定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。解答某些算式的一种运算。解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。的四则运算算式进行计算。定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：一些特殊的运算符号，如：*、 、等，这是与四则运算中等，这是与四则运算中的的“、”不同的。不同的。新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。转化前，是不适合于各种运算定律的。【例题【例题1】 假设假设a*b=(a+b)+(a-b)，求，求13*5和和13*（5*4）。）。【思路导航】【思路导航】这这题题的的新新运运算算被被定定义义为为：a*b等等于于a和和b两两数数之之和和加加上上两两数数之之差差。这这里里的的“*”就就代代表表一一种种新新运运算算。在在定定义义新新运运算算中中同同样样规规定定了了要要先先算算小小括括号号里里的的。因因此此，在在13*（5*4）中中，就就要要先先算算小括号里的（小括号里的（5*4）。）。13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=265*4=（5+4）+（5-4）=1013*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26【练练习习1】1.将将新新运运算算“*”定定义义为为：a*b=(a+b)(a-b).。求求27*9。2.设设a*b=a2+2b，那么求，那么求10*6和和5*（2*8）。）。3.设设a*b=3ab1/2，求（，求（25*12）*（10*5）。）。【例例题题2】 设设p、q是是两两个个数数，规规定定：p q=4q-(p+q)2。求求3 (4 6)。【思思路路导导航航】根根据据定定义义先先算算4 6。在在这这里里“ ”是是新新的的运运算算符号。符号。3 (4 6)3 【46（4+6）2】3 19419（3+19）2761165【 练练 习习 2】 1 设设 p、 q是是 两两 个个 数数 ， 规规 定定 p q 4q（p+q）2，求，求5 （6 4）。）。2设设p、q是是两两个个数数，规规定定p qp2+（pq）2。求求30 （5 3）。）。3设设M、N是两个数，规定是两个数，规定M*NM/N+N/M，求，求10*201/4。【 例例 题题 3】 如如 果果 1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222， 3*3=3+33+333， 4*2=4+44， 那那 么么7*4=_；210*2=_。【思路导航】【思路导航】经过观察，可以发现本题的新运算经过观察，可以发现本题的新运算“*”被定义为。因此被定义为。因此7*4=7+77+777+7777=8638210*2=210+210210=210420【 练练 习习 3】 1 如如 果果 1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，那那么么4*4=_。2规定，规定，那么那么8*5=_。3 如如 果果 2*1=1/2， 3*2=1/33， 4*3=1/444， 那那 么么（6*3）（2*6）=_。多少分？。多少分？【 例例 题题 4】 规规 定定 =123， =234 ， =345，=456，如如果果1/1/=1/A，那那么么，A是是几几？【思思路路导导航航】这这题题的的新新运运算算被被定定义义为为：=（a1）a（a 1） ， 据据 此此 ， 可可 以以 求求 出出 1/ 1/ =1/（ 567） 1/（678），这这里里的的分分母母都都比比较较大大，不不易易直直接接求求出出结结果果。根根据据1/1/=1/A，可可得得出出A=(1/1/)1/=（1/1/）=/1。即。即【练练习习4】1规规定定：=123，234，345， 456， 如如 果果 1/ 1/ 1/A， 那那 么么A=_。2规规定定：234，345，456，567，如果如果1/+1/1/，那么，那么_。3 如如 果果 12 1+2， 23 2+3+4， 565+6+7+8+9+10，那么，那么x354中，中，x_。【例例题题5】设设ab=4a2b+1/2ab,求求z（41）34中中的的未知数未知数x。【思思路路导导航航】先先求求出出小小括括号号中中的的41=44-21+1/24116，再再根根据据x164x216+1/2x16=12x32，然然后后解方程解方程4144-21+1/24116x164x216+1/2x1612x3212x32=3412x=66x5.512x32=34，求出，求出x的值。列算式为的值。列算式为【练习【练习5】1设设ab=3a2b，已知，已知x（41）7求求x。2 对对 两两 个个 整整 数数 a和和 b定定 义义 新新 运运 算算 “ ”： a b= ， 求求6 4+9 8。3对对任任意意两两个个整整数数x和和y定定于于新新运运算算，“*”：x*y（其其中中m是一个确定的整数）。如果是一个确定的整数）。如果1*21，那么，那么3*12_。根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，质和某些公式，可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。化难为易。【例题【例题1】计算计算4.75-9.63+（8.25-1.37）【思路导航】【思路导航】先先去去掉掉小小括括号号，使使4.75和和8.25相相加加凑凑整整，再再运运用用减减法法的的性性质质：abc=a（bc），使运算过程简便。所以），使运算过程简便。所以原式原式4.75+8.259.631.3713（9.63+1.37）13112【练习【练习1】计算下面各题。计算下面各题。【例题【例题2】 【练习【练习2】【例题【例题3】 计算：361.09+1.267.3原式原式1.2301.09+1.267.31.2（32.7+67.3）1.2100120【练习【练习3】【例题【例题4】【练习【练习4】【例题【例题5】计算计算81.515.8+81.551.8+67.618.5原式原式81.5（15.8+51.8）+67.618.581.567.6+67.618.5（81.5+18.5）67.610067.66760【练习【练习5】 计计算算过过程程中中，我我们们先先整整体体地地分分析析算算式式的的特特点点，然然后后进进行行一一定定的的转转化化，创创造造条条件件运运用用乘乘法法分分配配律律来来简简算算，这这种种思思考考方方法在四则运算中用处很大。法在四则运算中用处很大。【例题【例题1】计算：计算：1234+2341+3412+4123【思路导航】【思路导航】注注意意到到题题中中共共有有个个四四位位数数，每每个个四四位位数数中中都都包包含含有有、这这几几个个数数字字，而而且且它它们们都都分分别别在在千千位位、百百位位、十十位位、个位上出现了一次，根据位值计数的原则，可作如下解答：个位上出现了一次，根据位值计数的原则，可作如下解答：原式原式11111+21111+31111+41111（1+2+3+4）111110111111110【练习【练习1】1.23456+34562+45623+56234+623452.45678+56784+67845+78456+845673.124.68+324.68+524.68+724.68+924.68【例题【例题2】 【思路导航】【思路导航】原式原式2.823.4+2.865.4+11.187.22.8（23.4+65.4）+88.87.22.888.8+88.87.288.8（2.8+7.2）88.810888【练习【练习2】1.9999977778+33333666662.34.576.53456.421231.453.7713+255999+510【例题【例题3】【思路导航】【思路导航】【练习【练习3】【例例题题4】有有一一串串数数1，4，9，16，25，36.它它们们是是按按一一定定的的规规律律排排列列的的，那那么么其其中中第第2000个个数数与与2001个个数数相相差差多多少少？【思路导航】【思路导航】20012200022001200020002+20012000（20012000）+20012000+20014001【练习【练习4】计算：计算：1.19912199022.99992+199993.999274+6274【例题【例题5】【思路导航】【思路导航】【练习【练习5】 在在进进行行分分数数运运算算时时，除除了了牢牢记记运运算算定定律律、性性质质外外，还还要要仔仔细细审审题题，仔仔细细观观察察运运算算符符号号和和数数字字特特点点，合合理理地地把把参参加加运运算算的的数数拆拆开开或或者者合合并并进进行行重重新新组组合合，使使其其变变成成符符合合运运算算定定律律的模式，以便于口算，从而简化运算。的模式，以便于口算，从而简化运算。【例题【例题1】【练习【练习1】【例题【例题2】【练习【练习2】【例题【例题3】【练习【练习3】【例题【例题4】【练习【练习4】【例题【例题5】【练习【练习5】 【例题【例题1】 【练习【练习1】【例题【例题2】【练习【练习2】【例题【例题3】【练习【练习3】【例题【例题4】【练习【练习4】【例题【例题5】【练习【练习5】夏蜻蜓教育工作室QQ3298540949 把把不不同同的的数数量量当当作作单单位位“1”，得得到到的的分分率率可可以以在在一一定定的的条件下转化。条件下转化。如如果果甲甲是是乙乙的的a/b，乙乙是是丙丙的的c/d，则则甲甲是是丙丙的的ac/bd；如如果果甲甲是是乙乙的的a/b，则则乙乙是是甲甲的的b/a；如如果果甲甲的的a/b等等于于乙乙的的c/d，则则甲是乙的甲是乙的c/da/bbc/ad【例例题题1】 乙乙数数是是甲甲数数的的2/3，丙丙数数是是乙乙数数的的4/5，丙丙数数是是甲甲数的几分之几？数的几分之几？【思路导航】【思路导航】2/34/58/15【练练习习1】1乙乙数数是是甲甲数数的的3/4，丙丙数数是是乙乙数数的的3/5，丙丙数数是是甲数的几分之几？甲数的几分之几？2一一根根管管子子，第第一一次次截截去去全全长长的的1/4，第第二二次次截截去去余余下下的的1/2，两次共截去全长的几分之几？，两次共截去全长的几分之几？3一一个个旅旅客客从从甲甲城城坐坐火火车车到到乙乙城城，火火车车行行了了全全程程的的一一半半时时旅旅客客睡睡着着了了。他他醒醒来来时时，发发现现剩剩下下的的路路程程是是他他睡睡着着前前所所行行路路程程的的1/4。想想一一想想，剩剩下下的的路路程程是是全全程程的的几几分分之之几几？他他睡睡着着时时火火车行了全程的几分之几？车行了全程的几分之几？转化单位一转化单位一疯狂操练疯狂操练（二）（二）【例题【例题2】修修一一条条8000米米的的水水渠渠，第第一一周周修修了了全全长长的的1/4，第第二二周周修修的的相当于第一周的相当于第一周的4/5，第二周修了多少米？，第二周修了多少米？【思路导航】【思路导航】解一：解一：80001/44/51600（米）（米）解二：解二：8000（1/44/5）1600（米）（米）答：第二周修了答：第二周修了1600米。米。【练习【练习2】用两种方法解答下面各题：用两种方法解答下面各题：1一一堆堆黄黄沙沙30吨吨，第第一一次次用用去去总总数数的的1/5，第第二二次次用用去去的的是是第一次的第一次的1又又1/4倍，第二次用去黄沙多少吨？倍，第二次用去黄沙多少吨？2大大象象可可活活80年年，马马的的寿寿命命是是大大象象的的1/2，长长颈颈鹿鹿的的寿寿命命是是马的马的7/8，长颈鹿可活多少年？，长颈鹿可活多少年？3仓仓库库里里有有化化肥肥30吨吨，第第一一次次取取出出总总数数的的1/5，第第二二次次取取出出余下的余下的1/3，第二次取出多少吨？，第二次取出多少吨？转化单位一转化单位一疯狂操练疯狂操练（三）（三）【例题【例题3】晶晶晶晶三三天天看看完完一一本本书书，第第一一天天看看了了全全书书的的1/4，第第二二天天看看了了余余下下的的2/5，第第二二天天比比第第一一天天多多看看了了15页页，这这本本书书共共有有多多少少页页？【思路导航】【思路导航】解：解：15【（【（11/4）2/51/4】300（页）（页）答：这本书有答：这本书有300页。页。【练习【练习3】1有有一一批批货货物物，第第一一天天运运了了这这批批货货物物的的1/4，第第二二天天运运的的是是第一天的第一天的3/5，还剩，还剩90吨没有运。这批货物有多少吨？吨没有运。这批货物有多少吨？2修修路路队队在在一一条条公公路路上上施施工工。第第一一天天修修了了这这条条公公路路的的1/4，第第二二天天修修了了余余下下的的2/3，已已知知这这两两天天共共修修路路1200米米，这这条条公公路全长多少米？路全长多少米？3加加工工一一批批零零件件，甲甲先先加加工工了了这这批批零零件件的的2/5，接接着着乙乙加加工工了了余余下下的的4/9。已已知知乙乙加加工工的的个个数数比比甲甲少少200个个，这这批批零零件件共共有多少个？有多少个？转化单位一转化单位一疯狂操练疯狂操练（四）（四）【例题【例题4】男男生生人人数数是是女女生生人人数数的的4/5，女女生生人人数数是是男男生生人人数数的的几几分分之之几几？【思路导航】【思路导航】解：把女生人数看作单位解：把女生人数看作单位“1”。14/55/4把男生人数看作单位把男生人数看作单位“1”。545/4【练习【练习4】1停停车车场场里里有有小小汽汽车车的的辆辆数数是是大大汽汽车车的的3/4，大大汽汽车车的的辆辆数数是小汽车的几分之几？是小汽车的几分之几？2如如果果山山羊羊的的只只数数是是绵绵羊羊的的6/7，那那么么绵绵羊羊的的只只数数是是山山羊羊的的几分之几？几分之几？3如如果果花花布布的的单单价价是是白白布布的的1又又3/5倍倍，则则白白布布的的单单价价是是花花布布的几分之几？的几分之几？转化单位一转化单位一疯狂操练疯狂操练（五）（五）【例例题题5】甲甲数数的的1/3等等于于乙乙数数的的1/4，甲甲数数是是乙乙数数的的几几分分之之几几，乙数是甲数的几倍？乙数是甲数的几倍？【思路导航】【思路导航】解：解：1/41/33/41/31/41又又1/3答：甲数是乙数的答：甲数是乙数的3/4，乙数是甲数的，乙数是甲数的1又又1/3。【练习【练习5】1甲甲数数的的3/4于于乙乙数数的的2/5，甲甲数数是是乙乙数数的的几几分分之之几几？乙乙数数是是甲数的几分之几？甲数的几分之几？2甲甲数数的的1又又2/3倍倍等等于于乙乙数数的的5/6，甲甲数数是是乙乙数数的的几几分分之之几几？乙数是甲乙两数和的几分之几？乙数是甲乙两数和的几分之几？3甲甲数数是是丙丙数数的的3/4，乙乙数数是是丙丙数数的的2/5，甲甲数数是是乙乙数数的的几几分分之之几几？乙乙数数是是甲甲数数的的几几分分之之几几？（想想一一想想：这这题题与与第第一一题题有有什么不同？）什么不同？）夏蜻蜓教育工作室QQ3298540949 我我们们必必须须重重视视转转化化训训练练。通通过过转转化化训训练练，既既可可理理解解数数量量关关系系的的实实质质，又又可可拓拓展展我我们们的的解解题题思思路路，提提高高我我们们的的思思维维能能力。力。【例例题题1】 甲甲数数是是乙乙数数的的2/3，乙乙数数是是丙丙数数的的3/4，甲甲、乙乙、丙丙的和是的和是216，甲、乙、丙各是多少？，甲、乙、丙各是多少？【思思路路导导航航】解解法法一一：把把丙丙数数看看所所单单位位“1”那那么么甲甲数数就就是是丙丙数数的的3/42/31/2，丙丙：216（1+3/4+3/42/3）96乙乙：963/472甲：甲：722/348解解法法二二：可可将将“乙乙数数是是丙丙数数的的3/4”转转化化成成“丙丙数数是是乙乙数数的的4/3”，把把乙乙数数看看作作单单位位“1”。乙乙：216（2/3+1+4/3）72甲甲：722/348丙丙：723/496解解法法三三：将将条条件件“甲甲数数是是乙乙数数的的2/3”转转化化为为“乙乙数数是是甲甲数数的的3/2”，再再将将条条件件“乙数是丙数的乙数是丙数的3/4”转化为转化为“丙数是乙数的丙数是乙数的4/3”，以甲数为单位，以甲数为单位“1”。甲：甲：216（1+3/2+3/24/3）48乙：乙：483/272丙：丙：724/396【练习【练习1】下面各题怎样计算简便就怎样计算：下面各题怎样计算简便就怎样计算：1甲甲数数是是乙乙数数的的5/6，乙乙数数是是丙丙数数的的3/4，甲甲、乙乙、丙丙三三个个数数的和是的和是152，甲、乙、丙三个数各是多少？，甲、乙、丙三个数各是多少？2橘橘子子的的千千克克数数是是苹苹果果的的2/3，香香蕉蕉的的千千克克数数是是橘橘子子的的1/2，香蕉和苹果共有香蕉和苹果共有220千克，橘子有多少千克？千克，橘子有多少千克？3某某中中学学的的初初中中部部三三个个年年级级中中，初初一一的的学学生生数数是是初初二二学学生生数数的的9/10，初初二二的的学学生生数数是是初初三三学学生生数数的的1又又1/4倍倍，这这个个学学校校里初三的学生数占初中部学生数的几分之几？里初三的学生数占初中部学生数的几分之几？第七周第七周转化单位一转化单位一疯狂操练疯狂操练（二）（二）【例例题题2】红红、黄黄、蓝蓝气气球球共共有有62只只，其其中中红红气气球球的的3/5等等于于黄气球的黄气球的2/3，蓝气球有，蓝气球有24只，红气球和黄气球各有多少只？只，红气球和黄气球各有多少只？【思思路路导导航航】解法一：将条件“ “红气球的3/5等于黄气球的2/3” ”转化为“ “黄气球的只数是红气球的（3/5 2/3）9/10” ”。先求红气球的只数，再求出黄气球的只数。红气球：（6224）（1+3/5 2/3）20（只）黄气球：62242018（只）解法二：将条件“ “红气球的3/5等于黄气球的2/3” ”转化为“ “红气球的只数是黄气球的（2/3 3/5）10/9” ”。先求黄气球的只数，再求出红气球的只数。黄气球：（6224）（1+2/3 3/5）18（只）红气球：62241820（只）【练习【练习2】1甲甲数数的的2/3等等于于乙乙数数的的5/6，甲甲、乙乙两两数数的的和和是是162，甲甲、乙两数各是多少？乙两数各是多少？2今今年年8月月份份，甲甲所所得得的的奖奖金金比比乙乙少少200元元，甲甲得得的的奖奖金金的的2/3正好是乙得奖金的正好是乙得奖金的4/7，甲、乙两人各得奖金多少元？，甲、乙两人各得奖金多少元？3商商店店运运来来香香蕉蕉、苹苹果果和和梨梨子子共共900千千克克，香香蕉蕉重重量量的的1/4等等于于苹苹果果重重量量的的1/3，梨梨子子的的重重量量是是200千千克克。香香蕉蕉和和苹苹果果各各多少千克？多少千克？第七周第七周转化单位一转化单位一疯狂操练疯狂操练（三）（三）【例例题题3】已已知知甲甲校校学学生生数数是是乙乙校校学学生生数数的的2/5，甲甲校校的的女女生生数数是是甲甲校校学学生生数数的的3/10，乙乙校校的的男男生生数数是是乙乙校校学学生生数数的的21/50，那么两校女生总数占两校学生总数的几分之几？，那么两校女生总数占两校学生总数的几分之几？【思路导航】【思路导航】解解法法一一：把把乙乙校校学学生生数数看看作作单单位位“1”。【2/53/10+（121/50）】）】（1+2/5）1/2解解 法法 二二 ： 把把 甲甲 校校 学学 生生 数数 看看 作作 单单 位位 “1”。 （ 5/25/22150+3/10）（1+5/2）1/2答：甲、乙两校女生总数占两校学生总数的答：甲、乙两校女生总数占两校学生总数的1/2。【练习【练习3】1在在一一座座城城市市中中，中中学学生生数数是是居居民民的的1/5，大大学学生生是是中中学学生生数数的的1/4，那那么么占占大大学学生生总总数数的的2/5的的理理工工科科大大学学生生是是居居民民数数的几分之几？的几分之几？2某某人人在在一一次次选选举举中中，需需3/4的的选选票票才才能能当当选选，计计算算2/3的的选选票票后后，他他得得到到的的选选票票已已达达到到当当选选票票数数的的5/6，他他还还要要得得到到剩剩下下选票的几分之几才能当选？选票的几分之几才能当选？3某某校校有有3/5的的学学生生是是男男生生，男男生生的的1/20想想当当医医生生，全全校校想想当当医医生生的的学学生生的的3/4是是男男生生，那那么么全全校校女女生生的的几几分分之之几几想想当当医医生？生？第七周第七周转化单位一转化单位一疯狂操练疯狂操练（四）（四）【例例题题4】仓仓库库里里的的大大米米和和面面粉粉共共有有2000袋袋。大大米米运运走走2/5，面面粉粉运运作作1/10后后，仓仓库库里里剩剩下下大大米米和和面面粉粉正正好好相相等等。原原来来大大米和面粉各有多少袋？米和面粉各有多少袋？【思路导航】【思路导航】解法一：将大米的袋数看作单位解法一：将大米的袋数看作单位“1”（12/5）（11/10）2/32000（1+2/3）1200（袋袋）20001200800（袋）（袋）解法二：将面粉的袋数看作单位解法二：将面粉的袋数看作单位“1”（11/10）（12/5）3/22000（1+3/2）800（袋袋）20008001200（袋）（袋）【练习【练习4】1甲甲、乙乙两两人人各各准准备备加加工工零零件件若若干干个个，当当甲甲完完成成自自己己的的2/3、乙乙完完成成自自己己的的1/4时时，两两人人所所剩剩零零件件数数量量相相等等，已已知知甲甲比比乙乙多多做了做了70个，甲、乙两人各准备加工多少个零件？个，甲、乙两人各准备加工多少个零件？2一一批批水水果果四四天天卖卖完完。第第一一天天卖卖出出180千千克克，第第二二天天卖卖出出余余下下的的2/7，第第三三、四四天天共共卖卖出出这这批批水水果果的的一一半半，这这批批水水果果有有多多少千克？少千克？3甲甲、乙乙两两人人合合打打一一篇篇书书稿稿，共共有有10500字字。如如果果甲甲增增加加他他的的任任务务的的20，乙乙减减少少他他的的任任务务的的20，那那么么甲甲打打的的字字数数就就是乙的是乙的2倍，问两人原来的任务各是多少？倍，问两人原来的任务各是多少？第七周第七周转化单位一转化单位一疯狂操练疯狂操练（五）（五）【例例题题5】400名名学学生生参参加加植植树树活活动动，计计划划每每个个男男生生植植树树20棵棵，每每个个女女生生植植树树15棵棵。除除抽抽出出25的的男男生生搞搞卫卫生生外外，其其他他的同学都按计划完成了植树任务。问共植树多少棵？的同学都按计划完成了植树任务。问共植树多少棵？【思路导航】【思路导航】解：解：20（125）400200.754006000（棵）（棵）答：共植树答：共植树6000棵。棵。【练习【练习5】1有有一一块块菜菜地地和和一一块块麦麦地地，菜菜地地的的一一半半和和麦麦地地的的1/3放放在在一一起起是是13公公顷顷，麦麦地地的的一一半半和和菜菜地地的的1/3放放在在一一起起是是12公公顷顷，那么，菜地有多少公顷？那么，菜地有多少公顷？2师师徒徒两两人人加加工工同同样样多多的的零零件件，师师傅傅要要10分分钟钟，徒徒弟弟要要18分分钟钟。两两人人共共同同加加工工零零件件168个个，如如果果要要在在相相同同的的时时间间内内完完成，两人各应加工零件多少个？成，两人各应加工零件多少个？3有有5元元和和2元元的的人人民民币币若若干干张张，其其金金额额之之比比为为15：4。如如果果5元元人人民民币币减减少少6张张，则则两两种种人人民民币币的的张张数数相相等等。求求原原来来两两种种人民币的张数各是多少？人民币的张数各是多少？夏蜻蜓教育工作室QQ3298540949 解解答答较较复复杂杂的的分分数数应应用用题题时时，我我们们往往往往从从题题目目中中找找出出不不变变的的量量，把把不不变变的的量量看看作作单单位位“1”，将将已已知知条条件件进进行行转转化化，找出所求数量相当于单位找出所求数量相当于单位“1”的几分之几，再列式解答。的几分之几，再列式解答。【例例题题1】 有有两两筐筐梨梨。乙乙筐筐是是甲甲筐筐的的3/5，从从甲甲筐筐取取出出5千千克克梨梨放放入入乙乙筐筐后后，乙乙筐筐的的梨梨是是甲甲筐筐的的7/9。甲甲、乙乙两两筐筐梨梨共共重重多多少千克？少千克？【思路导航】【思路导航】解：解：5（5/（5+3）9/（7+9）80（千克）（千克）答：甲、乙两筐梨共重答：甲、乙两筐梨共重80千克。千克。【练习【练习1】1某某小小学学低低年年级级原原有有少少先先队队员员是是非非少少先先队队员员的的1/3，后后来来又又有有39名名同同学学加加入入少少先先队队组组织织。这这样样，少少先先队队员员的的人人数数是是非非少少先队员的先队员的7/8。低年级有学生多少人？。低年级有学生多少人？2王王师师傅傅生生产产一一批批零零件件，不不合合格格产产品品是是合合格格产产品品的的1/19，后后来来从从合合格格产产品品中中又又发发现现了了2个个不不合合格格产产品品，这这时时算算出出产产品品的的合合格率是格率是94。合格产品共有多少个？。合格产品共有多少个？3某某校校六六年年级级上上学学期期男男生生占占总总人人数数的的54，本本学学期期转转进进3名名女女生生，转转走走3名名男男生生，这这时时女女生生占占总总人人数数的的48。现现在在有有男男生多少人？生多少人？第八周第八周转化单位一转化单位一疯狂操练疯狂操练（二）（二）【例题【例题2】某某学学校校原原有有长长跳跳绳绳的的根根数数占占长长、短短跳跳绳绳总总数数的的3/8。后后来来又又买买进进20根根长长跳跳绳绳，这这时时长长跳跳绳绳的的根根数数占占长长、短短跳跳绳绳总总数数的的7/12。这个学校现有长、短跳绳的总数是多少根？这个学校现有长、短跳绳的总数是多少根？第八周第八周转化单位一转化单位一疯狂操练疯狂操练（二）（二）【思路导航】【思路导航】解解法法一一：根根据据短短跳跳绳绳的的根根数数没没有有变变，我我们们把把短短跳跳绳绳看看作作单单位位“1”。可可以以得得出出原原来来的的长长跳跳绳绳根根数数占占短短跳跳绳绳根根数数的的3/（8-3），后后来来长长跳跳绳绳是是短短跳跳绳绳的的7/（12-7）。这这样样就就找找到到了了20根根长长跳跳绳绳相相当当于于短短跳跳绳绳的的（7/（12-7）3/（8-3），从从而而求求出出短短跳跳绳绳的的根根数数。再再用用短短跳跳绳绳的的根根数数除除以以（17/12）就就可可以以求出这个学校现有跳绳的总数。求出这个学校现有跳绳的总数。即即20【7/（12-7）3/（8-3）】）】（17/12）60（根）（根）解解法法二二：把把短短跳跳绳绳看看作作单单位位“1”，原原来来的的总总数数是是短短跳跳绳绳的的8/（8-3），后后来来的的总总数数是是短短跳跳绳绳的的12/（12-7）。所所以以20（12/（12-7）8/（8-3）（17/12）60（根）（根）【练习【练习2】1阅阅览览室室看看书书的的同同学学中中，女女同同学学占占3/5，从从阅阅览览室室走走出出5位位女女同同学学后后，看看数数的的同同学学中中，女女同同学学占占4/7，原原来来阅阅览览室室一一共共有有多多少名同学在看书？少名同学在看书？2一一堆堆什什锦锦糖糖，其其中中奶奶糖糖占占45，再再放放入入16千千克克其其他他糖糖后后，奶糖只占奶糖只占25，这堆糖中有奶糖多少千克？，这堆糖中有奶糖多少千克？3数数学学课课外外兴兴趣趣小小组组，上上学学期期男男生生占占5/9，这这学学期期增增加加21名名女生后，男生就只占女生后，男生就只占2/5了，这个小组现有女生多少人？了，这个小组现有女生多少人？第八周第八周转化单位一转化单位一疯狂操练疯狂操练（三）（三）【例例题题3】有有两两段段布布，一一段段布布长长40米米，另另一一段段长长30米米，把把两两段段布布都都用用去去同同样样长长的的一一部部分分后后，发发现现短短的的一一段段布布剩剩下下的的长长度度是长的一段布所剩长度的是长的一段布所剩长度的3/5，每段布用去多少米？，每段布用去多少米？【思路导航】【思路导航】解：解：40（4030）（13/5）15（米）（米）答：每段布用去答：每段布用去15米。米。【练习【练习3】1有有两两根根塑塑料料绳绳，一一根根长长80米米，另另一一根根长长40米米，如如果果从从两两根根上上各各剪剪去去同同样样长长的的一一段段后后，短短绳绳剩剩下下的的长长度度是是长长绳绳剩剩下下的的2/7，两两根根绳绳各各剪剪去去多多少少米米？2今今年年父父亲亲40岁岁，儿儿子子12岁岁，当当儿儿子子的的年年龄龄是是父父亲亲的的5/12时时，儿儿子子多多少少岁？岁？3仓仓库库里里原原来来存存大大米米和和面面粉粉袋袋数数相相等等，运运出出800袋袋大大米米和和500袋袋面面粉粉后后，仓库里所剩的大米袋数时面粉的仓库里所剩的大米袋数时面粉的3/4，仓库里原有大米和面粉各多少袋？，仓库里原有大米和面粉各多少袋？4甲甲、乙乙、丙丙、丁丁四四个个筑筑路路队队共共筑筑1200米米长长的的一一段段公公路路，甲甲队队筑筑的的路路时时其其他他三三个个队队的的1/2，乙乙队队筑筑的的路路时时其其他他三三个个队队的的1/3，丙丙队队筑筑的的路路时时其其他他三三个队的个队的1/4，丁队筑了多少米？，丁队筑了多少米？第八周第八周转化单位一转化单位一疯狂操练疯狂操练（四）（四）【例例题题4】某某商商店店原原有有黑黑白白、彩彩色色电电视视机机共共630台台，其其中中黑黑白白电电视视机机占占1/5，后后来来又又运运进进一一些些黑黑白白电电视视机机。这这时时黑黑白白电电视视机机占占两两种种电电视视机机总总台台数数的的30，问问：又又运运进进黑黑白白电电视视机机多多少少台台？【思路导航】【思路导航】解：解：630（11/5）（130）63090（台）（台）答：又运进黑白电视机答：又运进黑白电视机90台。台。【练习【练习4】1书书店店运运来来科科技技书书和和文文艺艺书书共共240包包，科科技技书书占占1/6。后后来来又又运运来来一一批批科科技书，这时科技书占两种书总和的技书，这时科技书占两种书总和的3/11，现在两种书各有多少包？，现在两种书各有多少包？2某某市市派派出出60名名选选手手参参加加田田径径比比赛赛，其其中中女女选选手手占占1/4，正正式式比比赛赛时时，有有几几名名女女选选手手因因故故缺缺席席，这这样样女女选选手手人人数数占占参参赛赛选选手手总总数数的的2/11。问问：正正式参赛的女选手有多少人？式参赛的女选手有多少人？3把把12千千克克的的盐盐溶溶解解于于120千千克克水水中中，得得到到132千千克克盐盐水水，如如果果要要使使盐盐水中含盐水中含盐8，要往盐水中加盐还是加水？加多少千克？，要往盐水中加盐还是加水？加多少千克？4东东风风水水果果店店上上午午运运进进梨梨和和苹苹果果共共1020千千克克，其其中中梨梨占占水水果果总总数数的的1/5；下下午午又又运运进进梨梨若若干干千千克克，这这时时梨梨占占两两种种水水果果总总数数的的2/5，下下午午运运进进梨梨多多少千克？少千克？第八周第八周转化单位一转化单位一疯狂操练疯狂操练（五）（五）【例例题题5】一一堆堆煤煤，运运走走的的比比总总数数的的2/5多多120吨吨，剩剩下下的的比比运走的运走的5/6多多60吨，这堆煤原有多少吨？吨，这堆煤原有多少吨？【思路导航】【思路导航】解解：（120+1205/6+60）（12/52/55/6）1050（吨）（吨）答：这堆煤原有答：这堆煤原有1050吨。吨。【练习【练习5】1修修一一条条路路，第第一一天天修修了了全全长长的的2/5多多60米米，第第二二天天修修的的长长度度比比第第一一天天的的3/4多多35米，还剩米，还剩100米没有修，这条路全长多少米？米没有修，这条路全长多少米？2修修一一条条路路，第第一一天天修修了了全全长长的的2/5多多60米米，第第二二天天修修的的长长度度比比第第一一天天的的3/4少少35米，这两天共修路米，这两天共修路420米，这条路全长多少米？米，这条路全长多少米？3某某工工程程队队修修筑筑一一条条公公路路，第第一一天天修修了了全全长长的的2/5，第第二二天天修修了了剩剩下下部部分分的的5/9又又20米米，第第三三天天修修的的是是第第一一天天的的1/4又又30米米，这这样样，正正好好修修完完，这段公路全长多少米？这段公路全长多少米？夏蜻蜓教育工作室QQ3298540949 在在小小学学数数学学竞竞赛赛中中，常常常常会会遇遇到到一一些些看看起起来来缺缺少少条条件件的的题题目目，按按常常规规解解法法似似乎乎无无解解，但但仔仔细细分分析析就就会会发发现现，题题目目中中缺缺少少的的条条件件对对于于答答案案并并无无影影响响，这这时时就就可可以以采采用用“设设数数代代入入法法”，即即对对题题目目中中“缺缺少少”的的条条件件，随随便便假假设设一一个个数数代代入入（当当然然假假设的这个数要尽量的方便计算），然后求出解答。设的这个数要尽量的方便计算），然后求出解答。【例例题题1】 如如果果， ，那那么么（）个）个 。【思路导航】【思路导航】由由第第一一个个等等式式可可以以设设 3，2，代代入入第第二二式式得得5，再再代入第三式左边是代入第三式左边是12，所以右边括号内应填，所以右边括号内应填4。说说明明：本本题题如如果果不不用用设设数数代代入入法法，直直接接用用图图形形互互相相代代换换，显显然要多费周折。然要多费周折。【练习【练习1】1已知已知 ， ，问，问 （）个）个2五五个个人人比比较较身身高高，甲甲比比乙乙高高3厘厘米米，乙乙比比丙丙矮矮7厘厘米米，丙丙比丁高比丁高10厘米，丁比戊矮厘米，丁比戊矮5厘米，甲与戊谁高，高几厘米？厘米，甲与戊谁高，高几厘米？3甲甲、乙乙、丙丙三三个个仓仓库库原原有有同同样样多多的的货货，从从甲甲仓仓库库运运60吨吨到到乙乙仓仓库库，从从乙乙仓仓库库运运45吨吨到到丙丙仓仓库库，从从丙丙仓仓库库运运55吨吨到到甲甲仓仓库库，这这时时三三个个仓仓库库的的货货哪哪个个最最多多？哪哪个个最最少少？最最多多的的比比最最少的多多少吨？少的多多少吨？第九周第九周设数法解题设数法解题疯狂操练疯狂操练（二）（二）【例例题题2】足足球球门门票票15元元一一张张，降降价价后后观观众众增增加加一一倍倍，收收入入增加增加1/5，问一张门票降价多少元？，问一张门票降价多少元？【思路导航】【思路导航】初初看看似似乎乎缺缺少少观观众众人人数数这这个个条条件件，实实际际上上观观众众人人数数于于答答案案无无关关，我我们们可可以以随随便便假假设设一一个个观观众众数数。为为了了方方便便，假假设设原原来来只只有有一一个个观观众众，收收入入为为15元元，那那么么降降价价后后有有两两个个观观众众，收收入入为为15（1+1/5）18元元，则则降降价价后后每每张张票票价价为为1829元元，每每张票降价张票降价1596元。即：元。即：1515（1+1/5）26（元）（元）【练习【练习2】1某某班班一一次次考考试试，平平均均分分为为70分分，其其中中3/4及及格格，及及格格的的同同学平均分为学平均分为80分，那么不及格的同学平均分是多少分？分，那么不及格的同学平均分是多少分？2游游泳泳池池里里参参加加游游泳泳的的学学生生中中，小小学学生生占占30，又又来来了了一一批批学学生生后后，学学生生总总数数增增加加了了20，小小学学生生占占学学生生总总数数的的40，小学生增加百分之几？小学生增加百分之几？3五五年年级级三三个个班班的的人人数数相相等等。一一班班的的男男生生人人数数和和二二班班的的女女生生人人数数相相等等，三三班班的的男男生生是是全全部部男男生生的的2/5，全全部部女女生生人人数数占占全全年级人数的几分之几？年级人数的几分之几？第九周第九周设数法解题设数法解题疯狂操练疯狂操练（三）（三）【例例题题3】小小王王在在一一个个小小山山坡坡来来回回运运动动。先先从从山山下下跑跑上上山山，每每分分钟钟跑跑200米米，再再从从原原路路下下山山，每每分分钟钟跑跑240米米，又又从从原原路路上上山山，每每分分钟钟跑跑150米米，再再从从原原路路下下山山，每每分分钟钟跑跑200米米，求求小小王的平均速度。王的平均速度。【思路导航】【思路导航】题题中中四四个个速速度度的的最最小小公公倍倍数数是是1200，设设一一个个单单程程是是1200米米。则（则（1）四个单程的和：）四个单程的和：120044800（米）（米）（ 2） 四四 个个 单单 程程 的的 时时 间间 分分 别别 是是 ； 1200200 6（ 分分 ）12002405（分）（分）12001508（分）（分）12002006（分）（分）（3）小王的平均速度为：）小王的平均速度为：4800（6+5+8+6）192（米）（米）【练习【练习3】1小小华华上上山山的的速速度度是是每每小小时时3千千米米，下下山山的的速速度度是是每每小小时时6千米，求上山后又沿原路下山的平均速度。千米，求上山后又沿原路下山的平均速度。2张张师师傅傅骑骑自自行行车车往往返返A、B两两地地。去去时时每每小小时时行行15千千米米，返返回回时时因因逆逆风风，每每小小时时只只行行10千千米米，张张师师傅傅往往返返途途中中的的平平均均速度是每小时多少千米？速度是每小时多少千米？3小小王王骑骑摩摩托托车车往往返返A、B两两地地。平平均均速速度度为为每每小小时时48千千米米，如如果果他他去去时时每每小小时时行行42千千米米，那那么么他他返返回回时时的的平平均均速速度度是是每每小时行多少千米？小时行多少千米？第九周第九周设数法解题设数法解题疯狂操练疯狂操练（四）（四）【例例题题4】某某幼幼儿儿园园中中班班的的小小朋朋友友平平均均身身高高115厘厘米米，其其中中男男孩孩比比女女孩孩多多1/5，女女孩孩平平均均身身高高比比男男孩孩高高10，这这个个班班男男孩孩平平均身高是多少？均身高是多少？【思路导航】【思路导航】题题中中没没有有男男、女女孩孩的的人人数数，我我们们可可以以假假设设女女孩孩有有5人人，则则男男孩孩有有6人。人。（1）总身高：总身高：115【5+5（1+1/5）】）】1265（厘米）（厘米）（2）由由于于女女孩孩平平均均身身高高是是男男孩孩的的（1+10），所所以以5个个女女孩孩的的身身高高相相当当于于5（1+10）5.5个个男男孩孩的的身身高高，因因此此男孩的平均身高为：男孩的平均身高为：1265【（【（1+10）5+6】110（厘米）（厘米）【练习【练习4】1某某班班男男生生人人数数是是女女生生的的2/3，男男生生平平均均身身高高为为138厘厘米米，全班平均身高为全班平均身高为132厘米。问：女生平均身高是多少厘米？厘米。问：女生平均身高是多少厘米？2某某班班男男生生人人数数是是女女生生的的4/5，女女生生的的平平均均身身高高比比男男生生高高15，全全班班的的平平均均身身高高是是130厘厘米米，求求男男、女女生生的的平平均均身身高高各各是多少？是多少？3一一个个长长方方形形每每边边增增加加10，那那么么它它的的周周长长增增加加百百分分之之几几？它的面积增加百分之几？它的面积增加百分之几？第九周第九周设数法解题设数法解题疯狂操练疯狂操练（五）（五）【例例题题5】狗狗跑跑5步步的的时时间间马马跑跑3步步，马马跑跑4步步的的距距离离狗狗跑跑7步步，现现在在狗狗已已跑跑出出30米米，马马开开始始追追它它。问问狗狗再再跑跑多多远远，马马可可以以追追到它？到它？【思路导航】【思路导航】马马跑跑一一步步的的距距离离不不知知道道，跑跑3步步的的时时间间也也不不知知道道，可可取取具具体体数值，并不影响解题结果。数值，并不影响解题结果。设设马马跑跑一一步步为为7，则则狗狗跑跑一一步步为为4，再再设设马马跑跑3步步的的时时间间为为1，则则狗狗跑跑5步步的的时时间间为为1，推推知知狗狗的的速速度度为为20，马马的的速速度度为为21。那么，那么，20【30（2120）】）】600（米）（米）【练习【练习5】1猎猎狗狗前前面面26步步远远的的地地方方有有一一野野兔兔，猎猎狗狗追追之之。兔兔跑跑8步步的的时时间间狗狗只只跑跑5步步，但但兔兔跑跑9步步的的距距离离仅仅等等于于狗狗跑跑4步步的的距距离离。问问兔兔跑跑几几步步后后，被被狗狗抓抓获获？2猎猎人人带带猎猎狗狗去去捕捕猎猎，发发现现兔兔子子刚刚跑跑出出40米米，猎猎狗狗去去追追兔兔子子。已已知知猎猎狗狗跑跑2步步的的时时间间兔兔子子跑跑3步步，猎猎狗狗跑跑4步步的的距距离离与与兔兔子子跑跑7步步的的距距离离相相等等，求求兔再跑多远，猎狗可以追到它？兔再跑多远，猎狗可以追到它？3狗狗和和兔兔同同时时从从A地地跑跑向向B地地，狗狗跑跑3步步的的距距离离等等于于兔兔跑跑5步步的的距距离离，而而狗狗跑跑2步步的的时时间间等等于于兔兔跑跑3步步的的时时间间，狗狗跑跑600步步到到达达B地地，这这时时兔兔还还要要跑跑多少步才能到达多少步才能到达B地？地？