建筑力学建筑力学15.1 15.1 基本概念基本概念压杆：压杆：工程中把承受轴向压力的直杆称为工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆压杆。稳定性：稳定性：杆件维持原有的平衡状态的能力称为稳定性。杆件维持原有的平衡状态的能力称为稳定性。 微小扰动使小球离开原来的平微小扰动使小球离开原来的平衡位置，但扰动撤销后小球回复衡位置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置。到平衡位置。稳稳定定平平衡衡 微小扰动就使小球远离原来微小扰动就使小球远离原来的平衡位置。的平衡位置。不不稳稳定定平平衡衡1建筑力学建筑力学建筑力学理想压杆：理想压杆：把轴线是笔直的、材料是均匀的、压力把轴线是笔直的、材料是均匀的、压力F的作用线的作用线 与轴线重合的压杆称为理想压杆。与轴线重合的压杆称为理想压杆。失去稳定：失去稳定：压杆直线状态的平衡由稳定平衡过渡到不稳定平衡压杆直线状态的平衡由稳定平衡过渡到不稳定平衡 称为失去稳定，简称失稳。称为失去稳定，简称失稳。临界应力：临界应力：对稳定平衡的压杆，逐步增大其轴向力，当轴向力对稳定平衡的压杆，逐步增大其轴向力，当轴向力 增大到一定值以后，压杆原有的稳定平衡状态就会增大到一定值以后，压杆原有的稳定平衡状态就会 变为不稳定平衡状态。稳定平衡过渡到不稳定平衡变为不稳定平衡状态。稳定平衡过渡到不稳定平衡 需要的最小轴向力称为临界压力，简称临界力，用需要的最小轴向力称为临界压力，简称临界力，用 符号符号Fcr表示。表示。 临界力临界力Fcr是判别压杆是否会稳定的重要指标。当是判别压杆是否会稳定的重要指标。当FFcr时，时，平衡是稳定的；当平衡是稳定的；当FFcr时，平衡是不稳定的。在材料。尺寸、时，平衡是不稳定的。在材料。尺寸、约束均已确定的前提下，压杆的临界力约束均已确定的前提下，压杆的临界力Fcr是个不确定值。不同是个不确定值。不同的压杆，其临界力也是不同的。的压杆，其临界力也是不同的。2建筑力学 F 稳定平衡稳定平衡 FFcrF干挠力干挠力 F撤去干挠力撤去干挠力 稳定平衡稳定平衡：干挠力撤去之后，构件能够恢复到原有的平衡状态。：干挠力撤去之后，构件能够恢复到原有的平衡状态。 F不稳平衡不稳平衡 F FcrF干挠力干挠力 F撤去干挠力撤去干挠力 不稳定平衡不稳定平衡：干挠力撤去之后，构件不能够恢复到原有的平衡状态。：干挠力撤去之后，构件不能够恢复到原有的平衡状态。3建筑力学建筑力学建筑力学15.2 15.2 压杆临界力的欧拉公式压杆临界力的欧拉公式v 两端铰支压杆的临界力两端铰支压杆的临界力lFcryxxyyxFcrM(x)由平衡方程得：由平衡方程得：（a）挠曲线近似微分方程为挠曲线近似微分方程为（b）将式（将式（a）代入式（）代入式（b）得得（c）令令 ，得微分方程：，得微分方程：4建筑力学建筑力学建筑力学通解为：通解为：由由 x = 0，y = 0；得；得B = 0，于是，于是由由 x = l，y = 0；得；得若若A = 0，则，则 y=0，挠曲线为直线，无意义，只能，挠曲线为直线，无意义，只能于是得：于是得：由式由式 得：得：上式为为压杆的最小临界力，但上式为为压杆的最小临界力，但n = 0，Fcr= 0，故取，故取n = 1。即即上式是两端铰支压杆临界力的上式是两端铰支压杆临界力的欧拉公式欧拉公式。5建筑力学建筑力学建筑力学 其它支承压杆临界力的欧拉公式与此类似，写成统一形式：其它支承压杆临界力的欧拉公式与此类似，写成统一形式：其中其中 称为杆的长度系数。称为杆的长度系数。v 不同杆端约束的压杆临界力不同杆端约束的压杆临界力直径、材料相同，而约束不同的圆截面细长压杆，哪个临界力最大。直径、材料相同，而约束不同的圆截面细长压杆，哪个临界力最大。例例2l(d)l(a)F(b)1.3lF1.7l(c)F6建筑力学 杆的长度系数与杆端约束情况有关，常见杆端约束的长杆的长度系数与杆端约束情况有关，常见杆端约束的长度系数如下表。度系数如下表。ll两端铰支两端铰支一端固定一端固定一端自由一端自由一端固定一端固定一端铰支一端铰支两端固定两端固定ll约束情况约束情况长度系数长度系数压杆形状压杆形状7建筑力学建筑力学建筑力学15.3 15.3 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 临界应力总图临界应力总图v 临界应力临界应力 临界力除以压杆横截面面积，所得应力称为临界力除以压杆横截面面积，所得应力称为临界应力临界应力。引入记号：引入记号：则有：则有： 上式为欧拉公式的另一种表达式。式中上式为欧拉公式的另一种表达式。式中 称为压杆的柔称为压杆的柔度或长细比，它是一个无量纲的量。