限有限单元法的概念元法的概念 FEMFEM的概念，可以简述为：的概念，可以简述为：采用有限自由度采用有限自由度 的离散单元组合体模型去描述实际具有无限自由的离散单元组合体模型去描述实际具有无限自由 度的考察体，是一种在力学模型上进行近似的数度的考察体，是一种在力学模型上进行近似的数 值计算方法。值计算方法。 其理论基础是分片插值技术与变分原理。其理论基础是分片插值技术与变分原理。 FEM的概念1.1.将连续体变换为离散化结构；将连续体变换为离散化结构； 2.2.单元分析；单元分析； FEMFEM的分析过程：的分析过程：第六章用有限单元法解平面问题结构力学研究的构力学研究的对象象是是离散化结构离散化结构。如桁架，。如桁架， 各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联 系（图（系（图（a a）。）。弹力研究的对象弹力研究的对象，是，是连续体连续体（图（图（b b）) )。结构离散化1. 结构离散化结构离散化将连续体变换为离散化结构将连续体变换为离散化结构第六章用有限单元法解平面问题将将连续体体变换为离散化离散化结构构（图（图（c c）：）： 即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元， 并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构 成所谓成所谓离散化结构离散化结构。结构离散化第六章用有限单元法解平面问题图（图（c c）与图）与图( ( a a）相比，两者都是离散）相比，两者都是离散 化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而 图（图（c c）的单元是三角形块体（注意：三角）的单元是三角形块体（注意：三角 形单元内部仍是连续体）。形单元内部仍是连续体）。结构离散化例如例如：将深梁划分为许多三角形单元，这将深梁划分为许多三角形单元，这 些单元仅在角点用些单元仅在角点用铰铰连接起来。连接起来。第六章用有限单元法解平面问题2.2.单元分析单元分析 求解方法 每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、各向同性的完全弹性体。因单元内各向同性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体，部仍是连续体，应按弹性力学方法进行分析。应按弹性力学方法进行分析。 取各结点位移取各结点位移 为基本未为基本未知量知量。然后对每个单元。然后对每个单元, ,分别求出各物理量分别求出各物理量, ,并均用并均用 来表示。来表示。 第六章用有限单元法解平面问题（1）应用插值公式应用插值公式, 由单元结点位移由单元结点位移 ，求单元的位移函数，求单元的位移函数求解方法这个插值公式称为单元的这个插值公式称为单元的位移模式位移模式，为：，为： 单元分析的主要内容：单元分析的主要内容： 第六章用有限单元法解平面问题（4 4）应用虚功方程，由单元的应力）应用虚功方程，由单元的应力 ， 求出求出单元的结点力单元的结点力，表示为，表示为 （3 3）应用物理方程，由单元的应变）应用物理方程，由单元的应变 ， 求出求出单元的应力单元的应力，表示为，表示为 （2 2）应用用几何方程，由单元的位移函数几何方程，由单元的位移函数d d，求出，求出单元的应变单元的应变，表示为，表示为求解方法第六章用有限单元法解平面问题单元对结点的单元对结点的 作用力，与作用力，与 数数 值相同值相同, ,方向相反，方向相反， 作用于结点。