夏蜻蜓教育工作室QQ3298540949 假假设设法法解解体体的的思思考考方方法法是是先先通通过过假假设设来来改改变变题题目目的的条条件件，然然后后再再和和已已知知条条件件配配合合推推算算。有有些些题题目目用用假假设设法法思思考考，能能找找到到巧妙的解答思路。巧妙的解答思路。运运用用假假设设法法时时，可可以以假假设设数数量量增增加加或或减减少少，从从而而与与已已知知条条件件产产生生联联系系；也也可可以以假假设设某某个个量量的的分分率率与与另另一一个个量量的的分分率率一一样样，再再根根据据乘乘法法分分配配律律求求出出这这个个分分率率对对应应的的和和，最最后后依依据据它它与与实实际条件的矛盾求解。际条件的矛盾求解。【例例题题1】 甲甲、乙乙两两数数之之和和是是185，已已知知甲甲数数的的1/4与与乙乙数数的的1/5的和是的和是42，求两数各是多少？，求两数各是多少？【思路导航】【思路导航】假假设设将将题题中中“甲甲数数的的1/4”、“乙乙数数的的1/5”与与“和和为为42”同同时时扩扩大大4倍倍，则则变变成成了了“甲甲数数与与乙乙数数的的4/5的的和和为为168”，再再用用185减去减去168就是乙数的就是乙数的1/5。解：解：乙：（乙：（185424）（11/54）85【练习【练习1】1甲甲、乙乙两两人人共共有有钱钱150元元，甲甲的的1/2与与乙乙的的1/10的的钱钱数数和和是是35元，求甲、乙两人各有多少元钱？元，求甲、乙两人各有多少元钱？2甲甲、乙乙两两个个消消防防队队共共有有338人人。抽抽调调甲甲队队人人数数的的1/7，乙乙队队人人数数的的1/3，共共抽抽调调78人人，甲甲、乙乙两两个个消消防防队队原原来来各各有有多多少少人？人？3海海洋洋化化肥肥厂厂计计划划第第二二季季度度生生产产一一批批化化肥肥，已已知知四四月月份份完完成成总总数数的的1/3多多50吨吨，五五月月份份完完成成总总数数的的2/5少少70吨吨，还还有有420吨没完成，第二季度原计划生产多少吨？吨没完成，第二季度原计划生产多少吨？第第10周周假设法解题假设法解题疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】彩彩色色电电视视机机和和黑黑白白电电视视机机共共250台台。如如果果彩彩色色电电视视机机卖卖出出1/9，则则比比黑黑白白电电视视机机多多5台台。问问：两两种种电电视视机机原原来来各各有多少台？有多少台？【思路导航】【思路导航】从从图图中中可可以以看看出出：假假设设黑黑白白电电视视机机增增加加5台台，就就和和彩彩色色电电视视机机卖出卖出1/9后剩下的一样多。后剩下的一样多。黑黑白白电电视视机机增增加加5台台后后，相相当当于于彩彩色色电电视视机机的的（11/9）8/9。（250+5）（1+11/9）135（台）（台）250125115（台）（台）【练习【练习2】1姐姐妹妹俩俩养养兔兔120只只，如如果果姐姐姐姐卖卖掉掉1/7，还还比比妹妹妹妹多多10只只，姐姐和妹妹各养了多少只兔？姐姐和妹妹各养了多少只兔？2学学校校有有篮篮球球和和足足球球共共21个个，篮篮球球借借出出1/3后后，比比足足球球少少1个，原来篮球和足球各有多少个？个，原来篮球和足球各有多少个？3小小明明甲甲养养的的鸡鸡和和鸭鸭共共有有100只只，如如果果将将鸡鸡卖卖掉掉1/20，还还比比鸭多鸭多17只，小明家原来养的鸡和鸭各有多少只？只，小明家原来养的鸡和鸭各有多少只？第第10周周假设法解题假设法解题疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】师师傅傅与与徒徒弟弟两两人人共共加加工工零零件件105个个，已已知知师师傅傅加加工工零零件件个个数数的的3/8与与徒徒弟弟加加工工零零件件个个数数的的4/7的的和和为为49个个，师师、徒各加工零件多少个？徒各加工零件多少个？【思路导航】【思路导航】假假设设师师、徒徒两两人人都都完完成成了了4/7，一一个个能能完完成成（1054/7）60个个，和和实实际际相相差差（6049）11个个，这这11个个就就是是师师傅傅完完成成将将零零件件的的3/8与与完完成成加加工工零零件件的的4/7相相差差的的个个数数。这这样样就就可可以以求求出师傅加工了【出师傅加工了【11（4/73/8）】）】56个。即：个。即：师傅：（师傅：（1054/749）（4/73/8）56（个）（个）徒弟：徒弟：1055649（个）（个）【练习【练习3】1某某商商店店有有彩彩色色电电视视机机和和黑黑白白电电视视机机共共136台台，卖卖出出彩彩色色电电视视机机的的2/5和和黑黑白白电电视视机机的的3/7，共共卖卖出出57台台。问问：原原来来彩彩色色电视机和黑白电视机各有多少台？电视机和黑白电视机各有多少台？2甲甲、乙乙两两个个消消防防队队共共有有336人人，抽抽调调甲甲队队人人数数的的5/7、乙乙队队人人数数的的3/7，共共抽抽调调188人人参参加加灭灭火火。问问：甲甲、乙乙两两个个消消防防队原来各有多少人？队原来各有多少人？3学学校校买买来来足足球球和和排排球球共共64个个，从从中中借借出出排排球球个个数数的的1/4和和足足球球个个数数的的1/3后后，还还剩剩下下46个个，买买来来排排球球和和足足球球各各是是多多少少个个？第第10周周假设法解题假设法解题疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】甲甲、乙乙两两数数的的和和是是300，甲甲数数的的2/5比比乙乙数数的的1/4多多55，甲、乙两数各是多少？，甲、乙两数各是多少？【思路导航】【思路导航】甲甲数数的的2/5与与乙乙数数的的2/5的的和和就就是是甲甲、乙乙两两数数的的2/5，是是3002/5120，因因为为甲甲数数的的2/5比比乙乙数数的的1/4多多55，所所以以从从120中中减减去去55所所得得的的差差就就可可以以看看成成是是乙乙数数的的1/4与与乙乙数数的的2/5的的和。和。乙：（乙：（3002/555）（2/5+1/4）100甲：甲：300100200【练习【练习4】1畜畜牧牧场场有有绵绵羊羊、山山羊羊共共800只只，山山羊羊的的2/5比比绵绵羊羊的的1/2多多50只，这个畜牧场有山羊、绵羊各多少只？只，这个畜牧场有山羊、绵羊各多少只？2师师傅傅和和徒徒弟弟共共加加工工零零件件840个个，师师傅傅加加工工零零件件的的个个数数的的5/8比比徒徒弟弟加加工工零零件件个个数数的的2/3多多60个个，师师傅傅和和徒徒弟弟各各加加工工零零件多少个？件多少个？3某某校校六六年年级级甲甲、乙乙两两个个班班共共种种100棵棵树树，乙乙班班种种的的1/10比比甲班种的甲班种的1/3少少16棵，两个班各种多少棵？棵，两个班各种多少棵？第第10周周假设法解题假设法解题疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】育育红红小小学学上上学学期期共共有有学学生生750人人，本本学学期期男男学学生生增增加加1/6，女女学学生生减减少少1/5，共共有有710人人，本本学学期期男男、女女学学生生各各有有多少人？多少人？【思路导航】【思路导航】假假 设设 本本 学学 期期 女女 学学 生生 不不 是是 减减 少少 1/5， 而而 是是 增增 加加 1/6， 半半 学学 期期 应应 该该 有有750（1+1/6）875人人，比比实实际际多多875710165人人，这这165人人是是假假设设女女学学生生也也增增加加1/6多多出出的的人人数数，而而实实际际女女学学生生减减少少1/5，所所以以，这这165人人对对应着女学生的（应着女学生的（1/5+1/6）11/30。上学期女生：【上学期女生：【750（1+1/6）710】（1/5+1/6）450（人）（人）本学期女生：本学期女生：450（11/5）360（人）（人）本学期男生：本学期男生：710360350（人）（人）【练习【练习5】1金金放放在在水水里里称称，重重量量减减轻轻1/19，银银放放在在水水里里称称，重重量量减减少少1/10，一一块块重重770克克的的金金银银合合金金，放放在在水水里里称称是是720克克，这这块块合合金金含含金金、银银各各多多少少克克？2某某中中学学去去年年共共招招新新生生475人人，今今年年共共招招新新生生640人人，其其中中初初中中招招的的新新生生比比去去年年增增加加48，高高中中招招的的新新生生比比去去年年增增加加20，今今年年初初、高高中中各各招招收收新生多少人？新生多少人？3袋袋子子里里原原有有红红球球和和黄黄球球共共119个个。将将红红球球增增加加3/8，黄黄球球减减少少2/5后后，红球与黄球的总数变为红球与黄球的总数变为121个。原来袋子里有红球和黄球各多少个？个。原来袋子里有红球和黄球各多少个？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三夏蜻蜓教育工作室QQ3298540949 已已知知甲甲是是乙乙的的几几分分之之几几，又又知知甲甲与与乙乙各各改改变变一一定定的的数数量量后后两两者者之之间间新新的的倍倍数数关关系系，要要求求甲甲、乙乙两两个个数数是是多多少少，这这样样的的应应用题称为变倍问题。用题称为变倍问题。应应用用题题中中的的变变倍倍问问题题，有有两两数数同同增增、两两数数同同减减、一一增增一一减减等等各各种种情情况况。虽虽然然其其中中的的数数量量关关系系比比较较复复杂杂，但但解解答答时时的的关关键键仍仍是是确确定定哪哪个个量量为为单单位位“1”，然然后后通通过过假假设设，找找出出变变化化前前后后的的相相差差数数相相当当于于单单位位“1”的的几几分分之之几几，从从而而求求出出单单位位“1”的量，其他要求的量就迎刃而解了。的量，其他要求的量就迎刃而解了。【例例题题1】 两两根根铁铁丝丝，第第一一根根长长度度是是第第二二根根的的3倍倍，两两根根各各用用去去6米米，第第一一根根剩剩下下的的长长度度是是第第二二根根剩剩下下的的长长度度的的5倍倍，第第二二根原来有多少米？根原来有多少米？【思路导航】【思路导航】假假设设第第一一根根用用去去6318米米，那那么么第第一一根根剩剩下下的的长长度度仍仍是是第第二二根根剩剩下下长长度度的的3倍倍，而而事事实实上上第第一一根根比比假假设设的的少少用用去去（636）12米米，也也就就多多剩剩下下第第二二根根剩剩下下的的长长度度的的（53）2倍。倍。（633）（53）+612（米）（米）【练习【练习1】1丁丁晓晓原原有有书书的的本本数数是是王王阳阳的的5倍倍，若若两两人人同同时时各各借借出出5本本给给其其他他同同学学，则丁晓书的本数是王阳的则丁晓书的本数是王阳的10倍，两人原来各有书多少本？倍，两人原来各有书多少本？2在在植植树树劳劳动动中中，光光明明中中学学植植树树的的棵棵数数是是光光明明小小学学的的3倍倍，如如果果中中学学增增加加450棵棵，小小学学增增加加400棵棵，则则中中学学是是小小学学的的2倍倍。求求中中、小小学学原原来来各各植植树树多少棵？多少棵？3两两堆堆煤煤，第第一一堆堆是是第第二二堆堆的的2倍倍，第第一一堆堆用用去去8吨吨，第第二二堆堆用用去去11吨吨，第一堆剩下的重量是第二堆的第一堆剩下的重量是第二堆的4倍。求第二堆煤原来是多少吨？倍。求第二堆煤原来是多少吨？第第11周周假设法解题假设法解题疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】王王明明平平时时积积蓄蓄下下来来的的零零花花钱钱比比陈陈刚刚的的3倍倍多多6.40元元，若若两两个个人人各各买买了了一一本本4.40元元的的故故事事书书后后，王王明明的的钱钱就就是是陈陈刚刚的的8倍，陈刚原来有零花钱多少元？倍，陈刚原来有零花钱多少元？【思路导航】【思路导航】假假设设仍仍然然保保持持王王明明的的钱钱比比陈陈刚刚的的3倍倍多多6.40元元，则则王王明明要要相相应应地地花花去去4.40313.20元元，但但王王明明只只花花去去了了4.40元元，比比13.20元元少少13.204.408.80元元，那那么么王王明明买买书书后后的的钱钱比比陈陈刚刚买买书书后后的的钱钱的的3倍倍多多6.40+8.8015.20元元，而而题题中中已已告告诉诉：买买书书后后王王明明的的钱钱是是陈陈刚刚的的8倍倍，所所以以，15.20元元就就对对应应着着陈陈刚刚花花钱钱后后剩下钱的剩下钱的835倍。倍。【6.40+（4.4034.40】（83）+4.407.44（元）（元）【练习【练习2】1甲甲书书架架上上的的书书比比乙乙书书架架上上的的3倍倍多多50本本，若若甲甲、乙乙两两个个书书架架上上各各增增加加150本本，则则甲甲书书架架上上的的书书是是乙乙书书架架上上的的2倍倍，甲甲、乙乙两两个个书书架架原原来来各各有有多多少本书？少本书？2上上学学年年，马马村村中中学学的的学学生生比比牛牛庄庄小小学学的的学学生生的的2倍倍多多54人人，本本学学年年马马村村中中学学增增加加了了20人人，牛牛庄庄小小学学减减少少了了8人人，则则马马村村中中学学的的学学生生比比牛牛庄庄小小学学的学生的的学生的4倍少倍少26人，上学年马村中学和牛庄小学各有学生多少人？人，上学年马村中学和牛庄小学各有学生多少人？3箱箱子子里里有有红红、白白两两种种玻玻璃璃球球，红红球球比比白白球球的的3倍倍多多2粒粒，每每次次从从箱箱子子里里取取出出7粒粒白白球球和和15粒粒红红球球，若若干干次次后后，箱箱子子里里剩剩下下3粒粒白白球球和和53粒粒红红球球，那么，箱子里白球原有多少粒？那么，箱子里白球原有多少粒？第第11周周设数法解题设数法解题疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】小小红红的的彩彩笔笔枝枝数数是是小小刚刚的的1/2，两两人人各各买买5枝枝后后，小小红的彩笔枝数是小刚的红的彩笔枝数是小刚的2/3，两人原来各有彩笔多少枝？，两人原来各有彩笔多少枝？【思路导航】【思路导航】假假设设小小刚刚买买了了5枝枝后后，小小红红的的彩彩笔笔仍仍为为小小刚刚的的1/2，则则小小红红只只需需买买（51/2）2又又1/2枝枝，但但实实际际上上小小红红买买了了5枝枝，多多买买了了52又又1/22又又1/2枝枝。将将小小刚刚买买了了5枝枝后后的的枝枝数数看看作作“1”，小红多买了小红多买了2又又1/2，相当于（，相当于（2/31/2）1/6。小刚原来：（小刚原来：（551/2）（2/31/2）510（枝）（枝）小红原来：小红原来：101/25（枝）（枝）【练习【练习3】1小小华华今今年年的的年年龄龄是是爸爸爸爸年年龄龄的的1/6，四四年年后后小小华华的的年年龄龄是是爸爸的爸爸的1/4，求小华和爸爸今年的年龄各是多少岁？，求小华和爸爸今年的年龄各是多少岁？2小小红红今今年年的的年年龄龄是是妈妈妈妈的的3/8，10年年后后小小红红的的年年龄龄是是妈妈妈妈的的1/2，小红今年多少岁？，小红今年多少岁？3甲甲书书架架上上的的书书是是乙乙书书架架上上的的5/7，甲甲、乙乙两两个个书书架架上上各各增增加加90本本后后，甲甲书书架架上上的的书书是是乙乙书书架架上上的的4/5，甲甲、乙乙两两各各书书架架原来各有多少本书？原来各有多少本书？第第11周周设数法解题设数法解题疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】王王芳芳原原有有的的图图书书本本数数是是李李卫卫的的4/5，两两人人各各捐捐给给“希希望望工工程程”10本本后后，则则王王芳芳的的图图书书的的本本数数是是李李卫卫的的7/10，两两人原来各有图书多少本？人原来各有图书多少本？【思路导航】【思路导航】假假设设李李卫卫捐捐了了10本本后后，王王芳芳的的图图书书仍仍是是李李卫卫的的4/5，则则王王芳芳只只需需捐捐104/58本本，实实际际王王芳芳捐捐了了10本本，多多捐捐了了1082本本，将将李李卫卫捐捐书书后后剩剩下下的的图图书书看看作作“1”，着着2本本书书相相当当于于4/57/101/10。李卫李卫（10104/5）(4/5710)+10=30(本本)304/524（本）（本）【练习【练习4】1甲甲书书架架上上的的书书是是乙乙书书架架上上的的4/5，从从这这两两个个书书架架上上各各借借出出112本本后后，甲甲书架上的书是乙书架上的书架上的书是乙书架上的4/7，原来甲、乙两个书架上各有多少本书？，原来甲、乙两个书架上各有多少本书？2小小明明今今年年的的年年龄龄是是爸爸爸爸的的6/11，10年年前前小小明明的的年年龄龄是是爸爸爸爸的的4/9，小小明和爸爸今年各多少岁？明和爸爸今年各多少岁？3甲甲车车间间的的工工人人是是乙乙车车间间的的1/4，从从甲甲、乙乙两两个个车车间间各各抽抽出出30人人后后，甲甲车间的工人只占乙车间的车间的工人只占乙车间的1/6，甲、乙两个车间原来各有多少名工人？，甲、乙两个车间原来各有多少名工人？第第11周周假设法解题假设法解题疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】某某校校六六年年级级男男生生人人数数是是女女生生的的2/3，后后来来转转进进2名名男男生生，转转走走3名名女女生生，这这时时男男生生人人数数是是女女生生的的3/4，现现在在男男、女女生各有多少人？生各有多少人？【思路导航】【思路导航】假假设设转转走走3名名女女生生后后，男男生生人人数数仍仍是是女女生生的的2/3，则则男男生生应应转转走走32/32人人，实实际际上上男男生生却却转转进进2人人，与与应应转转走走2人人相相差差2+24人人。将将转转走走3名名女女生生后后的的女女生生人人数数看看作作“1”，则则相相差差的的4人相当于现在女生的人相当于现在女生的3/42/3。（2+32/3）（3/42/3）48（人）（人）483/436（人）（人）【练习【练习5】1甲甲车车间间的的工工人人是是乙乙车车间间的的2/5，后后来来甲甲车车间间增增加加20人人，乙乙车车间间减减少少35人人，这这样样甲甲车车间间的的人人数数是是乙乙车车间间的的7/9，现现在在甲甲、乙乙两两个个车车间间各各有有多多少少人人？2有有一一堆堆棋棋子子，黑黑子子是是白白子子的的2/3，现现在在取取走走12粒粒黑黑子子，添添上上18粒粒白白子子后，黑子是白子的后，黑子是白子的5/12，现在白子、黑子各有多少粒？，现在白子、黑子各有多少粒？3爱爱华华小小学学和和曙曙光光小小学学的的同同学学参参加加小小学学数数学学竞竞赛赛，去去年年的的比比赛赛中中，爱爱华华小小学学得得一一等等奖奖的的人人数数是是曙曙光光小小学学的的2.5倍倍。今今年年的的比比赛赛中中，爱爱华华小小学学得得一一等等奖奖的的人人数数减减少少了了1人人，曙曙光光小小学学增增加加了了6人人，这这时时曙曙光光小小学学得得一一等等奖奖的的人数是爱华小学的人数是爱华小学的2倍。两校去年的一等奖的同学各有多少人？倍。两校去年的一等奖的同学各有多少人？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三夏蜻蜓教育工作室QQ3298540949 有有些些应应用用题题如如果果按按照照一一般般方方法法，顺顺着着题题目目的的条条件件一一步步一一步步地地列列出出算算式式求求解解，过过程程比比较较繁繁琐琐。所所以以，解解题题时时，我我们们可可以以从从最最后后的的结结果果出出发发，运运用用加加与与减减、乘乘与与除除之之间间的的互互逆逆关关系系，从从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。【例例题题1】 一一本本文文艺艺书书，小小明明第第一一天天看看了了全全书书的的1/3，第第二二天天看了余下的看了余下的3/5，还剩下，还剩下48页，这本书共有多少页？页，这本书共有多少页？【思路导航】【思路导航】从从“剩剩下下48页页”入入手手倒倒着着往往前前推推，它它占占余余下下的的13/52/5。第第一一天天看看后后还还剩剩下下482/5120页页，这这120页页占占全全书书的的11/32/3，这本书共有，这本书共有1202/3180页。即页。即48（13/5）（11/3）180（页）（页）【练习【练习1】某某班班少少先先队队员员参参加加劳劳动动，其其中中3/7的的人人打打扫扫礼礼堂堂，剩剩下下队队员员中中的的5/8打打扫操场，还剩扫操场，还剩12人打扫教室，这个班共有多少名少先队员？人打扫教室，这个班共有多少名少先队员？一一辆辆汽汽车车从从甲甲地地出出发发，第第一一天天走走了了全全程程的的3/8，第第二二天天走走了了余余下下的的2/3，第三天走了，第三天走了250千米到达乙地。甲、乙两地间的路程是多少千米？千米到达乙地。甲、乙两地间的路程是多少千米？把把一一堆堆苹苹果果分分给给四四个个人人，甲甲拿拿走走了了其其中中的的1/6，乙乙拿拿走走了了余余下下的的2/5，丙拿走这时所剩的丙拿走这时所剩的3/4，丁拿走最后剩下的，丁拿走最后剩下的15个，这堆苹果共有多少个？个，这堆苹果共有多少个？第第12周周推倒法解题推倒法解题疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】筑筑路路队队修修一一段段路路，第第一一天天修修了了全全长长的的1/5又又100米米，第第二二天天修修了了余余下下的的2/7，还还剩剩500米米，这这段段公公路路全全长长多多少少米米？【思路导航】【思路导航】从从“还还剩剩500米米”入入手手倒倒着着往往前前推推，它它占占余余下下的的12/75/7，第第一一天天修修后后还还剩剩5005/7700米米，如如果果第第一一天天正正好好修修全全长长的的1/5，还还余余下下700+100800米米，这这800米米占占全全长长的的11/54/5，这段路全长，这段路全长8004/51000米。列式为：米。列式为：【500（12/7）+100】（11/5）1000米米【练习【练习2】一一堆堆煤煤，上上午午运运走走2/7，下下午午运运的的比比余余下下的的1/3还还多多6吨吨，最后剩下最后剩下14吨还没有运走，这堆煤原有多少吨？吨还没有运走，这堆煤原有多少吨？用用拖拖拉拉机机耕耕一一块块地地，第第一一天天耕耕了了这这块块地地的的1/3又又2公公顷顷，第第二二天天耕耕的的比比余余下下的的1/2多多3公公顷顷，还还剩剩下下35公公顷顷，这这块块地地共共有多少公顷？有多少公顷？一一批批水水泥泥，第第一一天天用用去去了了1/2多多1吨吨，第第二二天天用用去去了了余余下下1/3少少2吨，还剩下吨，还剩下16吨，原来这批水泥有多少吨？吨，原来这批水泥有多少吨？第第12周周推倒法解题推倒法解题疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】有有甲甲、乙乙两两桶桶油油，从从甲甲桶桶中中倒倒出出1/3给给乙乙桶桶后后，又又从从乙乙桶桶中中倒倒出出1/5给给甲甲桶桶，这这时时两两桶桶油油各各有有24千千克克，原原来来甲甲、乙两个桶中各有多少千克油？乙两个桶中各有多少千克油？【思路导航】【思路导航】从从最最后后的的结结果果出出发发倒倒推推，甲甲、乙乙两两桶桶共共有有（242）48千千克克，当当乙乙桶桶没没有有倒倒出出1/5给给甲甲桶桶时时，乙乙桶桶内内有有油油24（11/5）30千千克克，这这时时甲甲桶桶内内只只有有483018千千克克，而而甲甲桶桶已已倒倒出出1/3给给了了乙乙桶桶，可可见见甲甲桶桶原原有有的的油油为为18（11/3）27千千克克，乙桶原有的油为乙桶原有的油为482721千克。千克。甲：【甲：【24224（11/5）】）】（11/3）27（千克）（千克）乙：乙：2422721（千克）（千克）【练习【练习3】小小华华拿拿出出自自己己的的画画片片的的1/5给给小小强强，小小强强再再从从自自己己现现有有的的画画片片中中拿拿出出1/4给给小小华华，这这时时两两人人各各有有画画片片12张张，原原来来两两人人各各有画片多少张？有画片多少张？甲甲、乙乙两两人人各各有有人人民民币币若若干干元元，甲甲拿拿出出1/5给给乙乙后后，乙乙又又拿出拿出1/4给甲，这时他们各有给甲，这时他们各有90元，他们原来各有多少元？元，他们原来各有多少元？一一瓶瓶酒酒精精，第第一一次次倒倒出出1/3，然然后后倒倒回回瓶瓶中中40克克，第第二二次次再再倒倒出出瓶瓶中中酒酒精精的的5/9，第第三三次次倒倒出出180克克，瓶瓶中中好好剩剩下下60克克，原来瓶中有多少克酒精？原来瓶中有多少克酒精？第第12周周推倒法解题推倒法解题疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】甲甲、乙乙、丙丙三三人人共共有有人人民民币币168元元，第第一一次次甲甲拿拿出出与与乙乙相相同同的的钱钱数数给给乙乙；第第二二次次乙乙拿拿出出与与丙丙相相同同的的钱钱数数给给丙丙；第第三三次次丙丙拿拿出出与与这这时时甲甲相相同同的的钱钱数数给给甲甲。这这样样，甲甲、乙乙、丙丙三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元钱？三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元钱？【思路导航】【思路导航】根根据据题题意意，由由最最后后甲甲钱钱数数是是168356元元可可推推出出：第第一一次次甲甲拿拿出出与与乙乙同同样样的的钱钱数数给给乙乙后后，甲甲剩剩下下的的钱钱是是56228元元，这这28元就是原来甲比乙多的钱数。元就是原来甲比乙多的钱数。1683228元元【练习【练习4】甲甲、乙乙、丙丙三三个个班班共共有有学学生生144人人，先先从从甲甲班班调调出出与与乙乙班班相相同同的的人人数数给给乙乙班班，再再从从乙乙班班调调出出与与丙丙班班相相同同的的人人数数到到丙丙班班。再再从从丙丙班班调调出出与与这这时时甲甲班班相相同同的的人人数数给给甲甲班班，这这样样，甲甲、乙乙、丙丙三三个个班班人人数数相相等等。原原来来甲甲班班比乙班多多少人？比乙班多多少人？甲甲、乙乙、丙丙三三个个盒盒子子各各有有若若干干个个小小球球，从从甲甲盒盒拿拿出出4个个放放入入乙乙盒盒，再再从从乙乙盒盒拿拿出出8个个放放入入丙丙盒盒后后，三三个个盒盒子子内内的的小小球球个个数数相相等等。原原来来乙乙盒盒比比丙丙盒多几个球？盒多几个球？甲甲、乙乙、丙丙三三个个仓仓库库面面粉粉袋袋数数的的比比是是6：9：5，如如果果从从乙乙仓仓库库拿拿出出400袋袋平平均均分分给给甲甲、丙丙两两仓仓库库，则则甲甲、乙乙两两个个仓仓库库的的数数量量相相等等。这这三三个个仓仓库共存面粉多少袋？库共存面粉多少袋？第第12周周推倒法解题推倒法解题疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】甲甲、乙乙两两个个仓仓库库各各有有粮粮食食若若干干吨吨，从从甲甲仓仓库库运运出出1/4到到乙乙仓仓库库后后，又又从从乙乙仓仓库库运运出出1/4到到甲甲仓仓库库，这这时时甲甲、乙乙两两仓仓库库的的粮粮食食储储量量相相等等。原原来来甲甲仓仓库库的的粮粮食食是是乙乙仓仓库库的的几几分分之几？之几？【思路导航】【思路导航】解解题题关关键键是是把把两两个个仓仓库库粮粮食食的的和和看看作作“1”，由由题题意意可可知知，从从乙乙仓仓库库运运出出1/4到甲仓库，乙仓库最后占两仓库和的到甲仓库，乙仓库最后占两仓库和的1/2。当乙仓库没有往甲仓库运时，乙仓库占两仓库和的几分之几？当乙仓库没有往甲仓库运时，乙仓库占两仓库和的几分之几？1/2（11/4）2/3甲仓库占两仓库和的几分之几？甲仓库占两仓库和的几分之几？12/31/3甲仓库原来占两仓库和的几分之几？甲仓库原来占两仓库和的几分之几？1/3（11/4）4/9原来甲仓库时乙仓库的几分之几？原来甲仓库时乙仓库的几分之几？4（94）4/5【练习【练习5】1甲甲、乙乙两两个个仓仓库库各各有有粮粮食食若若干干吨吨，从从甲甲仓仓库库运运出出1/3到到乙乙仓仓库库后后，又又从从乙乙仓仓库库运运出出1/3到到甲甲仓仓库库，这这时时甲甲、乙乙两两仓仓库库的的粮粮食食储储量量相相等等。原原来来甲甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？仓库的粮食是乙仓库的几分之几？甲甲、乙乙两两个个仓仓库库各各有有粮粮食食若若干干吨吨，从从甲甲仓仓库库运运出出1/5到到乙乙仓仓库库后后，又又从从乙乙仓仓库库运运出出1/4到到甲甲仓仓库库，这这时时甲甲、乙乙两两仓仓库库的的粮粮食食储储量量相相等等。原原来来甲甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？仓库的粮食是乙仓库的几分之几？甲甲、乙乙两两个个仓仓库库各各有有粮粮食食若若干干吨吨，从从甲甲仓仓库库运运出出1/3到到乙乙仓仓库库后后，又又从从乙乙仓仓库库运运出出2/5到到甲甲仓仓库库，这这时时乙乙仓仓库库的的粮粮食食是是甲甲仓仓库库的的9/10。原原来来甲甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？仓库的粮食是乙仓库的几分之几？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三夏蜻蜓教育工作室QQ3298540949 有有一一些些数数量量关关系系比比较较复复杂杂的的分分数数应应用用题题，用用算算术术方方法法解解答答比比较较繁繁、难难，甚甚至至无无法法列列式式算算式式，这这时时我我们们可可根根据据题题中中的的等等量量关系列方程解答。关系列方程解答。【例例题题1】 某某车车间间生生产产甲甲、乙乙两两种种零零件件，生生产产的的甲甲种种零零件件比比乙乙种种零零件件多多12个个，乙乙种种零零件件全全部部合合格格，甲甲种种零零件件只只有有4/5合合格格，两种零件合格的共有两种零件合格的共有42个，两种零件个生产了多少个？个，两种零件个生产了多少个？【思路导航】【思路导航】本本体体用用算算术术方方法法解解有有一一定定难难度度，可可以以根根据据两两种种零零件件合合格格的的一共有一共有42个，列方程求解。个，列方程求解。解：设生产乙种零件解：设生产乙种零件x个，则生产甲种零件（个，则生产甲种零件（x+12）个。）个。（x+12）4/5+x424/5x+9+x429/5x429又又3/5x1818+1230（个）（个）【练习【练习1】1某某校校参参加加数数学学竞竞赛赛的的女女生生比比男男生生多多28人人，男男生生全全部部得得优优，女女生生的的3/4得优，男、女生得优的一共有得优，男、女生得优的一共有42人，男、女生参赛的各有多少人？人，男、女生参赛的各有多少人？2有有两两盒盒球球，第第一一盒盒比比第第二二盒盒多多15个个，第第二二盒盒中中全全部部是是红红球球，第第一一盒盒中中的的2/5是红球，已知红球一共有是红球，已知红球一共有69个，两盒球共有多少个？个，两盒球共有多少个？3六六年年级级甲甲班班比比乙乙班班少少4人人，甲甲班班有有1/3的的人人、乙乙班班有有1/4的的人人参参加加课课外外数数学组，两个班参加课外数学组的共有学组，两个班参加课外数学组的共有29人，甲、乙两班共有多少人？人，甲、乙两班共有多少人？第第13周周代数法解题代数法解题疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】阅阅览览室室看看书书的的学学生生中中，男男生生比比女女生生多多10人人，后后来来男男生生减减少少1/4，女女生生减减少少1/6，剩剩下下的的男男、女女生生人人数数相相等等，原原来一共有多少名学生在阅览室看书？来一共有多少名学生在阅览室看书？【思思路路导导航航】根根据据剩剩下下的的男男、女女人人数数相相等等的的题题意意来来列列方方程程求求解。解。解：设女生有解：设女生有x人，则男生有（人，则男生有（x+10）人）人（11/6）x（x+10）（11/4）x9090+90+10190人人【练习【练习2】1某某小小学学去去年年参参加加无无线线电电小小组组的的同同学学比比参参加加航航模模小小组组的的同同学学多多5人人。今今年年参参加加无无线线电电小小组组的的同同学学减减少少1/5，参参加加航航模模小小组组的的人人数数减减少少1/10，这这样样，两个组的同学一样多。去年两个小组各有多少人？两个组的同学一样多。去年两个小组各有多少人？2原原来来甲甲、乙乙两两个个书书架架上上共共有有图图书书900本本，将将甲甲书书架架上上的的书书增增加加5/8，乙乙书书架架上上的的书书增增加加3/10，这这样样，两两个个书书架架上上的的书书就就一一样样多多。原原来来甲甲、乙乙两两个书架各有图书多少本？个书架各有图书多少本？3某某车车间间昨昨天天生生产产的的甲甲种种零零件件比比乙乙种种零零件件多多700个个。今今天天生生产产的的甲甲种种零零件件比比昨昨天天少少1/10，生生产产的的乙乙种种零零件件比比昨昨天天增增加加3/20，两两种种零零件件共共生生产产了了2065个。昨天两种零件共生产了多少个？个。昨天两种零件共生产了多少个？第第13周周代数法解题代数法解题疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】甲甲、乙乙两两校校共共有有22人人参参加加竞竞赛赛，甲甲校校参参加加人人数数的的1/5比比乙乙校校参参加加人人数数的的1/4少少1人人，甲甲、乙乙两两校校各各有有多多少少人人参参加加？【思路导航】【思路导航】这题中的等量关系是：甲这题中的等量关系是：甲1/5乙乙1/41解：设甲校有解：设甲校有x人参加，则乙校有（人参加，则乙校有（22x）人参加。）人参加。1/5x（22x）1/41x10221012（人）（人）【练习【练习3】1学学校校图图书书馆馆买买来来文文艺艺书书和和连连环环画画共共126本本，文文艺艺书书的的比比连连环画的少环画的少7本，图书馆买来的文艺书和连环画各是多少本？本，图书馆买来的文艺书和连环画各是多少本？2某某小小有有学学生生465人人，其其中中女女生生的的比比男男生生的的少少20人人，男男、女女生各有多少人？生各有多少人？3王王师师傅傅和和李李师师傅傅共共加加工工零零件件62个个，王王师师傅傅加加工工零零件件个个数数的比李师傅的少的比李师傅的少2个，两人各加工了多少个？个，两人各加工了多少个？第第13周周代数法解题代数法解题疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】甲甲书书架架上上的的书书是是乙乙书书架架上上的的5/6，两两个个书书架架上上各各借借出出154本本后后，甲甲书书架架上上的的书书是是乙乙书书架架上上的的4/7，甲甲、乙乙两两书书架架上原有书各多少本？上原有书各多少本？【思路导航】【思路导航】这这道道题题的的等等量量关关系系是是；甲甲书书架架上上剩剩下下的的书书等等于于乙乙书书架架上上剩剩下下的的4/7。解：设乙书架上原有解：设乙书架上原有x本，则甲书架上原有本，则甲书架上原有5/6x本。本。（x154）4/75/6x154x2522525/6210（本）（本）【练习【练习4】1儿儿子子今今年年的的年年龄龄是是父父亲亲的的1/6，4年年后后儿儿子子的的年年龄龄是是父父亲亲的的1/4，父亲今年多少岁？，父亲今年多少岁？2某某校校六六年年级级男男生生是是女女生生人人数数的的2/3，后后来来转转进进2名名男男生生，转转走走3名名女女生生，这这时时男男生生人人数数是是女女生生的的3/4。原原来来男男、女女生生各各有有多少人？多少人？3第第一一车车间间人人数数的的3/5等等于于第第二二车车间间人人数数的的9/10，第第一一车车间间比第二车间多比第二车间多50人。两个车间各有多少人？人。两个车间各有多少人？第第13周周代数法解题代数法解题疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】一一个个班班女女同同学学比比男男同同学学的的2/3多多4人人，如如果果男男生生减减少少3人人，女女生生增增加加4人人，男男、女女生生人人数数正正好好相相等等。这这个个班班男男、女女生各有多少人？生各有多少人？【思路导航】【思路导航】抓抓住住“如如果果男男生生减减少少3人人，女女生生增增加加4人人，男男、女女生生人人数数正正好好相等相等”这个等量关系列方程。这个等量关系列方程。解：设男生有解：设男生有x人，则女生有（人，则女生有（2/3x+4）人。）人。x32/3x+4+4x332/333+426（人）（人）【练习【练习5】1某某学学校校的的男男教教师师比比女女教教师师的的3/8多多8人人。如如果果女女教教师师减减少少4人人，男男教教师师增加增加8人，男、女教师人数正好相等。这个学校男、女教师各有多少人？人，男、女教师人数正好相等。这个学校男、女教师各有多少人？2某某无无线线电电厂厂有有两两个个仓仓库库。第第一一仓仓库库储储存存的的电电视视机机是是第第二二仓仓库库的的3倍倍。如如果果从从第第一一仓仓库库取取出出30台台，存存入入第第二二仓仓库库，则则第第二二仓仓库库就就是是第第一一仓仓库库的的4/9。两个仓库原来各有电视机多少台？。两个仓库原来各有电视机多少台？3某某工工厂厂第第一一车车间间的的人人数数比比第第二二车车间间的的人人数数的的4/5少少30人人。如如果果从从第第二二车车间间调调10人人到到第第一一车车间间，则则第第一一车车间间的的人人数数就就是是第第二二车车间间的的3/4。求求原原来来每个车间的人数。每个车间的人数。六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三夏蜻蜓教育工作室QQ3298540949 我我们们已已经经学学过过比比的的知知识识，都都知知道道比比和和分分数数、除除法法其其实实是是一一回回事事，所所有有比比与与分分数数能能互互相相转转化化。运运用用这这种种方方法法解解决决一一些些实实际问题可以化难为易，化繁为简。际问题可以化难为易，化繁为简。【例例题题1】 甲甲数数是是乙乙数数的的2/3，乙乙数数是是丙丙数数的的4/5，甲甲、乙乙、丙三数的比是（丙三数的比是（）：（）：（）：（）：（）。）。【思路导航】【思路导航】甲、乙两数的比甲、乙两数的比2：3乙、丙两数的比乙、丙两数的比4：5甲、乙、丙三数的比甲、乙、丙三数的比8：12：15【练习【练习1】1甲甲数数是是乙乙数数的的4/5，乙乙数数是是丙丙数数的的5/8，甲甲、乙乙、丙丙三三数数的的比是（比是（）：（）：（）：（）：（）。）。2甲甲数数是是乙乙数数的的4/5，甲甲数数是是丙丙数数的的4/9，甲甲、乙乙、丙丙三三数数的的比是（比是（）：（）：（）：（）：（）。）。3甲甲数数是是丙丙数数的的3/7，乙乙数数是是丙丙数数的的2又又1/2，甲甲、乙乙、丙丙三三数的比是（数的比是（）：（）：（）：（）：（）。）。第第14周周比的应用比的应用疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】光光明明小小学学将将五五年年级级的的140名名学学生生，分分成成三三个个小小组组进进行行植植树树活活动动，已已知知第第一一小小组组和和第第二二小小组组人人数数的的比比是是2：3，第第二二小小组组和和第第三三小小组组人人数数的的比比是是4：5。这这三三个个小小组组各各有有多多少少人人？第第14周周比的应用比的应用疯狂操练二疯狂操练二【思路导航】【思路导航】先求出三个小组人数的连比，再按求出的连比进行分配。先求出三个小组人数的连比，再按求出的连比进行分配。一一、二二两两组组人人数数的的比比2：3二二、三三两两组组人人数数的的比比4：5一、二、三组人数的比一、二、三组人数的比8：12：15总份数：总份数：8+12+1535第一组：第一组：1408/3532（人）（人）第二组：第二组：14012/3548（人）（人）第三组：第三组：14015/3560（人）（人）【练习【练习2】1某某农农场场把把61600公公亩亩耕耕地地划划归归为为粮粮田田与与棉棉田田，它它们们之之间间的的比比是是7：2，棉田与其他作物面积的比棉田与其他作物面积的比6：1。每种作物各是多少公亩？。每种作物各是多少公亩？2黄黄山山小小学学六六年年级级的的同同学学分分三三组组参参加加植植树树。第第一一组组与与第第二二组组的的人人数数的的比比是是5：4，第第二二组组与与第第三三组组人人数数的的比比是是3：2。已已知知第第一一组组的的人人数数比比二二、三三组人数的总和少组人数的总和少15人。六年级参加植树的共有多少人？人。六年级参加植树的共有多少人？3科科技技组组与与作作文文组组人人数数的的比比是是9：10，作作文文组组与与数数学学组组人人数数的的比比是是5：7。已知数学组与科技组共有已知数学组与科技组共有69人。数学组比作文组多多少人？人。数学组比作文组多多少人？