2.3 2.3 函数的奇偶性函数的奇偶性1.奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都 有 ，那么函数f（x）就叫做偶函数. 一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都 有 ，那么函数f（x）就叫做奇函数. 2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是: (1)考查定义域是否关于 ； (2)根据定义域考查表达式f(-x)是否等于f(x)或-f（x）. 若 ，则f（x）为奇函数. 若f（-x）= ，则f（x）为偶函数. 若f（-x）= 且f（-x）= ，则f（x）既是奇函数 又是偶函数. 若f（-x）-f（x）且f（-x）f（x），则f（x）既不是 奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数. 要点梳理要点梳理f（-x）=f（x）f（-x）=-f（x）原点对称f（-x）=-f（x）f（x）-f（x）f（x）援共讫丹糠突旬俞箍迪费擅躁窖贮俏陪哮啊遍漆阻御腾幅口愿古尿婚绍成2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性3.奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ，偶 函数在关于原点对称的区间上的单调性 (填“相 同”、“相反”). (2)在公共定义域内， 两个奇函数的和是 ，两个奇函数的积是偶函数； 两个偶函数的和、积是 ； 一个奇函数，一个偶函数的积是 .1.（2008福建理福建理，4）函数f（x）=x3+sinx+1 （xR R）， 若f（a）=2，则f（-a）的值为 .解析解析 设g(x)=x3+sinx,很明显g(x)是一个奇函数. f（x）=g（x）+1.f（a）=g（a）+1=2，g（a）=1，g（-a）=-1，f（-a）=g（-a）+1=-1+1=0.相同相反奇函数偶函数奇函数基础自测基础自测0史铜晋识幻招棚满插健躯腔闷蜡坦跌日缔缸憾话接间亦靠迢花意侍竖判模2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性2.已知定义在R R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的 值为 . 解析解析 依题意f(x+2)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=f(x), f(6)=f(2)=f(0+2)=-f(0), 又f（x）是R R上的奇函数， f（0）=0，f（6）=-f（0）=0.3.设偶函数f(x)=loga|x-b|在（-,0)上单调递增，则f(a+1) f(b+2)（用“”,“”,“”,“”填空）. 解析解析 f(x)是偶函数，b=0.又f(x)在(-,0)递增， 0a1,a+1b+2，故f(a+1)f(b+2). 4.已知f（x）= 是奇函数，则实数a的值为 . 解析解析 f（x）的定义域为R R且为奇函数 01埂渣隧瓮漏颓嗓骤沛闻哦梢淌足站碎式季恤自品链绞槽敏漓维谩灸焊孝暖2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性5.函数f(x),g(x)在区间-a，a (a0）上都是奇函数， 有下列结论：f(x)-g(x)在-a,a上是奇函数； f(x)+g(x)在-a,a上是奇函数；f(x)g(x)在 -a,a上是偶函数；f(0)+g(0)=0,则其中正确结论的 个数是 .解析解析 f（x）,g(x)都是定义域-a，a上的奇函数 f（-x）-g(-x)=-f(x)+g(x)=-f(x)-g(x), 正确. 又任取x-a,a，则f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x) =-f(x)+g(x), 正确. 又f(-x)g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)g(x), 正确. 又f（x），g（x）在x=0处都有定义，且为奇函数， f（0）=0，g（0）=0，f（0）+g（0）=0，故正确.4利屠洼蛰捅薪仙饭磕工贼坝屑帐孺握思信隋羽臻沧疾跟贰宜涡盒沾攀绦啊2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= ; (2)f(x)=log2(x+ ) (xR R); (3)f(x)=lg|x-2|. 【思维启迪思维启迪】 先求函数的定义域，再判断f(-x)与f(x)的 关系. 解解 （1）x2-10且1-x20, x=1,即f(x)的定义域是-1，1. f（1）=0，f(-1)=0, f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1), 故f(x)既是奇函数又是偶函数.题型一题型一 函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断栏认入七闷抄咽观猖观泳胁奔廖飞凳庭鼎清记脸致垃市遵俱浩椽寥驴建娄2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性（2）方法一方法一 易知f(x)的定义域为R R， 又f(-x)=log2 =log2 =-log2(x+ )=-f(x), f(x)是奇函数.方法二方法二 易知f(x)的定义域为R R， 又f（-x）+f（x）=log2-x+ +log2(x+ )= log21=0,即f(-x)=-f(x), f(x)为奇函数. （3）由|x-2|0，得x2. f（x）的定义域x|x2关于原点不对称， 故f(x)为非奇非偶函数.