作用于结点。-结点点对单元的作用力，作用元的作用力，作用 于于单元，称元，称为结点力，以正点力，以正标向向为正。正。求解方法第六章用有限单元法解平面问题（5 5）将每一单元中的各种外荷载，按虚）将每一单元中的各种外荷载，按虚功功等效原等效原则移置到移置到结点上，化点上，化为结点荷结点荷载，表示为表示为求解方法第六章用有限单元法解平面问题为已知值为已知值, , 是用结点位移表示的值。是用结点位移表示的值。 通过求解联立方程，得出各结点位移值，从而求通过求解联立方程，得出各结点位移值，从而求出各单元的应变和应力。出各单元的应变和应力。 各单位移置到各单位移置到i i 结点上的结点荷载结点上的结点荷载 其中其中 表示对围绕表示对围绕i i 结点的单元求和；结点的单元求和；求解方法3.3.整体分析整体分析各单元对各单元对i i 结点的结点力结点的结点力 作用于结点作用于结点i i上的力有：上的力有： 第六章用有限单元法解平面问题求解方法 3.3.整体分析整体分析 2.2.对单元进行分析对单元进行分析 1.1.将连续体变换为离散化结构将连续体变换为离散化结构 归纳起来，归纳起来，FEMFEM分析的主要步骤分析的主要步骤： （1 1）单元的位移模式）单元的位移模式（2 2）单元的应变列阵）单元的应变列阵（4 4）单元的结点力列阵）单元的结点力列阵（5 5）单元的等效结点荷载列阵）单元的等效结点荷载列阵建立结点平衡方程组，求解各结点的位移。建立结点平衡方程组，求解各结点的位移。（3 3）单元的应力列阵）单元的应力列阵第六章用有限单元法解平面问题思考题1.1.桁架的桁架的单元元为杆件，而平面体的杆件，而平面体的单元元为三角三角形形块体，在三角形内仍是作为连续体来分析的。块体，在三角形内仍是作为连续体来分析的。前者可用结构力学方法求解，后者只能用弹性前者可用结构力学方法求解，后者只能用弹性力学方法求解，为什么？力学方法求解，为什么？2. 2. 在平面问题中，是否也可以考虑其它的单在平面问题中，是否也可以考虑其它的单 元形状，如四边形单元？元形状，如四边形单元？第六章用有限单元法解平面问题应用插值公式，可由应用插值公式，可由 求出位移求出位移 。首先必须解决：首先必须解决：由由单元的结点位移单元的结点位移 来求出单元的位移函数来求出单元的位移函数FEMFEM是取结点位移是取结点位移 为基本未知数的。问为基本未知数的。问题是如何求应变、应力。题是如何求应变、应力。这个插值公式表示了单元中位移的分布形式，这个插值公式表示了单元中位移的分布形式，因此称为因此称为位移模式位移模式。6-3 单元的位移模式与单元的位移模式与 解答的收敛性解答的收敛性 位移模式第六章用有限单元法解平面问题插值公式（插值公式（a a）在结点）在结点 应等于结应等于结点位移值点位移值 。由此可求出。由此可求出 泰勒级数展开式中，低次幂项是最重要的。泰勒级数展开式中，低次幂项是最重要的。所以所以三角形单元的位移模式三角形单元的位移模式，可取为：，可取为：三角形单元（a a）第六章用有限单元法解平面问题将式（将式（a a）按未知数）按未知数 归纳为归纳为: :其中其中 包含包含 三角形单元或用矩阵表示为或用矩阵表示为: :（b b）第六章用有限单元法解平面问题N 称为形（态）函数矩阵。称为形（态）函数矩阵。三角形单元（c c）第六章用有限单元法解平面问题A A为三角形为三角形 的面积（图示坐标系中，的面积（图示坐标系中， 按逆时针编号），有：按逆时针编号），有：其中其中: :三角形单元第六章用有限单元法解平面问题 三三结点三角形点三角形单元的位移模式，略去了元的位移模式，略去了2 2次次以以上的项，因而其上的项，因而其误差量级是误差量级是 且其中只且其中只包含包含了了 的的1 1次项，所以在单元中次项，所以在单元中 的分的分布如图布如图 （a a）所示，）所示， 的分布如图（的分布如图（b b）、（）、（c c）所示。）