1.1.3 四种命题间的相互关系（1）若）若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；（2）若）若f(x)是周期函数，则是周期函数，则f(x)是正弦函数；是正弦函数；（3）若）若f(x)不是正弦函数，则不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；不是周期函数；（4）若）若f(x)不是周期函数，则不是周期函数，则f(x)不是正弦函数不是正弦函数.你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？观察与分析观察与分析 那么它们的真那么它们的真假性是否也有一定假性是否也有一定的关系呢？的关系呢？真真假假假假真真互逆命题互逆命题有：有：互否命题互否命题有：有：互为逆否命题互为逆否命题有：有：(1)(2); (3)(4)(1)(3); (2)(4)(1)(4); (2)(3)探究一：探究一： 写出命题写出命题“到一个角的两边距离相等的到一个角的两边距离相等的点点,都在这个角的平分线上都在这个角的平分线上”的逆命题，否命题和逆否命的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假题，并判断它们的真假.逆命题逆命题: 角的平分线上的点角的平分线上的点,到这个角的两边距离相等到这个角的两边距离相等.否命题否命题: 到一个角的两边距离不相等的点到一个角的两边距离不相等的点, 都不在这个都不在这个 角的平分线上角的平分线上.逆否命题逆否命题:不在这个角的平分线上的点不在这个角的平分线上的点,到这个角的两边到这个角的两边 距离不相等距离不相等.原命题：原命题：真命题真命题逆命题：逆命题：真命题真命题否命题：否命题：真命题真命题逆否命题：逆否命题：真命题真命题探究二：探究二： 写出命题写出命题“两个三角形全等两个三角形全等,则它们的面积则它们的面积相等相等”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.逆命题逆命题:两个三角形的面积相等，则它们全等两个三角形的面积相等，则它们全等.否命题否命题:两个三角形不全等，则它们的面积不相等两个三角形不全等，则它们的面积不相等.逆否命题逆否命题:两个三角形的面积不相等，则它们不全等两个三角形的面积不相等，则它们不全等.原命题：原命题：真命题真命题逆命题：逆命题：假命题假命题否命题：否命题：假命题假命题逆否命题：逆否命题：真命题真命题 写出命题写出命题“相等的角是对顶角相等的角是对顶角”的逆命的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.探究三：探究三：逆命题逆命题: 对顶角相等对顶角相等.否命题否命题: 不相等的角不是对顶角不相等的角不是对顶角.逆否命题逆否命题: 不是对顶角就不相等不是对顶角就不相等.原命题：原命题：假命题假命题逆命题：逆命题：真命题真命题否命题：否命题：真命题真命题逆否命题：逆否命题：假命题假命题从三个探究可发现什么规律？你能总结出来吗？从三个探究可发现什么规律？你能总结出来吗？原命题原命题若若p,则则q逆命题逆命题若若q,则则p否命题否命题若若 p,则则 q逆否命题逆否命题若若 q,则则p互互为逆否为逆否 互为逆否互为逆否 互互 逆逆互互 逆逆互互 否否互互 否否四种命题的相互关系四种命题的相互关系结论一：结论一：原命题原命题逆命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题真真真真真真真真真真假假假假真真假假真真真真假假假假假假假假假假(1)(1)两个命题两个命题互为逆否命题，则它们有相同真假性。互为逆否命题，则它们有相同真假性。(2)(2)两个命题为互逆命题或互否命题两个命题为互逆命题或互否命题, ,它们的真假它们的真假性没有关系性没有关系. .结论二：结论二： 四种命题的真假性四种命题的真假性 在横线上填写在横线上填写“互逆互逆”“”“互否互否”“”“互为逆否互为逆否”(1)(1)命题命题:“:“若若q q则则p”p”与命题与命题“若若q q则则p”p”(2)(2)命题命题:“:“若若p p则则q”q”与命题与命题“若若q q则则p”p”(3)(3)命题命题:“:“若若q q则则p”p”与命题与命题“若若p p则则q”q”互否互否互为逆否互为逆否 互逆互逆练习练习1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断四种命题的真假否命题，并判断四种命题的真假. .（1）原命题：原命题： 若若ab，则则ac2bc2 否命题：否命题： 逆命题：逆命题：逆否命题：逆否命题：若若ac2bc2，则则ab若若a b，则则ac2bc2若若ac2bc2，则则ab假假假假真真真真练习练习2（2）原命题：原命题： 若若x=1或或x=2，则，则x2-3x+2=0 否命题：否命题： 逆命题：逆命题：逆否命题：逆否命题：若若x2-3x+2=0，则，则x=1或或x=2.若若x2-3x+2 0，则，则x 1且且x 2.若若x 1且且x 2 则则 x2-3x+2 0真真真真真真真真（3）原命题：若）原命题：若x2y20，则则x=y=0逆命题：逆命题：否命题：否命题：逆否命题：逆否命题：若若x=y =0，则，则 x2y2 0若若x2y20，则则x 0 或y0若若x 0 或y 0，则，则x2y2 0真真真真真真真真例例1：分析：分析： 如果直接证明这个命题比较困难，可考虑如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明转化为对它的逆否命题的证明. 即证明即证明证明：若证明：若x x2 2+y+y2 2=0=0，则，则x=y=0.x=y=0.“若若x 0 或y 0，则，则x2y2 0”证明：证明：若若x x，y y中至少有一个不为中至少有一个不为0 0，不妨设，不妨设x0x0， 则则x x2 20 0，所以，所以x x2 2+y+y2 2 0 0，即有，即有x x2 2+y+y2 2 0.0. 