第第14周周比的应用比的应用疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】甲甲、乙乙两两校校原原有有图图书书本本数数的的比比是是7：5，如如果果甲甲校校给给乙乙校校650本本，甲甲、乙乙两两校校图图书书本本数数的的比比就就是是3：4。原原来来甲甲校有图书多少本？校有图书多少本？【思思路路导导航航】由由甲甲、乙乙两两校校原原有有图图书书本本数数的的比比是是7：5可可知知，原原来来甲甲校校图图书书的的本本数数是是两两校校图图书书总总数数的的7/（7+5），由由于于甲甲校校给给了了乙乙校校650本本，这这时时甲甲校校的的图图书书占占两两校校图图书书总总数数的的3/（3+4），甲甲校校给给乙乙校校的的650本本图图书书，相相当当于于两两校校图图书书总总数数的的7/（7+5）3/（3+4）13/84。650（7/（7+5）3/（3+4）7/（7+5）2450（本）（本）【练习【练习3】1小小明明读读一一本本书书，已已读读的的和和未未读读的的页页数数比比是是1：5。如如果果再再读读30页页，则则已已读和未读的页数之比为读和未读的页数之比为3：5。这本书共有多少页？。这本书共有多少页？2甲甲、乙乙两两包包糖糖的的重重量量比比是是4：1。从从甲甲包包取取出出130克克放放入入乙乙包包后后，甲甲、乙两包糖的重量比为乙两包糖的重量比为7：5。原来甲包有多少克糖？。原来甲包有多少克糖？3五五年年级级三三个个班班举举行行数数学学竞竞赛赛。一一班班参参加加比比赛赛的的占占全全年年级级参参赛赛总总人人数数的的1/3，二二班班与与三三班班参参加加比比赛赛人人数数的的比比是是11：13，二二班班比比三三班班少少8人人。一一班班有多少人参加了数学竞赛？有多少人参加了数学竞赛？第第14周周比的应用比的应用疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】从从前前有有个个农农民民，临临死死前前留留下下遗遗言言，要要把把17头头牛牛分分给给三三个个儿儿子子，其其中中大大儿儿子子分分得得1/2，二二儿儿子子分分得得1/3，小小儿儿子子分分得得1/9，但但不不能能把把牛牛卖卖掉掉或或杀杀掉掉。三三个个儿儿子子按按照照老老人人的的要要求求怎怎么么也也不不好好分分。后后来来一一位位邻邻居居顺顺利利地地把把17头头牛牛分分完完了了，你你知知道这到底是怎么回事吗？道这到底是怎么回事吗？【思路导航】【思路导航】第第14周周比的应用比的应用疯狂操练四疯狂操练四【思路导航】【思路导航】因因为为1/2+1/3+1/917/18，17/181，就就是是说说三三兄兄弟弟并并未未将将全全部部牛牛分分完完，所所以以我我们们求求出出三三个个儿儿子子分分牛牛头头数数的的连连比比，最最后后再按比例分配。再按比例分配。三个儿子分牛头数的连比：三个儿子分牛头数的连比：1/2：1/3：1/99：6：2总份数：总份数：9+6+217三三个个儿儿子子各各分分得得牛牛的的头头数数：179/179（头头）176/176（头）（头）172/172（头）（头）【练习【练习4】1图图书书室室取取出出一一批批书书，按按照照一一年年级级得得1/2，二二年年级级得得1/3，三三年年级级得得1/7，正正好好是是41本，各年级各得多少本？本，各年级各得多少本？2古古罗罗马马富富豪豪约约翰翰逊逊再再临临终终前前，对对怀怀孕孕的的妻妻子子写写下下这这样样一一份份遗遗嘱嘱：如如果果生生下下来来是是个个男男孩孩，就就把把遗遗产产的的三三分分之之二二给给儿儿子子，母母亲亲拿拿三三分分之之一一；如如果果生生下下来来的的是是女女孩孩就就把把遗遗产产的的三三分分之之一一给给女女儿儿，三三分分之之二二给给母母亲亲。结结果果他他的的妻妻子子生生了了双双胞胞胎胎，一一男男一女，这是他没有预料到的。求出接近于遗嘱条件，把遗产分给三个继承人的比。一女，这是他没有预料到的。求出接近于遗嘱条件，把遗产分给三个继承人的比。（1）从儿子、母亲、女儿所得的比例来看，他们三人所得的遗产的）从儿子、母亲、女儿所得的比例来看，他们三人所得的遗产的比是（）：（比是（）：（）：（）：（）。）。（2）从从母母亲亲至至少少得得遗遗产产的的1/3来来看看，儿儿子子、母母亲亲、女女儿儿所所得得遗遗产产的的比比是是（）：（）：（）：（）。）。3甲甲、乙乙、丙丙三三人人共共做做零零件件900个个。甲甲做做总总数数的的30，乙乙比比丙丙多多做做1/3。三三人人各各做多少个？做多少个？第第14周周比的应用比的应用疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】两两个个相相同同的的瓶瓶子子装装满满酒酒精精溶溶液液。一一个个瓶瓶中中酒酒精精与与水水的的体体积积之之比比是是3：1，另另一一个个瓶瓶中中酒酒精精与与水水的的体体积积之之比比是是4：1。若若把把两两瓶瓶酒酒精精溶溶液液混混合合，混混合合液液中中酒酒精精与与水水的的体体积积之之比比是是多多少？少？第第14周周比的应用比的应用疯狂操练五疯狂操练五【思路导航】【思路导航】抓抓住住两两个个瓶瓶子子相相同同的的关关系系，分分别别求求出出每每个个瓶瓶中中的的酒酒精精占占瓶瓶子子容积的几分之几再解答。容积的几分之几再解答。一个瓶中酒精占瓶子容积的比一个瓶中酒精占瓶子容积的比3/（1+3）3/4另一个瓶中酒精占瓶子容积的比另一个瓶中酒精占瓶子容积的比4/（1+4）4/5两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比3/4+4/531/20水占一个瓶子容积的比水占一个瓶子容积的比231/209/20混合液中酒精与水的比混合液中酒精与水的比31/20：9/2031：9【练习【练习5】1两两块块一一样样重重的的合合金金，一一块块合合金金中中铜铜与与锌锌的的比比是是2：5，另另一一块块合合金金中中铜与锌的比是铜与锌的比是1：3。现将两块合金合成一块，求出锌合金中铜与锌的比。现将两块合金合成一块，求出锌合金中铜与锌的比。2将将一一条条公公路路平平均均分分给给甲甲、乙乙两两个个工工程程队队修修筑筑。甲甲队队已已修修的的与与剩剩下下的的比比是是2：1，乙乙队队已已修修的的与与剩剩下下的的比比是是5：2。这这条条公公路路已已修修了了全全长长的的几几分分之之几？几？3光光华华电电视视机机厂厂上上半半年年生生产产的的电电视视机机产产量量占占全全年年的的5/8，照照这这样样的的速速度度计算，全年可超产计算，全年可超产1000台。这个工厂上半年生产电视机多少台？台。这个工厂上半年生产电视机多少台？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三夏蜻蜓教育工作室QQ3298540949 比比是是反反映映数数量量关关系系的的一一种种常常见见形形式式，也也是是解解数数学学题题的的一一种种重重要要工工具具，有有了了它它，我我们们处处理理倍倍数数关关系系、解解答答分分数数应应用用题题就就方便灵活得多。在这一讲，我们讲探讨稍复杂的比是应用题。方便灵活得多。在这一讲，我们讲探讨稍复杂的比是应用题。【例例题题1】甲甲、乙乙两两个个学学生生放放学学回回家家，甲甲要要比比乙乙多多走走1/5的的路路，而乙走的时间比甲少而乙走的时间比甲少1/11，求甲、乙两人速度的比。，求甲、乙两人速度的比。【思路导航】【思路导航】因因为为速速度度路路程程时时间间，所所以以，甲甲、乙乙速速度度的的比比甲甲路路程程/甲时间：乙路程甲时间：乙路程/乙时间乙时间（1）甲、乙路程的比：（）甲、乙路程的比：（1+1/5）：）：16：5（2）甲、乙时间的比：）甲、乙时间的比：1：（：（11/11）11：10（3）甲、乙速度的比：）甲、乙速度的比：6/11：5/10=12：11【练习【练习1】1小小明明和和小小芳芳各各走走一一段段路路。小小明明走走的的路路程程比比小小芳芳多多1/5，小小芳用的时间比小明多芳用的时间比小明多1/8。求小明和小芳速度的比。求小明和小芳速度的比。2甲甲走走的的路路程程比比乙乙多多1/3，乙乙用用的的时时间间比比甲甲多多1/4。求求甲甲、乙乙的速度比。的速度比。3一一个个人人步步行行每每小小时时走走5千千米米，如如果果骑骑自自行行车车每每1千千米米比比步步行行少少用用8分分钟钟。这这个个人人骑骑自自行行车车的的速速度度和和步步行行速速度度的的比比是是多多少少？第第15周周比的应用比的应用疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】制制造造一一个个零零件件，甲甲需需6分分钟钟，乙乙需需5分分钟钟，丙丙需需4.5分分钟钟。现现在在有有1590个个零零件件的的制制造造任任务务分分配配给给他他们们三三个个人人，要要求在相同的时间内完成，每人应该分配到多少个零件？求在相同的时间内完成，每人应该分配到多少个零件？第第15周周比的应用比的应用疯狂操练二疯狂操练二【思路导航】【思路导航】先先求求出出工工作作效效率率的的比比，然然后后根根据据同同一一时时间间内内，工工作作总总量量的的比比等于工作效率的比进行解答。等于工作效率的比进行解答。甲、乙、丙工作效率的比：甲、乙、丙工作效率的比：1/6：1/5：1/1.515：18：20总份数：总份数：15+18+2053甲甲：159015/53450（个）（个）乙乙：159018/53540（个）（个）丙丙：159020/53600（个）（个）【练习【练习2】1加加工工一一个个零零件件，甲甲需需3分分钟钟，乙乙需需3.5分分钟钟，丙丙需需4分分钟钟。现现在在有有1825个个零零件件需需要要甲甲、乙乙、丙丙三三人人加加工工。如如果果规规定定用用同同样样的的时时间间完完成成任任务务，那那么各应加工多少个？么各应加工多少个？2甲甲、乙乙、丙丙三三人人在在同同一一时时间间里里共共制制造造940个个零零件件。甲甲制制造造一一个个零零件件需需5分分钟钟，比比乙乙制制造造一一个个零零件件所所用用的的时时间间多多25，丙丙制制造造一一个个零零件件所所用用的的时时间比甲少间比甲少2/5。甲、乙、丙各制造了多少个零件？。甲、乙、丙各制造了多少个零件？3加加工工某某种种零零件件要要三三道道工工序序，专专做做第第一一、二二、三三道道工工序序的的工工人人每每小小时时分分别别能能完完成成零零件件48个个，32个个，28个个，现现有有118名名工工人人，要要使使每每天天三三道道工工序序完成的零件个数相同，每道工序应安排多少工人？完成的零件个数相同，每道工序应安排多少工人？第第15周周比的应用比的应用疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】两两个个服服装装厂厂一一个个月月内内生生产产服服装装的的数数量量是是6：5，两两厂厂西西服服价价格格的的比比是是11：10。已已知知两两厂厂这这个个月月内内总总产产值值为为6960万元。两厂的产值各是多少万元？万元。两厂的产值各是多少万元？【思路导航】【思路导航】因为产值价格因为产值价格产量，所以产量，所以甲产值：乙产值（甲价格甲产值：乙产值（甲价格甲产量）：（乙价格甲产量）：（乙价格乙产量）乙产量）两厂的产值比为：（两厂的产值比为：（116）：（）：（105）66：50甲厂产值为：甲厂产值为：696066/（66+50）3960（元）（元）乙厂产值为：乙厂产值为：696050（66+50）3000（元）（元）【练习【练习3】1甲甲、乙乙两两个个长长方方形形长长的的比比是是4：5，宽宽的的比比是是3：2，面面积积的的和和是是242平平方厘米。求甲、乙两个长方形的面积分别是多少平方厘米？方厘米。求甲、乙两个长方形的面积分别是多少平方厘米？2苹苹果果和和梨梨的的单单价价的的比比是是6：5，王王大大妈妈买买的的苹苹果果和和梨梨的的重重量量的的比比是是2：3，共花去，共花去18元。王大妈买苹果和梨各花了多少元？元。王大妈买苹果和梨各花了多少元？3大大、小小两两种种苹苹果果，其其单单价价比比是是5：4，重重量量比比是是2：3。把把两两种种苹苹果果混混合合，成成为为100千千克克的的混混合合苹苹果果，单单价价为为每每千千克克4.40元元。大大、小小两两种种苹苹果果原原来来每每千克各是多少元？千克各是多少元？第第15周周比的应用比的应用疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】A、B两两种种商商品品的的价价格格比比是是7：3。如如果果它它们们的的价价格格分分别别上上涨涨70元元，它它们们的的价价格格比比就就是是7：4，这这两两种种商商品品原原来来的的价格各是多少元？价格各是多少元？第第15周周比的应用比的应用疯狂操练四疯狂操练四【思路导航】【思路导航】解解法法一一：因因为为A、B两两种种商商品品涨涨价价的的数数值值相相同同，所所以以涨涨价价后后两两种种商商品品价价格格差差不不变变。由于价格差不变，所以价格差对应的份数也应该相同。由于价格差不变，所以价格差对应的份数也应该相同。原价格比原价格比7：321：9现价格比现价格比7：428：16【这样前后项的差都是【这样前后项的差都是12，价格涨了（，价格涨了（2821）7份，是份，是70元】元】70（2821）10元元A：1021210（元）（元）B：10990（元）（元）解法二：由于两种商品的价格不变，选两种商品的价格差做单位解法二：由于两种商品的价格不变，选两种商品的价格差做单位“1“进行解答。进行解答。（1）原来）原来A商品的几个是价格差的几倍商品的几个是价格差的几倍7（73）7/4（2）后来）后来A商品的价格是价格差的几倍商品的价格是价格差的几倍7（74）7/3（3）A、B两种商品的价格差是两种商品的价格差是70（7/37/4）120（元）（元）（4）原来）原来A商品的价格是商品的价格是120（73）7210（元）（元）（5）原来原来B商品的价格是商品的价格是120（73）390（元）（元）【练习【练习4】用两种思路解答下列应用题：用两种思路解答下列应用题：1甲甲、乙乙两两个个建建筑筑队队原原有有水水泥泥重重量量的的比比是是4：3。甲甲队队给给乙乙队队54吨吨水水泥泥后后，甲、乙两队水泥重量的比是甲、乙两队水泥重量的比是3：4。原来甲队有水泥多少吨？。原来甲队有水泥多少吨？2甲甲书书架架上上的的书书是是乙乙书书架架上上的的4/7，两两书书架架上上各各增增加加154本本后后，甲甲书书架架上上的书是乙书架上的，甲、乙两书架上原来各有多少本书？的书是乙书架上的，甲、乙两书架上原来各有多少本书？3兄兄弟弟两两人人，每每年年收收入入的的比比是是4：3，每每年年支支出出的的比比是是18：13。从从年年初初到到年底，他们都结余年底，他们都结余720元。他们每年的收入各是多少元？元。他们每年的收入各是多少元？第第15周周比的应用比的应用疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】如如图图是是甲甲、乙乙、丙丙三三地地的的线线路路图图，已已知知甲甲地地到到丙丙地地的的路路程程与与乙乙地地到到丙丙地地的的路路程程比比是是1：2。王王刚刚以以每每小小时时4千千米米的的速速度度从从甲甲地地步步行行到到丙丙地地，李李华华同同时时以以每每小小时时10千千米米的的速速度度从从乙乙地地骑骑自自行行车车去去丙丙地地，他他比比王王刚刚早早1小小时时到到达达丙丙地地。甲甲、乙乙两地相距多少千米？两地相距多少千米？第第15周周比的应用比的应用疯狂操练五疯狂操练五【思路导航】【思路导航】解解法法一一：根根据据路路程程的的比比和和速速度度的的比比求求出出时时间间的的比比，从从而而求求出出王刚和李华所用的时间，再求出各自所走的路程。王刚和李华所用的时间，再求出各自所走的路程。王刚和李华所用时间的比王刚和李华所用时间的比1/4：2/105：4王刚所用的时间王刚所用的时间1（54）55（小时）（小时）甲地到丙地的路程甲地到丙地的路程4520（千米）（千米）甲、乙两地的路程甲、乙两地的路程20（1+2）60（千米）（千米）第第15周周比的应用比的应用疯狂操练五疯狂操练五【思路导航】【思路导航】解解法法二二：如如果果李李华华每每小小时时行行428千千米米，他他将将与与王王刚刚同同时时到到达达丙丙地地。现现在在他他每每小小时时多多行行1082千千米米。在在王王刚刚从从甲甲地地到到丙丙地地的的这这段段时时间间内内，李李华华比比应应行行的的路路程程多多行行了了10110千千米米。据此，可求出王刚从甲地到丙地的时间。据此，可求出王刚从甲地到丙地的时间。王刚从甲地到丙地的时间王刚从甲地到丙地的时间101（1042）5（小时）（小时）甲、乙两地的路程甲、乙两地的路程45（1+2）60（千米）（千米）第第15周周比的应用比的应用疯狂操练五疯狂操练五【思路导航】【思路导航】解解法法三三：如如果果王王刚刚每每小小时时行行1035千千米米，就就能能和和李李华华同同时时到到达达。由由此此可可见见，王王刚刚走走完完甲甲地地到到丙丙地地的的路路程程，用用每每小小时时4千千米米的的速速度度和和每每小小时时5千千米米的的速速度度相相比比，所所用用的的时时间间相相差差1小小时时。再再根根据据1千千米米的的路路程程，两两种种速速度度所所用用的的时时间间相相差差1/41/51/20小时。最后求出甲地到丙地的路程。小时。最后求出甲地到丙地的路程。甲地到丙地的路程甲地到丙地的路程1（1/41/（102）20（千米）（千米）甲、乙两地的路程甲、乙两地的路程20（1+2）60（千米）（千米）【练习【练习5】1一一辆辆汽汽车车在在甲甲、乙乙两两站站间间行行驶驶，往往返返一一次次共共用用去去4小小时时（停停车车时时间间不不算算在在内内）。汽车去时每小时行汽车去时每小时行45千米，返回时每小时行千米，返回时每小时行30千米。甲、乙两地相距多少千米？千米。甲、乙两地相距多少千米？2甲甲做做3000个个零零件件比比乙乙做做2400个个零零件件多多用用1小小时时，甲甲、乙乙工工作作效效率率的的比比是是6：5。甲、乙每小时各做多少个？甲、乙每小时各做多少个？3下下图图是是甲甲、乙乙、丙丙三三地地的的路路线线图图。已已知知甲甲地地到到丙丙地地的的路路程程与与乙乙地地到到丙丙地地的的路路程程的的比比是是2：3。一一辆辆货货车车以以每每小小时时40千千米米的的速速度度从从甲甲地地开开往往丙丙地地，一一辆辆客客车车同同时时以以每每小小时时50千千米米的的速速度度从从乙乙地地开开往往丙丙地地，客客车车比比火火车车迟迟1小小时时到到达达丙丙地地。求求甲甲、乙两地的路程？乙两地的路程？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三夏蜻蜓教育工作室QQ3298540949 在在解解答答工工程程问问题题时时，如如果果对对题题目目提提供供的的条条件件孤孤立立、分分散散、静静止止地地看看，则则难难以以找找到到明明确确的的解解题题途途径径，若若用用“组组合合法法”把把具具有有相相依依关关系系的的数数学学信信息息进进行行恰恰当当组组合合，使使之之成成为为一一个个新新的的基基本本单单位位，便便会会使使隐隐蔽蔽的的数数量量关关系系立立刻刻明明朗朗化化，从从而而顺顺利利找找到到解题途径。解题途径。【例例题题1】 一一项项工工程程，甲甲、乙乙两两队队合合作作15天天完完成成，若若甲甲队队做做5天天，乙乙队队做做3天天，只只能能完完成成工工程程的的7/30，乙乙队队单单独独完完成成全全部部工工程需要几天？程需要几天？【思路导航】【思路导航】此此题题已已知知甲甲、乙乙两两队队的的工工作作效效率率和和是是1/15，只只要要求求出出甲甲队队货货乙乙队队的的工工作作效效率率，则则问问题题可可解解，然然而而这这正正是是本本题题的的难难点点，用用“组组合合法法”将将甲甲队队独独做做5天天，乙乙队队独独做做3天天，组组合合成成甲甲、乙乙两两队队合合作作了了3天天后后，甲甲队队独独做做2天天来来考考虑虑，就就可可以以求求出出甲甲队队2天天的的工工作作量量7/301/1531/30，从从而而求求出出甲甲队队的的工工作作效效率率。所以所以1【1/15（7/301/153）（53）】）】20（天）（天）【练习【练习1】1师师、徒徒二二人人合合做做一一批批零零件件，12天天可可以以完完成成。师师傅傅先先做做了了3天天，因因事事外外出出，由由徒徒弟弟接接着着做做1天天，共共完完成成任任务务的的3/20。如如果果这这批批零零件件由由师师傅傅单单独独做做，多少天可以完成？多少天可以完成？2某某项项工工程程，甲甲、乙乙合合做做1天天完完成成全全部部工工程程的的5/24。如如果果这这项项工工程程由由甲甲队队独独做做2天天，再再由由乙乙队队独独做做3天天，能能完完成成全全部部工工程程的的13/124。甲甲、乙乙两两队队单独完成这项工程各需多少天？单独完成这项工程各需多少天？3甲甲、乙乙两两队队合合做做，20天天可可完完成成一一项项工工程程。先先由由甲甲队队独独做做8天天，再再由由乙乙队独做队独做12天，还剩这项工程的天，还剩这项工程的8/15。甲、乙两队独做各需几天完成？。甲、乙两队独做各需几天完成？第第16周周用组合法解工程问题用组合法解工程问题疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】一一项项工工程程，甲甲队队独独做做12天天可可以以完完成成。甲甲队队先先做做了了3天天，再再由由乙乙队队做做2天天，则则能能完完成成这这项项工工程程的的1/2。现现在在甲甲、乙乙两两队队合合做做若若干干天天后后，再再由由乙乙队队单单独独做做。做做完完后后发发现现两两段段所所用用时间相等。求两段一共用了几天？时间相等。求两段一共用了几天？【思思路路导导航航】此此题题很很容容易易先先求求乙乙队队的的工工作作效效率率是是：（1/21/123）21/8；再再由由条条件件“做做完完后后发发现现两两段段所所用用时时间间相相等等”的的题题意意，可可组组合合成成由由两两个个乙乙队队和和一一个个甲甲队队合合做做需需若若干干天天完完成，即可求出相等的时间。成，即可求出相等的时间。（1）乙队每天完成这项工程的（）乙队每天完成这项工程的（1/21/123）21/8（2）两段时间一共是）两段时间一共是1（1/82+1/12）26（天）（天）【练习【练习2】1一一项项工工程程，甲甲队队独独做做15天天完完成成。若若甲甲队队先先做做5天天，乙乙队队再再做做4天天能能完完成成这这项项工工程程的的8/15。现现由由甲甲、乙乙两两队队合合做做若若干干天天后后，再再由由乙乙队队单单独独做做。做做完后发现，两段时间相等。这两段时间一共是几天？完后发现，两段时间相等。这两段时间一共是几天？2一一项项工工程程，甲甲、乙乙合合做做8天天完完成成。如如果果先先让让甲甲独独做做6天天，再再由由乙乙独独做做，完成任务时发现乙比甲多了完成任务时发现乙比甲多了3天。乙独做这项工程要几天完成？天。乙独做这项工程要几天完成？3某某工工作作，甲甲单单独独做做要要12天天，乙乙单单独独做做要要18天天，丙丙单单独独做做要要24天天。这这件件工工作作先先由由甲甲做做了了若若干干天天，再再由由乙乙接接着着做做；乙乙做做的的天天数数是是甲甲3倍倍，再再由由丙丙接接着着做做，丙丙做做的的天天数数是是乙乙的的2倍倍。终终于于完完成成了了这这一一工工作作。问问总总共共用用了了多多少少天天？第第16周周用组合法解工程问题用组合法解工程问题疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】移移栽栽西西红红柿柿苗苗若若干干棵棵，如如果果哥哥、弟弟二二人人合合栽栽8小小时时完完成成，先先由由哥哥哥哥栽栽了了3小小时时后后，又又由由弟弟弟弟栽栽了了1小小时时，还还剩剩总总棵棵数数的的11/16没没有有栽栽，已已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵。共要移栽西红柿苗多少棵？棵。共要移栽西红柿苗多少棵？【思路导航】【思路导航】把把“哥哥哥哥先先栽栽了了3小小时时，弟弟弟弟又又栽栽了了1小小时时”组组合合成成“哥哥、的的合合栽栽了了1小小时时后，哥哥又独做了后，哥哥又独做了2小时小时”，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。哥哥每小时栽总数的几分之几（哥哥每小时栽总数的几分之几（111/161/81）（31）3/32一共要移栽的西红柿苗多少棵一共要移栽的西红柿苗多少棵7【3/32（1/83/32）】）】112（棵）（棵）【练习【练习3】1加加工工一一批批机机器器零零件件，师师、徒徒合合做做12小小时时可可以以完完成成。先先由由师师傅傅加加工工8小小时时，接接着着再再由由徒徒弟弟加加工工6小小时时，共共加加工工了了这这批批零零件件的的3/5。已已知知师师傅傅每每小小时比徒弟多做时比徒弟多做10个零件。这批零件共有多少个？个零件。这批零件共有多少个？2修修一一条条公公路路，甲甲、乙乙两两队队合合做做6天天可可以以完完成成。先先由由甲甲队队修修5天天，再再由由乙乙队队修修3天天，还还剩剩这这条条公公路路的的3/10没没有有修修。已已知知甲甲队队每每天天比比乙乙队队多多修修20米米。这条公路全长多少米？这条公路全长多少米？3修修一一段段公公路路，甲甲队队独独修修要要40天天，乙乙队队独独修修要要用用24天天。两两队队同同时时从从两两端端开工，结果在距中点开工，结果在距中点750米处相遇。这段公路全长多少米？米处相遇。这段公路全长多少米？第第16周周用组合法解工程问题用组合法解工程问题疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】一一项项工工作作，甲甲、乙乙、丙丙3人人合合做做6小小时时可可以以完完成成。如如果果甲甲工工作作6小小时时后后，乙乙、丙丙合合做做2小小时时，可可以以完完成成这这项项工工作作的的2/3；如如果果甲甲、乙乙合合做做3小小时时后后，丙丙做做6小小时时，也也可可以以完完成成这这项项工工作作的的2/3。如如果果由由甲甲、丙丙合合做做，需几小时完成？需几小时完成？【思路导航】【思路导航】将将条条件件“甲甲工工作作6小小时时后后，乙乙、丙丙合合做做2小小时时，可可以以完完成成这这项项工工作作的的2/3”组组合合成成“甲甲工工作作4小小时时，甲甲、乙乙、丙丙合合做做2小小时时可可以以完完成成这这项项工工作作的的2/3”，则求出甲的工作效率。同理，运用，则求出甲的工作效率。同理，运用“组合法组合法”再求出丙的工作效率。再求出丙的工作效率。甲每小时完成这项工程的几分之几（甲每小时完成这项工程的几分之几（2/31/62）（62）1/12丙每小时完成这项工程的几分之几（丙每小时完成这项工程的几分之几（2/31/63）（63）1/18甲、丙合做需完成的时间为：甲、丙合做需完成的时间为：1（1/12+1/18）7由由1/5（小时）（小时）【练习【练习4】1一一项项工工作作，甲甲、乙乙、丙丙三三人人合合做做，4小小时时可可以以完完成成。如如果果甲甲做做4小小时时后后，乙乙、丙丙合合做做2小小时时，可可以以完完成成这这项项工工作作的的13/18；如如果果甲甲、乙乙合合做做2小小时时后后，丙丙再再做做4小小时时，可可以以完完成成这这项项工工作作的的11/18。这这项项工工作作如如果果由由甲甲、丙丙合合做做需几小时完成？需几小时完成？2一一项项工工程程，甲甲、乙乙合合做做6天天可可以以完完成成，乙乙、丙丙合合做做10天天可可以以完完成成。现现在在先先由由甲甲、乙乙、丙丙合合做做3天天后后，余余下下的的乙乙再再做做6天天则则可可以以完完成成。乙乙独独做做这这项工程要几天就可以完成？项工程要几天就可以完成？3一一项项工工程程，甲甲、乙乙两两队队合合做做10天天完完成成，乙乙、丙丙两两队队合合做做8天天完完成成。现现在在甲甲、乙乙、丙丙三三队队合合做做4天天后后，余余下下的的工工程程由由乙乙队队独独做做5又又1/2天天完完成成。乙乙队单独做这项工程需多少天可以完成？队单独做这项工程需多少天可以完成？第第16周周用组合法解工程问题用组合法解工程问题疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】一一条条公公路路，甲甲队队独独修修24天天可可以以完完成成，乙乙队队独独修修30天天可可以以完完成成。先先由由甲甲、乙乙两两队队合合修修4天天，再再由由丙丙队队参参加加一一起起修修7天天后后全全部部完完成成。如如果果由由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成？甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成？【思路导航】【思路导航】将将条条件件“先先由由甲甲、乙乙两两队队合合修修4天天，再再由由丙丙队队参参加加一一起起修修7天天后后全全部部完完成成”组组合合成成“甲甲、乙乙两两队队各各修修（4+7）11天天后后，再再由由丙丙队队单单独独修修了了7天天才才全部完成。全部完成。”就可以求出丙队的工作效率。就可以求出丙队的工作效率。丙队每天修这条公路的【丙队每天修这条公路的【1（1/24+1/30）】）】（4+7）1/40三队合修完成时间为三队合修完成时间为1（1/24+1/30+1/40）10（天）吨。（天）吨。【练习【练习5】1一一件件工工作作，甲甲单单独独做做12小小时时完完成成。现现在在甲甲、乙乙合合做做4小小时时后后，乙乙又又用用6小时才完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？小时才完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？2一一条条水水渠渠，甲甲队队独独挖挖120天天完完成成，乙乙队队独独挖挖40天天完完成成。现现在在两两队队合合挖挖8天天，剩剩下下的的由由丙丙队队加加入入一一起起挖挖，又又用用12天天挖挖完完。这这条条水水渠渠由由丙丙队队单单独挖，多少天可以完成？独挖，多少天可以完成？3一一件件工工作作，甲甲、乙乙合合做做6天天可可以以完完成成，乙乙、丙丙合合做做10天天可可以以完完成成。如如果果甲甲、丙丙合合做做3天天后后，由由乙乙单单独独做做，还还要要9天天才才能能完完成成。如如果果全全部部工工作作由由3人合做，需几天可以完成？人合做，需几天可以完成？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三夏蜻蜓教育工作室QQ3298540949 在在百百分分数数应应用用题题中中有有一一类类叫叫溶溶液液配配比比问问题题，即即浓浓度度问问题题。我我们们知知道道，将将糖糖溶溶于于水水就就得得到到了了糖糖水水，其其中中糖糖叫叫溶溶质质，水水叫叫溶溶剂剂，糖糖水水叫叫溶溶液液。如如果果水水的的量量不不变变，那那么么糖糖加加得得越越多多，糖糖水水就就越越甜甜，也也就就是是说说糖糖水水甜甜的的程程度度是是由由糖糖（溶溶质质）与与糖糖水水（溶溶液液糖糖+水水）二二者者质质量量的的比比值值决决定定的的。这这个个比比值值就就叫叫糖糖水水的的含含糖糖量量或或糖糖含含量量。类类似似地地，酒酒精精溶溶于于水水中中，纯纯酒酒精精与与酒酒精精溶溶液液二二者者质质量量的的比比值值叫叫酒酒精精含含量量。因因而而浓浓度度就就是是溶溶质质质质量量与与溶溶液液质质量量的的比值，通常用百分数表示，即，比值，通常用百分数表示，即，浓浓度度溶溶质质质质量量/溶溶液液质质量量100溶溶质质质质量量/（溶溶质质质质量量溶溶剂剂质质量量）100%解解答答浓浓度度问问题题，首首先先要要弄弄清清什什么么是是浓浓度度。在在解解答答浓浓度度问问题题时时，根根据据题题意意列列方方程程解解答答比比较较容容易易，在在列列方方程程时时，要要注注意意寻寻找找题题目目中中数数量量问问题题的的相相等等关系。关系。浓浓度度问问题题变变化化多多，有有些些题题目目难难度度较较大大，计计算算也也较较复复杂杂。要要根根据据题题目目的的条条件和问题逐一分析，也可以分步解答。件和问题逐一分析，也可以分步解答。【例例题题1】 有有含含糖糖量量为为7的的糖糖水水600克克，要要使使其其含含糖糖量量加加大大到到10，需需要再加入多少克糖？要再加入多少克糖？【思路导航】【思路导航】根根据据题题意意，在在7的的糖糖水水中中加加糖糖就就改改变变了了原原来来糖糖水水的的浓浓度度，糖糖的的质质量量增增加加了了，糖糖水水的的质质量量也也增增加加了了，但但水水的的质质量量并并没没有有改改变变。因因此此，可可以以先先根根据据原原来来糖糖水水中中的的浓浓度度求求出出水水的的质质量量，再再根根据据后后来来糖糖水水中中的的浓浓度度求求出出现现在在糖糖水水的的质质量量，用用现现在在糖糖水水的的质质量量减减去去原原来来糖糖水水的的质质量量就就是是增增加加的的糖糖的的质质量。量。原来糖水中水的质量：原来糖水中水的质量：600（17）558（克）（克）现在糖水的质量现在糖水的质量：558（110）620（克）（克）加入糖的质量加入糖的质量：62060020（克）（克）【练习【练习1】1现现在在有有浓浓度度为为20的的糖糖水水300克克，要要把把它它变变成成浓浓度度为为40的的糖糖水水，需要加糖多少克？需要加糖多少克？2有有含含盐盐15的的盐盐水水20千千克克，要要使使盐盐水水的的浓浓度度为为20，需需加加盐盐多多少少千千克？克？3有有甲甲、乙乙两两个个瓶瓶子子，甲甲瓶瓶里里装装了了200毫毫升升清清水水，乙乙瓶瓶里里装装了了200毫毫升升纯纯酒酒精精。第第一一次次把把20毫毫升升纯纯酒酒精精由由乙乙瓶瓶倒倒入入甲甲瓶瓶，第第二二次次把把甲甲瓶瓶中中20毫毫升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？第第17周周浓度问题浓度问题疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】一一种种35的的新新农农药药，如如稀稀释释到到1.75时时，治治虫虫最最有有效效。用用多多少少千千克克浓浓度度为为35的的农农药药加加多多少少千千克克水水，才才能能配配成成1.75的农药的农药800千克？千克？【思路导航】【思路导航】把把浓浓度度高高的的溶溶液液经经添添加加溶溶剂剂变变为为浓浓度度低低的的溶溶液液的的过过程程称称为为稀稀释释。在在这这种种稀稀释释过过程程中中，溶溶质质的的质质量量是是不不变变的的。这这是是解解这这类类问题的关键。问题的关键。800千千克克1.75的的农农药药含含纯纯农农药药的的质质量量为为8001.7514（千克）（千克）含含14千克纯农药的千克纯农药的35的农药质量为的农药质量为143540（千克）（千克）由由40千千克克农农药药稀稀释释为为800千千克克农农药药应应加加水水的的质质量量为为80040760（千克）（千克）【练习【练习2】1用用含含氨氨0.15的的氨氨水水进进行行油油菜菜追追肥肥。现现有有含含氨氨16的的氨氨水水30千克，配置时需加水多少千克？千克，配置时需加水多少千克？2仓仓库库运运来来含含水水量量为为90的的一一种种水水果果100千千克克。一一星星期期后后再再测测，发发现现含含水水量量降降低低到到80。现现在在这这批批水水果果的的质质量量是是多多少少千千克？克？3一一容容器器内内装装有有10升升纯纯酒酒精精，倒倒出出2.5升升后后，用用水水加加满满；再再倒出倒出5升，再用水加满。这时容器内溶液的浓度是多少？升，再用水加满。这时容器内溶液的浓度是多少？第第17周周浓度问题浓度问题疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】现现有有浓浓度度为为10的的盐盐水水20千千克克。再再加加入入多多少少千千克克浓浓度度为为30的的盐水，可以得到浓度为盐水，可以得到浓度为22的盐水？的盐水？【思路导航】【思路导航】这这是是一一个个溶溶液液混混合合问问题题。混混合合前前、后后溶溶液液的的浓浓度度改改变变了了，但但总总体体上上溶溶质质及及溶溶液液的的总总质质量量没没有有改改变变。所所以以，混混合合前前两两种种溶溶液液中中溶溶质质的的和和等等于于混混合合后溶液中的溶质的量。后溶液中的溶质的量。20千克千克10的盐水中含盐的质量的盐水中含盐的质量20102（千克）（千克）混合成混合成22时，时，20千克溶液中含盐的质量千克溶液中含盐的质量2022404（千克）（千克）需加需加30盐水溶液的质量（盐水溶液的质量（4.42）（3022）30（千克）（千克）【练习【练习3】1在在100千千克克浓浓度度为为50的的硫硫酸酸溶溶液液中中，再再加加入入多多少少千千克克浓浓度为度为5的硫酸溶液就可以配制成的硫酸溶液就可以配制成25的硫酸溶液？的硫酸溶液？2浓浓度度为为70的的酒酒精精溶溶液液500克克与与浓浓度度为为50的的酒酒精精溶溶液液300克混合后所得到的酒精溶液的浓度是多少？克混合后所得到的酒精溶液的浓度是多少？3在在20的的盐盐水水中中加加入入10千千克克水水，浓浓度度为为15。再再加加入入多多少千克盐，浓度为少千克盐，浓度为25？第第17周周浓度问题浓度问题疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】将将20的的盐盐水水与与5的的盐盐水水混混合合，配配成成15的的盐盐水水600克，需要克，需要20的盐水和的盐水和5的盐水各多少克？的盐水各多少克？【思路导航】【思路导航】根根据据题题意意，将将20的的盐盐水水与与5的的盐盐水水混混合合配配成成15的的盐盐水水，说说明明混混合合前前两两种种盐盐水水中中盐盐的的质质量量和和与与混混合合后后盐盐水水中中盐盐的的质质量量是相等的。可根据这一数量间的相等关系列方程解答。是相等的。可根据这一数量间的相等关系列方程解答。解：设解：设20的盐水需的盐水需x克，则克，则5的盐水为的盐水为600x克，那么克，那么20x+（600x）560015X400600400200（克）（克）【练习【练习4】1两两种种钢钢分分别别含含镍镍5和和40，要要得得到到140吨吨含含镍镍30的的钢钢，需要含镍需要含镍5的钢和含镍的钢和含镍40的钢各多少吨？的钢各多少吨？2甲甲、乙乙两两种种酒酒各各含含酒酒精精75和和55，要要配配制制含含酒酒精精65的酒的酒3000克，应当从这两种酒中各取多少克？克，应当从这两种酒中各取多少克？3甲甲、乙乙两两只只装装糖糖水水的的桶桶，甲甲桶桶有有糖糖水水60千千克克，含含糖糖率率为为40；乙乙桶桶有有糖糖水水40千千克克，含含糖糖率率为为20。要要使使两两桶桶糖糖水水的的含糖率相等，需把两桶的糖水相互交换多少千克？含糖率相等，需把两桶的糖水相互交换多少千克？第第17周周浓度问题浓度问题疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】甲甲、乙乙、丙丙3个个试试管管中中各各盛盛有有10克克、20克克、30克克水水。把把某某种种质质量量分分数数的的盐盐水水10克克倒倒入入甲甲管管中中，混混合合后后取取10克克倒倒入入乙乙管管中中，再再混混合合后后从从乙乙管管中中取取出出10克克倒倒入入丙丙管管中中。现现在在丙丙管管中中的的盐盐水水的的质质量量分分数数为为0.5。最最早早倒倒入入甲甲管管中中的的盐盐水水质质量量分分数是多少？数是多少？第第17周周浓度问题浓度问题疯狂操练五疯狂操练五【思路导航】【思路导航】混混合合后后甲甲、乙乙、丙丙3个个试试管管中中应应有有的的盐盐水水分分别别是是20克克、30克克、40克克。根根据据题题意意，可可求求出出现现在在丙丙管管中中盐盐的的质质量量。又又因因为为丙丙管管中中原原来来只只有有30克克的的水水，它它的的盐盐是是从从10克克盐盐水水中中的的乙乙管管里里取取出出的的。由由此此可可求求出出乙乙管管里里30克克盐盐水水中中盐盐的的质质量量。而而乙乙管管里里的的盐盐又又是是从从10克克盐盐水水中中的的甲甲管管里里取取出出的的，由由此此可可求求出出甲甲管管里里20克克盐盐水水中中盐盐的的质质量量。而而甲甲管管里里的的盐盐是是某某种种浓浓度度的的盐盐水水中中的的盐盐，这样就可得到最初倒入甲管中盐水的质量分数。这样就可得到最初倒入甲管中盐水的质量分数。丙管中盐的质量：（丙管中盐的质量：（30+10）0.502（克）（克）倒入乙管后，乙管中盐的质量：倒入乙管后，乙管中盐的质量：0.2【（【（20+10）10】0.6（克）（克）倒倒入入甲甲管管，甲甲管管中中盐盐的的质质量量：0.6【（10+10）10】1.2（克）（克）1.21012【练习【练习5】1从从装装满满100克克80的的盐盐水水中中倒倒出出40克克盐盐水水后后，再再用用清清水水将将杯杯加加满满，搅搅拌拌后后再再倒倒出出40克克盐盐水水，然然后后再再用用清清水水将将杯杯加加满满。