所示。 三角形单元(a)(b)(c)1第六章用有限单元法解平面问题所以当单元趋于很小时，即所以当单元趋于很小时，即 时，为了使时，为了使FEMFEM之解逼近于真解。则为了之解逼近于真解。则为了保保证证FEMFEM收敛性收敛性, ,位移模式应满足下列条件：位移模式应满足下列条件： FEMFEM中以后的一系列工作，都是以位移中以后的一系列工作，都是以位移 模式为基础的。模式为基础的。收敛性条件第六章用有限单元法解平面问题因为当单元因为当单元 时，单元中的位移和时，单元中的位移和应变都趋近于基本量应变都趋近于基本量刚体位移和常量刚体位移和常量位移。位移。 （1 1）位移模式必须能反映单元的刚体位移。）位移模式必须能反映单元的刚体位移。收敛性条件（2 2）位移模式必须能反映单元的常量应变。）位移模式必须能反映单元的常量应变。第六章用有限单元法解平面问题收敛性条件可见刚体位移项在式（可见刚体位移项在式（a a）中均已反映。）中均已反映。 与刚体位移相比，与刚体位移相比， 将式（将式（a a）写成）写成 第六章用有限单元法解平面问题（3 3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。位移模式应尽可能反映位移的连续性。 即应尽可能反映原连续体的位移连续即应尽可能反映原连续体的位移连续 性。在三角形单元内部，位移为连续；在两性。在三角形单元内部，位移为连续；在两单元边界单元边界ijij 上，上， 之间均为线性变化，之间均为线性变化，也为连续。也为连续。 对式（对式（a a）求应变，得：）求应变，得：收敛性条件可见常量应变也已反映。可见常量应变也已反映。 第六章用有限单元法解平面问题 （1）和（）和（2）是必要条件，）是必要条件，而加上（而加上（3）就为充分条件。）就为充分条件。收敛性条件 为了保证为了保证FEM的收敛性：的收敛性：第六章用有限单元法解平面问题思考题1.1.应用泰勒级数公式来选取位移模式，为什么应用泰勒级数公式来选取位移模式，为什么必须从低次项开始选取？必须从低次项开始选取？ 2.2.试考虑：将结构力学解法引入到求解连续体的试考虑：将结构力学解法引入到求解连续体的问题时，位移模式的建立是一个关键性工作，问题时，位移模式的建立是一个关键性工作，它使得单元它使得单元( (连续体连续体) )内部的分析工作都有可能内部的分析工作都有可能进行了。进行了。 第六章用有限单元法解平面问题6-4 6-4 单元的元的应变列列阵和和应力列力列阵 位移函数其中， 单元中的位移函数单元中的位移函数用位移模式表示为第六章用有限单元法解平面问题应用应用几何方程几何方程，求出，求出单元的应变列阵：单元的应变列阵： 应变第六章用有限单元法解平面问题应变S称为应力转换矩阵应力转换矩阵，写成分块形式为再应用物理方程，求出单元的应力列阵：B称为应变矩阵应变矩阵，用分块矩阵表示，第六章用有限单元法解平面问题对于线性位移模式，求导后得到的应变和对于线性位移模式，求导后得到的应变和应力，均成为常量，因此，称为应力，均成为常量，因此，称为常应变（应力）常应变（应力）单元单元。应变和应力的误差量级是。应变和应力的误差量级是 其精度比其精度比位移低一阶，且相邻单元的应力是跳跃式的。位移低一阶，且相邻单元的应力是跳跃式的。应力第六章用有限单元法解平面问题思考题1.1.