恨侩话绷曙丰臼削声眉彩妨驭劝湖猜王寸万鬼遥鄙故汀稍唐前组盲业乞赤2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性探究拓展探究拓展 （1）确定函数的奇偶性，一般先考察函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数，若对称再看f(-x)与f(x）的关系.（2）判断函数奇偶性的常用方法有：利用定义；求和（差）判断；求商判断，即看 与1的关系，注意此时分母不为零才可以；图象法；性质法.晤仗剑疯提沥犁次稼配贿沃蛹烩住湖章势暮寿均缩望厘云愈矫开裁匹挝毋2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性 已知函数f(x),当x,yR R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证：f(x)是奇函数； （2）如果xR R+，f（x）0,并且f(1)=- ,试求f(x)在区 间-2，6上的最值. 【思维启迪思维启迪】 （1）根据函数的奇偶性的定义进行证明， 只需证f(x)+f(-x)=0; (2)根据函数的单调性定义进行证明，并注意函数奇偶性的 应用. （1）证明证明 函数定义域为R R，其定义域关于原点对称. f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x, f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0, f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0. f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x), f(x)为奇函数.题型二题型二 函数的奇偶性与单调性函数的奇偶性与单调性郎长充驻狰玖最样以腺淳手滓江疼洋伏镁夷纱礼捌挨床袍反贪谦我苍抉骄2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性（2）解解 方法一方法一 设x,yR R+，f（x+y）=f（x）+f（y），f（x+y）-f（x）=f（y）.xR R+，f（x）0,f(x+y)-f(x)0,f(x+y)f(x).x+yx,f(x)在（0，+）上是减函数.又f（x）为奇函数，f（0）=0，f（x）在（-,+）上是减函数.f（-2）为最大值，f(6)为最小值.f(1)=- ,f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2f（1）+f（2）=-3.所求f(x)在区间-2，6上的最大值为1，最小值为-3.澄盯垦承灾饭几弃涟迁凛叮棵爬缉颜拟家要希培划卓醒肢创焊沂籍桑足凤2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性方法二方法二 设x1x2,且x1,x2R R.则f(x2-x1)=fx2+(-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).x2-x10,f(x2-x1)0.f(x2)-f(x1)0.即f(x)在R R上单调递减.f（-2）为最大值，f（6）为最小值.f（1）=-，f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1f（6）=2f（3）=2f（1）+f（2）=-3.所求f(x）在区间-2，6上的最大值为1，最小值为-3.探究拓展探究拓展（1）满足f(a+b)=f(a)+f(b)的函数，只要定义域是关于原点对称的，它就是奇函数.（2）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注.哇挖栅忱菊砰荆堡脾砍棕缓恤镐玛膘檬缆瘸趋遍雁酞布迟曼峻耀教膝崖易2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性 （16分）已知函数f(x)的定义域为R R，且满足f(x+2)= -f(x). （1）求证：f(x)是周期函数； （2）若f(x)为奇函数，且当0x1时，f(x)= x,求使f(x) =- 在0，2 009上的所有x的个数. 【思维启迪思维启迪】 (1)只需证明f（x+T）=f（x），则f（x）即 是以T为周期的周期函数；（2）由第（1）问可知只需求 一个周期中f（x）=- 的x的个数便可知在0，2 009上 的x的个数. （1）证明证明 f（x+2）=-f（x）， f（x+4）=-f（x+2）=-f（x）=f（x）， 2分 f（x）是以4为周期的周期函数. 4分题型三题型三 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性腻击肉谅了洞县其婿闰姬料羌碑烙赤怨俘挟似东碰艳芥渊锅汀核浑嚼始蒸2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性（2）解解 当0x1时，f(x)= x,设-1x0,则0-x1,f（-x）= （-x）=- x.f(x)是奇函数，f（-x）=-f（x）,-f（x）=- x，即f(x)= x. 7分故f(x)= x(-1x1) 8分又设1x3,则-1x-21,f(x-2)= (x-2), 10分又f（x-2）=-f（2-x）=-f（-x）+2）肯夹恐舆沟舜囊束只估籍挣租摔辛汪掇爬绢嚼分萄姬砧雌磕操嵌破倪荫音2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性=-f（-x）=-f（x），-f（x）= （x-2），f（x）=- （x-2）（1x3）. 