因此，原命题的逆否命题为真命题，因此，原命题的逆否命题为真命题， 从而原命题为真命题从而原命题为真命题这种解法叫做正难则反。习题解答习题解答1. 证明：若证明：若a-b=1,则则 a2-b2+2a-4b-3 =(a+b)(a-b)+2(a-b)-2b-3 =a-b-1 =0 所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原 命题也是真命题命题也是真命题.练习练习1：P8 练习练习证明：若证明：若p2 q2 2，则，则p q 2 练习练习2证明：证明：若若pq 2，则，则 p2q2 （p q）2（p q）2 （p q）2 所以所以p2 q22 这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题原命题为真命题. 在数学的证明中，我们会常常用到一种方法在数学的证明中，我们会常常用到一种方法 反证法反证法. 通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论此处是命题的否定，要区别于否命题此处是命题的否定，要区别于否命题.反证法的一般步骤：反证法的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立假设命题的结论不成立 , 即假设结论的反面成立即假设结论的反面成立; （2）从这个假设出发从这个假设出发 , 经过推理论证经过推理论证 , 得出矛盾得出矛盾; （3）由矛盾判定假设不正确由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定命题的结论正从而肯定命题的结论正确确反设反设归谬归谬结论结论例例2： 若若a2能被能被2整除，整除，a是整数，是整数， 求证：求证：a也能被也能被2整除整除. 证明：证明：假设假设a不能被不能被2整除，则整除，则a必为奇数，必为奇数， 故可令故可令a=2m+1(m为整数为整数), 由此得由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明此结果表明a2是奇数，是奇数， 这与题中的已知条件（这与题中的已知条件（a2能被能被2整除）相矛盾整除）相矛盾 a能被能被2整除整除.练习练习1. (2008山东文山东文)给出命题：若函数是幂函数，给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限在它的逆命题、否则函数的图象不过第四象限在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ）A3B2C1D0C 解析：解析：原命题是真命题，则逆否命题也是真命题；原命题是真命题，则逆否命题也是真命题；否命题是假命题，则逆命题也是假命题否命题是假命题，则逆命题也是假命题.2. （2001江西、山西、天津文、理）江西、山西、天津文、理）在空间中，在空间中， 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线 若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线 以上两个命题中，逆命题为真命题的是以上两个命题中，逆命题为真命题的是 （把符合（把符合要求的命题序号都填上）要求的命题序号都填上） 3.设原命题：若设原命题：若a+b 2，则，则 中至少有一个不小于，中至少有一个不小于，则原命题与其逆命题的真假情况是（则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）4.A原命题真，逆命题假原命题真，逆命题假 B原命题假，逆命题真原命题假，逆命题真C原命题与逆命题均为真命题原命题与逆命题均为真命题D原命题与逆命题均为假命题原命题与逆命题均为假命题A4. 命题命题“若若ab则则acbc”(这里这里a、b、c都是实数都是实数)与它与它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题的个数为（的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ） A4 B3 C2 D0D 5. 命题命题“已知已知a，b为实数，若为实数，若x2axb0有非空解有非空解集，则集，则a24b0”写出该命题的逆命题，否命题，逆写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假否命题，并判断真假 逆否命题：若逆否命题：若a-4b0，则，则x+ax+b0解集为空集。解集为空集。逆命题：逆命题：若若a-4b0，则，则x+ax+b0有非空解集；有非空解集；否命题否命题：若若x+ax+b0解集为空集，则解集为空集，则a-4b0 ；真真真真真真 6. 求证：若一个三角形的两条边不相等，求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等则这两条边所对的角也不相等.证明：证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，如果一个三角形的两边所对的角相等， 则这个三角形是等腰三角形，则这个三角形是等腰三角形， 且这两条边是等腰三角形的两条腰，且这两条边是等腰三角形的两条腰， 也就是说两条边相等也就是说两条边相等. . 这就证明了原命题的逆否命题是真命题这就证明了原命题的逆否命题是真命题 所以原命题也是真命题所以原命题也是真命题. .课堂小结课堂小结1. 四种命题的相互关系：四种命题的相互关系：2. 四种命题的真假性：四种命题的真假性：(1)(1)两个命题两个命题互为逆否命题，则它们有相互为逆否命题，则它们有相同真假性。同真假性。(2)(2)两个命题为互逆命题或互否命题两个命题为互逆命题或互否命题, ,它它们的真假性没有关系们的真假性没有关系. .作业作业习题习题. B组组 第第1题题 6. 设设0a,b,c ， （1-b）c ,（1-c）a 而而 得得 即即 ，属于自相矛盾，属于自相矛盾，所以假设不成立，原命题成立所以假设不成立，原命题成立.