如果在位移模式中取到泰勒级数中的二如果在位移模式中取到泰勒级数中的二次幂项，略去次幂项，略去 高阶小量，试考虑位移、高阶小量，试考虑位移、应变和应力的误差量级。应变和应力的误差量级。第六章用有限单元法解平面问题6-5 6-5 单元的元的结点力列点力列阵与与劲度矩度矩阵 现在来考现在来考虑其中一个单虑其中一个单元：元：模型 在在FEMFEM中，首先将中，首先将连续体变换为离散化连续体变换为离散化结构的模型。结构的模型。第六章用有限单元法解平面问题（2 2）单元与周围的单元在边界上已没有联）单元与周围的单元在边界上已没有联 系，只在结点系，只在结点 互相联系。互相联系。 （1 1）将作用于）将作用于单元上的各种外荷载单元上的各种外荷载，按静，按静 力等效原则移置到结点上去，力等效原则移置到结点上去，化为等化为等 效结点荷载。效结点荷载。故单元内已没有外荷载。故单元内已没有外荷载。第六章用有限单元法解平面问题假想将单元与结点假想将单元与结点i i 切开，则：切开，则： 其数值与其数值与 相同，而方向相反。相同，而方向相反。结点力以沿正坐标向为正。以沿正坐标向为正。对单元而言，这是作对单元而言，这是作 用于单元上的用于单元上的“外力外力”。 结点作用于单元上的力结点作用于单元上的力，称为结点力结点力，单元作用于结点的力，单元作用于结点的力，为：为：第六章用有限单元法解平面问题按虚功方程，在虚位移上，外力的虚外力的虚功等于应力的虚功功等于应力的虚功。结点力而其内部有应力作用， 考察已与结点切开后的单元 ，则此单元上作用有外力结点力 ，应用虚功方程，求单元的结点力：第六章用有限单元法解平面问题假设发生一组假设发生一组结点虚位移结点虚位移 则单元内任则单元内任一点（一点（x x, ,y y）的虚位移为）的虚位移为 单元内单元内 任一点（任一点（x x, ,y y）的虚应变为）的虚应变为 代入虚代入虚 功方程：在单元中，功方程：在单元中，外力（结点力外力（结点力 ）在虚）在虚 位移（结点虚位移位移（结点虚位移 ）上的虚功，等于应）上的虚功，等于应 力力 在虚应变在虚应变 上的虚功，上的虚功，即：即： 虚功方程第六章用有限单元法解平面问题其中其中 与与 无关，故式无关，故式(a) (a) 成为成为 式式( (b b) )是是由应力求结点力的一般公式由应力求结点力的一般公式。 因为因为 是独立的任意的虚位移，虚是独立的任意的虚位移，虚功方程对任意的功方程对任意的 均应满足，可得出均应满足，可得出 代入代入 (b)第六章用有限单元法解平面问题式（式（c c）是）是由结点位移求结点力的一般公式，由结点位移求结点力的一般公式， 称为单元的劲度矩阵称为单元的劲度矩阵 K其中：其中： 再将应力公式代入上式，得再将应力公式代入上式，得 单元劲度矩阵（c）（d）第六章用有限单元法解平面问题对于三角形单元，对于三角形单元，B B 矩阵内均为常数，矩阵内均为常数， 有有 代入代入 B B，D D，得出，得出 k k 如书中（如书中（6-376-37）及）及（6-386-38）所示。）所示。第六章用有限单元法解平面问题（1 1） 是是6 66 6的方阵，的方阵， 中每一个元素都表示中每一个元素都表示 单元各结点沿坐标方向发生单位位移时所单元各结点沿坐标方向发生单位位移时所 引起的结点力。引起的结点力。（2 2）由反力互等定理，）由反力互等定理， 所以所以 是对称是对称 矩阵，以对角线为对称轴。矩阵，以对角线为对称轴。单元劲度矩阵单元劲度矩阵k k的性质的性质：（3 3）当单元作刚体平移时，如）当单元作刚体平移时，如 三角形内不产生应力和应变，结点力也为三角形内不产生应力和应变，结点力也为0 0。