第第2讲概率、随机变量及其分布列讲概率、随机变量及其分布列高考定位1.计数原理、古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度；2.概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”，多在解答题的前三题的位置呈现，常考查独立事件的概率，超几何分布和二项分布的期望等.1.(2018全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()答案C真 题 感 悟2.(2018全国卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为p1，p2，p3，则()A.p1p2B.p1p3C.p2p3D.p1p2p3答案A3.(2018全国卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p0，f(p)单调递增；当p(0.1，1)时，f(p)400，故应该对余下的产品作检验.1.概率模型公式及相关结论考 点 整 合3.超几何分布4.离散型随机变量的均值、方差(1)离散型随机变量的分布列为离散型随机变量的分布列具有两个性质：pi0；p1p2pipn1(i1，2，3，n).x1x2x3xinPp1p2p3pipn(2)E()x1p1x2p2xipixnpn为随机变量的数学期望或均值.D()(x1E()2p1(x2E()2p2(xiE()2pi(xnE()2pn叫做随机变量的方差.(3)数学期望、方差的性质.E(ab)aE()b，D(ab)a2D().XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p).X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p).热点一古典概型与几何概型【例1】(1)(2018太原二模)某商场举行有奖促销活动，抽奖规则如下：箱子中有编号为1，2，3，4，5的五个形状、大小完全相同的小球，从中任取两球，若摸出的两球号码的乘积为奇数，则中奖；否则不中奖.则中奖的概率为()探究提高1.求古典概型的概率，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数.常常用到排列、组合的有关知识，计数时要正确分类，做到不重不漏.2.计算几何概型的概率，构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.解析(1)如图所示，画出时间轴：答案(1)B(2)C热点二互斥事件、相互独立事件的概率考法1互斥条件、条件概率【例21】 (2016全国卷选编)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：上年度出险次数012345保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a一年内出险次数012345概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率.解(1)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)0.200.200.100.050.55.(2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)0.100.050.15.考法2相互独立事件与独立重复试验的概率【例22】 (2018衡水中学调研)多家央企为了配合国家战略支持雄安新区建设，纷纷申请在新区建立分公司.若规定每家央企只能在雄县、容城、安新3个片区中的一个片区设立分公司，且申请其中任一个片区设立分公司都是等可能的，每家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司.向雄安新区申请建立分公司的任意4家央企中，(1)求恰有2家央企申请在“雄县”片区建立分公司的概率；(2)用X表示这4家央企中在“雄县”片区建立分公司的个数，用Y表示在“容城”或“安新”片区建立分公司的个数，记|XY|，求的分布列.随机变量的所有可能取值为0，2，4.所以随机变量的分布列为【训练2】 (2018天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.解(1)由题意得，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.所以，随机变量X的分布列为设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则ABC，且B与C互斥.由知，P(B)P(X2)，P(C)P(X1)，热点三随机变量的分布列、均值与方差考法1超几何分布【例31】 (2018西安调研)4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10名学生参加问卷调查.各组人数统计如下：(1)从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；(2)在参加问卷调查的10名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用X表示抽得甲组学生的人数，求X的分布列和数学期望.小组甲乙丙丁人数91263解(1)由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，(2)由(1)知，在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2.X的可能取值为0，1，2.则随机变量X的分布列为【训练3】 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X).解(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，(2)由题意知X可取的值为：0，1，2，3，4，则因此X的分布列为考法2与独立重复试验有关的分布列【例32】 (2018潍坊一模)某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测.现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数14，标准差2，绘制如图所示的频率分布直方图.以频率值作为概率估计值.(1)从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X，依据以下不等式评判(P表示对应事件的概率)：P(X)0.6826；P(2X2)0.9544；P(3X3)0.9974.评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线，试判断该生产线是否需要检修；(2)将数据不在(2，2)内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取2件，次品数记为Y，求Y的分布列与数学期望E(Y).解(1)由题意知，14，2，由频率分布直方图得P(X)P(12X0.6826，P(2X2)P(10X18)0.8(0.040.03)20.940.9544，P(3X3)P(8X20)0.94(0.0150.005)20.987.879，P(K27.879)0.005，故有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”.(2)根据分层抽样原理，从这200名顾客中抽取10人，“不使用手机支付”的人数为4.设随机抽取的3人中“使用手机支付”的人数为随机变量X.则X0，1，2，3.所求随机变量X的概率分布为探究提高1.本题考查统计与概率的综合应用，意在考查考生的识图能力和数据处理能力.此类问题多涉及相互独立事件、互斥事件的概率，在求解时，要明确基本事件的构成.2.联系高中生使用手机这一生活现象，利用数学中列联表、独立性检验，予以研究二者的相关性，考查了相互独立事件同时发生、分布列.题目主旨，引导学生正确对待使用手机，切勿玩物丧志，并倡导互帮互助的学习风气.【训练5】 (2018哈尔滨二模)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，8，其中X5为标准A，X3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：且X1的数学期望E(X1)6，求a，b的值；X15678P0.4ab0.1(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望；(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.解(1)因为E(X1)6，所以50.46a7b80.16，即6a7b3.2，又由X1的概率分布列得0.4ab0.11，即ab0.5，(2)由已知得，样本的频率分布表如下：等级系数X2345678样本频率f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(X2)30.340.250.260.170.180.14.8，即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：所以乙厂的产品更具可购买性.2.相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)P(A)P(B).互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(AB)P(A)P(B).