11分f（x）= 12分渺斌卓乾挣跺寥趋续郧致颜步晰监驴添毙宝侮懈怜买袭胸淫帐原姿嗅栖泻2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性由f(x)=- ,解得x=-1.f（x）是以4为周期的周期函数.f(x)=- 的所有x=4n-1 (nZ Z). 14分令04n-12 009,则 又nZ Z，1n502（nZ Z）,在0，2 009上共有502个x使f(x)=- . 16分探究拓展探究拓展 判断函数的周期只需证明f（x+T）=f(x)（T0）便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题.令败卡隅懂倾脏闯嫩典幸炕吁耪龚覆涟蛙爷捂太响汛附沮儿锚迈铃臀爬魔2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性方法与技巧方法与技巧 任何一个定义域关于原点对称的函数，都可以写成一个偶 函数加一个奇函数的形式.例如y=f(x)的定义域关于原点对 称，则g(x)= 为偶函数， h(x)= 为奇函数，且f(x)=g(x)+h(x). 失误与防范失误与防范 1.注意f(x)为奇函数，则f(0)=0或f(0)无意义. 2.注意奇（偶）函数的定义域关于原点对称.涨虹瘴侥遗般拓玲硕奋院死填翻篮访茹沂仗爵弘勃宠娥互芯刁哆贴爆淮仲2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性1.判断下列各函数的奇偶性： （1）f（x）=（x-2） ； （2）f（x）= 忿常听蔚泳经纷胡事衙卖瑰拼威蓝铅淹陨虱淳蛔令蘑颅霜馒控稻滥卵鸿修2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性解解 （1）由 0，得定义域为-2，2），关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数. 这时f（x）= f（-x）=f（x）为偶函数.碳诲祟挥寡丑缕赣唾季芜烁劫盎寿灿侮炊替埋绪蓑墓尧而限料鹰去卡孝虞2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性（3）x-1时，f（x）=x+2，-x1,f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）.x1时，f（x）=-x+2，-x-1，f(-x)=x+2=f(x).-1x1时，f（x）=0，-1-x1，f（-x）=0=f（x）.对定义域内的每个x都有f（-x）=f（x）.因此f（x）是偶函数.掠脆稽玄邓鸟猪艇威村衅郴驭冗侥彪宝傈侗统措凝注踌伎筋辕薛令味警设2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性2.已知函数y=f(x)的定义域为R R，且对任意a,bR R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)，且当x0时，f(x)0恒成立，f(3)=-3. （1）证明：函数y=f(x)是R R上的减函数； （2）证明：函数y=f(x)是奇函数； （3）试求函数y=f(x)在m,n（m,nZ Z）上的值域. （1）证明证明 设 x1，x2R R，且x1x2, f(x2)=fx1+(x2-x1)=f(x1)+f(x2-x1). x2-x10,f(x2-x1)0. f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)f(x1). 故f(x)是R R上的减函数.冷绪篱灾忽娶荧霍组荆倍芋孤趴佬漾剁乒钒吭黎掐澎犊鹏乖羡滩样衰关惰2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性（2）证明证明 f（a+b）=f（a）+f（b）恒成立， 可令a=-b=x,则有f（x）+f（-x）=f（0）， 又令a=b=0,则有f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0. 从而xR R，f（x）+f（-x）=0， f（-x）=-f（x）.故y=f(x)是奇函数.3.设f（x）是定义在R R上的偶函数，其图象关于直线x=1对 称，对任意x1、x2 都有f（x1+x2）=f(x1)f（x2）， 且f（1）=a0. （1）求f 及f ； （2）证明：f（x）是周期函数；（3）记an=f ，求an.（3）策噎扭祟理然属饺烦涎夯队迸凉铝柬入则栅舷盖谍叭涅呛窑陷秒睦朝热晶2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性（1）解解 对x1、x2 ，都有f（x1+x2）=f（x1）f（x2），f（x）=fx0，1.f（1）=a0，f =a ，f =a .碾梭治卯澜拣当内游食潞丙画沮蛰雨波碌蛙肢襄晌捷衫型含伟欠五秋打搁2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性（2）证明证明 y=f（x）的图象关于直线x=1对称，f（x）=f（1+1-x），即f（x）=f（2-x），xR R.又由f（x）是偶函数知，f（-x）=f（x），xR R，f（-x）=f（2-x），xR R.将上式中-x用x代换，得f（x）=f（x+2），xR R.这表明f（x）是R R上的周期函数，且2是它的一个周期.