如如此此反反复复三三次次后后，杯杯中中盐水的浓度是多少？盐水的浓度是多少？2甲甲容容器器中中又又8的的盐盐水水300克克，乙乙容容器器中中有有12.5的的盐盐水水120克克。往往甲甲、乙乙两两个个容容器器分分别别倒倒入入等等量量的的水水，使使两两个个容容器器中中盐盐水水的的浓浓度度一一样样。每每个个容容器应倒入多少克水？器应倒入多少克水？3甲甲种种酒酒含含纯纯酒酒精精40，乙乙种种酒酒含含纯纯酒酒精精36，丙丙种种酒酒含含纯纯酒酒精精35。将将三三种种酒酒混混在在一一起起得得到到含含酒酒精精38.5的的酒酒11千千克克。已已知知乙乙种种酒酒比比丙丙种种酒酒多多3千克，那么甲种酒有多少千克？千克，那么甲种酒有多少千克？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三夏蜻蜓教育工作室QQ3298540949 计计算算平平面面图图形形的的面面积积时时，有有些些问问题题乍乍一一看看，在在已已知知条条件件与与所所求求问问题题之之间间找找不不到到任任何何联联系系，会会使使你你感感到到无无从从下下手手。这这时时，如如果果我我们们能能认认真真观观察察图图形形，分分析析、研研究究已已知知条条件件，并并加加以以深深化化，再再运运用用我我们们已已有有的的基基本本几几何何知知识识，适适当当添添加加辅辅助助线线，搭搭一一座座连连通通已已知知条条件件与与所所求求问问题题的的小小“桥桥”，就就会会使使你你顺顺利利达达到到目目的的。有有些些平平面面图图形形的的面面积积计计算算必必须须借借助助于于图图形形本本身身的的特特征征，添添加加一一些些辅辅助助线线，运运用用平平移移旋旋转转、剪剪拼拼组组合合等等方方法法，对对图图形形进进行行恰恰当当合合理理的的变变形形，再再经经过过分分析析推推导导，方方能能寻寻求求出出解解题的途径。题的途径。【例例题题1】 已已知知如如图图，三三角角形形ABC的的面面积积为为8平平方方厘厘米米，AEED，BD=2/3BC，求阴影部分的面积。求阴影部分的面积。【思路导航】【思路导航】阴阴影影部部分分为为两两个个三三角角形形，但但三三角角形形AEF的的面面积积无无法法直直接接计计算算。由由于于AE=ED,连连接接DF，可可知知S AEF=S EDF（等等底底等等高高），采采用用移移补补的的方方法法，将将所所求求阴阴影影部部分分转转化为求三角形化为求三角形BDF的面积。的面积。因因为为BD=2/3BC，所所以以S BDF2S DCF。又又因因为为AEED，所所以以S ABFS BDF2S DCF。因因此此，S ABC5S DCF。由由于于S ABC8平平方方厘厘米米，所所以以S DCF851.6（平方厘米），则阴影部分的面积为（平方厘米），则阴影部分的面积为1.623.2（平方厘米）。（平方厘米）。【练习【练习1】1如如图图，AEED，BC=3BD，S ABC30平平方方厘厘米米。求阴影部分的面积。求阴影部分的面积。2如如图图所所示示，AE=ED，DC1/3BD，S ABC21平平方方厘米。求阴影部分的面积。厘米。求阴影部分的面积。3如如图图所所示示，DE1/2AE，BD2DC，S EBD5平平方方厘米。求三角形厘米。求三角形ABC的面积。的面积。第第18周周面积计算面积计算疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】两两条条对对角角线线把把梯梯形形ABCD分分割割成成四四个个三三角角形形，如如图图所所示示，已已知知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少。两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少。【思路导航】【思路导航】已已知知S BOC是是S DOC的的2倍倍，且且高高相相等等，可可知知：BO2DO；从从S ABD与与S ACD相相等等（等等底底等等高高）可可知知：S ABO等等于于6，而而 ABO与与 AOD的的高相等，底是高相等，底是 AOD的的2倍。所以倍。所以 AOD的面积为的面积为623。因为因为S ABD与与S ACD等底等高等底等高所以所以S ABO6因为因为S BOC是是S DOC的的2倍倍所以所以 ABO是是 AOD的的2倍倍所以所以 AOD623【练习【练习2】1两两条条对对角角线线把把梯梯形形ABCD分分割割成成四四个个三三角角形形，（如如图图所所示示），已已知知两两个个三角形的面积，求另两个三角形的面积是多少？三角形的面积，求另两个三角形的面积是多少？2已知已知AO1/3OC，求梯形，求梯形ABCD的面积（如图所示）。的面积（如图所示）。3已已知知三三角角形形AOB的的面面积积为为15平平方方厘厘米米，线线段段OB的的长长度度为为OD的的3倍倍。求求梯形梯形ABCD的面积。（如图所示）。的面积。（如图所示）。第第18周周面积计算面积计算疯狂操练疯狂操练三三【例例题题3】四四边边形形ABCD的的对对角角线线BD被被E、F两两点点三三等等分分，且且四四边边形形AECF的的面面积积为为15平平方方厘厘米米。求求四四边边形形ABCD的的面面积积（如图所示）。（如图所示）。【思思路路导导航航】由由于于E、F三三等等分分BD，所所以以三三角角形形ABE、AEF、AFD是是等等底底等等高高的的三三角角形形，它它们们的的面面积积相相等等。同同理理，三三角角形形BEC、CEF、CFD的的面面积积也也相相等等。由由此此可可知知，三三角角形形ABD的的面面积积是是三三角角形形AEF面面积积的的3倍倍，三三角角形形BCD的的面面积积是是三三角角形形CEF面面积积的的3倍倍，从从而而得得出出四四边边形形ABCD的的面面积积是是四四边边形形AECF面积的面积的3倍。倍。15345（平方厘米）（平方厘米）【练习【练习3】1四四边边形形ABCD的的对对角角线线BD被被E、F、G三三点点四四等等分分，且且四四边边形形AECG的的面积为面积为15平方厘米。求四边形平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图）。的面积（如图）。2已已知知四四边边形形ABCD的的对对角角线线被被E、F、G三三点点四四等等分分，且且阴阴影影部部分分面面积积为为15平方厘米。求四边形平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图所示）。的面积（如图所示）。3如图所示，求阴影部分的面积（如图所示，求阴影部分的面积（ABCD为正方形）。为正方形）。第第18周周面积计算面积计算疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】如如图图所所示示，BO2DO，阴阴影影部部分分的的面面积积是是4平平方方厘米。那么，梯形厘米。那么，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？的面积是多少平方厘米？【思路导航】【思路导航】因因为为BO2DO，取取BO中中点点E，连连接接AE。根根据据三三角角形形等等底底等等高高面面积积相相等等的的性性质质，可可知知S DBCS CDA；S COBS DOA4，类推可得每个三角形的面积。所以，类推可得每个三角形的面积。所以，S CDO422（平平方方厘厘米米）S DAB4312平平方方厘米厘米S梯形梯形ABCD12+4+218（平方厘米）（平方厘米）【练习【练习4】1如如图图所所示示，阴阴影影部部分分面面积积是是4平平方方厘厘米米，OC2AO。求求梯形面积。梯形面积。2已已知知OC2AO，S BOC14平平方方厘厘米米。求求梯梯形形的的面面积积（如图所示）。（如图所示）。3已已知知S AOB6平平方方厘厘米米。OC3AO，求求梯梯形形的的面面积积（如图所示）。（如图所示）。第第18周周面积计算面积计算疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】如如图图所所示示，长长方方形形ADEF的的面面积积是是16，三三角角形形ADB的的面面积积是是3，三角形，三角形ACF的面积是的面积是4，求三角形，求三角形ABC的面积的面积【思路导航】【思路导航】连接连接AE。仔细观察添加辅助线。仔细观察添加辅助线AE后，使问题可有如下解法。后，使问题可有如下解法。由由图图上上看看出出：三三角角形形ADE的的面面积积等等于于长长方方形形面面积积的的一一半半（162）8。用用8减减去去3得得到到三三角角形形ABE的的面面积积为为5。同同理理，用用8减减去去4得得到到三三角角形形AEC的的面面积积也也为为4。因因此此可可知知三三角角形形AEC与与三三角角形形ACF等等底底等等高高，C为为EF的的中中点点，而而三三角角形形ABE与与三三角角形形BEC等等底底，高高是是三三角角形形BEC的的2倍倍，三三角角形形BEC的面积为的面积为522.5，所以，三角形，所以，三角形ABC的面积为的面积为16342.56.5。【练习【练习5】1如如图图所所示示，长长方方形形ABCD的的面面积积是是20平平方方厘厘米米，三三角角形形ADF的的面面积积为为5平方厘米，三角形平方厘米，三角形ABE的面积为的面积为7平方厘米，求三角形平方厘米，求三角形AEF的面积。的面积。2如如图图所所示示，长长方方形形ABCD的的面面积积为为20平平方方厘厘米米，S ABE4平平方方厘厘米，米，S AFD6平方厘米，求三角形平方厘米，求三角形AEF的面积。的面积。3如如图图所所示示，长长方方形形ABCD的的面面积积为为24平平方方厘厘米米，三三角角形形ABE、AFD的面积均为的面积均为4平方厘米，求三角形平方厘米，求三角形AEF的面积。的面积。六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三夏蜻蜓教育工作室QQ3298540949 在在进进行行组组合合图图形形的的面面积积计计算算时时，要要仔仔细细观观察察，认认真真思思考考，看看清清组组合合图图形形是是由由几几个个基基本本单单位位组组成成的的，还还要要找找出出图图中中的的隐隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。【例题【例题1】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。【思路导航】【思路导航】如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成圆的面积。如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成圆的面积。623.1428.26（平方厘米）（平方厘米）【练习【练习1】1求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。2求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。3求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。第第19周周面积计算面积计算疯狂操练二疯狂操练二【例题【例题2】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）求图中阴影部分的面积（单位：厘米）【思思路路导导航航】阴阴影影部部分分通通过过翻翻折折移移动动位位置置后后，构构成成了了一一个个新新的图形（如图所示）。的图形（如图所示）。从从图图中中可可以以看看出出阴阴影影部部分分的的面面积积等等于于大大扇扇形形的的面面积积减减去去大大三三角形面积的一半。角形面积的一半。3.1444228.56（平方厘米）（平方厘米）【练习【练习2】1计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。2计计算算下下面面图图形形中中阴阴影影部部分分的的面面积积（单单位位：厘厘米米，正正方方形边长形边长4）。）。3计计算算下下面面图图形形中中阴阴影影部部分分的的面面积积（单单位位：厘厘米米，正正方方形边长形边长4）。）。第第19周周面积计算面积计算疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】如如图图1910所所示示，两两圆圆半半径径都都是是1厘厘米米，且且图图中中两个阴影部分的面积相等。求长方形两个阴影部分的面积相等。求长方形ABO1O的面积。的面积。【思路导航】【思路导航】因因为为两两圆圆的的半半径径相相等等，所所以以两两个个扇扇形形中中的的空空白白部部分分相相等等。又又因因为为图图中中两两个个阴阴影影部部分分的的面面积积相相等等，所所以以扇扇形形的的面面积积等等于于长长方方 形形 面面 积积 的的 一一 半半 （ 如如 图图 19 10右右 图图 所所 示示 ） 。 所所 以以3.14121/421.57（平方厘米）（平方厘米）【练习【练习3】1如如图图所所示示，圆圆的的周周长长为为12.56厘厘米米，AC两两点点把把圆圆分分成成相相等等的的两两段段弧弧，阴阴影影部部分分（1）的的面面积积与与阴阴影影部部分分（2）的的面面积积相相等等，求求平平行行四四边边形形ABCD的面积。的面积。2如如图图所所示示，直直径径BC8厘厘米米，ABAC，D为为AC的的中中点点，求求阴阴影影部部分分的面积。的面积。3如图所示，如图所示，ABBC8厘米，求阴影部分的面积。厘米，求阴影部分的面积。第第19周周面积计算面积计算疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】如如图图1914所所示示，求求阴阴影影部部分分的的面面积积（单单位位：厘厘米）。米）。【思思路路导导航航】我我们们可可以以把把三三角角形形ABC看看成成是是长长方方形形的的一一部部分分，把它还原成长方形后（如图所示）。把它还原成长方形后（如图所示）。I和和II的面积相等。的面积相等。因因为为原原大大三三角角形形的的面面积积与与后后加加上上的的三三角角形形面面积积相相等等，并并且且空空白部分的两组三角形面积分别相等，所以白部分的两组三角形面积分别相等，所以6424（平方厘米）（平方厘米）【练习【练习4】1如图所示，求四边形如图所示，求四边形ABCD的面积。的面积。2如如图图所所示示，BE长长5厘厘米米，长长方方形形AEFD面面积积是是38平平方方厘厘米米。求求CD的的长度。长度。3图图是是两两个个完完全全一一样样的的直直角角三三角角形形重重叠叠在在一一起起，按按照照图图中中的的已已知知条条件件求求阴影部分的面积（单位：厘米）。阴影部分的面积（单位：厘米）。第第19周周面积计算面积计算疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】如如图图所所示示，图图中中圆圆的的直直径径AB是是4厘厘米米，平平行行四四边边形形ABCD的的面面积积是是7平平方方厘厘米米， ABC30度度，求求阴阴影影部部分分的的面面积积（得得数数保保留留两两位位小小数数）。【思路导航】【思路导航】阴阴影影部部分分的的面面积积等等于于平平行行四四边边形形的的面面积积减减去去扇扇形形AOC的的面面积积，再再减减去去三三角形角形BOC的面积。的面积。半径：半径：422（厘米）（厘米）扇形的圆心角：扇形的圆心角：180（180302）60（度）（度）扇形的面积：扇形的面积：223.1460/3602.09（平方厘米）（平方厘米）三角形三角形BOC的面积：的面积：7221.75（平方厘米）（平方厘米）7（2.09+1.75）3.16（平方厘米）（平方厘米）【练习【练习5】1如如图图所所示示， 115度度，圆圆的的周周长长位位62.8厘厘米米，平平行行四四边边形形的的面面积积为为100平方厘米。求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。平方厘米。求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。2如如图图所所示示，三三角角形形ABC的的面面积积是是31.2平平方方厘厘米米，圆圆的的直直径径AC6厘厘米米，BD：DC3：1。求阴影部分的面积。求阴影部分的面积。3如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数）。如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数）。六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三夏蜻蜓教育工作室QQ3298540949 对对于于一一些些比比较较复复杂杂的的组组合合图图形形，有有时时直直接接分分解解有有一一定定的的困困难难，这这时时，可可以以通通过过把把其其中中的的部部分分图图形形进进行行平平移移、翻翻折折或或旋旋转转，化化难难为为易易。有有些些图图形形可可以以根根据据“容容斥斥问问题题“的的原原理理来来解解答答。在在圆圆的的半半径径r用用小小学学知知识识无无法法求求出出时时，可可以以把把“r2”整整体体地地代代入面积公式求面积。入面积公式求面积。【例题【例题1】如图所示，求图中阴影部分的面积如图所示，求图中阴影部分的面积【思路导航】【思路导航】解解法法一一：阴阴影影部部分分的的一一半半，可可以以看看做做是是扇扇形形中中减减去去一一个个等等腰腰直直角角三三角角形形（如如图图），等等腰腰直直角角三三角角形形的的斜斜边边等等于于圆圆的的半半径径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20210厘米厘米3.141021/410（102）2107（平方厘米）（平方厘米）解解法法二二：以以等等腰腰三三角角形形底底的的中中点点为为中中心心点点。把把图图的的右右半半部部分分向向下下旋旋转转90度度后后，阴阴影影部部分分的的面面积积就就变变为为从从半半径径为为10厘厘米米的的半半圆圆面面积积中中，减减去去两两直直角角边边为为10厘厘米米的的等等腰腰直直角角三三角角形形的的面面积所得的差。积所得的差。（202）21/2（202）21/2107（平方厘米）（平方厘米）【练习【练习1】1如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）2如如图图所所示示，用用一一张张斜斜边边为为29厘厘米米的的红红色色直直角角三三角角形形纸纸片片，一一张张斜斜边边为为49厘厘米米的的蓝蓝色色直直角角三三角角形形纸纸片片，一一张张黄黄色色的的正正方方形形纸纸片片，拼拼成成一一个个直直角三角形。求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？角三角形。求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？第第20周周面积计算面积计算疯狂操练二疯狂操练二【例题【例题2】如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。【思思路路导导航航】解解法法一一：先先用用长长方方形形的的面面积积减减去去小小扇扇形形的的面面积积，得得空空白白部部分分（a）的的面面积积，再再用用大大扇扇形形的的面面积积减减去去空空白白部部分分（ a） 的的 面面 积积 。 如如 图图 所所 示示 。 3.14621/4 （ 643.14421/4）16.82（平方厘米）（平方厘米）第第20周周面积计算面积计算疯狂操练二疯狂操练二解解法法二二：把把阴阴影影部部分分看看作作（1）和和（2）两两部部分分如如图图208所所示示。把把大大、小小两两个个扇扇形形面面积积相相加加，刚刚好好多多计计算算了了空空白白部部分分和和阴影（阴影（1）的面积，即长方形的面积。）的面积，即长方形的面积。3.14421/4+3.14621/44616.28（平方厘米）（平方厘米）【练习【练习2】1如如图图所所示示， ABC是是等等腰腰直直角角三三角角形形，求求阴阴影影部部分分的的面面积积（单单位位：厘米）。厘米）。2如如图图所所示示，三三角角形形ABC是是直直角角三三角角形形，AC长长4厘厘米米，BC长长2厘厘米米。以以AC、BC为为直直径径画画半半圆圆，两两个个半半圆圆的的交交点点在在AB边边上上。求求图图中中阴阴影影部部分的面积。分的面积。3如如图图所所示示，图图中中平平行行四四边边形形的的一一个个角角为为600，两两条条边边的的长长分分别别为为6厘米和厘米和8厘米，高为厘米，高为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。厘米。求图中阴影部分的面积。第第20周周面积计算面积计算疯狂操练三疯狂操练三【例题【例题3】在图中，正方形的边长是在图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。厘米，求图中阴影部分的面积。【思路导航】【思路导航】解解法法一一：先先用用正正方方形形的的面面积积减减去去一一个个整整圆圆的的面面积积，得得空空部部分分的的一一半半（如如图所示），再用正方形的面积减去全部空白部分。图所示），再用正方形的面积减去全部空白部分。空白部分的一半：空白部分的一半：1010（102）23.1421.5（平方厘米）（平方厘米）阴影部分的面积：阴影部分的面积：101021.5257（平方厘米）（平方厘米）解解法法二二：把把图图中中8个个扇扇形形的的面面积积加加在在一一起起，正正好好多多算算了了一一个个正正方方形形（如如图图所示），而所示），而8个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。（102）23.142101057（平方厘米）（平方厘米）【练习【练习3】1求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。2求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。3求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。第第20周周面积计算面积计算疯狂操练四疯狂操练四【例题【例题4】在正方形在正方形ABCD中，中，AC6厘米。求阴影部分的面积。厘米。求阴影部分的面积。【思思路路导导航航】这这道道题题的的难难点点在在于于正正方方形形的的边边长长未未知知，这这样样扇扇形形的的半半径径也也就就不不知知道道。但但我我们们可可以以看看出出，AC是是等等腰腰直直角角三三角角形形ACD的的斜斜边边。根根据据等等腰腰直直角角三三角角形形的的对对称称性性可可知知，斜斜边边上上的的高高等等于于斜斜边边的的一一半半（如如图图所所示示），我我们们可可以以求求出出等等腰腰直直角角三三角角形形ACD的的面面积积，进进而而求求出出正正方方形形ABCD的的面面积积，即即扇扇形形半半径径的的平平方方。这这样样虽虽然然半半径径未未求求出出，但但可可以以求求出出半半径径的的平平方方，也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。既是正方形的面积，又是半径的平方为：既是正方形的面积，又是半径的平方为：6（62）218（平方厘米）（平方厘米）阴影部分的面积为：阴影部分的面积为：18183.1443.87（平方厘米）（平方厘米）【练习【练习4】1如如图图所所示示，图图形形中中正正方方形形的的面面积积是是50平平方方厘厘米米，分分别别求求出出每每个个图图形形中阴影部分的面积。中阴影部分的面积。2如如图图所所示示，图图形形中中正正方方形形的的面面积积是是50平平方方厘厘米米，分分别别求求出出每每个个图图形形中阴影部分的面积。中阴影部分的面积。3如如图图所所示示，正正方方形形中中对对角角线线长长10厘厘米米，过过正正方方形形两两个个相相对对的的顶顶点点以以其其边边长长为为半半径径分分别别做做弧弧。求求图图形形中中阴阴影影部部分分的的面面积积（试试一一试试，你你能能想想出出几种办法）。几种办法）。第第20周周面积计算面积计算疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】在在图图的的扇扇形形中中，正正方方形形的的面面积积是是30平平方方厘厘米米。求求阴影部分的面积。阴影部分的面积。【思思路路导导航航】阴阴影影部部分分的的面面积积等等于于扇扇形形的的面面积积减减去去正正方方形形的的面面积积。可可是是扇扇形形的的半半径径未未知知，又又无无法法求求出出，所所以以我我们们寻寻求求正正方方形形的的面面积积与与扇扇形形面面积积的的半半径径之之间间的的关关系系。我我们们以以扇扇形形的的半半径径为为边边长长做做一一个个新新的的正正方方形形（如如图图所所示示），从从图图中中可可以以看看出出，新新正正方方形形的的面面积积是是30260平平方方厘厘米米，即即扇扇形形半半径径的的平平方方等等于于60。这这样样虽虽然然半半径径未未求求出出，但但能能求求出出半半径径的的平平方方，再再把把半半径径的的平平等等直直接接代代入入公公式式计计算算。3.14（302）1/43017.1（平平方厘米）方厘米）【练习【练习5】1如如图图所所示示，平平行行四四边边形形的的面面积积是是100平平方方厘厘米米，求求阴阴影影部分的面积。部分的面积。2如如图图所所示示，O是是小小圆圆的的圆圆心心，CO垂垂直直于于AB,三三角角形形ABC的面积是的面积是45平方厘米，求阴影部分的面积。平方厘米，求阴影部分的面积。3如如图图所所示示，半半圆圆的的面面积积是是62.8平平方方厘厘米米，求求阴阴影影部部分分的的面积。面积。六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 一一些些分分数数的的分分子子与与分分母母被被施施行行了了加加减减变变化化，解解答答时时关关键键要要分分析析哪哪些些量量变变了了，哪哪些些量量没没有有变变。抓抓住住分分子子或或分分母母，或或分分子子、分分母母的的差差，或或分分子子、分分母母的的和和等等等等不不变变量量进进行行分分析析后后，再再转转化并解答。化并解答。【例题【例题1】【思路导航】【思路导航】【练习【练习1第第21周周抓不变量解题抓不变量解题疯狂操练二疯狂操练二【例题【例题2】【思路导航】【思路导航】第第21周周抓不变量解题抓不变量解题疯狂操练二疯狂操练二【练习【练习2】第第21周周抓不变量解题抓不变量解题疯狂操练三疯狂操练三【例题【例题3】【思路导航】【思路导航】。【练习【练习3】第第21周周抓不变量解题抓不变量解题疯狂操练四疯狂操练四【例题【例题4】【思路导航】【思路导航】【练习【练习4】第第21周周抓不变量解题抓不变量解题疯狂操练五疯狂操练五【例题【例题5】【思路导航】【思路导航】【练习【练习5】六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 有有些些工工程程题题中中，工工作作效效率率、工工作作时时间间和和工工作作总总量量三三者者之之间间的的数数量量关关系系很很不不明明显显，这这时时我我们们就就可可以以考考虑虑运运用用一一些些特特殊殊的的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。【例例题题1】修修一一条条路路，甲甲队队每每天天修修8小小时时，5天天完完成成；乙乙队队每每天天修修10小小时时，6天天完完成成。两两队队合合作作，每每天天工工作作6小小时时，几几天天可可以完成？以完成？【思路导航】【思路导航】【练习【练习1】1、修修一一条条路路，甲甲队队每每天天修修6小小时时，4天天可可以以完完成成；乙乙队队每每天天修修8小小时时，5天可以完成。现在让甲、乙两队合修，要求天可以完成。现在让甲、乙两队合修，要求2天完成，每天应修几小时？天完成，每天应修几小时？2、一一项项工工作作，甲甲组组3人人8天天能能完完成成，乙乙组组4人人7天天也也能能完完成成。现现在在由由甲甲组组2人和乙组人和乙组7人合作，多少天可以完成？人合作，多少天可以完成？3、货货场场上上有有一一堆堆沙沙子子，如如果果用用3辆辆卡卡车车4天天可可以以完完成成，用用4辆辆马马车车5天天可可以以运运完完，用用20辆辆小小板板车车6天天可可以以运运完完。现现在在用用2辆辆卡卡车车、3辆辆马马车车和和7辆辆小小板板车车共共同同运运两两天天后后，全全改改用用小小板板车车运运，必必须须在在两两天天内内运运完完。问问：后后两两天天需要多少辆小板车？需要多少辆小板车？第第22周周特殊工程问题特殊工程问题疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】有有两两个个同同样样的的仓仓库库A和和B，搬搬运运一一个个仓仓库库里里的的货货物物，甲甲需需要要10小小时时，乙乙需需要要12小小时时，丙丙需需要要15小小时时。甲甲和和丙丙在在A仓仓库库，乙乙在在B仓仓库库，同同时时开开始始搬搬运运。中中途途丙丙转转向向帮帮助助乙乙搬搬运运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？【思路导航】【思路导航】【练习【练习2】第第22周周特殊工程问题特殊工程问题疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】一一件件工工作作，甲甲独独做做要要20天天完完成成，乙乙独独做做要要12天天完完成成。这这件件工工作作先先由由甲甲做做了了若若干干天天，然然后后由由乙乙继继续续做做完完，从从开开始到完工共用了始到完工共用了14天。这件工作由甲先做了几天？天。这件工作由甲先做了几天？【思路导航】【思路导航】【练习【练习3】1、一一项项工工程程，甲甲独独做做12天天完完成成，乙乙独独做做4天天完完成成。若若甲甲先先做做若若干干天天后后，由由乙乙接接着着做做余余下下的的工工程程，直直至至完完成成全全部部任任务务，这样前后共用了这样前后共用了6天，甲先做了几天？天，甲先做了几天？2、一一项项工工程程，甲甲队队单单独独做做需需30天天完完成成，乙乙队队单单独独做做需需40天天完完成成。甲甲队队单单独独做做若若干干天天后后，由由乙乙队队接接着着做做，共共用用35天天完完成成了任务。甲、乙两队各做了多少天？了任务。甲、乙两队各做了多少天？3、一一项项工工程程，甲甲独独做做要要50天天，乙乙独独做做要要75天天，现现在在由由甲甲、乙乙合合作作，中中间间乙乙休休息息几几天天，这这样样共共用用40天天完完成成。求求乙乙休休息息的的天数。天数。第第22周周特殊工程问题特殊工程问题疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】甲甲、乙乙两两人人合合作作加加工工一一批批零零件件，8天天可可以以完完成成。中中途途甲甲因因事事停停工工3天天，因因此此，两两人人共共用用了了10天天才才完完成成。如如果果由由甲甲单单独独加加工工这这批批零零件件，需要多少天才能完成？需要多少天才能完成？【思路导航】【思路导航】【练习【练习4】1、甲甲、乙乙两两人人合合作作某某项项工工程程需需要要12天天。在在合合作作中中，甲甲因因输输请请假假5天天，因因此此共共用用15天天才才完完工工。如如果果全全部部工工程程由由甲甲单单独独去去干干，需需要要多多少少天天才才能能完完成成？2、一一段段布布，可可以以做做30件件上上衣衣，也也可可做做48条条裤裤子子。如如果果先先做做20件件上上衣衣后后，还可以做多少条裤子？还可以做多少条裤子？3、一一项项工工程程，甲甲、乙乙合合作作6小小时时可可以以完完成成，同同时时开开工工，中中途途甲甲通通工工了了2.5小小时时，因因此此，经经过过7.5小小时时才才完完工工。如如果果这这项项工工程程由由甲甲单单独独做做需需要要多多少少小时？小时？4、一一项项工工程程，甲甲先先单单独独做做2天天，然然后后与与乙乙合合作作7天天，这这样样才才完完成成全全工工程程的的一一半半，已已知知甲甲、乙乙工工作作效效率率的的比比是是3：2，如如果果这这件件工工作作由由乙乙单单独独做做，需要多少天才能完成？需要多少天才能完成？第第22周周特殊工程问题特殊工程问题疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】放放满满一一个个水水池池的的水水，如如果果同同时时开开放放号号阀阀门门，15小小时时放放满满；如如果果同同时时开开放放号号阀阀门门，12小小时时可可以以放放满满；如如果果同同时时开开放放号号阀阀门门，8小小时时可可以以放放满满。问问：同同时开放这五个阀门几小时可以放满这个水池？时开放这五个阀门几小时可以放满这个水池？【思路导航】【思路导航】【练习【练习5】六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 周周期期工工程程问问题题中中，工工作作时时工工作作人人员员（或或物物体体）是是按按一一定定顺顺序序轮轮流流交交替替工工作作的的。解解答答时时，首首先先要要弄弄清清一一个个循循环环周周期期的的工工作作量量，利利用用周周期期性性规规律律，使使貌貌似似复复杂杂的的问问题题迅迅速速地地化化难难为为易易。其其次次要要注注意意最最后后不不满满一一个个周周期期的的部部分分所所需需的的工工作作时时间间，这这样样才能正确解答。才能正确解答。【例例题题1】一一项项工工程程，甲甲单单独独做做需需要要12小小时时，乙乙单单独独做做需需要要18小小时时。若若甲甲做做1小小时时后后乙乙接接替替甲甲做做1小小时时，再再由由甲甲接接替替乙乙做做1小小时时两两人人如如此此交交替替工工作作，问问完完成成任任务务时时需需共共用用多多少少小小时时？【思路导航】【思路导航】【练习【练习1】1、一一项项工工程程，甲甲单单独独做做要要6小小时时完完成成，乙乙单单独独做做要要10小小时时完完成成。如如果果按按甲甲、乙乙；甲甲、乙乙的的顺顺序序交交替替工工作作，每每次次1小小时时，需需要要多多少少小小时时才才能能完完成？成？2、一一部部书书稿稿，甲甲单单独独打打字字要要14小小时时，乙乙单单独独打打字字要要20小小时时。如如果果先先由由甲甲打打1小小时时，然然后后由由乙乙接接替替甲甲打打1小小时时；再再由由甲甲接接替替乙乙打打1小小时时两两人人如如此此交替工作，打完这部书稿共需用多少小时？交替工作，打完这部书稿共需用多少小时？3、一一项项工工作作，甲甲单单独独完完成成要要9小小时时，乙乙单单独独完完成成要要12小小时时。如如果果按按照照甲甲、乙乙；甲甲、乙乙的的顺顺序序轮轮流流工工作作，每每人人每每次次工工作作1小小时时，完完成成这这项项工工程程的的2/3共要多少时间？共要多少时间？第第23周周周期工程问题周期工程问题疯狂操练二疯狂操练二【例题【例题2】【思路导航】【思路导航】【练习【练习2】第第23周周周期工程问题周期工程问题疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】一一批批零零件件，如如果果第第一一天天甲甲做做，第第二二天天乙乙做做，这这样样交交替替轮轮流流做做，恰恰好好用用整整数数天天数数完完成成。如如果果第第一一天天乙乙做做，第第二二天天甲甲做做，这这样样交交替替轮轮流流做做，做做到到上上次次轮轮流流完完成成时时所所用用的的天天数数后后，还还剩剩60个个不不能能完完成成。已已知知甲甲、乙乙工工作效率的比是作效率的比是5：3。甲、乙每天各做多少个？。甲、乙每天各做多少个？【思路导航】【思路导航】由由题题意意可可以以推推出出“甲甲先先”的的轮轮流流方方式式，完完成成时时所所用用的的天天数数为为奇奇数数，否否则则不不论论“甲甲先先”还还是是“乙乙先先”，两两种种轮轮流流方方式式完完成成的的天天数数必必定定相相同同。根根据据“甲先甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙剩乙剩60个个竖竖线线左左边边做做的的天天数数为为偶偶数数，谁谁先先做做没没关关系系。竖竖线线右右边边可可以以看看出出，剩剩下下的的60个零件就是甲、乙工作效率的差。个零件就是甲、乙工作效率的差。甲每天做的个数为：甲每天做的个数为：60（5-3）5=150（个）（个）乙每天做的个数为：乙每天做的个数为：60（5-3）3=90（个）（个）【练习【练习3】第第23周周周期工程问题周期工程问题疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】打打印印一一部部稿稿件件，甲甲单单独独打打要要12小小时时完完成成，乙乙单单独独打打要要15小小时时完完成成。现现在在，甲甲、乙乙两两人人轮轮流流工工作作。甲甲工工作作1小小时时，乙乙工工作作2小小时时；甲甲工工作作2小小时时，乙乙工工作作1小小时时；甲甲工工作作1小小时时，乙乙工工作作2小小时时如如此此这这样样交交替替下下去去，打印这部书稿共要多少小时？打印这部书稿共要多少小时？【思路导航】【思路导航】【练习【练习4】1、一一个个水水池池安安装装了了甲甲、乙乙两两根根进进水水管管。单单开开甲甲管管，24分分钟钟能能包包空空池池灌灌满满；单单开开乙乙管管，18分分钟钟能能把把空空池池灌灌满满。现现在在，甲甲、乙乙两两管管轮轮流流开开放放，按按照照甲甲1分分钟钟，乙乙2分分钟钟，甲甲2分分钟钟，乙乙1分分钟钟，甲甲1分分钟钟，乙乙2分分钟钟如如此此交交替替下下去，灌满一池水共需几分钟？去，灌满一池水共需几分钟？2、一一件件工工作作，甲甲单单独独做做，需需12小小时时完完成成；乙乙单单独独做做需需15小小时时完完成成。现现在在，甲甲、乙乙两两人人轮轮流流工工作作，甲甲工工作作2小小时时，乙乙工工作作1小小时时；甲甲工工作作1小小时时，乙乙工工作作2小小时时；甲甲工工作作2小小时时，乙乙工工作作1小小时时如如此此交交替替下下去去，完完成成这这件件工工作作共需多少小时？共需多少小时？3、一一项项工工程程，甲甲工工程程队队单单独独做做完完要要150天天，乙乙工工程程队队单单独独做做完完需需180天天。两两队队合合作作时时，甲甲队队做做5天天，休休息息2天天，乙乙队队做做6天天，休休息息1天天。完完成成这这项项工工程要多少天？程要多少天？第第23周周周期工程问题周期工程问题疯狂操练五疯狂操练五【例题【例题5】【思路导航】【思路导航】【练习【练习5】六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 【例题【例题1】【思路导航】【思路导航】【练习【练习1】第第24周周比较大小比较大小疯狂操练二疯狂操练二【例题【例题2】【思路导航】【思路导航】。【练习【练习2】第第24周周比较大小比较大小疯狂操练三疯狂操练三【例题【例题3】【思路导航】【思路导航】【练习【练习3】第第24周周比较大小比较大小疯狂操练四疯狂操练四【例题【例题4】【思路导航】【思路导航】【练习【练习4】第第24周周比较大小比较大小疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】图图241中中有有两两个个红红色色的的正正方方形形，两两个个蓝蓝色色的的正正方方形形，它它们们的的面面积积已已在在图图中中标标出出（单单位位：平平方方厘厘米米）。问问：红红色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方形面积大？色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方形面积大？【思路导航】【思路导航】【练习【练习5】六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 人人们们碰碰到到的的各各种种优优化化问问题题、高高效效低低耗耗问问题题，最最终终都都表表现现为为数数学学上上的的极极值值问问题题，即即小小学学阶阶段段的的最最大大最最小小问问题题。最最大大最最小小问问题题设设计计到到的的知知识识多多，灵灵活活性性强强，解解题题时时要要善善于于综综合合运运用用所所学的各种知识。学的各种知识。