证明充要条件的问题充要条件的证明充要条件的证明注意：分清注意：分清p p与与q.q.从命题角度看从命题角度看引申引申若若p p则则q q是是真真命题命题, ,那么那么p是是q的的充分条件充分条件 q是是p的必要条件的必要条件.若若p p则则q q是是真真命题，若命题，若q q则则p p为为假假命题命题, ,那么那么p是是q 的的充分不必要条件充分不必要条件，q是是p必要不充分条件必要不充分条件.（四）（四）若若p p则则q q，若，若q q则则p p都是都是假假命题命题, ,那么那么p是是q的既的既不充分也不必要条件，不充分也不必要条件，q是是p既不充分也不既不充分也不必要条件必要条件.( (三）若三）若p p则则q q，若，若q q则则p p都是都是真真命题命题, ,那么那么p是是q的的充要条件充要条件从集合角度看从集合角度看命题命题“若若p则则q”引申引申题型三题型三 充要条件的证明充要条件的证明 【例例2 2】 （1212分）求证方程分）求证方程axax2 2+2+2x x+1=0+1=0有且只有一个有且只有一个 负数根的充要条件为负数根的充要条件为a a00或或a a=1.=1. 思维启迪思维启迪 （1 1）注意讨论）注意讨论a a的不同取值情况；的不同取值情况；（2 2）利用根的判别式求）利用根的判别式求a a的取值范围的取值范围. . 证明证明 充分性：充分性： 当当a a=0=0时，方程变为时，方程变为2 2x x+1=0+1=0，其根为，其根为 方程只有一负根方程只有一负根. 2. 2分分 当当a a=1=1时，方程为时，方程为x x2 2+2+2x x+1=0+1=0，其根为，其根为x x=-1,=-1, 方程只有一负根方程只有一负根. 4. 4分分 当当a a00)0，方程有两个不相等的根，方程有两个不相等的根，且且 0 | 这个条件是其充分条件这个条件是其充分条件 吗？为什么？吗？为什么？ 证明证明 设设x x2 2+ +axax+1=0+1=0的两实根为的两实根为x x1 1, ,x x2 2, , 则平方和大于则平方和大于3 3的等价条件是的等价条件是 | |a a| | 这个条件是必要条件但不是充分条件这个条件是必要条件但不是充分条件. . 课堂小结课堂小结 （3）判别技巧：判别技巧：判别技巧：判别技巧： 可先简化命题；可先简化命题； 否定一个命题只要举出一个反例即可；否定一个命题只要举出一个反例即可； 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。将命题转化为等价的逆否命题后再判断。（1）充分条件、必要条件、充分必要条件的概念充分条件、必要条件、充分必要条件的概念. . （2）判断充分、必要条件的基本步骤：）判断充分、必要条件的基本步骤： 认清条件和结论；认清条件和结论； 考察考察 p q 和和 p q 是否能成立是否能成立。