烙惜叹曳恼跨捎赊茫咸捐磅枚立箔左鸟搽易尚趣瘸物榷厨姜叉肋聂峭荫纺2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性（3）解解 由（1）知f（x）0，x0，1.f（x）的一个周期是2，an=fan=a.仆龟蔑霄考依额递鹊原萧谊缕畸桩涉叶杉阮凸凳剃缨尼硒逸榨青仁绩祁苑2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性1.充分不必要 2.-13.已知函数f（x）是R R上的偶函数，g（x）是R R上的奇函数， 且g（x）=f（x-1），若f（0）=2，则f（2 008）的值 为 .解析解析 由g（x）=f（x-1）得g（-x）=f（-x-1）， 又g（x）为R上的奇函数，g（-x）=-g（x）. f（-x-1）=-f（x-1），即f（x-1）=-f（-x-1）. 用x+1替换x得：f（x）=-f（-x-2）. 又f（x）是R R上的偶函数, f（x）=-f（x+2）, f（x）=f（x+4），即周期T=4. f（2 008）=f（0）=2.2尸瞒佛膘眠桌定耘迂抚件许生拾霓叹磐磋亲啮鹰痘卜脑砒符瑞者嫁环厄活2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性4. 5.(2009徐州六县一区联考徐州六县一区联考)设f（x）是定义在R R上的奇函数，且当x0时，f（x）=2x-3，则f（-2）= .6. f（x）=x(|x|-2) 7.已知函数f(x)=g(x)+2,x-3，3，且g(x)满足g(-x) =-g(x),若f(x)的最大值、最小值分别为M、N，则 M+N= .解析解析 因为g(x)是奇函数，故f(x)关于（0,2）对称， 所以M+N=4.8.-b+4-14轴锈织暇臣陡岩吻镰勺骆酸潘六脊亭瘟济理悄掉铱枢央域膝逛镜篆敌恬邦2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性9.已知f(x)是实数集R R上的函数，且对任意xR R，f（x） =f(x+1)+f(x-1)恒成立. （1）求证：f(x)是周期函数； （2）已知f（3）=2，求f(2 004). （1）证明证明 f（x）=f（x+1）+f（x-1） f（x+1）=f（x）-f（x-1）， 则f(x+2)=f（x+1）+1=f(x+1)-f(x) =f(x)-f(x-1)-f(x)=-f(x-1). f(x+3)=f(x+1)+2=-f(x+1)-1=-f(x). f(x+6)=f(x+3)+3=-f(x+3)=f(x). f（x）是周期函数且6是它的一个周期. （2）-2骗梦概踪殴磷颐膀容鄙免肖砖竞狮驶婴斡访切爷命婚杰岛驭兄今教锚板痔2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性10.f（x）=-xlg（2+|x|）（xR R）.11.已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,aR R. （1）试判断f(x)的奇偶性； （2）若- a ，求f(x)的最小值. 解解 (1)当a=0时， 函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x), 此时,f(x)为偶函数. 当a0时，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1, f(a)f(-a),f(a)-f(-a), 此时，f(x)为非奇非偶函数. （2）当xa时,f(x)=x2-x+a+1 = +a+ ,钳田峭朔灿瓶凤蔚捂蹬顿陆琐稿椅卯筏楷逞鞭寝昂埃氏嘶交秦积伺掂蝴咀2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性a ,故函数f(x)在（-，a上单调递减，从而函数f(x)在（-，a上的最小值为f(a)=a2+1.当xa时，函数f(x)=x2+x-a+1= -a+ ,a- ，故函数f(x)在a，+）上单调递增，从而函数f(x)在a，+)上的最小值为f(a)=a2+1.综上得，当- a 时，函数f(x)的最小值为a2+1.踩蛋萝捣涛醒瘸贿恒必荡曝推玲棵口簧肛蚁宝但仟祥课程勒贞琉艺昆杆依2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性12.设函数f(x)在（-,+)上满足f(2-x)=f(2+x)， f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间0，7上，只有f(1)=f(3)=0.（1）试判断函数y=f（x)的奇偶性； （2）试求方程f(x)=0在闭区间-2 005，2 005上的根 的个数，并证明你的结论. 从而知函数y=f(x)的周期为T=10. 又f(3)=f(1)=0,而f(7)0,故f(-3)0. 故函数y=f（x)是非奇非偶函数.解床贡奏翔墅拢伤宣苞泅疹市琢叹猖裔悍字懦哪蔬渣记盖翁案寅炕匿汾滋诉2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性（2）由（1）知y=f(x)的周期为10.又f（3）=f(1)=0,f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0,故f(x)在0，10和-10，0上均有两个解，从而可知 函数y=f(x)在0，2 005上有402个解，在-2 005，0 上有400个解，所以函数y=f(x)在-2 005，2 005上有802个解.返回撮闻麓李链够遭分督期鬃薪唁愁棒坎址以深钟背修态卷袍箩渊诵滞奇地姓2.3函数的奇偶性2.3函数的奇偶性