【例题【例题1】【思路导航】【思路导航】【练习【练习1】第第25周周最大最小问题最大最小问题疯狂操练二疯狂操练二【例题【例题2】【思路导航】【思路导航】【练习【练习2】第第25周周最大最小问题最大最小问题疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】如如果果两两个个四四位位数数的的差差等等于于8921，就就是是说说这这两两个个四四位数组成一个数对。问：这样的数对共有多少个？位数组成一个数对。问：这样的数对共有多少个？【思路导航】【思路导航】在在这这些些数数对对中中，被被减减数数最最大大是是9999，此此时时减减数数是是999989211078，被被减减数数和和剑剑术术同同时时减减去去1后后，又又得得到到一一个个满满足足题题意意条条件件的的四四位位数数对对。为为了了保保证证减减数数是是四四位位数数，最最多多可可以以减减去去78，因此，这样的数对共有，因此，这样的数对共有78+179个。个。答：这样的数对共有答：这样的数对共有79个。个。【练习【练习3】1、两两个个四四位位数数的的差差是是8921。这这两两个个四四位位数数的的和和的的最最大大值值是是多少？多少？2、如如果果两两个个三三位位数数的的和和是是525，就就说说这这两两个个三三位位数数组组成成一一个个数数对对。那那么么这这样样的的数数对对共共有有多多少少个个？组组成成这这样样的的数数对对的的两两个个数的差最小是多少？最大是多少？数的差最小是多少？最大是多少？3、如如果果两两个个四四位位数数的的差差是是3456，就就说说这这两两个个数数组组成成一一个个数数对对。那那么么，这这样样的的数数对对共共有有多多少少个个？组组成成这这样样的的数数对对的的两两个个数的和最大是多少？最小是多少？数的和最大是多少？最小是多少？第第25周周最大最小问题最大最小问题疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】三三个个连连续续自自然然数数，后后面面两两个个数数的的积积与与前前面面两两个个数数的的积之差是积之差是114。这三个数中最小的是多少？。这三个数中最小的是多少？【思路导航】【思路导航】因因为为：最最大大数数中中间间数数最最小小数数中中间间数数114，即即：（最最大大数最小数）数最小数）中间数中间数114而而三三个个连连续续自自然然数数中中，最最大大数数最最小小数数2，因因此此，中中间间数数是是114257，最小数是，最小数是57156答：最小数是答：最小数是56。【练习【练习4】第第25周周最大最小问题最大最小问题疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】三三个个数数字字能能组组成成6个个不不同同的的三三位位数数。这这6个个三三位位数数的和是的和是2886。求所有这样的。求所有这样的6个三位数中的最小的三位数。个三位数中的最小的三位数。【思路导航】【思路导航】因因为为三三个个数数字字分分别别在在百百位位、十十位位、个个位位各各出出现现了了2次次。所所以以，2886222能得到三个数字的和。能得到三个数字的和。设三个数字为设三个数字为a、b、c，那么，那么6个不同的三位数的和为个不同的三位数的和为【练习【练习5】1、有有三三个个数数字字能能组组成成6个个不不同同的的三三位位数数。这这6个个不不同同的的三三位位数数的的和和是是3108。所有这样的所有这样的6个三位数中最大的一个是多少？个三位数中最大的一个是多少？2、有有三三个个数数字字能能组组成成6个个不不同同的的三三位位数数。这这6个个不不同同的的三三位位数数的的和和是是2220。所有这样的所有这样的6个三位数中最小的一个是多少？个三位数中最小的一个是多少？3、用用a、b、c能能组组成成6个个不不同同的的三三位位数数。这这6个个三三位位数数相相加加的的和和是是2886。已已知知a、b、c三三个个数数字字中中，最最大大的的数数字字是是最最小小数数字字的的2倍倍，这这6个个三三位位数数中中最小的数是多少？最小的数是多少？五年级五年级 数学数学 举一反三举一反三 几几个个数数公公有有的的倍倍数数叫叫做做这这几几个个数数的的公公倍倍数数，其其中中最最小小的的一一个个公公倍倍数数，叫叫做做这这几几个个数数的的最最小小公公倍倍数数。自自然然数数a、b的的最最小小公倍数可以记作公倍数可以记作a、b，当（，当（a、b）=1时，时，a、b=ab。两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系：两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系：最大公约数最大公约数最小公倍数最小公倍数=两数的乘积两数的乘积即（即（a、b）a、b=ab要要解解答答求求最最小小公公倍倍数数的的问问题题，关关键键要要根根据据题题目目中中的的已已知知条条件件，对对问问题题作作全全面面的的分分析析，若若要要求求的的数数对对已已知知条条件件来来说说，是是处处于于被被除除数数的的地地位位，通通过过就就是是求求最最小小公公倍倍数数，解解题题时时要要避避免免和和最最大公约数问题混淆。大公约数问题混淆。【例例题题1】两两个个数数的的最最大大公公约约数数是是15，最最小小公公倍倍数数是是90，求求这两个数分别是多少？这两个数分别是多少？【思路导航】【思路导航】根根据据“两两个个数数的的最最大大公公约约数数与与最最小小公公倍倍数数的的乘乘积积等等于于这这两两个个数数的的乘乘积积”可可先先求求出出这这两两个个数数的的乘乘积积，再再把把这这个个积积分分解解成成两个数。根据题意：两个数。根据题意：当当a1b1分分别别是是1和和6时时，a、b分分别别为为151=15，156=90；当当a1b1分分别别是是2和和3时时，a、b分分别别为为152=20，153=45。所所以以，这两个数是这两个数是15和和90或者或者30和和45。【练习【练习1】1，两两个个数数的的最最大大公公约约数数是是9，最最小小公公倍倍数数是是90，求求这这两两个个数数分别是多少？分别是多少？2，两两个个数数的的最最大大公公约约数数是是12，最最小小公公倍倍数数是是60，求求这这两两个个数的和是多少？数的和是多少？3，两两个个数数的的最最大大公公约约数数是是60，最最小小公公倍倍数数是是720，其其中中一一个个数是数是180，另一个数是多少？，另一个数是多少？【例例题题2】两两个个自自然然数数的的积积是是360，最最小小公公倍倍数数是是120，这这两两个数各是多少？个数各是多少？【思路导航】【思路导航】我我们们把把这这两两个个自自然然数数称称为为甲甲数数和和乙乙数数。因因为为甲甲、乙乙两两数数的的积积一一定定等等于于甲甲、乙乙两两数数的的最最大大公公约约数数与与最最小小公公倍倍数数的的积积。根根据据这这一一规规律律，我我们们可可以以求求出出这这两两个个数数的的最最大大公公约约数数是是360120=3。又又因因为为（甲甲3=a，乙乙3=b）中中，3ab=120，a和和b一一定定是是互互质质数数，所所以以，a和和b可可以以是是1和和40，也也可可以以是是5和和8。当当a和和b是是1和和40时时，所所求求的的数数是是31=3和和340=120；当当a和和b是是5和和8时，所求的数是时，所求的数是35=15和和38=24。【练习【练习2】1，求，求36和和24的最大公约数和最小公倍数的乘积。的最大公约数和最小公倍数的乘积。2，已知两个数的积是，已知两个数的积是3072，最大公约数是，最大公约数是16，求这两个数。，求这两个数。3，已已知知两两个个数数的的最最大大公公约约数数是是13，最最小小公公倍倍数数是是78，求求这这两个数的差。两个数的差。【例例题题3】甲甲、乙乙、丙丙三三人人是是朋朋友友，他他们们每每隔隔不不同同天天数数到到图图书书馆馆去去一一次次。甲甲3天天去去一一次次，乙乙4天天去去一一次次，丙丙5天天去去一一次次。有有一一天天，他他们们三三人人恰恰好好在在图图书书馆馆相相会会，问问至至少少再再过过多多少少天天他他们们三人又在图书馆相会？三人又在图书馆相会？【思路导航】【思路导航】从从第第一一次次三三人人在在图图书书馆馆相相会会到到下下一一次次再再次次相相会会，相相隔隔的的天天数数应应该该是是3、4、5的的最最小小公公倍倍数数。因因为为3、4、5的的最最小小公公倍倍数数是是60，所以至少再过，所以至少再过60天他们三人又在图书馆相会。天他们三人又在图书馆相会。【练习【练习3】1，1路路、2路路和和5路路车车都都从从东东站站发发车车，1路路车车每每隔隔10分分钟钟发发一一辆辆，2路路车车每每隔隔15分分钟钟发发一一辆辆，而而5路路车车每每隔隔20分分钟钟发发一一辆辆。当当这这三三种种路路线线的的车车同同时时发发车车后后，至至少少要要过过多多少少分分钟钟又又这这三三种种路线的车同时发车？路线的车同时发车？2，甲甲、乙乙、丙丙从从同同一一起起点点出出发发沿沿同同一一方方向向在在圆圆形形跑跑道道上上跑跑步步，甲甲跑跑一一圈圈用用120秒秒，乙乙跑跑一一圈圈用用80秒秒，丙丙跑跑一一圈圈用用100秒秒。问问：再过多少时间三人第二次同时从起点出发？再过多少时间三人第二次同时从起点出发？3，五五年年级级一一班班的的同同学学每每周周一一都都要要去去看看军军属属张张爷爷爷爷，二二班班的的同同学学每每6天天去去看看一一次次，三三班班的的同同学学每每两两周周去去看看一一次次。如如果果“六六一一”儿儿童童节节三三个个班班的的同同学学同同一一天天去去看看张张爷爷爷爷，那那么么，再再过过多多少少天他们三个班的同学再次同一天去张爷爷家？天他们三个班的同学再次同一天去张爷爷家？【例例题题4】一一块块砖砖长长20厘厘米米，宽宽12厘厘米米，厚厚6厘厘米米。要要堆堆成成正方体至少需要这样的砖头多少块？正方体至少需要这样的砖头多少块？【思路导航】【思路导航】把把若若干干个个长长方方体体叠叠成成正正方方体体，它它的的棱棱长长应应是是长长方方体体长长、宽宽、高高的的公公倍倍数数。现现在在要要求求长长方方体体砖砖块块最最少少，它它的的棱棱长长应应是是长长方方体体长长、宽宽、高高的的最最小小公公倍倍数数，求求出出正正方方体体棱棱长长后后，再再根根据据正正方体与长方体体积之间的关系就能求出长方体砖的块数。方体与长方体体积之间的关系就能求出长方体砖的块数。【练习【练习4】1，用用长长9厘厘米米、宽宽6厘厘米米、高高7厘厘米米的的长长方方体体木木块块叠叠成成一一个个正正方体，至少需要用这样的长方体多少块？方体，至少需要用这样的长方体多少块？2，有有200块块长长6厘厘米米、宽宽4厘厘米米、高高3厘厘米米的的长长方方体体木木块块，要要把把这这些些木木块块堆堆成成一一个个尽尽可可能能大大的的正正方方体体，这这个个正正方方体体的的体体积积是多少立方厘米？是多少立方厘米？3，一一个个长长方方体体长长2.7米米、宽宽1.8分分米米、高高1.5分分米米，要要把把它它切切成成大大小小相相等等的的正正方方体体小小块块，不不许许有有剩剩余余，这这些些小小正正方方体体的的棱棱长最多是多少分米？长最多是多少分米？【例例题题5】甲甲每每秒秒跑跑3米米，乙乙每每秒秒跑跑4米米，丙丙每每秒秒跑跑2米米，三三人人沿沿600米米的的环环形形跑跑道道从从同同一一地地点点同同时时同同方方向向跑跑步步，经经过过多多少少时间三人又同时从出发点出发？时间三人又同时从出发点出发？【思路导航】【思路导航】甲甲跑跑一一圈圈需需要要6003=200秒秒，乙乙跑跑一一圈圈需需要要6004=150秒秒，丙丙跑跑一一圈圈需需要要6002=300秒秒。要要使使三三人人再再次次从从出出发发点点一一齐齐出出发发，经经过过的的时时间间一一定定是是200、150和和300的的最最小小公公倍倍数数。200、150和和300的的最最小小公公倍倍数数是是600，所所以以，经经过过600秒秒后后三三人人又又同时从出发点出发。同时从出发点出发。【练习【练习5】1，有有一一条条长长400米米的的环环形形跑跑道道，甲甲、乙乙二二人人同同时时同同地地出出发发，反反向向而而行行，1分分钟钟后后第第一一次次相相遇遇；若若二二人人同同时时同同地地出出发发，同同向向而而行行，则则10分分钟钟后后第第一一次次相相遇遇。已已知知甲甲比比乙乙快快，求求二二人人的的速速度。度。2，一一环环形形跑跑道道长长240米米，甲甲、乙乙、丙丙从从同同一一处处同同方方向向骑骑车车而而行行，甲甲每每秒秒行行8米米，乙乙每每秒秒行行6米米，丙丙每每秒秒行行5米米。至至少少经经过过几分钟，三人再次从原出发点同时出发？几分钟，三人再次从原出发点同时出发？3，甲甲、乙乙、丙丙三三人人在在一一条条长长240米米的的跑跑道道上上来来回回跑跑步步，甲甲每每秒秒跑跑4米米，乙乙每每秒秒跑跑5米米，丙丙每每秒秒跑跑3米米。若若三三人人同同时时从从一一端端出发，再经过多少时间三人又从此处同时出发？出发，再经过多少时间三人又从此处同时出发？五年级五年级 数学数学 举一反三举一反三 最最小小公公倍倍数数的的应应用用题题，解解题题方方法法比比较较独独特特。当当有有些些题题中中所所求求的的数数不不正正好好是是已已知知数数的的最最小小公公倍倍数数时时，我我们们可可以以通通过过“增增加加一一部部分分”或或“减减少少一一部部分分”的的方方法法，使使问问题题转转换换成成已已知知数数的最小公倍数，从而求出结果。的最小公倍数，从而求出结果。【例例题题1】有有一一个个自自然然数数，被被10除除余余7，被被7除除余余4，被被4除除余余1这个自然数最小是多少？。这个自然数最小是多少？。【思路导航】【思路导航】根根据据已已知知条条件件可可知知，假假如如把把这这个个自自然然数数增增加加3，所所得得的的数数就就正正好好能能被被10、7和和4这这三三个个数数整整除除，即即10、7和和4的的最最小小公公倍倍数，然后再减去数，然后再减去3就能得到所求的数了。就能得到所求的数了。10，7，4=1401403=137即：这个自然数最小是即：这个自然数最小是137。【练习【练习1】1，学学校校六六年年级级有有若若干干个个同同学学排排队队做做操操，如如果果3人人一一行行余余2人人，7人一行余人一行余2人，人，11人一行也余人一行也余2人。六年级最少多少人？人。六年级最少多少人？2，一一个个数数能能被被3、5、7整整除除，但但被被11除除余余1。这这个个数数最最小小是是多少？多少？3，一一袋袋糖糖，平平均均分分给给15个个小小朋朋友友或或20个个小小朋朋友友后后，最最后后都都余下余下5块。这袋糖至少有多少块？块。这袋糖至少有多少块？【例例题题2】有有一一批批水水果果，总总数数在在1000个个以以内内。如如果果每每24个个装装一一箱箱，最最后后一一箱箱差差2个个；如如果果每每28个个装装一一箱箱，最最后后一一箱箱还还差差2个个；如如果果每每32个个装装一一箱箱，最最后后一一箱箱只只有有30个个。这这批批水水果果共共有有多少个？多少个？【思路导航】【思路导航】根根据据题题意意可可知知，这这批批水水果果再再增增加加2个个后后，每每24个个装装一一箱箱，每每28个个装装一一箱箱或或每每32个个装装一一箱箱都都能能装装整整箱箱数数，也也就就是是说说，只只要要把把这这批批水水果果增增加加2个个，就就正正好好是是24、28和和32的的公公倍倍数数。我我们们可可以以先先求求出出24、28和和32的的最最小小公公倍倍数数672，再再根根据据“总总数数在在1000以内以内”确定水果总数。确定水果总数。24，28，32=6726722=670（个）（个）即：这批水果共有即：这批水果共有670个。个。【练习【练习2】1，一一所所学学校校的的同同学学排排队队做做操操，排排成成14行行、16行行、18行行都都正正好能成长方形，这所学校至少有多少人？好能成长方形，这所学校至少有多少人？2，有有一一批批乒乒乓乓球球，总总数数在在1000个个以以内内。4个个装装一一袋袋、5个个装装一一袋袋或或6个个、7个个、8个个装装一一袋袋最最后后都都剩剩下下一一个个。这这批批乒乒乓乓球球到底有多少个？到底有多少个？3，食食堂堂买买回回一一些些油油，用用甲甲种种桶桶装装最最后后一一桶桶少少3千千克克，用用乙乙种种桶桶装装最最后后一一桶桶只只装装了了半半桶桶油油，用用丙丙种种桶桶装装最最后后一一桶桶少少7千千克克。如如果果甲甲种种桶桶每每桶桶能能装装8千千克克，乙乙种种桶桶每每桶桶能能装装10千千克克，丙丙种种桶每桶能装桶每桶能装12千克，那么，食堂至少买回多少千克油？千克，那么，食堂至少买回多少千克油？【例例题题3】一一盒盒围围棋棋子子，4颗颗4颗颗数数多多3颗颗，6颗颗6颗颗数数多多5颗颗，15颗颗15颗颗数数多多14颗颗，这这盒盒棋棋子子在在150至至200颗颗之之间间，问问共共有有多少颗？多少颗？【思路导航】【思路导航】由由已已知知条条件件可可知知：这这盒盒棋棋子子只只要要增增加加1颗颗，就就正正好好是是4、6、15的的公公倍倍数数。换换句句话话说说，这这盒盒棋棋子子比比4、6、15的的最最小小公公倍倍数数少少1。我我们们可可以以先先求求4、6、15的的最最小小公公倍倍数数，然然后后再再根根据据“这这盒盒棋棋子子在在150至至200颗颗之之间间”这这一一条条件件找找出出这这盒盒棋棋子子数数。4、6、15的最小公倍数是的最小公倍数是60。6031=179颗，即这盒棋子共颗，即这盒棋子共179颗。颗。【练习【练习3】1，有有一一批批树树苗苗，9棵棵一一捆捆多多7棵棵，10棵棵一一捆捆多多8棵棵，12棵棵一一捆捆多多10棵。这批树苗数在棵。这批树苗数在150至至200之间，求共有多少棵树苗。之间，求共有多少棵树苗。2，五五（1）班班的的五五十十多多位位同同学学去去大大扫扫除除，平平均均分分成成4组组多多2人人，平平均均分分成成5组组多多3人人。请请你你算算一一算算，五五（1）班班有有多多少少位位同同学学？3，有有一一批批水水果果，每每箱箱放放30个个则则多多20个个，每每箱箱放放35个个则则少少10个。这批水果至少有多少个？个。这批水果至少有多少个？【例例题题4】从从学学校校到到少少年年宫宫的的这这段段公公路路上上，一一共共有有37根根电电线线杆杆，原原来来每每两两根根电电线线杆杆之之间间相相距距50米米，现现在在要要改改成成每每两两根根之之间间相相距距60米米，除除两两端端两两根根不不需需移移动动外外，中中途途还还有有多多少少根根不不必必移动？移动？【思路导航】【思路导航】从从学学校校到到少少年年宫宫的的这这段段路路长长50（371）=1800米米，从从路路的的一一端端开开始始，是是50和和60的的公公倍倍数数处处的的那那一一根根就就不不必必移移动动。因因为为50和和60的的最最小小公公倍倍数数是是300，所所以以，从从第第一一根根开开始始，每每隔隔300米米就就有有一一根根不不必必移移动动。1800300=6，就就是是6根根不不必必移移动动。去掉最后一根，中途共有去掉最后一根，中途共有5根不必移动。根不必移动。【练习【练习4】1，插插一一排排红红旗旗共共26面面。原原来来每每两两面面之之间间的的距距离离是是4米米，现现在在改为改为5米。如果起点一面不移动，还可以有几面不移动？米。如果起点一面不移动，还可以有几面不移动？2，一一行行小小树树苗苗，从从第第一一棵棵到到最最后后一一棵棵的的距距离离是是90米米。原原来来每每隔隔2米米植植一一棵棵树树，由由于于小小树树长长大大了了，必必须须改改为为每每隔隔5米米植植一一棵。如果两端不算，中间有几棵不必移动？棵。如果两端不算，中间有几棵不必移动？3，学学校校开开运运动动会会，在在400米米环环形形跑跑道道边边每每隔隔16米米插插一一面面彩彩旗旗，一一共共插插了了25面面。后后来来增增加加了了一一些些彩彩旗旗，就就把把彩彩旗旗间间隔隔缩缩短短了了，起起点点彩彩旗旗不不动动，重重新新插插完完后后发发现现一一共共有有5面面彩彩旗旗没没动动。问问：现现在彩旗的间隔是多少米？在彩旗的间隔是多少米？【例例题题5】在在一一根根长长木木棍棍上上用用红红、黄黄、蓝蓝三三种种颜颜色色做做标标记记，分分别别将将木木棍棍平平均均分分成成了了10等等份份、12等等份份和和15等等份份。如如果果沿沿这这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？【思路导航】【思路导航】因因为为10、12和和15的的最最小小公公倍倍数数是是60，所所以以，设设这这根根木木棍棍长长60厘厘米米。三三种种颜颜色色的的标标记记分分别别把把木木棍棍分分成成的的小小段段长长是是6010=厘厘米米，6012=5厘厘米米，6015=4厘厘米米。因因为为5和和6的的最最小小公公倍倍数数是是30，所所以以红红黄黄两两种种标标记记重重复复的的地地方方有有60301=1处处，另另两两种种情情况况分分别别有有2处处和和4处处。因因此此，木木棍棍总总共共被被锯锯成成（1012152）124=28段。段。【练习【练习5】1，用用红红笔笔在在一一根根木木棍棍上上做做了了三三次次记记号号，第第一一次次把把木木棍棍分分成成12等等份份，第第二二次次把把棍棍分分成成15等等份份，第第三三次次把把木木棍棍分分成成20等等份份，然后沿着这些红记号把木棍锯开，一共锯成多少小段？然后沿着这些红记号把木棍锯开，一共锯成多少小段？2，父父子子二二人人在在雪雪地地散散步步，父父亲亲在在前前，每每步步80厘厘米米，儿儿子子在在后，每步后，每步60厘米。在厘米。在120米内一共留下多少个脚印？米内一共留下多少个脚印？3，在在96米米长长的的距距离离内内挂挂红红、绿绿、黄黄三三种种颜颜色色的的气气球球，绿绿气气球球每每隔隔6米米挂挂一一个个，黄黄气气球球每每隔隔4米米挂挂一一个个，。如如果果绿绿气气球球和和黄黄气气球球重重叠叠的的地地方方就就改改挂挂一一个个红红气气球球，那那么么，除除两两端端外外，中中间挂有多少个红气球？间挂有多少个红气球？五年级五年级 数学数学 举一反三举一反三 行行程程应应用用题题是是专专门门讲讲物物体体运运动动的的速速度度、时时间间、路路程程三三者者关关系系的的应应用用题题。行行程程问问题题的的主主要要数数量量关关系系是是：路路程程=速速度度时时间间。知道三个量中的两个量，就能求出第三个量。知道三个量中的两个量，就能求出第三个量。【例例题题1】甲甲、乙乙两两车车同同时时从从东东、西西两两地地相相向向开开出出，甲甲车车每每小小时时行行56千千米米，乙乙车车每每小小时时行行48千千米米。两两车车在在距距中中点点32千千米米处相遇，东、西两地相距多少千米处相遇，东、西两地相距多少千米?【思路导航】【思路导航】从从图图中中可可以以看看出出，两两车车相相遇遇时时，甲甲车车比比乙乙车车多多行行了了322=64（千千米米）。两两车车同同时时出出发发，为为什什么么甲甲车车会会比比乙乙车车多多行行64千千米米呢呢？因因为为甲甲车车每每小小时时比比乙乙车车多多行行56-48=8（千千米米）。64里里包包含含8个个8，所所以以此此时时两两车车各各行行了了8小小时时，东东、西西两两地地的的路程只要用（路程只要用（56+48）8就能得出。就能得出。322（5648）=8（小时）（小时）（5648）8=832（千米）（千米）【练习【练习1】1，小小玲玲每每分分钟钟行行100米米，小小平平每每分分钟钟行行80米米，两两人人同同时时从从学学校校和和少少年年宫宫出出发发，相相向向而而行行，并并在在离离中中点点120米米处处相相遇遇。学学校到少年宫有多少米？校到少年宫有多少米？2，一一辆辆汽汽车车和和一一辆辆摩摩托托车车同同时时从从甲甲、乙乙两两地地相相对对开开出出，汽汽车车每每小小时时行行40千千米米，摩摩托托车车每每小小时时行行65千千米米，当当摩摩托托车车行行到到两两地地中中点点处处时时，与与汽汽车车还还相相距距75千千米米。甲甲、乙乙两两地地相相距距多多少少千千米？米？3，甲甲、乙乙二二人人同同时时从从东东村村到到西西村村，甲甲每每分分钟钟行行120米米，乙乙每每分分钟钟行行100米米，结结果果甲甲比比乙乙早早5分分钟钟到到达达西西村村。东东村村到到西西村村的的路程是多少米？路程是多少米？【例例题题2】快快车车和和慢慢车车同同时时从从甲甲、乙乙两两地地相相向向开开出出，乙乙车车每每小小时时行行40千千米米，经经过过3小小时时，快快车车已已驶驶过过中中点点25千千米米，这这时时快车与慢车还相距快车与慢车还相距7千米。慢车每小时行多少千米？千米。慢车每小时行多少千米？【思路导航】【思路导航】快快车车3小小时时行行驶驶403=120（千千米米），这这时时快快车车已已驶驶过过中中点点25千千米米，说说明明甲甲、乙乙两两地地间间路路程程的的一一半半是是12025=95（千千米米）。此此时时，慢慢车车行行了了95257=63（千千米米），因因此此慢慢车车每每小小时时行行633=21（千米）。（千米）。（4032527）3=21（千米）（千米）答：慢车每小时行答：慢车每小时行21千米。千米。【练习【练习2】1，兄兄弟弟二二人人同同时时从从学学校校和和家家中中出出发发，相相向向而而行行。哥哥哥哥每每分分钟钟行行120米米，5分分钟钟后后哥哥哥哥已已超超过过中中点点50米米，这这时时兄兄弟弟二二人人还还相相距距30米。弟弟每分钟行多少米？米。弟弟每分钟行多少米？2，汽汽车车从从甲甲地地开开往往乙乙地地，每每小小时时行行32千千米米。4小小时时后后，剩剩下下的的路路比比全全程程的的一一半半少少8千千米米，如如果果改改用用每每小小时时56千千米米的的速速度度行驶，再行几小时到达乙地？行驶，再行几小时到达乙地？3，学学校校运运来来一一批批树树苗苗，五五（1）班班的的40个个同同学学都都去去参参加加植植树树活活动动，如如果果每每人人植植3棵棵，全全班班同同学学都都能能植植这这批批树树苗苗的的一一半半还还多多20棵棵。如如果果这这批批树树苗苗全全部部给给五五（1）班班的的同同学学去去植植，平平均均每每人植多少树？人植多少树？【例例题题3】甲甲、乙乙二二人人上上午午8时时同同时时从从东东村村骑骑车车到到西西村村去去，甲甲每每小小时时比比乙乙快快6千千米米。中中午午12时时甲甲到到西西村村后后立立即即返返回回东东村村，在距西村在距西村15千米处遇到乙。求东、西两村相距多少千米？千米处遇到乙。求东、西两村相距多少千米？【思路导航】【思路导航】二二人人相相遇遇时时，甲甲比比乙乙多多行行152=30（千千米米），说说明明二二人人已已行行306=5（小小时时），上上午午8时时至至中中午午12时时是是4小小时时，所所以以甲甲的的速速度是度是15（54）=15（千米）。（千米）。因此，东西两村的距离是因此，东西两村的距离是15（51）=60（千米）（千米）上午上午8时至中午时至中午12时是时是5小时小时1526=5（小时）（小时）15（54）=15（千米）（千米）15（51）=60（千米）（千米）【练习【练习3】1，甲甲、乙乙二二人人同同时时从从A地地到到B地地，甲甲每每分分钟钟走走250米米，乙乙每每分分钟钟走走90米米。甲甲到到达达B地地后后立立即即返返回回A地地，在在离离B地地3.2千千米米处与乙相遇。处与乙相遇。A、B两地间的距离是多少千米？两地间的距离是多少千米？2，小小平平和和小小红红同同时时从从学学校校出出发发步步行行去去小小平平家家，小小平平每每分分钟钟比比小小红红多多走走20米米。30分分钟钟后后小小平平到到家家，到到家家后后立立即即原原路路返返回回，在离家在离家350千米处遇到小红。小红每分钟走多少千米？千米处遇到小红。小红每分钟走多少千米？3，甲甲、乙乙二二人人上上午午7时时同同时时从从A地地去去B地地，甲甲每每小小时时比比乙乙快快8千千米米。上上午午11时时甲甲到到达达B地地后后立立即即返返回回，在在距距B地地24千千米米处处与乙相遇。求与乙相遇。求A、B两地相距多少千米？两地相距多少千米？【例例题题4】甲甲乙乙两两学学生生从从相相距距18千千米米的的两两地地同同时时相相向向而而行行。一一同同学学骑骑自自行行车车以以每每小小时时14千千米米的的速速度度在在两两队队间间不不停停往往返返联联络络。甲甲学学生生每每小小时时行行5千千米米，乙乙学学生生速速度度是是每每小小时时4千千米米，问问甲乙相遇时，骑自行车同学共行多少千米？甲乙相遇时，骑自行车同学共行多少千米？【思路导航】【思路导航】要要求求骑骑自自行行车车的的同同学学一一共共行行多多少少千千米米，就就要要知知道道他他的的速速度度和和所所行行时时间间。骑骑自自行行车车同同学学的的速速度度是是每每小小时时14千千米米，而而他他所所行行的的时时间间就就是是甲甲、乙乙两两队队学学生生从从出出发发到到相相遇遇这这段段时时间间。因因此此，用用18（45）=2小小时时，用用这这个个时时间间和和骑骑的的同同学学的的速速度度相相乘乘就得到了他一共行的千米数。就得到了他一共行的千米数。【练习【练习4】1，甲甲、乙乙两两车车同同时时从从A、B两两地地相相向向出出发发，3小小时时后后，两两车车还还相相距距120千千米米；又又行行3小小时时，两两车车又又相相距距120千千米米。A、B两两地地相距多少千米？相距多少千米？2，东东、西西两两村村相相距距36千千米米，甲甲、乙乙二二人人同同时时从从东东西西两两村村相相向向出出发发，3小小时时后后，丙丙骑骑车车从从东东村村出出发发去去追追甲甲，结结果果三三人人同同时时在在某某地地相相遇遇。已已知知甲甲每每小小时时行行4千千米米，乙乙每每小小时时行行5千千米米，求求丙的速度。丙的速度。3，两两队队同同学学同同时时从从相相距距30千千米米的的甲甲、乙乙两两地地相相向向出出发发，一一只只鸽鸽子子以以每每小小时时20千千米米的的速速度度在在两两队队同同学学之之间间不不断断往往返返送送信信。如如果果鸽鸽子子从从同同学学们们出出发发到到相相遇遇共共飞飞行行了了30千千米米，而而甲甲队队同同学学比乙队同学每小时多走比乙队同学每小时多走0.4千米，求两队同学的行走速度。千米，求两队同学的行走速度。【例例题题5】甲甲、乙乙两两车车早早上上8时时分分别别从从A、B两两地地同同时时相相向向出出发发，到到10时时两两车车相相距距112.5千千米米。两两车车继继续续行行驶驶到到下下午午1时时，两两车车相距还是相距还是112.5千米。千米。A、B两地间的距离是多少千米？两地间的距离是多少千米？【思路导航】【思路导航】从从10时时到到下下午午1时时共共经经过过3小小时时，3小小时时里里，甲甲、乙乙两两车车从从相相距距112.5千千米米到到又又相相距距112.5千千米米，共共行行112.52=225千千米米。两两车车的的速速度度和和是是2253=75千千米米。从从早早上上8时时到到10时时共共经经过过2小小时时，2小小时时共共行行752=150千千米米，因因此此，A、B两两间间的的距距离离是是150112.5=262.5千米。千米。【练习【练习5】1，甲甲、乙乙两两车车同同时时从从A、B两两地地相相向向出出发发，3小小时时后后，两两车车还还相相距距120千千米米。又又行行3小小时时，两两车车又又相相距距120千千米米。A、B两两地地相距多少千米？相距多少千米？2，快快、慢慢两两车车早早上上6时时同同时时从从甲甲、乙乙两两地地相相向向开开出出，中中午午12时时两两车车还还相相距距50千千米米。继继续续行行驶驶到到14时时，两两车车又又相相距距170千千米。甲、乙两地相距多少千米？米。甲、乙两地相距多少千米？3，甲甲、乙乙两两人人分分别别从从A、B两两地地同同时时相相向向而而行行，匀匀速速前前进进。如如果果各各人人按按原原定定速速度度前前进进，4小小时时相相遇遇；如如果果两两人人各各自自比比原原计计划少走划少走1千米，则千米，则5小时相遇。小时相遇。A、B两地相距多少千米？两地相距多少千米？五年级五年级 数学数学 举一反三举一反三 本周的主要问题是本周的主要问题是“追及问题追及问题”。追追及及问问题题一一般般是是指指两两个个物物体体同同方方向向运运动动，由由于于各各自自的的速速度度不不同，后者追上前者的问题。追及问题的基本数量关系是：同，后者追上前者的问题。追及问题的基本数量关系是：速度差速度差追及时间追及时间=追及路程追及路程解解答答追追及及问问题题，一一定定要要懂懂得得运运动动快快的的物物体体之之所所以以能能追追上上运运动动慢慢的的物物体体，是是因因为为两两者者之之间间存存在在着着速速度度差差。抓抓住住“追追及及的的路路程程必必须须用用速速度度差差来来追追”这这一一道道理理，结结合合题题中中运运动动物物体体的的地地点点、运运动动方方向向等等特特点点进进行行具具体体分分析析，并并借借助助线线段段图图来来理理解解题题意意，就可以正确解题。就可以正确解题。【例例题题1】中中巴巴车车每每小小时时行行60千千米米，小小轿轿车车每每小小时时行行84千千米米。两两车车同同时时从从相相距距60千千米米的的两两地地同同方方向向开开出出，且且中中巴巴在在前前。几几小时后小轿车追上中巴车？小时后小轿车追上中巴车？【思路导航】【思路导航】原原来来小小轿轿车车落落后后于于中中巴巴车车60千千米米，但但由由于于小小轿轿车车的的速速度度比比中中巴巴车车快快，每每小小时时比比中中巴巴车车多多行行8460=24千千米米，也也就就是是每每小小时时小小轿轿车车能能追追中中巴巴车车24千千米米。6024=2.5小小时时，所所以以2.5小小时后小轿车能追上中巴车时后小轿车能追上中巴车【练习【练习1】（1）一一辆辆摩摩托托车车以以每每小小时时80千千米米的的速速度度去去追追赶赶前前面面30千千米米处处的的卡卡车车，卡卡车车行行驶驶的的速速度度是是每每小小时时65千千米米。摩摩托托车车多多长长时时间能够追上？间能够追上？（2）兄兄弟弟二二人人从从100米米跑跑道道的的起起点点和和终终点点同同时时出出发发，沿沿同同一一方方向向跑跑步步，弟弟弟弟在在前前，每每分分钟钟跑跑120米米；哥哥哥哥在在后后，每每分分钟钟跑跑140米。几分钟后哥哥追上弟弟？米。几分钟后哥哥追上弟弟？（3）甲甲骑骑自自行行车车从从A地地到到B地地，每每小小时时行行16千千米米。1小小时时后后，乙乙也也骑骑自自行行车车从从A地地到到B地地，每每小小时时行行20千千米米，结结果果两两人人同同时时到达到达B地。地。A、B两地相距多少千米？两地相距多少千米？【例例题题2】一一辆辆汽汽车车从从甲甲地地开开往往乙乙地地，要要行行360千千米米。开开始始按按计计划划以以每每小小时时45千千米米的的速速度度行行驶驶，途途中中因因汽汽车车故故障障修修车车2小小时时。因因为为要要按按时时到到达达乙乙地地，修修好好车车后后必必须须每每小小时时多多行行30千千米米。汽车是在离甲地多远处修车的？汽车是在离甲地多远处修车的？【思路导航】【思路导航】途途中中修修车车用用了了2小小时时，汽汽车车就就少少行行452=90千千米米；修修车车后后，为为了了按按时时到到达达乙乙地地，每每小小时时必必须须多多行行30千千米米。90千千米米里里面面包包含含有有3个个30千千米米，也也就就是是说说，再再行行3小小时时就就能能把把修修车车少少行行的的90千千米米行行完完。因因此此，修修车车后后再再行行（4530）3=225千千米米就就能能到到达乙地，汽车是在离甲地达乙地，汽车是在离甲地360225=135千米处修车的。千米处修车的。【练习【练习2】（1）小小王王家家离离工工厂厂3千千米米，他他每每天天骑骑车车以以每每分分钟钟200米米的的速速度度上上班班，正正好好准准时时到到工工厂厂。有有一一天天，他他出出发发几几分分钟钟后后，因因遇遇熟熟人人停停车车2分分钟钟，为为了了准准时时到到厂厂，后后面面的的路路必必须须每每分分钟钟多多行行100米。小王是在离工厂多远处遇到熟人的？米。小王是在离工厂多远处遇到熟人的？（2）一一辆辆汽汽车车从从甲甲地地开开往往乙乙地地，若若每每小小时时行行36千千米米，8小小时时能能到到达达。这这辆辆汽汽车车以以每每小小时时36千千米米的的速速度度行行驶驶一一段段时时间间后后，因因排排队队加加油油用用去去了了15分分钟钟。为为了了能能在在8小小时时内内到到达达乙乙地地，加加油后每小时必须多行油后每小时必须多行7.2千米。加油站离乙地多少千米？千米。加油站离乙地多少千米？（3）汽汽车车以以每每小小时时30千千米米的的速速度度从从甲甲地地出出发发，6小小时时后后能能到到达达乙乙地地。汽汽车车出出发发1小小时时后后原原路路返返回回甲甲地地取取东东西西，然然后后立立即即从从甲甲地地出出发发。为为了了能能在在原原来来时时间间内内到到达达乙乙地地，汽汽车车必必须须以以每每小小时多少千米的速度驶向乙地？时多少千米的速度驶向乙地？【例例题题3】甲甲、乙乙两两人人以以每每分分钟钟60米米的的速速度度同同时时、同同地地、同同向向步步行行出出发发。走走15分分钟钟后后甲甲返返回回原原地地取取东东西西，而而乙乙继继续续前前进进。甲甲取取东东西西用用去去5分分钟钟的的时时间间，然然后后改改骑骑自自行行车车以以每每分分钟钟360米米的速度追乙。甲骑车多少分钟才能追上乙？的速度追乙。甲骑车多少分钟才能追上乙？【思路导航】【思路导航】当当甲甲取取了了东东西西改改骑骑自自行行车车出出发发时时，乙乙已已行行15155=35分分钟钟，行行了了6035=2100米米。甲甲骑骑车车每每分分钟钟比比乙乙步步行行多多行行（36060）米米，用用2100米米除除以以（36060）米米就就得得到到甲甲骑骑车车追追上上乙的时间。乙的时间。【练习【练习3】（1）兄兄弟弟二二人人同同时时从从家家出出发发去去学学校校，哥哥哥哥每每分分钟钟走走80米米，弟弟弟弟每每分分钟钟走走60米米。出出发发10分分钟钟钟钟后后，哥哥哥哥返返回回家家中中取取文文具具，然然后后立立即即骑骑车车以以每每分分钟钟310米米的的速速度度去去追追弟弟弟弟。哥哥哥哥骑骑车车几几分钟追上弟弟？分钟追上弟弟？（2）快快车车每每小小时时行行60千千米米，慢慢车车每每小小时时行行40千千米米，两两车车同同时时从从甲甲地地开开往往乙乙地地。出出发发0.5小小时时后后，快快车车因因故故停停下下修修车车1.5小小时时。修修好好车车后后，快快车车仍仍用用原原速速前前进进，经经过过几几小小时时才才能能追追上上慢车？慢车？（3）甲甲、乙乙二二人人加加工工同同样样多多的的零零件件，甲甲每每小小时时加加工工20个个，乙乙每每小小时时加加工工15个个。一一天天，乙乙比比甲甲早早工工作作2小小时时，到到下下午午二二人同时完成了加工任务。他俩一共加工了多少个零件？人同时完成了加工任务。他俩一共加工了多少个零件？【例例题题4】甲甲骑骑车车、乙乙跑跑步步，二二人人同同时时从从同同一一地地点点出出发发沿沿着着长长4千千米米的的环环形形公公路路同同方方向向进进行行晨晨练练。出出发发后后10分分钟钟，甲甲便便从从乙乙身身后后追追上上了了乙乙。已已知知二二人人的的速速度度和和是是每每分分钟钟700米米，求求甲甲、乙二人的速度各是多少？乙二人的速度各是多少？【思路导航】【思路导航】出出发发10分分钟钟后后，甲甲从从乙乙身身后后追追上上了了乙乙，也也就就是是10分分钟钟内内甲甲比比乙乙多多行行了了一一圈圈。因因此此，甲甲每每分分钟钟比比乙乙多多行行400010=400米米。知知道道了了二二人人的的速速度度差差是是每每分分钟钟400米米，速速度度和和是是每每分分钟钟700米米，就就能能算算出出甲甲骑骑车车的的速速度度是是（700400）2=550米米，乙乙跑跑步步的速度是的速度是700550=150米。米。【练习【练习4】（1）爸爸爸爸和和小小明明同同时时从从同同一一地地点点出出发发，沿沿相相同同方方向向在在环环形形跑跑道道上上跑跑步步。爸爸爸爸每每分分钟钟跑跑150米米，小小明明每每分分钟钟跑跑120米米，如如果果跑跑道道全全长长900米米，问问：至至少少经经营营几几分分钟钟爸爸爸爸从从小小明明身身后后追追上上小明？小明？（2）在在300米米长长的的环环形形跑跑道道上上，甲甲、乙乙二二人人同同时时同同地地同同向向跑跑步步，甲甲每每秒秒跑跑5米米，乙乙每每秒秒跑跑4.4米米。两两人人起起跑跑后后的的第第一一次次相相遇点在起跑线前多少米？遇点在起跑线前多少米？（3）环环湖湖一一周周共共400米米，甲甲、乙乙二二人人同同时时从从同同一一地地点点同同方方向向出出发发，甲甲过过10分分钟钟第第一一次次从从乙乙身身后后追追上上乙乙。若若二二人人同同时时从从同同一地点反向而行，只要一地点反向而行，只要2分钟二人就相遇。求甲、乙的速度。分钟二人就相遇。求甲、乙的速度。【例例题题5】甲甲、乙乙、丙丙三三人人步步行行的的速速度度分分别别是是每每分分钟钟100米米、90米米、75米米。甲甲在在公公路路上上A处处，乙乙、丙丙在在公公路路上上B处处，三三人人同同时时出出发发，甲甲与与乙乙、丙丙相相向向而而行行。甲甲和和乙乙相相遇遇3分分钟钟后后，甲甲和和丙又相遇了。求丙又相遇了。求A、B之间的距离。之间的距离。