柔度越大，即压杆越度或长细比，它是一个无量纲的量。柔度越大，即压杆越细，其临界应力越低，越易失稳。细，其临界应力越低，越易失稳。8建筑力学建筑力学建筑力学v 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程得到的，而挠曲线近欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程得到的，而挠曲线近似微分方程是在材料线弹性基础上建立的，因此欧拉公式中似微分方程是在材料线弹性基础上建立的，因此欧拉公式中的临界应力不得超过材料的比例极限，即的临界应力不得超过材料的比例极限，即取取 cr= P时的柔度值为时的柔度值为 P，则有，则有或者或者 式中式中 P是判断是判断欧拉公式是否适用的柔度。当欧拉公式是否适用的柔度。当 P时，才能满时，才能满足足p，欧拉公式才能适用，这种杆称为大柔度杆或细长杆。，欧拉公式才能适用，这种杆称为大柔度杆或细长杆。9建筑力学建筑力学建筑力学临界应力总图临界应力总图临界应力总图：临界应力总图：压杆的临界应力与压杆的临界应力与柔度的关系曲线，即柔度的关系曲线，即cr曲线。曲线。10建筑力学例例1.5myz10040图示压杆的图示压杆的E=70GPa， P=175MPa。此。此压杆是否适用欧拉公式，若能压杆是否适用欧拉公式，若能用，临界力为多少。用，临界力为多少。解解： 由由可得可得因因 P，此压杆为大，此压杆为大柔度杆，欧拉公式适用，临界力为：柔度杆，欧拉公式适用，临界力为：11建筑力学图示两端球形铰支细长压杆，弹性模量图示两端球形铰支细长压杆，弹性模量E200Gpa，试用欧拉公式，试用欧拉公式计算其临界载荷。计算其临界载荷。 (1) 圆形截面，圆形截面，d=25 mm，l=1.0 m； (2) 矩形截面，矩形截面，h2b40 mm，l1.0 m； (3) 16号工字钢号工字钢，l2.0 m；例例bPdlhzyyz12建筑力学解：解：(1) 圆形截面杆：两端铰支：圆形截面杆：两端铰支： =1， (2) 矩形截面杆：两端铰支：矩形截面杆：两端铰支：=1， IyIz(3) 16号工字钢杆：两端球铰：号工字钢杆：两端球铰：=1， IyIz 查表查表Iy93.110-8 m413建筑力学例例图示圆截面压杆，图示圆截面压杆，d=100mm，E=200GPa， P=200MPa。试求可。试求可用欧用欧拉公式计算临界力时杆的长度。拉公式计算临界力时杆的长度。lPd解解：通过公式计算可得：通过公式计算可得：14建筑力学建筑力学建筑力学15.4 15.4 压杆稳定的实用计算压杆稳定的实用计算 可与建立压杆强度条件类似建立压杆的稳定条件：可与建立压杆强度条件类似建立压杆的稳定条件： 当给出稳定安全系数时，可用上式进行稳定计算。若给当给出稳定安全系数时，可用上式进行稳定计算。若给出压杆许用应力出压杆许用应力 ，则，则式中式中nst为为稳定安全系数稳定安全系数。上式可得：上式可得：或者或者式中式中 为压杆稳定系数。为压杆稳定系数。15建筑力学例例图示为型号图示为型号22a的的a类工字钢压杆，材料类工字钢压杆，材料Q235钢。已知压力钢。已知压力P=280kN，容，容许应力许应力 =160MPa，试校核压杆的稳定性。，试校核压杆的稳定性。4.2mPyx解解：通过查表可得：通过查表可得22a工字钢的相关尺寸分别为：工字钢的相关尺寸分别为：查表：查表：因此，说明压杆满足稳定性的要求。因此，说明压杆满足稳定性的要求。16建筑力学例例两端铰支压杆，尺寸如图所示。已知材料的两端铰支压杆，尺寸如图所示。已知材料的E=200GPa， P=200MPa。若取稳定安全系数若取稳定安全系数nst=3，试确定压杆的许用应力，试确定压杆的许用应力。解解：通过公式计算可得：通过公式计算可得：因因 P，欧拉公式适用。，欧拉公式适用。600P30 20yx单位：单位：mm17建筑力学建筑力学建筑力学15.5 15.5 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施1、合理选择材料、合理选择材料细长杆：细长杆：与与E成正比。成正比。中长杆：中长杆：随随 的提高而提高。的提高而提高。所以采用高强度合金钢可降低自重，提高稳定性。所以采用高强度合金钢可降低自重，提高稳定性。2、合理选择截面形状、合理选择截面形状 根据欧拉公式可得，根据欧拉公式可得，I越大，稳定性越高。当截面面积不越大，稳定性越高。当截面面积不变的情况下，离形心主轴越远，变的情况下，离形心主轴越远， I越大，那么空心圆比实越大，那么空心圆比实心圆稳定性高。心圆稳定性高。3、改变压杆的约束条件、改变压杆的约束条件一般情况下，增加约束，可以提高压杆稳定性。一般情况下，增加约束，可以提高压杆稳定性。4、减小压杆的长度、减小压杆的长度18建筑力学