第六章用有限单元法解平面问题（4 4）由（）由（3 3）可导出行列式）可导出行列式 。（5 5） 的元素与的元素与 单元的形状和方位等单元的形状和方位等 有关，但与单元的大小和刚体的平动以及作有关，但与单元的大小和刚体的平动以及作 度转动无关。度转动无关。即有：即有： 中每一行（或列）的元素之和为零（其中每一行（或列）的元素之和为零（其中第中第1 1、3 3、5 5元素之和或元素之和或2 2、4 4、6 6元素之和也为元素之和也为0 0）。）。第六章用有限单元法解平面问题 （书中P.117页），以直角三角形单元为例，计算了应力转换矩阵S和单元劲度矩阵 。 从例题中可以看出，将单元边界上的应力向结点移置，化为作用于结点上的力，正好就是结点力。在FEM中，单元边界之间的联系和相互作用力，都向结点简化，归结成为结点的铰结和结点力。思考题例题试求出书中例题的位移模式。第六章用有限单元法解平面问题6 66 6荷荷载向向结点移置点移置 单元的元的结点荷点荷载列列阵 在FEM中，须将作用于单元中的外荷载向结点移置，化为等效结点荷载等效结点荷载，第六章用有限单元法解平面问题（2）变形体静力等效原则变形体静力等效原则在任意的虚位移上，使原荷载与移置荷载的虚功相等。1 1、等效原则等效原则 （1）刚体静力等效原则刚体静力等效原则使原荷载与移置荷载的主矢量以及对同一点的主矩也相同。移置原则刚体静力等效原则只从运动效应来考虑，得出移置荷载不是唯一的解；变形体的静力等效原则考虑了变形效应，在一定的位移模式下，其结果是唯一的，且也满足了前者条件的。所以在FEM中，采用变形体的静力等效原则。第六章用有限单元法解平面问题 假设发生一组结点虚位移 ，则点的 虚位移为 。使移置荷载的虚功等 于原荷载的虚功：2 2、集中力的移置公式集中力的移置公式 原荷载 作用于单元中任一 点 为单位厚度上的作用力；移置荷载 作用于结点 集中力第六章用有限单元法解平面问题3、单元边界单元边界 上面力上面力 的移置公式的移置公式 应用式 ，将 代之为 并在边界 上积分，得:对于任意的虚位移 ，虚功方程都 必须满足，得：面力第六章用有限单元法解平面问题应用式 ，将 代之为 并对单 元域A 积分，得 4 4、单元内体力、单元内体力 的移置公式的移置公式体力 当位移模式为线性函数时，由虚功方程得出的移置荷载，与按刚体静力等效原则得出的结点荷载相同。第六章用有限单元法解平面问题思考题1.试导出书中例题的荷载移置公式。第六章用有限单元法解平面问题 在单元分析中，从单元的结点位移求位移分布求应变求应力求结点力，为单元的内力分析；外荷载移置到结点荷载，为单元的外力分析。 6 67 7结构的整体分析构的整体分析 结点平衡方程组结点平衡方程组 假设将结点i与周围的单元切开，则围绕i结 点的每个单元对i 结点有结点力( ）的作用,也有外荷载移置的结点荷载（ ）的作用。下面考虑整体分析整体分析。第六章用有限单元法解平面问题对某一个单元，其中是对围绕i 结点的单元求和。i 结点的平衡条件结点的平衡条件为结点平衡条件第六章用有限单元法解平面问题 是单元结点的局部编号； 是整体结点的整体编号。 代入式，可表示为将式 按整体结点编号排列，得整个结构的平衡方程组。 第六章用有限单元法解平面问题考虑结构的约束条件后，从式考虑结构的约束条件后，从式 求出求出 ，就可以求出各单元的位移和应力。，就可以求出各单元的位移和应力。整体结点位移列整体结点位移列阵，阵， 整体整体结点荷点荷载列列阵，阵， 整体整体劲度矩度矩阵。 结点平衡方程组第六章用有限单元法解平面问题例2例1列出图示结构i 结点的平衡条件。