【思路导航】【思路导航】甲甲和和乙乙相相遇遇后后，再再过过3分分钟钟甲甲又又能能和和丙丙相相遇遇，说说明明甲甲和和乙乙相相遇遇时时，乙乙比比丙丙多多行行（10075）3=525米米。而而乙乙每每分分钟钟比比丙丙多多行行9075=15米米，多多行行525米米需需要要用用52515=35分分钟钟。35分分钟钟甲甲和和乙乙相相遇遇，说说明明A、B两两地地之之间间的的距距离离是是（10090）35=6650米。米。【练习【练习5】（1）甲甲、乙乙、丙丙三三人人行行走走的的速速度度分分别别是是每每分分钟钟60米米、80米米、100米米。甲甲、乙乙二二人人在在B地地，丙丙在在A地地与与甲甲、乙乙二二人人同同时时相相向向而而行行，丙丙和和乙乙相相遇遇后后，又又过过2分分钟钟和和甲甲相相遇遇。求求A、B两两地地的的路程。路程。（2）甲甲、乙乙、丙丙三三人人行行走走的的速速度度分分别别是是每每分分钟钟60米米、80米米、100米米。甲甲、乙乙二二人人从从B地地同同时时同同向向出出发发，丙丙从从A地地同同时时同同向向去去追追甲甲和和乙乙。丙丙追追上上甲甲后后又又经经过过10分分钟钟才才追追上上乙乙。求求A、B两两地的路程。地的路程。（3）A、B两两地地相相距距1800米米，甲甲、乙乙二二人人从从A地地出出发发，丙丙同同时时从从B地地出出发发与与甲甲、乙乙二二人人相相向向而而行行。已已知知甲甲、乙乙、丙丙三三人人的的速速度度分分别别是是每每分分钟钟60米米、80米米和和100米米，当当乙乙和和丙丙相相遇遇时时，甲落后于乙多少米？甲落后于乙多少米？五年级五年级 数学数学 举一反三举一反三 很很多多稍稍复复杂杂的的应应用用题题，运运用用算算术术方方法法解解答答有有一一定定困困难难，列列方方程解答就比较容易。程解答就比较容易。列列方方程程解解答答行行程程问问题题的的优优点点是是可可以以使使未未知知道道的的数数直直接接参参加加运运算算，列列方方程程时时能能充充分分利利用用我我们们熟熟悉悉的的数数量量关关系系。因因此此，对对于于一一些些较较复复杂杂的的行行程程问问题题，我我们们可可以以用用题题中中已已知知的的条条件件和和所所设设的未知数，根据自己最熟悉的等量关系列出方程，方便解题。的未知数，根据自己最熟悉的等量关系列出方程，方便解题。【例例题题1】A、B两两地地相相距距259千千米米，甲甲车车从从A地地开开往往B地地，每每小小时时行行38千千米米；半半小小时时后后，乙乙车车从从B地地开开往往A地地，每每小小时时行行42千米。乙车开出几小时后和甲车相遇？千米。乙车开出几小时后和甲车相遇？【思路导航】【思路导航】我我们们可可以以设设乙乙车车开开出出后后X小小时时和和甲甲车车相相遇遇。相相遇遇时时，甲甲车车共共行行了了38（X0.5）千千米米，乙乙车车共共行行了了42X千千米米，用用两两车车行行的的路程和是路程和是259千米来列出方程，最后求出解。千米来列出方程，最后求出解。解：设乙车开出解：设乙车开出X小时和甲车相遇。小时和甲车相遇。38（X0.5）42X=259解得解得X=3即：乙车开出即：乙车开出3小时后和甲车相遇。小时后和甲车相遇。【练习【练习1】1，甲甲、乙乙两两地地相相距距658千千米米，客客车车从从甲甲地地开开出出，每每小小时时行行58千千米米。1小小时时后后，货货车车从从乙乙地地开开出出，每每小小时时行行62千千米米。货货车车开出几小时后与客车相遇？开出几小时后与客车相遇？2，小小军军和和小小明明分分别别从从相相距距1860米米的的两两处处相相向向出出发发，小小军军出出发发5分分钟钟后后小小明明才才出出发发。已已知知小小军军每每分分钟钟行行120米米，小小明明骑骑车车每分钟行每分钟行300米。求小军出发几分钟后与小明相遇？米。求小军出发几分钟后与小明相遇？3，甲甲、乙乙两两地地相相距距446千千米米，快快、慢慢两两车车同同时时从从甲甲、乙乙两两地地相相对对开开出出，快快车车每每小小时时行行68千千米米，慢慢车车每每小小时时行行35千千米米。中中途慢车因修车停留半小时，求共经过几小时两车在途中相遇。途慢车因修车停留半小时，求共经过几小时两车在途中相遇。【例例题题2】一一辆辆汽汽车车从从甲甲地地开开往往乙乙地地，平平均均每每小小时时行行20千千米米。到到乙乙地地后后又又以以每每小小时时30千千米米的的速速度度返返回回甲甲地地，往往返返一一次次共共用用7.5小时。求甲、乙两地间的路程。小时。求甲、乙两地间的路程。【思路导航】【思路导航】如如果果设设汽汽车车从从甲甲地地开开往往乙乙地地时时用用了了X小小时时，则则返返回回时时用用了了（7.5X）小小时时，由由于于往往、返返的的路路程程是是一一样样的的，我我们们可可以以通通过过这这个个等等量量关关系系列列出出方方程程，求求出出X值值，就就可可以以计计算算出出甲甲、乙乙两地间的路程。两地间的路程。解：设去时用解：设去时用X小时，则返回时用（小时，则返回时用（7.5X）小时。）小时。20X=30（7.5X）解得解得X=4.5204.5=90（千米）（千米）即：甲、乙两地间的路程是即：甲、乙两地间的路程是90千米。千米。【练习【练习2】1，汽汽车车从从甲甲地地开开往往乙乙地地送送货货。去去时时每每小小时时行行30千千米米，返返回回时时每每小小时时行行40千千米米，往往返返一一次次共共用用8小小时时45分分。求求甲甲、乙乙两两地间的路程。地间的路程。2，一一架架飞飞机机所所带带的的燃燃料料最最多多可可用用9小小时时，飞飞机机去去时时顺顺风风，每每小小时时可可飞飞1500千千米米；返返回回时时逆逆风风，每每小小时时可可飞飞1200千千米米。这这架飞机最多飞多少千米就要往回飞？架飞机最多飞多少千米就要往回飞？3，师师徒徒二二人人加加工工一一批批零零件件。师师傅傅每每小小时时加加工工35个个，徒徒弟弟每每小小时时加加工工28个个。师师傅傅先先加加工工了了这这批批零零件件的的一一半半后后，剩剩下下的的由由徒徒弟弟去去加加工工。二二人人共共用用18小小时时完完成成了了加加工工任任务务。这这批批零零件件共共有多少个？有多少个？【例例题题3】东东、西西两两地地相相距距5400米米，甲甲、乙乙二二人人从从东东地地、丙丙从从西西地地同同时时出出发发，相相向向而而行行。甲甲每每分分钟钟行行55米米，乙乙每每分分钟钟行行60米米，丙丙每每分分钟钟行行70米米。多多少少分分钟钟后后乙乙正正好好走走到到甲甲、丙丙两两人人之间的中点处？之间的中点处？【思路导航】【思路导航】设设行行了了X分分钟钟，这这时时甲甲行行50X米米，乙乙行行60X米米，丙丙行行70X米米。甲甲和和乙乙之之间间的的距距离离可可用用60X50X表表示示，乙乙和和丙丙之之间间的的距距离离可可用用540070X50X表表示示。由由于于这这两两个个距距离离相相等等，所所以以有有60X50X=540070X50X，求出此方程的解就得到所求问题。，求出此方程的解就得到所求问题。解：设解：设X分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点。分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点。60X50X=540070X50X解得解得X=40即：即：40分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点。分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点。【练习【练习3】1，A、B、C三地在一条直线上，如图所示：三地在一条直线上，如图所示：A、B两两地地相相距距2千千米米，甲甲、乙乙两两人人分分别别从从A、B两两地地同同时时向向C地地行行走走，甲甲每每分分钟钟走走35米米，乙乙每每分分钟钟走走45米米。经经过过几几分分钟钟B地在甲、乙两人之间的中点处？地在甲、乙两人之间的中点处？2，东东、西西两两镇镇相相距距60千千米米。甲甲骑骑车车行行完完全全程程要要4小小时时，乙乙骑骑车车行行完完全全程程要要5小小时时。现现在在两两人人同同时时从从东东镇镇到到西西镇镇去去，经经过过多多少小时后，乙剩下的路程是甲剩下路程的少小时后，乙剩下的路程是甲剩下路程的4倍？倍？3，老老师师今今年年32岁岁，学学生生今今年年8岁岁。再再过过几几年年老老师师的的年年龄龄是是学学生的生的3倍？倍？【例例题题4】快快、慢慢两两车车同同时时从从A地地到到B地地，快快车车每每小小时时行行54千千米米，慢慢车车每每小小时时行行48千千米米。途途中中快快车车因因故故停停留留3小小时时，结结果果两车同时到达两车同时到达B地。求地。求A、B两地间的距离。两地间的距离。【思路导航】【思路导航】我我们们可可以以设设快快车车行行驶驶了了X小小时时，那那么么，慢慢车车就就行行驶驶了了（X3）小小时时，利利用用快快、慢慢两两车车所所行行的的路路程程相相等等这这一一关关系系，可可以以列列出出方方程程，通通过过解解方方程程求求出出快快车车所所行行驶驶的的时时间间，最最后后用用“速速度度时间时间=路程路程”这一关系求出这一关系求出A、B两地间的距离。两地间的距离。解：设快车行驶了解：设快车行驶了X小时。小时。54X=48（X3）解得解得X=245424=1296（千米）（千米）即：即：A、B两地相距两地相距1296千米。千米。【练习【练习4】1，甲甲每每分分钟钟行行120米米，乙乙每每分分钟钟行行80米米。二二人人同同时时从从A地地出出发发去去B地地，当当乙乙到到达达B地地时时，甲甲已已在在B地地停停留留了了2分分钟钟。A地地到到B地的路程是多少米？地的路程是多少米？2，甲甲、乙乙二二人人同同时时从从学学校校骑骑车车出出发发去去江江边边，甲甲每每小小时时行行15千千米米，乙乙每每小小时时行行20千千米米。途途中中乙乙因因修修车车停停留留了了24分分钟钟，结结果二人同时到达江边。从学校到江边有多少千米？果二人同时到达江边。从学校到江边有多少千米？3，兄兄弟弟二二人人同同时时从从家家往往学学校校走走，哥哥哥哥每每分分钟钟走走90米米，弟弟弟弟每每分分钟钟走走70米米。出出发发1分分钟钟后后，哥哥哥哥发发现现少少带带铅铅笔笔盒盒，就就原原路路返返回回，取取后后立立即即出出发发，结结果果与与弟弟弟弟同同时时到到达达学学校校。他他们们家家离学校有多远？离学校有多远？【例例题题5】一一位位同同学学在在360米米长长的的环环形形跑跑道道上上跑跑了了一一圈圈，已已知知他他前前一一半半时时间间每每秒秒跑跑5米米，后后一一半半时时间间每每秒秒跑跑4米米。求求他他后后一一半路程用了多少时间？半路程用了多少时间？【思路导航】【思路导航】因因为为这这位位同同学学在在前前一一半半时时间间跑跑步步的的速速度度大大于于后后一一半半时时间间跑跑步步的的速速度度，所所以以前前一一半半时时间间所所跑跑的的路路程程一一定定大大于于半半圈圈180米米，即即在在跑跑前前半半圈圈时时的的速速度度都都是是每每秒秒5米米，跑跑前前半半圈圈要要用用1805=36秒秒。如如果果再再求求出出跑跑一一圈圈的的时时间间，就就能能求求出出跑跑后后半半圈圈的时间了。为了方便计算，我们假设他按题中跑法跑了的时间了。为了方便计算，我们假设他按题中跑法跑了2圈。圈。设跑一圈用设跑一圈用X秒，则跑二圈共跑秒，则跑二圈共跑720米。米。5X4X=720解得解得X=808036=44（秒）（秒）即：他后一半路程用了即：他后一半路程用了44秒。秒。【练习【练习5】1，小小明明在在420米米长长的的环环形形跑跑道道上上跑跑了了一一圈圈，已已知知他他前前一一半半时时间间每每秒秒跑跑8米米，后后一一半半时时间间每每秒秒跑跑6米米。求求他他后后一一半半路路程程用用了了多少时间？多少时间？2，小小华华在在240米米长长的的跑跑道道上上跑跑了了一一个个来来回回，已已知知他他前前一一半半时时间间每每秒秒跑跑6米米，后后一一半半时时间间每每秒秒跑跑4米米。求求他他返返回回时时用用了了多多少少秒。秒。3，甲甲、乙乙两两地地相相距距205千千米米，小小王王开开汽汽车车从从甲甲地地出出发发，计计划划5小小时时到到达达乙乙地地。他他前前一一半半时时间间每每小小时时行行36千千米米，为为了了按按时时到达乙地，后一半时间必须每小时行多少千米？到达乙地，后一半时间必须每小时行多少千米？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 逻逻辑辑推推理理题题不不涉涉及及数数据据，也也没没有有几几何何图图形形，只只涉涉及及一一些些相相互互关关联联的的条条件件。它它依依据据逻逻辑辑汇汇率率，从从一一定定的的前前提提出出发发，通通过过一一系系列列的的推推理理来来获获取取某某种种结结论论。解解决决这这类类问问题题常常用用的的方方法法有有：直直接接法法、假假设设法法、排排除除法法、图图解解法法和和列表法等。列表法等。逻逻辑辑推推理理问问题题的的解解决决，需需要要我我们们深深入入地地理理解解条条件件和和结结论论，分分析析关关键键所所在在，找到突破口，进行合情合理的推理，最后作出正确的判断。找到突破口，进行合情合理的推理，最后作出正确的判断。推推理理的的过过程程中中往往往往需需要要交交替替运运用用“排排除除法法”和和“反反正正法法”。要要善善于于借借助助表表格格，把把已已知知条条件件和和推推出出的的中中间间结结论论及及时时填填入入表表格格内内。填填表表时时，对对正正确确的的（或或不不正正确确的的）结结果果要要及及时时注注上上“”（或或“”），也也可可以以分分别别用用“1”或或“0”代替，以免引起遗忘或混乱，从而影响推理的速度。代替，以免引起遗忘或混乱，从而影响推理的速度。推推理理的的过过程程，必必须须要要有有充充足足的的理理由由或或重重复复内内的的根根据据，并并常常常常伴伴随随着着论论证证、推推理理，论论证证的的才才能能不不是是天天生生的的，而而是是在在不不断断的的实实践践活活动动中中逐逐渐渐锻锻炼炼、培培养出来的养出来的。【例例题题1】星星期期一一早早晨晨，王王老老师师走走进进教教室室，发发现现教教室室里里的的坏坏桌桌凳凳都都修修好好了了。传传达达室室人人员员告告诉诉他他：这这是是班班里里四四个个住住校校学学生生中中的的一一个个做做的的好好事事。于于是是，王王老老师师把把许许兵兵、李李平平、刘刘成成、张张明这四个住校学生找来了解。明这四个住校学生找来了解。（1）许兵说：桌凳不是我修的。）许兵说：桌凳不是我修的。（2）李平说：桌凳是张明修的。）李平说：桌凳是张明修的。（3）刘成说：桌凳是李平修的。）刘成说：桌凳是李平修的。（4）张明说：我没有修过桌凳。）张明说：我没有修过桌凳。后后经经了了解解，四四人人中中只只有有一一个个人人说说的的是是真真话话。请请问问：桌桌凳凳是是谁谁修的？修的？根根据据“两两个个互互相相否否定定的的思思想想不不能能同同真真”可可知知：（2）、（4）不能同真，必有一假。不能同真，必有一假。假设（假设（2）说真话，则（）说真话，则（4）为假话，即张明修过桌凳。）为假话，即张明修过桌凳。又又根根据据题题目目条条件件了了：只只有有1人人说说的的是是真真话话：可可退退知知：（1）和和（3）都都是是假假话话。由由（1）说说的的可可退退出出：桌桌凳凳是是许许兵兵修修的的。这这样样，许许兵兵和和张张明明都都修修过过桌桌凳凳，这这与与题题中中“四四个个人人中中只只有有一一个个人说的是真话人说的是真话”相矛盾。相矛盾。因因此此，开开头头假假设设不不成成立立，所所以以，（2）李李平平说说的的为为假假话话。由由此此可可退退知知（4）张张明明说说了了真真话话，则则许许兵兵、刘刘成成说说了了假假话话。所所以以桌桌凳是许兵修的。凳是许兵修的。【练习【练习1】1、小小华华、小小红红、小小明明三三人人中中，有有一一人人在在数数学学竞竞赛赛中中得得了了奖奖。老老师师问问他他们们谁谁是是获获奖奖者者，小小华华说说是是小小红红，小小红红说说不不是是我我，小小明明也也说说不不是是我我。如如果果他他们当中只有一人说了真话。那么，谁是获奖者？们当中只有一人说了真话。那么，谁是获奖者？2、一位警察，抓获、一位警察，抓获4个盗窃嫌疑犯个盗窃嫌疑犯A、B、C、D，他们的供词如下：，他们的供词如下：A说：说：“不是我偷的不是我偷的”。B说：说：“是是A偷的偷的”。C说：说：“不是我不是我”。D说：说：“是是B偷的偷的”。他们他们4人中只有一人说的是真话。你知道谁是小偷吗？人中只有一人说的是真话。你知道谁是小偷吗？3、有有500人人聚聚会会，其其中中至至少少有有一一人人说说假假话话，这这500人人里里任任意意两两个个人人总总有有一一个说真话。说真话的有多少人？说假话的有多少人？个说真话。说真话的有多少人？说假话的有多少人？第第31周周逻辑推理逻辑推理疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】虹虹桥桥小小学学举举行行科科技技知知识识竞竞赛赛，同同学学们们对对一一贯贯刻刻苦苦学学习、爱好读书的四名学生的成绩作了如下估计：习、爱好读书的四名学生的成绩作了如下估计：（1）丙得第一，乙得第二。）丙得第一，乙得第二。（2）丙得第二，丁得第三。）丙得第二，丁得第三。（3）甲得第二，丁得死四。）甲得第二，丁得死四。比比赛赛结结果果一一公公布布，果果然然是是这这四四名名学学生生获获得得前前4名名。但但以以上上三三种种估计，每一种只对了一半错了一半。请问他们各得第几名？估计，每一种只对了一半错了一半。请问他们各得第几名？第第31周周逻辑推理逻辑推理疯狂操练二疯狂操练二同同学学们们的的预预测测里里有有真真有有假假。但但是是最最后后公公布布的的结结果果中中，他他们们都都只只预预测测对对了了一一半半。我我们们可可以以用用假假设设法法假假设设某某人人前前半半句句对对后后半半句错，如果不成立，再从相反方向思考推理。句错，如果不成立，再从相反方向思考推理。假假设设（1）中中“丙丙得得第第一一”说说错错了了，则则（1）中中“乙乙得得第第二二”说说对对了了；（1）中中“乙乙得得第第二二”说说对对了了，则则（2）中中“丙丙得得第第二二”说说错错了了；（2）中中“丙丙得得第第二二”说说错错了了，“丁丁得得第第三三”说说对对了了；（2）中中“丁丁得得第第三三”说说对对了了，（3）中中“丁丁得得第第四四”说说错错了了；（3）中中“丁丁得得第第四四”说说错错了了，则则（3）中中“甲甲得得第第二二”说对了，这与最初的假设相矛盾。说对了，这与最初的假设相矛盾。所所以以，正正确确答答案案是是：丙丙得得死死一一，丁丁得得第第三三，甲甲得得第第二二，乙乙得得第四。第四。【练习练习2】1、甲甲、乙乙、丙丙、丁丁同同时时参参加加一一次次数数学学竞竞赛赛。赛赛后后，他他们们四四人人预测名词的谈话如下：预测名词的谈话如下：甲：甲：“丙得第一，我第三丙得第一，我第三”。乙：乙：“我第一，丁第四我第一，丁第四”。丙：丙：“丁第二，我第三丁第二，我第三”。丁：没有说话。丁：没有说话。最最后后公公布布结结果果时时，发发现现甲甲、乙乙丙丙三三人人的的预预测测都都只只对对了了一一半半。请你说出这次竞赛中甲、乙、丙、丁四人的名次。请你说出这次竞赛中甲、乙、丙、丁四人的名次。【练习【练习2】2、某某小小学学最最近近举举行行一一次次田田径径运运动动会会，人人们们对对一一贯贯刻刻苦苦锻锻炼炼的的5名学生的短跑成绩作了如下的估计：名学生的短跑成绩作了如下的估计：A说：说：“第二名是第二名是D，第三名是，第三名是B”。B说：说：“第二名是第二名是C，第四名是，第四名是E”。C说：说：“第一名是第一名是E，第五名是，第五名是A”。D说：说：“第三名是第三名是C，第四名是，第四名是A”。E说：说：“第二名是第二名是B，第五名是，第五名是D”。这这5位同学每人说对了一半，请你猜一猜位同学每人说对了一半，请你猜一猜5位同学的名次。位同学的名次。【练习【练习2】3、某某次次考考试试考考完完后后，A，B，C，D四四个个同同学学猜猜测测他他们们的的考考试试成绩。成绩。A说：说：“我肯定考得最好我肯定考得最好”。B说：说：“我不会是最差的我不会是最差的”。C说：说：“我没有我没有A考得好，但也不是最差的考得好，但也不是最差的”。D说：说：“可能我考得最差可能我考得最差”。成成绩绩一一公公布布，只只有有一一个个人人说说错错了了，请请你你按按照照考考试试分分数数由由高高到到低排出他们的顺序。低排出他们的顺序。第第31周周逻辑推理逻辑推理疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】张张、王王、李李三三个个工工人人，在在甲甲、乙乙丙丙三三个个工工厂厂里里分分别别当当车车工工、钳钳工和电工。工和电工。张张不不在在甲甲厂厂，王王不不在在乙乙厂厂，在在甲甲厂厂的的不不是是钳钳工工，在在乙乙厂厂的的是是车车工，工，王不是电工。王不是电工。这三个人分别在哪个工厂？干什么工作？这三个人分别在哪个工厂？干什么工作？【思路导航】【思路导航】这这题题可可用用直直接接法法解解答答。即即直直接接从从特特殊殊条条件件出出发发，再再结结合合其其他他条条件件往往下下推推，直到推出结论为止。直到推出结论为止。通通过过可可知知王王不不是是电电工工，那那么么王王必必是是车车工工或或钳钳工工；又又通通过过可可知知王王不不在在乙乙厂厂，那那么么，王王必必在在甲甲厂厂或或丙丙厂厂；又又由由知知道道在在乙乙厂厂的的是是车车工工，所所以以王王只只能能是是钳钳工工；又又因因为为甲甲厂厂的的不不是是钳钳工工，则则晚晚必必是是丙丙厂厂的的钳钳工工；张张不不在在甲甲厂厂，必必在在乙乙厂厂或或丙丙厂厂；王王在在丙丙厂厂，则则张张必必在在乙乙厂厂，是是乙乙厂厂的的车车工工，所所以以张是乙厂的车工。剩下的李是甲厂的电工。张是乙厂的车工。剩下的李是甲厂的电工。【练练习习3】1、某某大大学学宿宿舍舍里里A，B，C，D，E，F，G七七位位同同学学，其其中中两两位位来来自自哈哈尔尔滨滨，两两位位来来自自天天津津，两两位位来来自自广广州州，还还知知道道：（1）D，E来来自自同同一一地地方方；（2）B，G，F不是北方人；（不是北方人；（3）C没去过哈尔滨。那么，没去过哈尔滨。那么，A来自什么地方？来自什么地方？2、每每个个星星期期的的七七天天中中，甲甲在在星星期期一一、二二、三三讲讲假假话话，其其余余四四天天都都讲讲真真话话：乙乙在在星星期期四四、五五、六六讲讲假假话话，其其余余各各天天都都讲讲真真话话。今今天天甲甲说说：“昨昨天天是是我我说说谎谎的的日日子。子。”乙说：乙说：“昨天也是我说谎的日子。昨天也是我说谎的日子。”今天是星期几？今天是星期几？3、王王涛涛、李李明明、江江民民三三人人在在一一起起谈谈话话。他他们们当当中中一一位位是是校校长长，一一位位是是老老师师，一一位位是是学学生生家家长长。现现在在只只知知道道：（1）江江民民比比家家长长年年龄龄大大。（2）王王涛涛和和老老师师不不同同岁岁。（3）老师比李明年龄小。你能确定谁是校长、谁是老师，谁是家长吗？）老师比李明年龄小。你能确定谁是校长、谁是老师，谁是家长吗？第第31周周逻辑推理逻辑推理疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】六六年年级级有有四四个个班班，每每个个班班都都有有正正、副副班班长长各各一一人人。平平时时召召开开年年级级班班长长会会议议时时，各各班班都都只只有有一一人人参参加加。参参加加第第一一次次回回师师的的是是小小马马、小小张张、小小刘刘、小小林林；参参加加第第二二次次会会议议的的是是小小刘刘、小小朱朱、小小马马、小小宋宋；参参加加第第三三次次会会议议的的是是小小宋宋、小小陈陈、小小马马、小小张张，小小徐徐因因有有病病，三三次次都都没没有有参参加加。你你知知道道他他们们哪哪两个是同班的吗？两个是同班的吗？第第31周周逻辑推理逻辑推理疯狂操练四疯狂操练四将将条条件件列列在在一一张张表表格格内内，借借助助于于表表格格进进行行分分析析、推推理理、根根据据题意，可列表如下：题意，可列表如下：由由上上表表可可知知，小小马马三三次次参参加加会会议议，而而小小徐徐三三次次都都没没参参加加，他他们们是是同同一一班班级级的的。小小张张和和小小朱朱是是同同班班的的，小小刘刘和和小小陈陈是是同同班班的，小林和小宋是同班的。的，小林和小宋是同班的。小张小张小马小马小刘小刘 小林小林 小朱小朱小宋小宋小陈小陈小徐小徐一一 二二 三三 【练练习习4】1、某某市市举举行行家家庭庭普普法法学学习习竞竞赛赛，有有5个个家家庭庭进进入入决决赛赛（每每家家2名名成成员员）。决决赛赛时时进进行行四四项项比比赛赛，每每项项比比赛赛各各家家出出一一名名成成员员参参赛赛，第第一一项项参参赛赛的的是是吴吴、孙孙、赵赵、李李、王王；第第二二项项参参赛赛的的是是郑郑、孙孙、吴吴、李李、周周；第第三三项项参参赛赛的的是是赵赵、张张、吴吴、钱钱、郑郑；第第四四项项参参赛赛的的是是周周、吴吴、孙孙、张张、王王。另另外外，刘刘某某因因故故四四次次均均未未参参赛赛。谁和谁是同一家庭呢？谁和谁是同一家庭呢？2、刘刘刚刚、马马辉辉、李李强强三三个个男男孩孩各各有有一一个个妹妹妹妹，六六个个人人进进行行乒乒乓乓球球混混合合双双打打比比赛赛。事先规定：兄、妹不许搭伴。事先规定：兄、妹不许搭伴。第第一一局局：刘刘刚刚和和小小丽丽对对李李强强和和小小英英；第第二二局局：李李强强和和小小红红对对刘刘刚刚和和马马辉辉的的妹妹妹妹。那么，三个男孩的妹妹分别是谁？那么，三个男孩的妹妹分别是谁？3、有有三三只只小小袋袋，一一只只小小袋袋有有两两粒粒红红珠珠，另另一一只只小小袋袋有有两两粒粒蓝蓝珠珠，第第三三只只小小袋袋装装有有一一粒粒蓝蓝珠珠和和一一粒粒红红珠珠。小小兰兰不不慎慎把把小小袋袋外外面面的的三三只只标标签签都都贴贴错错了了。请请问问从从哪哪只只小袋中摸出一粒珠，就可以知道三只小袋中各装有什么颜色的珠？小袋中摸出一粒珠，就可以知道三只小袋中各装有什么颜色的珠？第第31周周逻辑推理逻辑推理疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】已已知知张张新新、李李敏敏、王王强强三三位位同同学学分分别别在在北北京京、苏苏州州、南南京京的的大大学学学学习习化化学学、地地理理、物物理理。张张新新不不在在北北京京学学习习；李李敏敏不不在在苏苏州州学学习习；在在北北京京学学习习的的同同学学不不学学物物理理；在在苏苏州州学学习习的的同同学学是是学学化化学学的的；李敏不学地理。三位同学各在什么城市学什么？李敏不学地理。三位同学各在什么城市学什么？【思思路路导导航航】解解答答此此题题的的关关键键是是抓抓住住三三个个人人必必在在三三地地之之一一学学习习三三种种科科目目的的某某一一种种这这个个条条件件。这这种种逻逻辑辑推推理理题题，须须在在两两方方面面加加以以判判定定。尽尽管管相相对对的的问问题题要要求求增增多多了了，但但列列表表法法仍仍然然适适用用。综综合合两两方方面面的的交交错错因因素素，两两表对立，一举两得。由表对立，一举两得。由、可列下表可列下表第第31周周逻辑推理逻辑推理疯狂操练五疯狂操练五由由可可知知：李李敏敏不不在在苏苏州州，不不学学化化学学、学学物物理理；张张新新、王王强强不学物理。不学物理。由由“在在北北京京学学习习的的不不学学物物理理”的的条条件件可可知知：王王强强在在北北京京，张张新新在在苏苏州州，李敏在南京李敏在南京由由“在苏州学习的学的是化学在苏州学习的学的是化学”的条件可知，王强学习地理。的条件可知，王强学习地理。从从上上表表可可以以看看出出，张张新新在在苏苏州州学学化化学学，李李敏敏在在南南京京学学物物理理，王王强强在在北北京京学地理。学地理。【练练习习5】1、甲甲、乙乙、丙丙分分别别在在南南京京、苏苏州州、西西安安工工作作，他他们们的的职职业业分分别别是是工工人人、农农民民和和教教师师。已已知知：甲甲不不在在南南京京工工作作；乙乙不不在在苏苏州州工工作作；在在苏苏州州工工作作的的是是工工人人；在在南南京京工工作作的的不不是是教教师师；乙乙不不是是农农民民。三三人各在什么地方工作？各是什么职业？人各在什么地方工作？各是什么职业？2、小小明明、小小青青、小小菊菊读读书书的的学学校校分分别别是是一一小小、二二小小、三三小小，他他们们各各自自爱爱好好游游泳泳、篮篮球球、排排球球中中的的一一项项体体育育运运动动。但但究究竟竟谁谁爱爱好好哪哪一一项项运运动动，在在哪哪个个学学校校读读书书还还不不清清楚楚，只只知知道道：（1）小小明明不不在在一一小小。（2）小小青青不不在在二二小小。（3）爱爱好好排排球球的的在在二二小小。（4）爱爱好好游游泳泳的的在在一一小小。（5）爱爱好好游游泳的不是小青。请你说出他们各自就读的学校和爱好的运动项目。泳的不是小青。请你说出他们各自就读的学校和爱好的运动项目。3、甲甲、乙乙、丙丙分分别别是是工工程程师师、会会计计师师和和教教师师。他他们们的的业业余余爱爱好好分分别别是是文文学学、绘绘画画和和音音乐乐。现现在在知知道道：（1）爱爱好好音音乐乐、文文学学者者和和甲甲一一起起看看电电影影。（2）爱爱好好绘绘画画者者常常请请会会计计师师讲讲经经济济学学。（3）乙乙不不爱爱好好文文学学。（4）工工程程师师常常埋埋怨怨自自己己对对绘绘画画和和音音乐乐一一窍窍不不通通。请请问问每每个个人人的的职职业业和和爱爱好好各各是是什什么？么？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 解解数数学学题题，从从已已知知条条件件到到未未知知的的结结果果需需要要推推理理，也也需需要要计计算算，通通常常是是计计算算与与推推理理交交替替进进行行，而而且且这这种种推推理理不不仅仅是是单单纯纯的的逻逻辑辑推推理理，而而是是综综合合运运用用了了数数学学知知识识和和专专门门的的生生活活常常识识相相结结合合来来运运用用。这这种种综综合合推推理理的的问问题题形形式式多多样样、妙妙趣趣横横生生，也也是是小小学数学竞赛中比较流行的题型。学数学竞赛中比较流行的题型。解解答答综综合合推推理理问问题题，要要恰恰当当地地选选择择一一个个或或几几个个条条件件作作为为突突破破口口。统统称称从从已已知知条条件件出出发发可可以以推推出出两两个个或或两两个个以以上上结结论论，而而又又一一时时难难以以肯肯定定或或否否定定其其中中任任何何一一个个时时，这这就就要要善善于于运运用用排排除法、反证法逐一试验。除法、反证法逐一试验。当当感感到到题题中中条条件件不不够够时时，要要注注意意生生活活常常识识、数数的的性性质质、数数量量关系和数学规律等方面寻找隐蔽条件。关系和数学规律等方面寻找隐蔽条件。【例例题题1】小小华华和和甲甲、乙乙、丙丙、丁丁四四个个同同学学参参加加象象棋棋比比赛赛。每每两两人人要要比比赛赛一一盘盘。到到现现在在为为止止，小小华华已已经经比比赛赛了了4盘盘。甲甲赛赛了了3盘，乙赛了盘，乙赛了2盘，丁赛了盘，丁赛了1盘。丙赛了几盘？盘。丙赛了几盘？【思路导航】【思路导航】这这道道题题可可以以利利用用画画图图的的方方法法进进行行推推理理，如如图图32-1所所示示，用用5个个点点分分别别表表示示小小华华、甲甲、乙乙、丙丙、丁丁。如如果果两两人人之之间间已已经经进进行行了了比比赛赛，就就在在表表示示两两人人的的点点之之间间连连一一条条线线。现现在在小小华华赛赛4盘盘，所以小华应与其余所以小华应与其余4个点都连线个点都连线甲甲赛赛了了3盘盘。由由于于丁丁只只赛赛了了一一盘盘，所所以以甲甲与与丁丁之之间间没没有有比比赛赛。那那么么，就就连连接接甲甲、乙乙和和甲甲、丙丙。这这时时，乙乙已已有有了了两两条条线线，与与题题中中乙乙赛赛2盘盘相相结结合合，就就不不再再连连了了。所所以以，从从图图32-1中中可可以以看看出，丙与小华、甲各赛一盘。即丙赛了两盘。出，丙与小华、甲各赛一盘。即丙赛了两盘。【练练习习1】1、A，B，C，D，E五五位位同同学学一一起起比比赛赛象象棋棋，每每两两人人都都要要比比赛赛一一盘盘。到到现现在在为为止止，A已已经经比比赛赛了了4盘盘。B赛赛了了3盘盘，C赛赛了了2盘盘，D赛赛了了1盘。盘。E赛了几盘？赛了几盘？2、A先先生生和和A太太太太以以及及三三对对夫夫妻妻举举行行了了一一次次家家庭庭晚晚会会。规规定定每每两两人人最最多多握握手手一一次次，但但不不和和自自己己的的妻妻子子握握手手。握握手手完完毕毕后后，A先先生生问问了了每每个个人人（包包括括他他妻妻子子）握握手手几几次次？令令他他惊惊讶讶的的是是每每人人答答复复的的数数字字各各不不相相同同。那那么么，A太太握了几次手？太太握了几次手？3、五五位位同同学学一一起起打打乒乒乓乓球球，两两人人之之间间最最多多只只能能打打一一盘盘。打打完完后后，甲甲说说：“我我打打了了四四盘盘”。乙乙说说：“我我打打了了一一盘盘”。丙丙说说：“我我打打了了三三盘盘”。丁丁说说：“我我打打了了四四盘盘”。戊戊说说：“我我打打了了三三盘盘”。你你能能肯肯定定其其中中有有人人说说错错了吗？为什么？了吗？为什么？第第32周周逻辑推理逻辑推理疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】图图32-2是是同同一一个个标标有有1，2，3，4，5，6的的小小正正方方体体的的三三种种不不同同的的摆摆法法。图图中中正正方方体体三三个个朝朝左左的的一一面面的的数数字字之之积是多少？积是多少？【思路导航】【思路导航】用用排排除除法法排排除除不不符符合合条条件件的的情情形形，最最后后剩剩下下的的情情况况就就是是所所要要的结果。的结果。由由（1）、（2）两两个个图图可可以以看看出出，1的的对对面面不不可可能能为为4，6，2，3，所所以以1的的对对面面必必为为5；由由（2）、（3）两两个个图图形形可可以以看看出出，3的的对对面面不不可可能能为为1，2，4，5，所所以以3的的对对面面必必为为6。由由此此可可知知，4的的对对面面必必定定为为2。上上面面正正方方体体三三个个朝朝左左一一面面的的数数字字依次为依次为2，5，6。所以它们的积为。所以它们的积为256=60。【练练习习2】1、图图32-3是是同同一一个个标标有有1，2，3，4，5，6的的小小正正方方体体的的三三种种不同的摆法。图中正方体三个朝左的一面的数字之和是多少？不同的摆法。图中正方体三个朝左的一面的数字之和是多少？2、将将红红、黄黄、蓝蓝、白白、黑黑、绿绿六六种种颜颜色色分分别别涂涂在在正正方方体体各各面面上上（每每一一面面只只涂涂一一种种颜颜色色）。现现有有涂涂色色方方式式完完全全一一样样的的相相同同的的四四块块小小正正方方体体，把把它它们们拼拼成成长长方方体体（如如图图32-4所所示示），每每个个小小正正房房体体红红色色面面的的对对面面涂涂的的是是什什么颜色？黄色对面的？黑色对面呢？么颜色？黄色对面的？黑色对面呢？3、如如图图32-5所所示示，每每个个正正方方体体的的6个个面面分分别别写写着着数数字字16，并并且且任任意意两两个个相相对对的的面面上上所所写写的的两两个个数数之之和和都都等等于于7。把把这这样样的的5个个正正方方体体一一个个挨挨一一个个连连接接起起来来后后，金金挨挨着着的的两两个个面面上上的的数数字字之之和和等等于于8。图图中中写写？的的这这个个面面上的数字是几？上的数字是几？第第32周周逻辑推理逻辑推理疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】某某班班44人人，从从A，B，C，D，E五五位位候候选选人人中中选选举举班班长长。A得得选选票票23张张。B得得选选票票占占第第二二位位，C，D得得票票相相同同，E的选票最少，只得了的选票最少，只得了4票。那么票。那么B得选票多少张？得选票多少张？【思路导航】【思路导航】B，C，D的的选选票票共共44234=17（张张），C，D的的选选票票至至少少各各5张张。如如果果他他们们的的选选票票超超过过5张张，那那么么B，C，D的的选选票票超超过过6+6+6=18（张张），这这不不可可能能。所所以以，C，D各各得得5票票，B得得1755=7（张）（张）【练练习习3】1、某某商商品品编编号号是是一一个个三三位位数数，现现有有5个个三三位位数数：874、765、123、364、925。其其中中每每一一个个数数与与商商品品编编号号恰恰好好在在同同一一数数位位上上有有一一个个相相同的数字，这个商品编号是多少？同的数字，这个商品编号是多少？2、某某楼楼住住着着4个个女女孩孩和和两两个个男男孩孩，他他们们的的年年龄龄各各不不相相同同，最最大大的的10岁岁，最最小小的的4岁岁。最最大大的的男男孩孩比比最最小小的的女女孩孩大大4岁岁，最最大大的的女女孩孩比比最最小小的的男男孩孩大大4岁。最大的男孩多少岁？岁。最大的男孩多少岁？3、小小明明将将玻玻璃璃球球放放进进大大、小小两两种种盒盒子子中中。大大盒盒装装12个个玻玻璃璃球球，小小盒盒装装5个个玻玻璃璃球球，正正好好装装完完。如如果果玻玻璃璃球球总总数数为为99，盒盒子子超超过过10个个，那那么么两两种种盒子各有多少个？盒子各有多少个？第第32周周逻辑推理逻辑推理疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】将将1，2，3，4，5，6，7，8八八个个数数字字分分成成两两组组，每每组组4个个数数，并并且且两两组组数数之之和和相相等等。从从A组组拿拿一一个个到到B组组后后，B组组五五个个数数之之和和将将是是A组组剩剩下下三三数数之之和和的的2倍倍。从从B组组拿拿一一个个数数到到A组组后后，B组组剩剩下下的的三三个个数数之之和和A组组五五个个数数之之和和的的5/7。这这八八个数如何分成两组？个数如何分成两组？【思路导航】【思路导航】八八 个个 数数 的的 和和 是是 1+2+3+4+5+6+7+8=26， 所所 以以 每每 组组 的的 四四 个个 数数 之之 和和 是是362=18。从从A组组取取出出一一个个数数到到B，两两组组总总和和不不变变。现现在在A组组三三个个数数之之和和是是36（1+2）=12，原来，原来A组四个数之和是组四个数之和是18，说明，说明A组中取组中取6到到B组。组。同同 样样 道道 理理 ， 从从 B组组 取取 一一 个个 数数 到到 A组组 后后 ， 现现 在在 B组组 三三 个个 数数 之之 和和 是是36（1+5/6）5/7=15。说说明明B组组中中取取出出的的数数为为1815=3。除除去去6和和3，还还剩剩6个个数数。A组组的的另另外外三三个个数数之之和和应应是是186=12，在在剩剩下下的的6个个数数中中只只有有1，4，7三三个个数数，它它们们的的和和是是12。所所以以A组组四四个个数数是是1，4，6，7。B组组四个数是四个数是2，3，5，8。【练练习习4】1、某某年年的的8月月份份有有4个个星星期期四四，5个个星星期期三三。这这年年8月月8日日是是星星期期几？几？2、甲甲、一一两两个个小小朋朋友友各各有有一一袋袋糖糖，每每袋袋糖糖不不到到20粒粒。如如果果甲甲给给乙乙一一定定数数量量的的糖糖后后，甲甲的的糖糖的的粒粒数数是是乙乙的的2倍倍；如如果果乙乙给给甲甲同同样样数数量量的的糖糖后后，甲甲的的糖的粒数就是乙的糖的粒数就是乙的3倍。甲、乙两个小朋友共有糖多少粒？倍。甲、乙两个小朋友共有糖多少粒？3、某某各各家家庭庭有有四四个个家家庭庭成成员员。他他们们的的年年龄龄各各不不相相同同，总总和和是是129岁岁，其其中中有有三三个个人人的的年年龄龄是是平平方方数数。如如果果倒倒退退15年年，这这四四人人中中仍仍有有三三人人的的年年龄龄是平方数。你知道他们各自的年龄吗？是平方数。你知道他们各自的年龄吗？第第32周周逻辑推理逻辑推理疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】在在一一次次设设计计联联系系中中，小小张张、小小王王、小小李李各各打打4发发子子弹弹，全全部部中中靶靶。命命中中的的情情况况如如下下：（1）每每人人4发发子子弹弹所所命命中中的的环环数数各各不不相相同同。（2）每每人人4发发子子弹弹所所命命中中的的总总环环数数均均为为17槐槐。（3）小小王王有有两两法法命命中中的的环环数数分分别别与与小小张张命命中中的的两两法法一一样样；小小王王另另两两发发命命中中的的环环数数与与小小李李命命中中的的两两法法一一样样。（4）小小张张和和小小李李只只有有一一发发环环数数相相同同。（5）每每人人每每发发子子弹弹的的最最好好成成绩绩不不超超过过7环。小张、小李命中相同的环数是几环？环。小张、小李命中相同的环数是几环？第第32周周逻辑推理逻辑推理疯狂操练五疯狂操练五【思路导航】【思路导航】首首先先，用用枚枚举举法法找找出出符符合合条条件件（1）、（2）、（5）的的所所有有情情况况。其其次次，再再用用筛筛选选法法从从这这些些情情况况中中去去掉掉不不符符合合条条件件（3）、（4）的情况。剩下的就符合要求了。）的情况。剩下的就符合要求了。（1）1+7+3+6=17（环）（环）（2）1+7+4+5=17（环）（环）（3）2+6+4+5=17（环）（环）（4）2+7+3+5=17（环）（环）对对照照条条件件可可知知（2）、（1）式式和和（3）式式分分别别代代表表王王、张张、李，所以，小张和小李命中相同的环数是李，所以，小张和小李命中相同的环数是6环环，【练练习习5】1、甲甲、乙乙、丙丙三三人人玩玩转转盘盘（如如图图32-6所所示示），转转盘盘上上的的数数字字表表示示应应得得的的分分。甲甲说说：“我我转转8次次得得26分分”。乙乙说说：“我我转转7次次得得34分分”。丙说：丙说：“我转我转9次得次得41分分”。其中有一人没说真话，他是谁？。其中有一人没说真话，他是谁？2、将将3张张数数字字卡卡片片（均均不不超超过过10）分分给给甲甲、乙乙、丙丙三三人人，各各人人记记下下所所得得卡卡片片上上的的数数再再重重新新分分。分分了了3次次后后，每每人人将将各各字字记记下下的的数数相相加加，甲甲为为13，乙为乙为15，丙为，丙为23。你能西饿出三张卡片上的数吗？。你能西饿出三张卡片上的数吗？3、A，B，C三三个个足足球球队队进进行行一一次次比比赛赛，每每两两个个队队赛赛一一场场。按按规规定定每每升升一一场场得得2分分，平平一一场场得得1分分，负负一一场场得得0分分。现现在在已已知知：（1）B对对一一球球未未进进，结果得一分；（结果得一分；（2）C队进一球，失队进一球，失2球，并且胜一场；球，并且胜一场；求求A队结果是得几分，并写出每场比赛的具体比分。队结果是得几分，并写出每场比赛的具体比分。六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 行行程程问问题题的的三三个个基基本本量量是是距距离离、速速度度和和时时间间。其其互互逆逆关关系系可可用用乘乘、除除法法计计算算，方方法法简简单单，但但应应注注意意行行驶驶方方向向的的变变化化，按按所所行行方方向向的的不不同同可可分分为为三种：（三种：（1）相遇问题；（）相遇问题；（2）相离问题；（）相离问题；（3）追及问题。）追及问题。行行程程问问题题的的主主要要数数量量关关系系是是：距距离离=速速度度时时间间。它它大大致致分分为为以以下下三三种种情情况：（况：（1）相向而行：相遇时间）相向而行：相遇时间=距离距离速度和速度和（2）相背而行：相背距离）相背而行：相背距离=速度和速度和时间。时间。（3）同向而行：速度慢的在前，快的在后。追及时间）同向而行：速度慢的在前，快的在后。追及时间=追及距离追及距离速度差速度差在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。追及距离追及距离=速度差速度差时间。时间。解解决决行行程程问问题题时时，要要注注意意充充分分利利用用图图示示把把题题中中的的情情节节形形象象地地表表示示出出来来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。【例例题题1】两两辆辆汽汽车车同同时时从从某某地地出出发发，运运送送一一批批货货物物到到距距离离165千千米米的的工工地地。甲甲车车比比乙乙车车早早到到8分分钟钟，当当甲甲车车到到达达时时，乙乙车还距工地车还距工地24千米。甲车行完全程用了多少小时？千米。甲车行完全程用了多少小时？【思路导航】【思路导航】【练练习习1】1、甲甲、乙乙两两地地之之间间的的距距离离是是420千千米米。两两辆辆汽汽车车同同时时从从甲甲地地开开往往乙乙地地。第第一一辆辆每每小小时时行行42千千米米，第第二二辆辆汽汽车车每每小小时时行行28千千米米。第第一一辆汽车辆汽车到乙地立即返回。两辆汽车从开出到相遇共用多少小时？到乙地立即返回。两辆汽车从开出到相遇共用多少小时？2、A、B两两地地相相距距900千千米米，甲甲车车由由A地地到到B地地需需15小小时时，乙乙车车由由B地地到到A地需地需10小时。两车同时从两地开出，相遇时甲车距小时。两车同时从两地开出，相遇时甲车距B地还有多少千米？地还有多少千米？3、甲甲、乙乙两两辆辆汽汽车车早早上上8点点钟钟分分别别从从A、B两两城城同同时时相相向向而而行行。到到10点点钟钟时时两两车车相相距距112.5千千米米。继继续续行行进进到到下下午午1时时，两两车车相相距距还还是是112.5千千米米。A、B两地间的距离是多少千米？两地间的距离是多少千米？第第33周周行程问题行程问题疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】两两辆辆汽汽车车同同时时从从东东、西西两两站站相相向向开开出出。第第一一次次在在离离东东站站60千千米米的的地地方方相相遇遇。之之后后，两两车车继继续续以以原原来来的的速速度度前前进进。各各自自到到达达对对方方车车站站后后都立即返回，又在距中点西侧都立即返回，又在距中点西侧30千米处相遇。两站相距多少千米？千米处相遇。两站相距多少千米？【思路导航】【思路导航】从从两两辆辆汽汽车车同同时时从从东东、西西两两站站相相对对开开出出到到第第二二次次相相遇遇共共行行了了三三个个全全程程。两两辆辆汽汽车车行行一一个个全全程程时时，从从东东站站出出发发的的汽汽车车行行了了60千千米米，两两车车走走三三个个全全程程时时，这这辆辆汽汽车车走走了了3个个60千千米米。这这时时这这辆辆汽汽车车距距中中点点30千千米米，也也就就是是说说这这辆辆汽汽车车再再行行30千千米米的的话话，共共行行的的路路程程相相当当于于东东、西西两两站站路路程程的的1.5倍倍。找到这个关系，东、西两这站之间的距离也就可以求出来了。所以找到这个关系，东、西两这站之间的距离也就可以求出来了。所以（603+30）1.5=140（千米）（千米）【练练习习2】1、两两辆辆汽汽车车同同时时从从南南、北北两两站站相相对对开开出出，第第一一次次在在离离南南站站55千千米米的的地地方方相相遇遇，之之后后两两车车继继续续以以原原来来的的速速度度前前进进。各各自自到到站站后后都都立立即返回，又在距中点南侧即返回，又在距中点南侧15千米处相遇。两站相距多少千米？千米处相遇。两站相距多少千米？2、两两列列火火车车同同时时从从甲甲、乙乙两两站站相相向向而而行行。第第一一次次相相遇遇在在离离甲甲站站40千千米米的的地地方方。两两车车仍仍以以原原速速继继续续前前进进。各各自自到到站站后后立立即即返返回回，又又在在离离乙乙站站20千千米的地方相遇。两站相距多少千米？米的地方相遇。两站相距多少千米？3、甲甲、乙乙两两辆辆汽汽车车同同时时从从A、B两两地地相相对对开开出出。第第一一次次相相遇遇时时离离A站站有有90千千米米。然然后后各各按按原原速速继继续续行行驶驶，分分别别到到达达对对方方车车站站后后立立即即沿沿原原路路返返回回。第第二二次次相相遇遇时时在在离离A地地的的距距离离占占A、B两两站站间间全全程程的的65%。A、B两两站站间间的的路程是多少千米？路程是多少千米？第第33周周行程问题行程问题疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】A、B两两地地相相距距960米米。甲甲、乙乙两两人人分分别别从从A、B两两地地同同时时出出发发。若若相相向向而而行行，6分分钟钟相相遇遇；若若同同向向行行走走，80分分钟甲可以追上乙。甲从钟甲可以追上乙。甲从A地走到地走到B地要用多少分钟？地要用多少分钟？【思路导航】【思路导航】【练习【练习3】第第33周周行程问题行程问题疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】上上午午8时时8分分，小小明明骑骑自自行行车车从从家家里里出出发发。8分分钟钟后后每每爸爸爸爸骑骑摩摩托托车车去去追追他他。在在离离家家4千千米米的的地地方方追追上上了了他他，然然后后爸爸爸爸立立即即回回家家。到到家家后后他他又又立立即即回回头头去去追追小小明明。再再追追上上他他的的时时候候，离离家家恰恰好好是是8千千米米（如如图图33-2所示），这时是几时几分？所示），这时是几时几分？【思路导航】【思路导航】【练练习习4】1、A、B两两地地相相距距21千千米米，上上午午8时时甲甲、乙乙分分别别从从A、B两两地地出出发发，相相向向而而行行。甲甲到到达达B地地后后立立即即返返回回，乙乙到到达达A地地后后立立即即返返回回。上上午午10时时他他们们第第二二次次相相遇遇。此此时时，甲甲走走的的路路程程比比乙乙走走的的多多9千千米米，甲甲一一共共行行了了多少千米？甲每小时走多少千米？多少千米？甲每小时走多少千米？2、张张师师傅傅上上班班坐坐车车，回回家家步步行行，路路上上一一共共要要用用80分分钟钟。如如果果往往、返返都都坐坐车，全部行程要车，全部行程要50千米；如果往、返都步行，全部行程要多长时间？千米；如果往、返都步行，全部行程要多长时间？3、当当甲甲在在60米米赛赛跑跑中中冲冲过过终终点点线线时时，比比乙乙领领先先10米米，比比丙丙领领先先20米米。如如果果乙乙和和丙丙按按原原来来的的速速度度继继续续冲冲向向终终点点，那那么么乙乙到到达达终终点点时时将将比比丙丙领领先先多多少米？少米？第第33周周行程问题行程问题疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】甲甲、乙乙、丙丙三三人人，每每分分钟钟分分别别行行68米米、70.5米米、72米米。现现甲甲、乙乙从从东东镇镇去去西西镇镇，丙丙从从西西镇镇去去东东镇镇，三三人人同同时时出出发发，丙丙和和乙乙相相遇遇后后，又又过过2分钟与甲相遇。东、西两镇相距多少器秒年米毫分钟与甲相遇。东、西两镇相距多少器秒年米毫？【思路导航】【思路导航】如如图图33-3所所示示，可可以以看看出出，乙乙、丙丙两两人人相相遇遇时时，乙乙比比甲甲多多行行的的路路程程正正好好是是后后来来甲甲、丙丙2分分钟钟所所行行的的路路程程和和，是是（68+72）2=280（米米）。而而每每分分钟钟 乙乙 比比 甲甲 多多 行行 70.568=2.5（ 米米 ） 可可 见见 ， 乙乙 、 丙丙 相相 遇遇 时时 间间 是是2802.5=112（分分钟钟），因因此此，求求东东、西西两两镇镇间间的的距距离离可可用用速速度度和和乘乘以以相相遇时间求出。列式为遇时间求出。列式为乙、丙相遇时间：（乙、丙相遇时间：（68+72）22.5=112（分钟）（分钟）东、西两镇相距的千米数：（东、西两镇相距的千米数：（70.5+72）1121000=15.96（千米）（千米）【练练习习5】1、有有甲甲、乙乙、丙丙三三人人，甲甲每每分分钟钟行行70米米，乙乙每每分分钟钟行行60米米，丙丙每每分分钟钟行行75米米，甲甲、乙乙从从A地地去去B地地，丙丙从从B地地去去A地地，三三人人同同时时出出发发，丙遇到甲丙遇到甲8分钟后，再遇到乙。分钟后，再遇到乙。A、B两地相距多少千米？两地相距多少千米？2、一一只只狼狼以以每每秒秒15米米的的速速度度追追捕捕在在它它前前面面100米米处处的的兔兔子子。兔兔子子每每秒秒行行4.5米米，6秒秒钟钟后后猎猎人人向向狼狼开开了了一一枪枪。狼狼立立即即转转身身以以每每秒秒16.5米米的的速速度度背背向向兔子逃去。问：开枪多少秒后兔子与狼又相距兔子逃去。问：开枪多少秒后兔子与狼又相距100米？米？3、甲甲、乙乙两两车车同同时时从从A地地开开往往B地地，乙乙车车6小小时时可可以以到到达达，甲甲车车每每小小时时比比乙乙车车慢慢8千千米米，因因此此比比乙乙车车迟迟一一小小时时到到达达。A、B两两地地间间的的路路程程是是多多少少千千米？米？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 在在行行程程问问题题中中，与与环环行行有有关关的的行行程程问问题题的的解解决决方方法法与与一一般般的的行行程程问问题题的的方方法法类类似似，但但有有两两点点值值得得注注意意：一一是是两两人人同同地地背背向向运运动动，从从第第一一次次相相遇遇到到下下次次相相遇遇共共行行一一个个全全程程；二二是是同同地地、同向运动时，甲追上乙时，甲比乙多行了一个全程。同向运动时，甲追上乙时，甲比乙多行了一个全程。【例题【例题1】【思路导航】【思路导航】【练习【练习1】2、兄兄、妹妹2人人在在周周长长为为30米米的的圆圆形形小小池池边边玩玩。从从同同一一地地点点同同时时背背向向绕绕水水池池而而行行。兄兄每每秒秒走走1.3米米。妹妹每每秒秒走走1.2米米。他他们们第第10次次相相遇遇时时，劢劢还还要要走走多少米才能归到出发点？多少米才能归到出发点？3、如如图图34-1所所示示，A、B是是圆圆的的直直径径的的两两端端，小小张张在在A点点，小小王王在在B点点，同同时时出出发发反反向向而而行行，他他们们在在C点点第第一一次次相相遇遇，C点点离离A点点80米米；在在D点点第第二次相遇，二次相遇，D点离点离B点点60米。求这个圆的周长。米。求这个圆的周长。第第34周周行程问题行程问题疯狂操练二疯狂操练二【例题【例题2】【思路导航】【思路导航】【练练习习2】1、小小明明绕绕一一个个圆圆形形长长廊廊游游玩玩。顺顺时时针针走走，从从A处处到到C处处要要12分分钟钟，从从B处处到到A处处要要15分分钟钟，从从C处处到到B处处要要11分分钟钟。从从A处处到到B处处需需要要多少分钟（如图多少分钟（如图34-3所示）？所示）？【练习【练习2】3、甲甲、乙乙两两人人在在圆圆形形跑跑道道上上，同同时时从从某某地地出出发发沿沿相相反反方方向向跑跑步步。甲甲速速是是乙乙速速的的3倍倍，他他们们第第一一次次与与第第二二次次相相遇遇地地点点之之间间的的路路程程是是100米米。环环形形跑跑道有多少米？道有多少米？第第34周周行程问题行程问题疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】绕绕湖湖的的一一周周是是24千千米米，小小张张和和小小王王从从湖湖边边某某一一地地点点同同时时出出发发反反向向而而行行。小小王王以以每每小小时时4千千米米速速度度走走1小小时时后后休休息息5分分钟钟，小小张张以以每每小小时时6千米的速度每走千米的速度每走50分钟后休息分钟后休息10分钟。两人出发多少时间第一次相遇？分钟。两人出发多少时间第一次相遇？【思思路路导导航航】小小张张的的速速度度是是每每小小时时6千千米米，50分分钟钟走走5千千米米，我我们们可可以以把把他们出发后的时间与行程列出下表：他们出发后的时间与行程列出下表：第第34周周行程问题行程问题疯狂操练三疯狂操练三【思路导航】【思路导航】12+15=27，比比24大大，从从上上表表可可以以看看出出，他他们们相相遇遇在在出出发发后后2小小时时10分分至至3小小时时15分分之之间间。出出发发后后2小小时时10分分，小小张张已已走走了了10+5（5010）=11（千千米米），此此时时两两人人相相距距24（8+11）=5（千千米米）。由由于于从从此此时时到到相相遇遇以以不不会会再再休休息息，因因此此共共同同走走完完这这5千千米米所所需需的的时时间间是是5（4+6）=0.5（小小时），而时），而2小时小时10分分+0.5小时小时=2小时小时40分。分。小张小张50分钟走的路程：分钟走的路程：66050=5（千米）（千米）小张小张2小时小时10分后共行的路程：分后共行的路程：10+5（5010）=11（千米）（千米）两人行两人行2小时小时10分后相距的路程：分后相距的路程：24（8+11）=5（千米）（千米）两人共同行两人共同行5千米所需时间：千米所需时间：5（4+6）=0.5（小时）（小时）相遇时间：相遇时间：2小时小时10分分+0.5小时小时=2小时小时40分分【练练习习3】1、在在400米米环环行行跑跑道道上上，A，B两两点点相相距距100米米。甲甲、乙乙两两人人分分别别从从A，B两两点点同同时时出出发发，按按逆逆时时针针方方向向跑跑步步，甲甲每每秒秒行行5米米，乙乙每每秒秒行行4米，每人跑米，每人跑100米都要停留米都要停留10秒钟。那么甲追上乙需要多少秒？秒钟。那么甲追上乙需要多少秒？2、一一辆辆汽汽车车在在甲甲、乙乙两两站站之之间间行行驶驶。往往、返返一一次次共共用用去去4小小时时。汽汽车车去去时时每每小小时时行行45千千米米，返返回回时时每每小小时时行行驶驶30千千米米，那那么么甲甲、乙乙两两站站相相距距多多少千米？少千米？3、龟龟、兔兔进进行行10000米米跑跑步步比比赛赛。兔兔每每分分钟钟跑跑400米米，龟龟每每分分钟钟跑跑80米米，兔每跑兔每跑5分钟歇分钟歇25分钟，谁先到达终点？分钟，谁先到达终点？第第34周周行程问题行程问题疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】一一个个游游泳泳池池长长90米米。甲甲、乙乙二二人人分分别别从从游游泳泳池池的的两两端端同同时时出出发发，游游到到另另一一端端立立即即返返回回。找找这这样样往往、返返游游，两两人人游游10分分钟钟。已已知知甲甲每每秒秒游游3米米，乙乙每每秒秒游游2米米。在在出出发发后后的的两分钟两分钟内，二人相遇了几次？内，二人相遇了几次？【思路导航】【思路导航】【练练习习4】1、甲甲、乙乙两两个个运运动动员员同同时时从从游游泳泳池池的的两两端端相相向向下下水水做做往往、返返游游泳泳训训练练。从从池池的的一一端端到到另另一一端端甲甲要要3分分钟钟，乙乙要要3.2分分钟钟。两两人人下下水水后连续游了后连续游了48分钟，一共相遇了多少次？分钟，一共相遇了多少次？2、一一游游泳泳池池道道长长100米米，甲甲、乙乙两两个个运运动动员员从从泳泳道道的的两两端端同同时时下下水水，做做往往、返返训训练练15分分钟钟，甲甲每每分分钟钟游游81米米，乙乙每每分分钟钟游游89米米。甲甲运运动动员员一一共共从乙运动员身边经过了多少次？从乙运动员身边经过了多少次？3、马马路路上上有有一一辆辆身身长长为为15米米的的公公共共汽汽车车，由由东东向向西西行行驶驶，车车速速为为每每小小时时18千千米米。马马路路一一旁旁人人行行道道上上有有甲甲、乙乙两两名名年年轻轻人人正正在在练练长长跑跑，甲甲由由东东向向西西跑跑，乙乙由由西西向向东东跑跑。某某一一时时刻刻，汽汽车车追追上上了了甲甲，6秒秒争争后后汽汽车车离离开开了了甲甲，半半分分钟钟后后，汽汽车车遇遇到到迎迎面面跑跑来来的的乙乙，又又经经过过了了2秒秒钟钟，汽汽车车离离开开乙乙，再过几秒钟，甲、乙两人相遇？再过几秒钟，甲、乙两人相遇？第第34周周行程问题行程问题疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】甲甲、乙乙两两地地相相距距60千千米米。张张明明8点点从从甲甲地地出出发发去去乙乙地地，前前一一半半时时间间平平均均速速度度为为每每分分钟钟1千千米米，后后一一半半时时间间平平均均速速度为每分钟度为每分钟0.8千米。张明经过多少时间到达乙地？千米。张明经过多少时间到达乙地？【思路导航】【思路导航】【练练习习5】1、A、B两两地地相相距距90千千米米。一一辆辆汽汽车车从从A地地出出发发去去B地地，前前一一半半时时间间平平均均每每小小时时行行60千千米米，后后一一半半时时间间平平均均每每小小时时行行40千千米米。这这辆辆汽车经过多少时间可以到达汽车经过多少时间可以到达B地？地？2、甲甲、乙乙两两人人同同时时从从A点点背背向向出出发发，沿沿400米米环环行行跑跑道道行行走走。甲甲每每分分钟钟走走80米，乙蔑分钟走米，乙蔑分钟走50米。两人至少经过多少分钟才能在米。两人至少经过多少分钟才能在A点相遇？点相遇？3、在在300米米的的环环行行跑跑道道上上，甲甲、乙乙两两人人同同时时并并排排起起跑跑。甲甲平平均均每每秒秒行行5米米，乙平均每秒行乙平均每秒行4.4米。两人起跑后第一次相遇在起跑线前面多少米？米。两人起跑后第一次相遇在起跑线前面多少米？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 本本周周主主要要讲讲结结合合分分数数、百百分分数数知知识识相相关关的的较较为为复复杂杂抽抽象象的的行行程程问问题题。要要注注意意：出出发发的的时时间间、地地点点和和行行驶驶方方向向、速速度度的的变变化等，常常需画线段图来帮助理解题意。化等，常常需画线段图来帮助理解题意。【例例题题1】客客车车和和货货车车同同时时从从A、B两两地地相相对对开开出出。客客车车每每小小时时行行驶驶50千千米米，货货车车的的速速度度是是客客车车的的80%，相相遇遇后后客客车车继继续续行行3.2小时到达小时到达B地。地。A、B两地相距多少千米？两地相距多少千米？【思路导航】【思路导航】如如图图35-1所所示示，要要求求A、B两两地地相相距距多多少少千千米米，先先要要求求客客、货货车车合合行行全全程程所所需需的的时时间间。客客车车3.2小小时时行行了了503.2=160（千千米），货车行米），货车行160千米所需的时间为：千米所需的时间为：160（5080%）=4（小时）（小时）所以（所以（50+5080%）4=360（千米）（千米）【练习【练习1】第第35周周行程问题行程问题疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】从从甲甲地地到到乙乙地地的的路路程程分分为为上上坡坡、平平路路、下下坡坡三三段段，各各段段路路程程之之比比是是1：2：3，某某人人走走这这三三段段路路所所用用的的时时间间之之比比是是4：5：6。已已知知他他上上坡坡时时的的速速度度为为每每小小时时2.5千千米米，路路程程全全长为长为20千米。此人从甲地走到乙地需多长时间？千米。此人从甲地走到乙地需多长时间？【思路导航】【思路导航】【练练习习2】1、从从甲甲地地到到乙乙地地的的路路程程分分为为上上坡坡、平平路路、下下坡坡三三段段，各各段段路路程程之之比比是是2：3：5，小小亮亮走走这这三三段段路路所所用用的的时时间间之之比比是是6：5：4。已已知知小小亮亮走走平平炉炉时时的的速速度度为为每每小小时时4.5千千米米，他他从从甲甲地地走走到到乙乙地地共共用用了了5小小时时。问：甲、乙两地相距多少千米？问：甲、乙两地相距多少千米？2、小小明明去去登登山山，上上午午6点点出出发发，走走了了一一段段平平坦坦的的路路，爬爬上上了了一一座座山山，在在山山顶顶停停了了1小小时时后后按按原原路路返返回回，中中午午11点点回回到到家家。已已知知他他走走平平路路的的速速度度为为每每小小时时4千千米米，上上坡坡速速度度为为每每小小时时3千千米米，下下坡坡速速度度为为每每小小时时6千千米米。问问：小明一共走了多少千米？小明一共走了多少千米？3、青青青青从从家家到到学学校校正正好好要要翻翻一一座座小小山山，她她上上坡坡每每分分钟钟行行50米米，下下坡坡速速度度比比上上坡坡快快40%，从从就就秒秒到到学学校校的的路路程程为为2800米米，上上学学要要用用50分分钟钟。从从学学校回家要用多少时间？校回家要用多少时间？第第35周周行程问题行程问题疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】甲甲、乙乙两两人人分分别别从从A、B两两地地出出发发，相相向向而而行行，出出发发时时他他们们的的速速度度比比是是3：2。他他们们第第一一次次相相遇遇后后，甲甲的的速速度度提提高高了了20%，乙乙的的速速度度提提高高了了30%。这这样样，当当几几B地地时时，乙乙离离A地地还还有有14千千米米。那那么么A、B两两地地间间的距离是多少千米？的距离是多少千米？【思路导航】【思路导航】【练练习习3】1、甲甲、乙乙两两人人步步行行的的速速度度比比是是13：11，他他们们分分别别由由A、B两两地地同同时时出出发发相相向向而而行行，0.5小小时时后后相相遇遇。如如果果他他们们同同向向而而行行，那那么么甲甲追追上上乙乙需要几小时？需要几小时？2、从从A地地到到B地地，甲甲要要走走2小小时时，乙乙要要走走1小小时时40分分钟钟。若若甲甲从从A地地出出发发8分钟后，乙从分钟后，乙从A地出发追甲。乙出发多久能追上甲？地出发追甲。乙出发多久能追上甲？3、甲甲、乙乙两两车车分分别别从从A、B两两地地出出发发，相相向向而而行行。出出发发时时，甲甲、乙乙的的速速度度比比是是5：4，相相遇遇后后，甲甲的的速速度度减减少少20%，乙乙的的速速度度增增加加20%，这这样样，当当甲甲到到达达B地地时时，乙乙离离A地地还还有有10千千米米。那那么么，A、B两两地地相相距距多多少少千千米米？第第35周周行程问题行程问题疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】甲甲、乙乙两两班班学学生生到到离离校校24千千米米的的飞飞机机场场参参观观，一一辆辆汽汽车车一一次次只只能能坐坐一一个个班班的的学学生生。为为了了尽尽快快到到达达机机场场，两两个个班班商商定定，由由甲甲班班先先坐坐车车，乙乙班班步步行行，同同时时出出发发。甲甲班班学学生生在在中中途途下下车车步步行行去去机机场场，汽汽车车立立即即返返回回接接途途中中步步行行的的乙乙班班同同学学。已已知知凉凉拌拌学学生生步步行行的的速速度度相相同同，汽汽车车的的速速度度是是步步行行的的7倍倍，汽汽车车应应在在距距机机场场多多少少千千米米处处返返回回接接乙乙班班同同学学，才才能能使使两两班班同同学同时到达机场（学生上下车及汽车换向时间不计算）？学同时到达机场（学生上下车及汽车换向时间不计算）？【思思路路导导航航】如如图图35-4所所示示，汽汽车车到到达达甲甲班班学学生生下下车车的的地地方方又又返返回回到到与与乙乙班班学学生生相相遇遇的的地地点点，汽汽车车所所行行路路程程应应为为乙乙班班不不行行的的7倍倍，即即比比乙乙班班学学生生多多走走6倍倍，因因此此汽汽车车单单程程比比乙乙班班步步行行多多（62）=3（倍倍）。汽汽车车返返回回与与乙乙班班相相遇遇时时，乙乙班班步步行行的的路路程程与与甲甲班班学学生生步步行行到到机机场场的的路路程程相相等等。由由此此得得出出汽汽车车送送甲甲班班学学生生下下车车地地点点到到几几长长的的距距离离为为学学校校到到机机场场的的距距离离的的1/5。列算式为列算式为24（1+3+1）=4.8（千米）（千米）【练习【练习4】第第35周周行程问题行程问题疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】一一辆辆汽汽车车从从甲甲地地开开往往乙乙地地，如如果果把把车车速速提提高高20%，可可以以比比原原定定时时间间提提前前1小小时时到到达达；如如果果按按原原速速行行驶驶120千千米米后后，再再将将速速度度提提高高25%，则可提前则可提前40分钟到达。那么甲、乙两地相距多少千米？分钟到达。那么甲、乙两地相距多少千米？【思思路路导导航航】此此题题是是将将行行程程、比比例例、百百分分数数三三种种应应用用题题综综合合在在了了一一起起。解解题题时时，我我们们可可先先求求出出改改车车按按原原定定速速度度到到达达乙乙地地所所需需的的时时间间，再再求求出出甲甲、乙两地的路程。乙两地的路程。【练习【练习5】2、一一个个正正方方形形的的一一边边减减少少20%，另另一一边边增增加加2米米，得得到到一一个个长长方方形形。这这个长方形的面积与原正方形的面积想等。原正方形面积是多少平方米？个长方形的面积与原正方形的面积想等。原正方形面积是多少平方米？3、客客、货货车车同同时时从从甲甲、乙乙两两地地相相对对开开出出，相相遇遇时时客客、货货两两车车所所行行路路程程的的比比是是5：4，相相遇遇后后货货车车每每小小时时比比相相遇遇前前每每小小时时多多走走27千千米米。客客车车仍仍按按原原速速前前进进，结结果果两两车车同同时时到到达达对对方方的的出出发发站站，已已知知客客车车一一共共行行了了10小小时时。甲、乙两地相距多少千米？甲、乙两地相距多少千米？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 当当你你逆逆风风骑骑自自行行车车时时有有什什么么感感觉觉？是是的的，逆逆风风时时需需用用很很大大力力气气，因因为为面面对对的的是是迎迎面面吹吹来来的的风风。当当顺顺风风时时，借借着着风风力力，相相对对而而言言用用里里较较少少。在在你你的生活中是否也遇到过类似的如流水行船问题。的生活中是否也遇到过类似的如流水行船问题。解解答答这这类类题题的的要要素素有有下下列列几几点点：水水速速、流流速速、划划速速、距距离离，解解答答这这类类题题与与和和差差问问题题相相似似。划划速速相相当当于于和和差差问问题题中中的的大大数数，水水速速相相当当于于小小数数，顺顺流速相当于和数，逆流速相当于差速。流速相当于和数，逆流速相当于差速。划速划速=（顺流船速（顺流船速+逆流船速）逆流船速）2；水速水速=（顺流船速（顺流船速逆流船速）逆流船速）2；顺流船速顺流船速=划速划速+水速；水速；逆流船速逆流船速=划速划速水速；水速；顺流船速顺流船速=逆流船速逆流船速+水速水速2；逆流船速逆流船速=逆流船速逆流船速水速水速2。【例例题题1】一一条条轮轮船船往往返返于于A、B两两地地之之间间，由由A地地到到B地地是是顺顺水水航航行行，由由B地地到到A地地是是逆逆水水航航行行。已已知知船船在在静静水水中中的的速速度度是是每每小小时时20千千米米，由由A地地到到B地地用用了了6小小时时，由由B地地到到A地地所所用用的的时时间间是是由由A地地到到B地地所所用用时时间间的的1.5倍，求水流速度。倍，求水流速度。【思思路路导导航航】在在这这个个问问题题中中，不不论论船船是是逆逆水水航航行行，还还是是顺顺水水航航行行，其其行行驶驶的的路路程程相相等等，都都等等于于A、B两两地地之之间间的的路路程程；而而船船顺顺水水航航行行时时，其其形形式式的的速速度度为为船船在在静静水水中中的的速速度度加加上上水水流流速速度度，而而船船在在怒怒水水航航行行时时的的行行驶驶速速度是船在静水中的速度与水流速度的差。度是船在静水中的速度与水流速度的差。解解：设设水水流流速速度度为为每每小小时时x千千米米，则则船船由由A地地到到B地地行行驶驶的的路路程程为为（20+x）6千千米米，船船由由B地地到到A地地行行驶驶的的路路程程为为（20x）61.5千千米。列方程为（米。列方程为（20+x）6=（20x）61.5x=4【练练习习1】1、水水流流速速度度是是每每小小时时15千千米米。现现在在有有船船顺顺水水而而行行，8小小时时行行320千米。若逆水行千米。若逆水行320千米需几小时？千米需几小时？2、水水流流速速度度每每小小时时5千千米米。现现在在有有一一船船逆逆水水在在120千千米米的的河河中中航航行行需需6小小时，顺水航行需几小时？时，顺水航行需几小时？第第36周周流水行船问题流水行船问题疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】有有一一船船行行驶驶于于120千千米米长长的的河河中中，逆逆行行需需10小小时时，顺行要顺行要6小时，求船速和水速。小时，求船速和水速。【思路导航】【思路导航】这这题题条条件件中中有有行行驶驶的的路路程程和和行行驶驶的的时时间间，这这样样可可分分别别算算出出船船在在逆逆流流时时的的行行驶驶速速度度和和顺顺流流时时的的行行驶驶速速度度，再再根根据据和和差差问问题题就就可可以以算算出出船船速速和和水水速速。列式为列式为逆流速：逆流速：12010=12（千米（千米/时）时）顺流速：顺流速：1206=12（千米（千米/时）时）船速：（船速：（20+12）2=16（千米（千米/时）时）水速：（水速：（2012）2=4（千米（千米/时）时）【练练习习2】1、有有只只大大木木船船在在长长江江中中航航行行。逆逆流流而而上上5小小时时行行5千千米米，顺顺流流而而下下1小小时时行行5千千米米。求求这这只只木木船船每每小小时时划划船船速速度度和和河河水水的的流流速速各各是是多多少？少？2、有有一一船船完完成成360千千米米的的水水程程运运输输任任务务。顺顺流流而而下下30小小时时到到达达，但但逆逆流流而上则需而上则需60小时。求河水流速和静水中划行的速度？小时。求河水流速和静水中划行的速度？3、一一海海轮轮在在海海中中航航行行。顺顺风风每每小小时时行行45千千米米，逆逆风风每每小小时时行行31千千米米。求求这艘海轮每小时的划速和风速各是多少？这艘海轮每小时的划速和风速各是多少？第第36周周流水行船问题流水行船问题疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】轮轮船船以以同同一一速速度度往往返返于于两两码码头头之之间间。它它顺顺流流而而下下，行行了了8小小时时；逆逆流流而而上上，行行了了10小小时时。如如果果水水流流速速度度是是每每小小时时3千米，求两码头之间的距离。千米，求两码头之间的距离。【思路导航】【思路导航】在同一线段图上做下列游动性示意图在同一线段图上做下列游动性示意图36-1演示：演示：因因为为水水流流速速度度是是每每小小时时3千千米米，所所以以顺顺流流比比逆逆流流每每小小时时快快6千千米米。如如果果怒怒六六时时也也行行8小小时时，则则只只能能到到A地地。那那么么A、B的的距距离离就就是是顺顺流流比比逆逆流流8小小时时多多行行的的航航程程，即即68=48千千米米。而而这这段段航航程程又又正正好好是是逆逆流流2小小时时所所行行的的。由由此此得得出出逆逆流流时时的的速速度度。列算式为（列算式为（3+3）8（108）10=240（千米）（千米）【练练习习3】1、一一走走轮轮船船以以同同样样的的速速度度往往返返于于甲甲、乙乙两两个个港港口口，它它顺顺流流而而下下行行了了7小小时时，逆逆流流而而上上行行了了10小小时时。如如果果水水流流速速度度是是每每小小时时3.6千千米米，求甲、乙两个港口之间的距离。求甲、乙两个港口之间的距离。2、一一艘艘渔渔船船顺顺水水每每小小时时行行18千千米米，逆逆水水每每小小时时行行15千千米米。求求船船速速和和水水速速各是多少？各是多少？3、沿沿河河有有上上、下下两两个个市市镇镇，相相距距85千千米米。有有一一只只船船往往返返两两市市镇镇之之间间，船船的的速速度度是是每每小小时时18.5千千米米，水水流流速速度度每每小小时时1.5千千米米。求求往往返返依依次次所所需需的的时间。时间。第第36周周流水行船问题流水行船问题疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】汽汽船船每每小小时时行行30千千米米，在在长长176千千米米的的河河中中逆逆流流航航行要行要11小时到达，返回需几小时？小时到达，返回需几小时？【思路导航】【思路导航】依依据据船船逆逆流流在在176千千米米的的河河中中所所需需航航行行时时间间是是11小小时时，可可以以求求出出逆逆流流的的速速度度。返返回回原原地地是是顺顺流流而而行行，用用行行驶驶路路程程除除以以顺顺流速度，可求出返回所需的时间。流速度，可求出返回所需的时间。逆流速：逆流速：17611=16（千米（千米/时）时）所需时间：所需时间：17630+（3016）=4（小时）（小时）【练练习习4】1、当当一一机机动动船船在在水水流流每每小小时时3千千米米的的河河中中逆逆流流而而上上时时，8小小时时行行48千米。返回时水流速度是逆流而上的千米。返回时水流速度是逆流而上的2倍。需几小时行倍。需几小时行195千米？千米？2、已已知知一一船船自自上上游游向向下下游游航航行行，经经9小小时时后后，已已行行673千千米米，此此船船每每小小时时的划速是的划速是47千米。求此河的水速是多少？千米。求此河的水速是多少？3、一一只只小小船船在在河河中中逆逆流流航航行行3小小时时行行3千千米米，顺顺流流航航行行1小小时时行行3千千米米。求求这只船每小时的速度和河流的速度各是多少？这只船每小时的速度和河流的速度各是多少？第第36周周流水行船问题流水行船问题疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】有有甲甲、乙乙两两船船，甲甲船船和和漂漂流流物物同同时时由由河河西西向向东东而而行行，乙乙船船也也同同时时从从河河东东向向西西而而行行。甲甲船船行行4小小时时后后与与漂漂流流物物相相距距100千千米米，乙乙船船行行12小小时时后后与与漂漂流流物物相相遇遇，两两船船的的划划速速相相同，河长多少千米？同，河长多少千米？【思路导航】【思路导航】漂漂流流物物和和水水同同速速，甲甲船船是是划划速速和和水水速速的的和和，甲甲船船4小小时时后后，距距漂漂流流物物100千千米米，即即每每小小时时行行1004=25（千千米米）。乙乙船船12小小时时后后与与漂漂流流物物相相遇遇，所所受的阻力和漂流物的速度等于划速。这样，即可算出河长。列算式为受的阻力和漂流物的速度等于划速。这样，即可算出河长。列算式为船速：船速：1004=25（千米（千米/时）时）河长：河长：2512=300（千米）（千米）【练练习习5】1、有有两两只只木木排排，甲甲木木排排和和漂漂流流物物同同时时由由A地地向向B地地前前行行，乙乙木木排排也也同同时时从从B地地向向A地地前前行行，甲甲木木排排5小小时时后后与与漂漂流流物物相相距距75千千米米，乙乙木木排排行行15小小时时后后与与漂漂流流物物相相遇遇，两两木木排排的的划划速速相相同同，A、B两两地地长长多多少少千千米米？2、有有一一条条河河在在降降雨雨后后，每每小小时时水水的的流流速速在在中中流流和和沿沿岸岸不不同同。中中流流每每小小时时59千千米米，沿沿岸岸每每小小时时45千千米米。有有一一汽汽船船逆逆流流而而上上，从从沿沿岸岸航航行行15小小时时走走完完570千米的路程，回来时几小时走完中流的全程？千米的路程，回来时几小时走完中流的全程？3、有有一一架架飞飞机机顺顺风风而而行行4小小时时飞飞360千千米米。今今出出发发至至某某地地顺顺风风去去，逆逆风风会会，返返回回的的时时间间比比去去的的时时间间多多3小小时时。已已知知逆逆风风速速为为75千千米米/小小时时，求求距距目目的的地多少千米？地多少千米？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 同同学学们们都都熟熟悉悉“田田忌忌与与齐齐王王赛赛马马”的的故故事事，这这个个故故事事给给我我们们的启示是：田忌采用了的启示是：田忌采用了“扬长避短扬长避短”的策略，取得了胜利。的策略，取得了胜利。生生活活中中的的许许多多事事物物都都蕴蕴含含着着数数学学道道理理，人人们们在在竞竞赛赛和和争争斗斗中中总总是是玩玩游游戏戏，大大至至体体育育比比赛赛、军军事事较较量量等等，人人们们在在竞竞赛赛和和争争斗斗中中总总是是希希望望自自己己或或自自己己的的一一方方获获取取胜胜利利，这这就就要要求求参参与与竞竞争争的的双双方方都都要要制制定定出出自自己己的的策策略略，这这就就是是所所谓谓“知知己己知知彼彼，百百战战不不殆殆”。哪哪一一方方的的策策略略更更胜胜一一筹筹，哪哪一一方方就就会会取取得得最最终终的胜利。的胜利。解决这类问题一般采用逆推法和归纳法。解决这类问题一般采用逆推法和归纳法。【例例题题1】两两个个人人做做一一个个移移火火柴柴的的游游戏戏，比比赛赛的的规规则则是是：两两人人从从一一堆堆火火柴柴中中可可轮轮流流移移走走1至至7根根火火柴柴，直直到到移移尽尽为为止止。挨挨到到谁谁移移走走最最后后一一根根火火柴柴就就算算谁谁输输。如如果果开开始始时时有有1000根根火火柴柴，首首先先移移火火柴柴的的人人在在第第一一次次移移走走多多少根时才能在游戏中保证获胜。少根时才能在游戏中保证获胜。【思思路路导导航航】先先移移火火柴柴的的人人要要取取胜胜，只只要要取取走走第第999根根火火柴柴，即即利利用用逆逆推法就可得到答案。推法就可得到答案。设设先先移移的的人人为为甲甲，后后移移的的人人为为乙乙。甲甲要要取取胜胜只只要要取取走走第第999根根火火柴柴。因因此此，只只要要取取到到第第991根根就就可可以以了了（如如乙乙取取1根根甲甲就就取取7根根；如如乙乙取取2根根甲甲就就取取6根根。依依次次类类推推，甲甲取取的的与与乙乙取取的的之之和和为为8根根火火柴柴）。由由此此继继续续推推下下去去，甲甲只只要要取第取第983根，第根，第975根，根，第第7根就能保证获胜。根就能保证获胜。所以，先移火柴的人要保证获胜，第一次应移走所以，先移火柴的人要保证获胜，第一次应移走7根火柴。根火柴。【练练习习1】1、一一堆堆火火柴柴40根根，甲甲、乙乙两两人人轮轮流流去去拿拿，谁谁拿拿到到最最后后一一根根谁谁胜胜。每每人人每每次次可可以以拿拿1至至3根根，不不许许不不拿拿，乙乙让让甲甲先先拿拿。