（见书中P.121）第六章用有限单元法解平面问题有限单元法的具体计算步骤：有限单元法的具体计算步骤：6 68 8解解题的具体步的具体步骤 单元的划分元的划分 1、划分单元网格，对单元和结点编号。2、选定直角坐标系，按程序要求填写和输入有关信息。单元内的ijm的局部编号应按书中规定的右手规则编号。否则会使三角形的面积出现负号等问题。第六章用有限单元法解平面问题3、使用已编好的程序进行上机计算。事先须将有限单元法的公式，计算方法和步骤都编入程序。4、对成果进行整理、分析。 对第1和第4步的工作，也尽可能让计算机执行，以减少人工的工作量。如自动划分网格，整理成果等。第六章用有限单元法解平面问题 关于单元的划分，注意几点：单元的划分，注意几点：（8）结构具有凹槽或孔洞等应力集中处等。（1）单元大小问题；（2）单元在不同部位的合理布置问题；（3）三角形三个内角最好较接近；（4）利用对称性和反对称性；（5）厚度突变之处和材料不同之处；（6）载荷作用（集中力或突变分布载荷）处；（7）水利闸坝工程问题；第六章用有限单元法解平面问题 在有限单元法中，位移的精度较高， 其误差量级是，即与单元尺度的二次幂成正比。应力的误差量级是，即与单元的大小成正比。6 69 9计算成果的整理算成果的整理 第六章用有限单元法解平面问题 三结点三角形单元的应力的成果，不但应力的精度较低，而且还产生了所谓应应力的波动性力的波动性。 对于结点位移的成果，可以直接采用。第六章用有限单元法解平面问题应力的波动性在三结点三角形单元中较为应力的波动性在三结点三角形单元中较为显著。显著。 由于计算出的应力的精度较低。由于计算出的应力的精度较低。假设假设单元的应力成果为单元的应力成果为 ，其中，其中 为真解，为真解， 为误差。差。则由于在由于在结点都列出了平衡方程并令点都列出了平衡方程并令其满足，从而使相邻的其满足，从而使相邻的单元的应力趋近于单元的应力趋近于 。这就产生了应力的波动性。这就产生了应力的波动性。原因是，第六章用有限单元法解平面问题为了提高应力的精度，解决应力波动性问题，可以采用两种应力成果的整理方法：一般地讲，两相邻单元平均法的精度较好，因为它涉及的区域范围较小。（1）两相邻单元平均法。（2）绕结点平均法。第六章用有限单元法解平面问题 在受面力边界线附近，求得的应力误差较大。可采用向外插值的方法（例抛物线插值）来解决。 第六章用有限单元法解平面问题 为了提高应力的精度，可以采用两种方法。 是加密网格，减少单元的尺寸，以提高应力的精度。 是可以采用较多结点的单元，并使位移模式中包含一些高幂次的项，从而提高位移和应力的精度。二一第六章用有限单元法解平面问题书中应用三结点三角形单元，计算了下列例题：6 61010计算实例计算实例1.楔形体受自重及齐顶水压力。2.简支梁受均布荷载。3.圆孔附近的应力集中。第六章用有限单元法解平面问题在整理应力成果时，读者应注意，应用三角形单元时，（1）采用两单元平均法和绕结点平均法的应力成果比较接近，但前者的精度略好于后者。（2）边界面的应力，宜采用向外插值的方法求出。第六章用有限单元法解平面问题 在FEMFEM中，将连续体变换为离散化结构之后，有两种导出FEM公式的主要方法：6 61111应用用变分原理分原理导出出 有限有限单元法基本方程元法基本方程 第六章用有限单元法解平面问题（2）建立单元的位移模式，求出单元中的 位移分布，1.按静力方法导出按静力方法导出FEM公式公式 （1）取结点位移为基本未知数；（3）由几何方程求出单元的应变，（4）由物理方程求出单元的应力，按结构力学方法导出FEM公式第六章用有限单元法解平面问题（5）由虚功方程求出单元的结点力，（6）由虚功方程求出单元的结点荷载，（7）建立结点平衡方程组，按结构力学方法导出FEM公式第六章用有限单元法解平面问题（1）变分原理中的极小势能原理是2. 按变分方法导出按变分方法导出FEMFEM公式公式 保留上述（1）-（4）步骤，然后应用极小势能原理导出FEM基本方程。按变分法导出FEM公式对于平面问题，第六章用有限单元法解平面问题对于连续体,变分的宗量是位移函数 变分方程 可表示为总势能 对 的导数等于0，即第六章用有限单元法解平面问题变分宗量由 变换成（2）将经典变分原理应用到离散化结构，则总势能、形变势能和外力势能，可以用单元的势能之和来表示第六章用有限单元法解平面问题其中 为三角形单元的面积。应用前面记号,内力势能为第六章用有限单元法解平面问题其中为三角形单元的受面力边界。引用前面记号外力势能为总势能为第六章用有限单元法解平面问题故总势能极小值条件 变换为（3）对于离散化结构，泛函数的宗量变换为则式(n)成为引用矩阵运算公式，第六章用有限单元法解平面问题其中第六章用有限单元法解平面问题代入式(o)，得出与结构力学方法导出的相同方程，从物理意义上讲，将连续体的经典变分原理(g)或(i)应用到离散化结构，成为式(p)。第六章用有限单元法解平面问题代入式(o)，得出与结构力学方法导出的相同方程，从物理意义上讲，将连续体的经典变分原理(g)或(i)应用到离散化结构，成为式(p)。第六章用有限单元法解平面问题例题1例题2例题3例题4例题第六章用有限单元法解平面问题例题1平面问题中采用的四结点矩阵单元，如图所示。该单元的结点位移列阵是第六章例题ba第六章用有限单元法解平面问题采用的位移模式是其中的系数,由四个结点处的位移值,应等于结点位移值的条件求出。ab第六章用有限单元法解平面问题读者试检查其收敛性条件是否满足？并估计位移和应力的误差量级。第六章例题第六章用有限单元法解平面问题例题2平面问题中采用的六结点三角形单元，如图所示。该单元的结点位移列阵为其位移模式取为第六章例题第六章用有限单元法解平面问题可以相似地表示。然后由六个结点处的条件求出读者试检查其位移模式的收敛性，并估计其位移和应力的误差量级。第六章用有限单元法解平面问题在空间问题中，采用的最简单的单元，是如图所示的4结点四面体单元，其位移模式是例题例题3第六章例题第六章用有限单元法解平面问题试考虑如何求出其系数并检查位移模式的收敛性条件,并估计其位移和应力的误差量级。第六章用有限单元法解平面问题例题4图（a）所示的深梁，在跨中受集中力F的作用，若取试用有限单元法求解跨中的位移。第六章例题第六章用有限单元法解平面问题第六章例题第六章用有限单元法解平面问题解解1.将图划分网格，化为离散化结构，如图（b）所示。由于结构具有对称性，可取部分进行分析，如所示。（a）图（c）第六章用有限单元法解平面问题2.中，只有两个未知结点位移其余的结点位移均为零。未知的结点位移列阵是 对应的结点荷载列阵是3.下面我们直接来建立对应于未知结点 位移的平衡方程式，第六章例题图（c）第六章用有限单元法解平面问题4.对于三角形单元，按照结点的局部编号结点力一般公式是第六章例题第六章用有限单元法解平面问题当且结点的局部编号如图时，单元的单元劲度矩阵均如书中所示。对于单元，结点的局部编号与整体编号的关系是将书中的k和结点编号代入式，有第六章例题第六章用有限单元法解平面问题其中由上式，得出I单元中不存在，而第六章例题第六章用有限单元法解平面问题对于单元，结点的局部编号与整体编号的关系是。再将书中的k代入式（c），得第六章例题第六章用有限单元法解平面问题其中由上式，可得单元的结点力5.将各单元的结点力代入式得从上两式解出结点位移值，第六章例题第六章用有限单元法解平面问题显然，位移第六章例题