问问：谁谁能能一一定定取取胜？他要取胜应采取什么策略？胜？他要取胜应采取什么策略？2、两两人人轮轮流流报报数数，规规定定每每次次报报的的数数都都是是不不超超过过8的的自自然然数数，把把两两人人报报的的数累加起来，谁先报到数累加起来，谁先报到88，谁就获胜。问：先报数者有必胜的策略吗？，谁就获胜。问：先报数者有必胜的策略吗？3、把把1994个个空空格格排排成成一一排排，第第一一格格中中放放一一枚枚棋棋子子，甲甲、乙乙两两人人轮轮流流移移动动棋棋子子，每每人人每每次次可可后后移移1格格、2格格、3格格，谁谁先先移移到到最最后后一一格格谁谁胜胜。先先移移者者确保获胜的方法是什么？确保获胜的方法是什么？第第37周周对策问题对策问题疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】有有1987粒粒棋棋子子。甲甲、乙乙两两人人分分别别轮轮流流取取棋棋子子，每每次次最最少少取取1粒粒，最最多多取取4粒粒，不不能能不不取取，取取到到最最后后一一粒粒的的为为胜胜者者。现现在在两两人人通通过过抽抽签签决决定定谁谁先先取取。你你认认为为先先取取的的能能胜胜，还还是后取的能胜？怎样取法才能取胜？是后取的能胜？怎样取法才能取胜？【思路导航】【思路导航】从从结结局局开开始始，倒倒推推上上去去。不不妨妨设设甲甲先先取取，乙乙后后取取，剩剩下下1至至4粒粒，甲甲可可以以一一次次拿拿完完。如如果果剩剩下下5粒粒棋棋子子，则则甲甲不不能能一一次次拿拿完完，乙乙胜胜。因因此此甲甲想想取取胜胜，只只要要在在某某一一时时刻刻留留下下5粒粒棋棋子子就就行行了了。不不妨妨设设甲甲先先取取，则则甲甲能能取取胜胜。甲甲第第一一次次取取2粒粒，以以后后无无论论乙乙拿拿几几粒粒，甲甲只只要要使使自自己己的的粒粒数数与与乙乙拿拿的的粒粒数数之之和和正正好好等等于于5，这这样样，每每一一轮轮后后，剩剩下下的的棋棋子子粒粒数数总总是是5的的倍倍数数，最最后后总总能能留下留下5粒棋子，因此，甲先取必胜。粒棋子，因此，甲先取必胜。【练练习习2】1、甲甲、乙乙两两人人轮轮流流从从1993粒粒棋棋子子中中取取走走1粒粒或或2粒粒或或3粒粒，谁谁取取到到最最后后一一粒粒的的是是胜胜利利者者，你你认认为为先先取取的的能能获获胜胜，还还是是后后取取的的能能获获胜胜，应采取什么策略？应采取什么策略？2、有有1997根根火火柴柴，甲甲、乙乙两两人人轮轮流流取取火火柴柴，每每人人每每次次可可取取1至至10根根，谁谁能能取取到到最最后后一一根根谁谁为为胜胜利利者者，甲甲先先取取，乙乙后后取取。甲甲有有获获胜胜的的可可能能吗吗？取取胜的策略是什么？胜的策略是什么？3、盒盒子子里里有有47粒粒珠珠子子，两两人人轮轮流流取取，每每次次最最多多取取5粒粒，最最少少取取1粒粒，谁谁最最先先把把盒盒子子的的珠珠子子取取完完，谁谁就就胜胜利利，小小明明和和小小红红来来玩玩这这个个取取珠珠子子的的游游戏戏，先名先、小红后，谁胜？取胜的策略是什么？先名先、小红后，谁胜？取胜的策略是什么？第第37周周对策问题对策问题疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】在在黑黑板板上上写写有有999个个数数：2，3，4，1000。甲甲、乙乙两两人人轮轮流流擦擦去去黑黑板板上上的的一一个个数数（甲甲先先擦擦，乙乙后后擦擦），如如果果最最后后剩剩下下的的两两个个数数互互质质，则则甲甲胜胜，否否则则乙乙胜胜。谁谁必必胜胜？必胜的策略是什么？必胜的策略是什么？【思路导航】【思路导航】甲甲先先擦擦去去1000，剩剩下下的的998个个数数，分分为为499个个数数对对：（2，3），（4，5），（6，7），（998，999）。可可见见每每一一对对数数中中的的两两个个数数互互质质。如如果果乙乙擦擦去去某某一一对对中中的的一一个个，甲甲则则接接着着擦擦去去这这对对中中的的另另一一个个，这这样样乙乙、甲甲轮轮流流去去擦擦，总总是是一一对对数数、一对数地擦，最后剩下的一对数必互质。所以，甲必胜。一对数地擦，最后剩下的一对数必互质。所以，甲必胜。【练练习习3】1、甲甲、乙乙两两人人轮轮流流从从分分别别写写有有1，2，3，99的的99张张卡卡片片中中任任意意取取走走一一张张，先先取取卡卡的的人人能能否否保保证证在在他他取取走走的的第第97张张卡卡片片时时，使使剩下的两张卡片上的数一个是奇数，一个是偶数？剩下的两张卡片上的数一个是奇数，一个是偶数？2、两两个个人人进进行行如如下下游游戏戏，即即两两个个人人轮轮流流从从数数列列1，2，3，100，101勾勾去去九九个个数数。经经过过这这样样的的11次次删删除除后后，还还剩剩下下两两个个数数。如如果果这这两两个个数数的的差差是是55，这这时时判判第第一一个个勾勾数数的的人人获获胜胜。问问第第一一个个勾勾数数的的人人能能否否获获胜胜？获胜的策略是什么？获胜的策略是什么？3、在在黑黑板板上上写写n1（n3）个个数数：2，3，4，n。甲甲、乙乙两两人人轮轮流流在在黑黑板板上上擦擦去去一一个个数数。如如果果最最后后剩剩下下的的两两个个数数互互质质，则则乙乙胜胜，否否则则甲甲胜胜。N分分别别取取什什么么值值时时：（1）甲甲必必胜胜？（2）乙乙必必胜胜？必必胜胜的的策策略略是是什什么么？第第37周周对策问题对策问题疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】甲甲、乙乙两两人人轮轮流流在在黑黑板板上上写写下下不不超超过过10的的自自然然数数，规规定定禁禁止止在在黑黑板板上上写写已已写写过过的的数数的的约约数数，最最后后不不能能写写的的人人为为失失败败者者。如如果果甲甲第第一一个个写，谁一定获胜？写出一种获胜的方法。写，谁一定获胜？写出一种获胜的方法。【思路导航】【思路导航】这这里里关关键键是是第第一一次次写写什什么么数数，总总共共只只有有10个个数数，可可通通过过归归纳纳试试验验。甲甲不不能能写写1，否否则则乙乙写写6，乙乙可可获获胜胜；甲甲不不能能写写3，5，7，否否则则乙乙写写8，乙乙可可获获胜胜；甲甲不不能能写写4，9，10，否否则则乙乙写写6，乙乙可可获获胜胜。因因此此，甲甲先先写写6或或8，才才有可能获胜。有可能获胜。甲甲可可以以获获胜胜。如如甲甲写写6，去去掉掉6的的约约数数1，2，3，6，乙乙只只能能写写4，5，7，8，9，10这这六六个个数数中中的的一一个个，将将这这六六个个数数分分成成（4，5），（7，9），（8，10）三组，当乙写某组中的一个数，甲就写另一个数，甲就能获胜。）三组，当乙写某组中的一个数，甲就写另一个数，甲就能获胜。【练练习习4】1、甲甲、乙乙两两人人轮轮流流在在黑黑板板上上写写上上不不超超过过14的的自自然然数数。书书写写规规则则是是：不不允允许许写写黑黑板板上上已已写写过过的的数数的的约约数数，轮轮到到书书写写人人无无法法再再写写时时就就是输者。现甲先写，乙后写，谁能获胜？应采取什么对策？是输者。现甲先写，乙后写，谁能获胜？应采取什么对策？2、甲甲、乙乙两两人人轮轮流流从从分分别别写写有有3，4，5，11的的9张张卡卡片片中中任任意意取取走走一一张张，规规定定取取卡卡人人不不能能取取已已取取过过的的数数的的倍倍数数，轮轮到到谁谁无无法法再再取取时时，谁谁就就输。现甲先取，乙后取，甲能否必然获绳？应采取的对策是什么？输。现甲先取，乙后取，甲能否必然获绳？应采取的对策是什么？3、甲甲、乙乙两两人人轮轮流流在在2004粒粒棋棋子子中中取取走走1粒粒，3粒粒，5粒粒或或7粒粒棋棋子子。甲甲先取，乙后取，取到最后一粒棋子者为胜者。甲、乙两人谁能获胜？先取，乙后取，取到最后一粒棋子者为胜者。甲、乙两人谁能获胜？第第37周周对策问题对策问题疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】有有一一个个33的的棋棋盘盘以以及及9张张大大小小为为一一个个方方格格的的卡卡片片如如图图37-1所所示示，9张张卡卡片片分分别别写写有有：1，3，4，5，6，7，8，9，10这这几几个个数数。小小兵兵和和小小强强两两人人做做游游戏戏，轮轮流流取取一一张张卡卡片片放放在在9格格中中的的一一格格，小小兵兵计计算算上上、下下两两行行6个个数数的的和和；小小强强计计算算左左、右右两两列列6个个数数的的和和，和和数数大大的的一一方方取取胜胜。小兵一定能取胜吗？小兵一定能取胜吗？【思路导航】【思路导航】如如图图37-1所所示示，由由于于4个个角角的的数数是是两两人人共共有有的的，因因而而和和数数的的大大小小只只与与放放在在A，B，C，D这这4个格中的数有关。个格中的数有关。小小兵兵要要获获胜胜，必必须须采采取取如如下下策策略略，尽尽可可能能把把大大数数填填入入A或或C格格，尽尽可可能能将将小数填入小数填入B格或格或D格。格。由由于于1+103+9，即即B+DA+C，小小兵兵应应先先将将1放放在在B格格，如如小小强强把把10放放进进D格格，小小兵兵再再把把9放放进进A格格，这这时时不不论论小小强强怎怎么么做做，C格格中中一一定定是是大大于于或或等等于于3的的数数，因因而而小小兵兵获获胜胜。如如小小强强把把3放放进进A格格，小小兵兵只只需需将将9放放到到C格格，小兵也一定获胜。小兵也一定获胜。100=180（次）。（次）。【练练习习5】1、在在55的的棋棋盘盘的的右右上上角角放放一一枚枚棋棋子子，每每一一步步只只能能向向左左、想想下下或向左下对角线走一格。两人交替走，谁为胜者。必胜的策略是什么？或向左下对角线走一格。两人交替走，谁为胜者。必胜的策略是什么？2、甲甲、乙乙两两人人轮轮流流往往一一个个圆圆桌桌面面上上放放同同样样大大小小的的硬硬币币，规规则则是是每每人人每每次次只只能能放放一一枚枚，硬硬币币不不能能重重叠叠，谁谁放放完完最最后后一一枚枚硬硬币币而而使使对对方方再再无无处处可可放放，谁就获胜。如果甲先放，那么他怎样才能取胜？谁就获胜。如果甲先放，那么他怎样才能取胜？3、两两人人轮轮流流在在33的的方方格格中中画画“”和和“”，规规定定每每人人每每次次至至少少画画一一格格，至至多多画画三三格格，所所有有的的格格画画满满后后，谁谁画画的的符符号号总总数数为为偶偶数数，谁谁就就获获胜胜。谁有获胜的策略？谁有获胜的策略？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 同同余余这这个个概概念念最最初初是是由由伟伟大大的的德德国国数数学学家家高高斯斯发发现现的的。同同余余的的定定义义是是这这样样的的：两两个个整整数数a，b，如如果果它它们们除除以以同同一一自自然然数数m所所得得的的余余数数想想同同，则则称称a，b对对于于模模m同同余余。记记作作：ab（mod）。读读做做：同同余余于于模模。比比如如，12除除以以5，47除除以以5，它它们们有有相相同同的的余余数数2，这这时时我我们们就就说说，对对于于除数除数5，12和和47同余，记做同余，记做1247（mod5）。）。同余的性质比较多，主要有以下一些：同余的性质比较多，主要有以下一些：性性质质（1）：对对于于同同一一个个出出书书，两两个个数数之之和和（或或差差）与与它它们们的的余余数数之之和和（或或差差）同同余余。比比如如：32除除以以5余余数数是是2，19除除以以5余余数数是是4，两两个个余余数数的的和和是是2+4=6。“32+19”除除以以5的的余余数数就就恰恰好好等等于于它它们们的的余余数数和和6除除以以5的的余余数数。也也就就是是说说，对对于于除除数数5，“32+19”与与它它们们的的余余数数和和“2+4”同同余余，用用 符符 号号 表表 示示 就就 是是 ： 322（ mod 5） ， 194（ mod 5） ，32+192+41（mod5） 性质（性质（2）：对于同意个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。）：对于同意个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。性性质质（3）：对对于于同同意意个个除除数数，如如果果有有两两个个整整数数同同余余，那那么么它它们们的的差差就就一一定能被这个除数整除。定能被这个除数整除。性性质质（4）：对对于于同同意意个个除除数数，如如果果两两个个整整数数同同余余，那那么么它它们们的的乘乘方方仍仍然然同余。同余。应应用用同同余余性性质质几几萼萼体体的的关关键键是是要要在在正正确确理理解解的的基基础础上上灵灵活活运运用用同同余余性性质质。把把求求一一个个较较大大的的数数除除以以某某数数的的余余数数问问题题转转化化为为求求一一个个较较小小的的数数除除以以这这个个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。【例题【例题1】求求199259除以除以7的余数。的余数。【思路导航】【思路导航】应应用用同同余余性性质质（2）可可将将199259转转化化为为求求1992除除以以7和和59除除以以7的的余余数数的的乘乘积积，使使计计算算简简化化。1992除除以以7余余4，59除除以以7余余3。根根据据同同余余性性质质，“43”除除以以7的的余余数数与与“199259”除除以以7的的余余数数应应该该是是相相同同的的，通通过过求求“43”除除以以7的的余余数数就就可可知道知道199259除以除以7的余数了。的余数了。因为因为199259435（mod7）所以所以199259除以除以7的余数是的余数是5。【练习【练习1】1、求、求4217364除以除以6的余数。的余数。2、求、求133965512除以除以13的余数。的余数。3、求、求87943765283除以除以11的余数。的余数。第第38周周应用同余问题应用同余问题疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】已已知知2001年年的的国国庆庆节节是是星星期期一一，求求2010年年的的国国庆庆节是星期几？节是星期几？【思思路路导导航航】一一星星期期有有7天天，要要求求2010年年的的国国庆庆节节是是星星期期几几，就就要要求求从从2001年年到到2010年年的的国国庆庆节节的的总总天天数数被被7除除的的余余数数就就行行了了。但但在在甲甲酸酸中中，如如果果我我们们能能充充分分利利用用同同余余性性质质，就就可可以以不必算出这个总天数。不必算出这个总天数。2001年年国国庆庆节节到到2010年年国国庆庆节节之之间间共共有有2个个闰闰年年7个个平平年年，即即有有“3662+3657”天天。因因为为3662224（mod7），3657170（mod7），3662+365722+174+04（mod7）【练习【练习2】1、已知、已知2002年元旦是星期二。求年元旦是星期二。求2008年元旦是星期几？年元旦是星期几？2、已已知知2002年年的的“七七月月一一日日”是是星星期期一一。求求2015年年的的“十十月月一一日日”是是星期几？星期几？3、今天是星期四，再过、今天是星期四，再过365的的15次方是星期几？次方是星期几？第第38周周应用同余问题应用同余问题疯狂操练三疯狂操练三【例题【例题3】求求2001的的2003次方除以次方除以13的余数。的余数。【思思路路导导航航】2001除除以以13余余12，即即200112（mod13）。根根据据同同余余性性质质（4），可可知知2001的的2003次次方方12的的2003次次方方（mod13），但但12的的2003次次方方仍仍然然是是一一个个很很大大的的值值，要要求求它它的的余余数数比比较较困困难难。这这时时的的关关键键就就是是要要找找出出12的的几几次次方方对对模模13与与1是是同同余余的的。经经试试验验可可知知12的的平平方方1（mod13），而而200321001+1。所所以以（12的的平平方方）的的1001次次方方1的的1001（mod13），即即12的的2002次次方方1（mod13），而而12的的2003次次方方 12的的 2002次次 方方 12。 根根 据据 同同 余余 性性 质质 （ 2） 可可 知知 12的的 2002次次 方方1211212（mod13）因因为为：2001的的2003次次方方12的的2003次次方方（mod13）12的平方的平方1（mod13），而），而200321001+112的的2003次方次方12的的2002次方次方1211212（mod13）所以所以2001的的2003次方除以次方除以13的余数是的余数是12。【练习【练习3】1、求、求12的的200次方除以次方除以13的余数。的余数。2、求、求3的的92次方除以次方除以21余几。余几。3、9个个小小朋朋友友坐坐成成一一圈圈，要要把把35的的7次次方方粒粒瓜瓜子子平平均均分分给给他他们们，最最后后剩剩下下几粒？几粒？第第38周周应用同余问题应用同余问题疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】自自然然数数16520，14903，14177除除以以m的的余余数数相相同同，m最最大大是是多多少？少？【思路导航】【思路导航】自自然然数数16520，14903，14177除除以以m的的余余数数相相同同，换换句句话话说说就就是是165201490314177（modm）。根根据据同同余余性性质质（3），这这三三个个饿饿数数同同余余，那那么么它它们们的的差差就就能能被被m整整除除。要要求求m最最大大是是多多少少，就就是是求求它它们们差差的的最最大公约数是多少？大公约数是多少？因为因为1652014903=1617=37的平方的平方111652014177=2343=311711490314177=726=2311的平方的平方M是这些差的公约数，是这些差的公约数，m最大是最大是311=33。【练练习习4】1、若若2836、4582、5164、6522四四个个整整数数都都被被同同一一个个两两位位数数相除，所得的余数相同。除数是多少？相除，所得的余数相同。除数是多少？2、一一个个整整数数除除226、192、141都都得得到到相相同同的的余余数数，且且余余数数不不为为0，这这个个整数是几？整数是几？3、当当1991和和1769除除以以某某一一个个自自然然数数m时时，余余数数分分别别为为2和和1，那那么么m最最小小是多少？是多少？第第38周周应用同余问题应用同余问题疯狂操练五疯狂操练五【例题【例题5】某数用某数用6除余除余3，用，用7除余除余5，用，用8除余除余1，这个数最小是几？，这个数最小是几？【思路导航】【思路导航】我我们们可可从从较较大大的的除除数数开开始始尝尝试试。首首先先考考虑虑与与1模模8同同余余的的数数，91（mod8），但但9输输以以7余余数数不不是是5，所所以以某某数数不不是是9。171（mod8），17除除以以7的的 余余 数数 也也 不不 是是 5。 251（ mod 8） ， 25除除 以以 7的的 余余 数数 也也 不不 是是 5。331（mod8），33除除以以7的的余余数数正正好好是是5，而而且且33除除以以6余余数数正正好好是是3，所所以以这这个个数数最最小小是是33。上上面面的的方方法法实实际际是是一一种种列列举举法法，也也可可以以简简化化为为下下面的格式：面的格式：被被8除除余余1的的数数有有：9，17，25，33，41，49，57，65，73，81，89，其其中中被被7除除余余5的的数数有有：33，89，这这些些数数中中被被6除除余余3的的数数最最小小是是33。【练练习习5】1、某某数数除除以以7余余1，除除以以5余余1，除除以以12余余9。这这个个数数最最小小是是几几？2、某数除以、某数除以7余余6，除以，除以5余余1，除以，除以11余余3，求此数最小值。，求此数最小值。3、在在一一个个圆圆圈圈上上有有几几十十个个孔孔（如如图图38-1），小小明明像像玩玩跳跳棋棋那那样样从从A孔孔出出发发沿沿逆逆时时针针方方向向每每隔隔几几个个孔孔跳跳一一步步，希希望望一一圈圈以以后后能能跑跑回回A孔孔，他他先先试试着着每每隔隔2孔孔跳跳一一步步，也也只只能能跳跳到到B孔孔。最最后后他他每每隔隔6孔孔跳跳一一步步，正正好好跳跳回回A孔孔。问：这个圆圈上共有多少个孔？问：这个圆圈上共有多少个孔？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 牛牛吃吃草草问问题题是是牛牛顿顿问问题题，因因牛牛顿顿提提出出而而得得名名的的。“一一堆堆草草可可供供10头头牛牛吃吃3天天，供供6头头牛牛吃吃几几天天？”这这题题很很简简单单，用用3106=5（天天），如如果果把把“一一堆堆草草”换换成成“一一片片正正在在生生长长的的草草地地”，问问题题就就不不那那么么简简单单了了。因因为为草草每每天天走走在在生生长长，草草的的数数量量在在不不断断变变化化。这这类类工工作作总总量量不不固固定定（均均匀匀变变化化）的的问问题题就是就是“牛吃草牛吃草”问题。问题。解解答答这这类类题题的的关关键键是是要要想想办办法法从从变变化化中中找找到到不不变变的的量量。牧牧场场上上原原有有的的草草是是不不变变的的，新新长长出出的的草草虽虽然然在在变变化化，因因为为是是匀匀速速生生长长，所所以以每每天天新新长长出出的的草草是是不不变变的的。正正确确计计算算草草地地上上原原有有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。的草及每天长出的草，问题就容易解决了。【例例题题1】一一片片青青草草地地，每每天天都都匀匀速速长长出出青青草草，这这片片青青草草可可供供27头头牛牛吃吃6周或周或23头牛吃头牛吃9周，那么这片草地可供周，那么这片草地可供21头牛吃几周？头牛吃几周？【思路导航】【思路导航】这这片片草草地地上上的的草草的的数数量量每每天天都都在在变变化化，解解题题的的关关键键应应找找到到不不变变量量即即原原来来的的草草的的数数量量。因因为为总总草草量量可可以以分分成成两两部部分分：原原有有的的草草与与新新长长出出的的草草。新新长长出出的的草草虽虽然然在在变变，但但应应注注意意到到是是匀匀速速生生长长，因因而而这这片片草草地地每每天天新新长长出的草的数量也是不变的。出的草的数量也是不变的。假假设设1头头牛牛一一周周吃吃的的草草的的数数量量为为1份份，那那么么27头头牛牛6周周需需要要吃吃276=162（份份），此此时时新新草草与与原原有有的的草草均均被被吃吃完完；23头头牛牛9周周需需吃吃239=207（份份），此此时时新新草草与与原原有有的的草草也也均均被被吃吃完完。而而162份份是是原原有有的的草草的的数数量量与与6周周新新长长出出的的草草的的数数量量的的总总和和；207份份是是原原有有的的草草的的数数量量与与9周周新新长长出出的的草草的的数数量量的的总总和和，因因此此每每周周新新长长出出的的草草的的份份数数为为：（207-162）（9-6）=15（份份），所所以以，原原有有草草的的数数量量为为：162-156=72（份份）。这这片片草草地地每每周周新新长长草草15份份相相当当于于可可安安排排15头头牛牛专专吃吃新新长长出出来来的的草草，于于是是这这片片草草地地可可供供21头牛吃头牛吃72（21-15）12（周）（周）【练练习习1】1、一一片片草草地地，每每天天都都匀匀速速长长出出青青草草，如如果果可可供供24头头牛牛吃吃6天天，20头牛吃头牛吃10天，那么可供天，那么可供19头牛吃几天？头牛吃几天？2、牧牧场场上上一一片片草草地地，每每天天牧牧草草都都匀匀速速生生长长，这这片片牧牧草草可可供供10头头牛牛吃吃20天天，或者可供或者可供15头牛吃头牛吃10天，问可供天，问可供25头牛吃几天？头牛吃几天？3、牧牧场场上上的的青青草草每每天天都都在在匀匀速速生生长长，这这片片青青草草可可供供27头头牛牛吃吃6周周或或23头头牛吃牛吃9周，那么这片草地可供周，那么这片草地可供21头牛吃几周？头牛吃几周？第第39周周牛吃草问题牛吃草问题疯狂操练二疯狂操练二【例例题题2】由由于于天天气气逐逐渐渐冷冷起起来来，牧牧场场上上的的草草不不仅仅不不长长大大，反反而而以以固固定定速速度度在在减减少少。已已知知某某块块草草地地上上的的草草可可供供20头头牛牛吃吃5天天或或可可供供15头头牛牛吃吃6天天。照此计算，可供多少头牛吃照此计算，可供多少头牛吃10天？天？【思路导航】【思路导航】与与例例1不不同同的的是是，不不仅仅没没有有新新长长出出的的草草，而而且且原原有有的的草草还还在在减减少少，但但是是，我们同样可以利用与例我们同样可以利用与例1类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总量。类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总量。设设1头头牛牛1天天吃吃的的草草为为1份份，20头头牛牛5天天吃吃100份份，15头头牛牛6天天吃吃90份份，100-90=10（份份），说说明明寒寒冷冷的的天天气气使使牧牧场场1天天减减少少青青草草10份份，也也就就是是寒寒冷冷导导致致的的每每天天减减少少的的草草量量相相当当于于10头头牛牛在在吃吃草草。由由“草草地地上上的的草草可可供供20头头牛牛吃吃5天天”，再再加加上上寒寒冷冷导导致致的的每每天天减减少少的的草草量量相相当当于于10头头牛牛同同时时在在吃吃草草，所所以以原原有有草草两两有有（20+10）5=150（份份），由由15010=15知知道道，牧牧场场原原有有的的草草可可供供15头头牛牛吃吃10天天。由由寒寒冷冷导导致致的的原原因因占占去去10头头牛牛吃吃的的草草，所所以以可供可供5头牛吃头牛吃10天。天。【练练习习2】1、由由于于天天气气逐逐渐渐冷冷起起来来，牧牧场场上上的的草草每每天天以以均均匀匀的的速速度度在在减减少少。经经计计算算，牧牧场场上上的的草草可可供供20头头牛牛吃吃5天天或或可可供供16头头牛牛吃吃6天天。那那么么，可供可供11头牛吃几天？头牛吃几天？2、由由于于天天气气逐逐渐渐冷冷起起来来，牧牧场场上上的的草草以以固固定定速速度度在在减减少少。已已知知牧牧场场上上的的草草可可供供33头头牛牛吃吃5天天或或可可供供24头头牛牛吃吃6天天。照照此此计计算算，这这个个牧牧场场可可供供多多少少头牛吃头牛吃10天？天？3、经经测测算算，地地球球上上的的资资源源可可供供100亿亿人人生生活活100年年，或或可可供供80亿亿人人生生活活300年年。假假设设地地球球新新生生成成的的资资源源增增长长速速度度是是一一样样的的，那那么么，为为满满足足人人类类不不断发展的需要，地球最多能养活多少亿人？断发展的需要，地球最多能养活多少亿人？第第39周周牛吃草问题牛吃草问题疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】自自动动扶扶梯梯以以均均匀匀速速度度由由下下往往上上行行驶驶着着，两两位位性性急急的的孩孩子子要要从从扶扶梯梯上上楼楼。已已知知男男孩孩每每分分钟钟走走20级级台台阶阶，女女孩孩每每分分钟钟走走15级级台台阶阶，结结果果男男孩孩用用5分分钟钟到到达达楼楼上上，女女孩孩用用了了6分分钟钟到到达达楼楼上上。问问：该该扶扶梯梯共共有有多多少少级级台阶？台阶？【思路导航】【思路导航】与与前前两两个个题题比比较较，“总总的的草草量量”变变成成了了“扶扶梯梯的的台台阶阶总总数数”，“草草”变变成了成了“台阶台阶”，“牛牛”变成了变成了“速度速度”，也可以看成是牛吃草问题。，也可以看成是牛吃草问题。上上楼楼的的速速度度可可以以分分为为两两部部分分：一一部部分分是是男男、女女孩孩自自己己的的速速度度，另另一一部部分分是是自自动动扶扶梯梯的的速速度度。男男孩孩5分分钟钟走走了了205=100（级级），女女孩孩6分分钟钟走走了了156=90（级级），女女孩孩比比男男孩孩少少走走了了10090=10（级级），多多用用了了65=1（分分钟钟），说说明明电电梯梯1分分钟钟走走10级级。因因男男孩孩5分分钟钟到到达达楼楼上上，他他上上楼楼的的速速 度度 是是 自自 己己 的的 速速 度度 与与 扶扶 梯梯 的的 速速 度度 之之 和和 。 所所 以以 ， 扶扶 梯梯 共共 有有（20+10）5=150（级）（级）【练练习习3】1、自自动动扶扶梯梯以以均均匀匀速速度度行行驶驶着着，渺渺小小明明和和小小红红从从扶扶梯梯上上楼楼。已已知知小小明明每每分分钟钟走走25级级台台阶阶，小小红红每每分分钟钟走走20级级台台阶阶，结结果果小小明明用用5分分钟钟，小小红红用用了了6分分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？2、两两个个顽顽皮皮的的孩孩子子逆逆着着自自动动扶扶梯梯的的方方向向行行走走。在在20秒秒钟钟里里，男男孩孩可可走走27级级台台阶阶，女女孩孩可可走走24级级台台阶阶，男男孩孩走走了了2分分钟钟到到达达另另一一端端，女女孩孩走走了了3分分钟钟到到达达另另一一端端，该该扶梯共有多少级台阶？扶梯共有多少级台阶？3、两两只只蜗蜗牛牛由由于于耐耐不不住住阳阳光光的的照照射射，从从井井顶顶逃逃向向井井底底。白白天天往往下下爬爬，两两只只蜗蜗牛牛白白天天爬爬行行的的速速度度是是不不同同的的。一一只只每每天天白白天天爬爬20分分米米，另另一一只只爬爬15分分米米。黑黑夜夜里里往往下下滑滑，两两只只蜗蜗牛牛滑滑行行的的速速度度却却是是相相同同的的。结结果果一一只只蜗蜗牛牛恰恰好好用用了了5个个昼昼夜夜到到达达井井底，另一只蜗牛恰好用了底，另一只蜗牛恰好用了6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？个昼夜到达井底。那么，井深多少米？第第39周周牛吃草问题牛吃草问题疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】一一只只船船有有一一个个漏漏洞洞，水水以以均均匀匀的的速速度度进进入入船船内内，发发现现漏漏洞洞时时已已经经进进了了一一些些水水。如如果果用用12人人舀舀水水，3小小时时舀舀完完。如如果果只只有有5个个人人舀舀水水，要要10小时才能舀完。现在要想小时才能舀完。现在要想2小时舀完，需要多少人？小时舀完，需要多少人？【思路导航】【思路导航】已已漏漏进进的的水水，加加上上3小小时时漏漏进进的的水水，每每小小时时需需要要（123）人人舀舀完完，也也就就是是36人人用用1小小时时才才能能舀舀完完。已已漏漏进进的的水水，加加上上10小小时时漏漏进进的的水水，每每小小时时需需要要（510）人人舀舀完完，也也就就是是50人人用用1小小时时才才能能舀舀完完。通通过过比比较较，我我们们可可以以得得出出1小时内漏进的水及船中已漏进的水。小时内漏进的水及船中已漏进的水。1小时漏进的水，小时漏进的水，2个人用个人用1小时能舀完：小时能舀完：（510123）（103）=2已漏进的水：（已漏进的水：（122）3=30已漏进的水加上已漏进的水加上2小时漏进的水，需小时漏进的水，需34人人1小时完成：小时完成：30+22=34用用2小时来舀完这些水需要小时来舀完这些水需要17人：人：342=17（人）（人）【练练习习4】1、有有一一水水池池，池池底底有有泉泉水水不不断断涌涌出出。用用10部部抽抽水水机机20小小时时可可以以把把水水抽抽干干，用用15部部相相同同的的抽抽水水机机10小小时时可可以以把把水水抽抽干干。那那么么用用25部部这这样的抽水机多少小时可以把水抽干？样的抽水机多少小时可以把水抽干？2、有有一一个个长长方方形形的的水水箱箱，上上面面有有一一个个注注水水孔孔，底底面面有有一一个个出出水水孔孔，两两孔孔同同时时打打开开后后，如如果果每每小小时时注注水水30立立方方分分米米，7小小时时可可以以注注满满水水箱箱；如如果果每每小小时时注注水水45立立方方分分米米，注注满满水水箱箱可可少少用用2.5小小时时。那那么么每每小小时时由由底底面面小小孔孔排出多少立方分米的水（设每小时排水量相同）？排出多少立方分米的水（设每小时排水量相同）？3、有有一一水水井井，连连续续不不段段涌涌出出泉泉水水，每每分分钟钟涌涌出出的的水水量量相相等等。如如果果用用3台台抽抽水水机机来来抽抽水水，36分分钟钟可可以以抽抽完完；如如果果使使用用5台台抽抽水水机机，20分分钟钟抽抽完完。现现在在12分钟内要抽完井水，需要抽水机多少台？分钟内要抽完井水，需要抽水机多少台？第第39周周牛吃草问题牛吃草问题疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】有有三三块块草草地地，面面积积分分别别为为5，6，和和8公公顷顷。草草地地上上的的草草一一样样厚厚，而而且且长长得得一一样样快快。第第一一块块草草荐荐地地可可供供11头头牛牛吃吃10天天，第第二二块块草草地地可可供供12头牛吃头牛吃14天。问第三块草地可供天。问第三块草地可供19头牛吃多少天？头牛吃多少天？【思路导航】【思路导航】前前几几天天我我们们接接触触的的是是在在同同一一块块草草地地上上，同同一一个个水水池池中中，现现在在是是三三块块面面积积不不同同的的草草地地。为为了了解解决决这这个个问问题题，只只需需将将三三块块草草地地的的面面积积统统一一起起来来。即即5，6，8=120这这样样，第第一一块块5公公顷顷可可供供11头头牛牛吃吃10天天，1205=24，变变为为120公公顷顷草草地地可可供供1124=264（头头）牛牛吃吃10天天第第二二块块6公公顷顷可可供供12头头牛牛吃吃14天天，1206=20，变变为为120公公顷顷草草地地可可供供1220=240（头头）牛牛吃吃14天天。1208=15。第第39周周牛吃草问题牛吃草问题疯狂操练五疯狂操练五【思路导航】【思路导航】问题变成：问题变成：120公顷草地可供公顷草地可供1915=285（头）牛吃几天？（头）牛吃几天？因因为为草草地地面面积积相相同同，可可忽忽略略具具体体公公顷顷数数，原原题题可可变变为为：一一块块草草地地匀匀速速生生长长，可可供供264头头牛牛吃吃10天天或或供供240头头牛牛吃吃14天天，那那么么可可供供285头头牛牛齿齿及及天天？即每天新长出的草：（？即每天新长出的草：（2401426410）（1410）=180（份）（份）草地原有草：（草地原有草：（264180）10=840（份）（份）可供可供285头牛吃的时间：头牛吃的时间：840（285180）=8（天）（天）【练练习习5】1、某某车车站站在在检检票票前前若若干干分分钟钟就就开开始始排排队队，每每分分钟钟来来的的旅旅客客人人数数一一样样多多。从从开开始始检检票票到到等等候候检检票票的的队队伍伍消消失失，同同时时开开4个个检检票票口口需需30分分钟钟，同同时时开开5个个检检票票口口需需20分分钟钟。如如果果同同时时打打开开7个个检检票票口口，那那么么需需多多少少分钟？分钟？2、快快、中中、慢慢三三车车同同时时从从A地地出出发发，追追赶赶一一辆辆正正在在行行驶驶的的自自行行车车，三三车车的的速速度度分分别别是是嵋嵋小小时时24千千米米、20千千米米、19千千米米。快快车车追追上上自自行行车车用用了了6小小时，中车追上自行车用了时，中车追上自行车用了10小时，慢车追上自行车用多少小时？小时，慢车追上自行车用多少小时？3、一一个个牧牧场场上上的的青青草草每每天天都都匀匀速速生生长长。这这片片青青草草可可供供17头头牛牛吃吃30天天，或或供供19头头牛牛吃吃24天天。现现有有一一群群牛牛吃吃了了6天天后后卖卖掉掉4头头，余余下下的的牛牛又又吃吃了了2天天将将草吃完。这群牛原来有多少头？草吃完。这群牛原来有多少头？六年级六年级 数学数学 举一反三举一反三 当当方方程程的的个个数数比比方方程程中中未未知知数数的的个个数数少少时时，我我们们就就称称这这样样的的方方程程为为不不定定方方程程。如如5x3y9就就是是不不定定方方程程。这这种种方方程程的的解解是是不不确确定定的的。如如果果不不加加限限制制的的话话，它它的的解解有有无无数数个个；如如果果附附加加一一些些限限制制条条件件，那那么么它它的的解解的的个个数就是有限的了。如数就是有限的了。如5x3y9的解有：的解有：如如果果限限定定x、y的的解解是是小小于于5的的整整数数，那那么么解解就就只只有有x3，Y2这这一一组组了了。因因此此，研研究究不不定定方方程程主主要要就就是是分分析析讨讨论论这这些些限限制制条条件件对对解解的的影影响响。解解不不定定方方程程时时一一般般要要将将原原方方程程适适当当变变形形，把把其其中中的的一一个个未未知知数数用用另另一一个个未未知知数数来来表表示示，然然后后再再一一定定范范围围内内试试验验求求解解。解解题题时时要要注注意意观观察察未未知知数数的的特特点点，尽尽量量缩缩小小未未知知数数的的取取值值范范围围，减减少少试试验验的的次次数数。对对于于有有3个个未未知知数数的的不不定定方方程程组组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。解解答答应应用用题题时时，要要根根据据题题中中的的限限制制条条件件（有有时时是是明明显显的的，有有时时是是隐隐蔽蔽的的）取适当的值。取适当的值。【例题【例题1】求求3x+4y23的自然数解。的自然数解。【思路导航】【思路导航】【练习【练习1】1、求、求3x+2y25的自然数解。的自然数解。2、求、求4x+5y37的自然数解。的自然数解。3.求求5x3y16的最小自然数解。的最小自然数解。第第40周周不定方程不定方程疯狂操练二疯狂操练二【例题【例题2】【思路导航】【思路导航】【练习【练习2】第第40周周不定方程不定方程疯狂操练三疯狂操练三【例例题题3】一一个个商商人人将将弹弹子子放放进进两两种种盒盒子子里里，每每个个大大盒盒子子装装12个个，每每个个小小盒盒子子装装5个个，恰恰好好装装完完。如如果果弹弹子子数数为为99，盒盒子数大于子数大于9，问两种盒子各有多少个？，问两种盒子各有多少个？【思思路路导导航航】两两种种盒盒子子的的个个数数都都应应该该是是自自然然数数，所所以以要要根根据据题题意意列列出出不定方程，再求出它的自然数解。不定方程，再求出它的自然数解。设大盒子有设大盒子有x个，小盒子有个，小盒子有y个，则个，则12x+5y99（x0，y0，x+y9）y（9912y）5【练练习习3】1、某某校校6（1）班班学学生生48人人到到公公园园划划船船。如如果果每每只只小小船船可可坐坐3人人，每只大船可坐每只大船可坐5人。那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）人。那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）2、甲甲级级铅铅笔笔7角角钱钱一一枝枝，乙乙级级铅铅笔笔3角角钱钱一一枝枝，小小华华用用六六元元钱钱恰恰好好可可以以买买两种不同的铅笔共几枝？两种不同的铅笔共几枝？3、小小华华和和小小强强各各用用6角角4分分买买了了若若干干枝枝铅铅笔笔，他他们们买买来来的的铅铅笔笔中中都都是是5分分一一枝枝和和7分分一一枝枝的的两两种种，而而且且小小华华买买来来的的铅铅笔笔比比小小强强多多，小小华华比比小小强强多多买买来多少枝？来多少枝？第第40周周不定方程不定方程疯狂操练四疯狂操练四【例例题题4】买买三三种种水水果果30千千克克，共共用用去去80元元。其其中中苹苹果果每每千千克克4元元，橘橘子子每每千千克克3元元，梨梨每每千千克克2元元。问问三三种种水水果果各各买买了了多少千克？多少千克？【思路导航】【思路导航】【练练习习4】1、有有红红、黄黄、蓝蓝三三种种颜颜色色的的皮皮球球共共26只只，其其中中蓝蓝皮皮球球的的只只数数是黄皮球的是黄皮球的9倍，蓝皮球有多少只？倍，蓝皮球有多少只？2、用用10元元钱钱买买25枝枝笔笔。已已知知毛毛笔笔每每枝枝2角角，彩彩色色笔笔每每枝枝4角角，钢钢笔笔每每枝枝9角。问每种笔各买几枝？（每种都要买）角。问每种笔各买几枝？（每种都要买）3、晓晓敏敏在在文文具具店店买买了了三三种种贴贴纸纸；普普通通贴贴纸纸每每张张8分分，荧荧光光纸纸每每张张1角角，高高级级纸纸每每张张2角角。她她一一共共用用了了一一元元两两角角两两分分钱钱。那那么么，晓晓敏敏的的三三种种贴贴纸纸的的总总数最少是多少张？数最少是多少张？第第40周周不定方程不定方程疯狂操练五疯狂操练五【例例题题5】某某次次数数学学竞竞赛赛准准备备例例2枝枝铅铅笔笔作作为为奖奖品品发发给给获获得得一一、二二、三三等等奖奖的的学学生生。原原计计划划一一等等奖奖每每人人发发6枝枝，二二等等奖奖每每人人发发3枝枝，三三等等奖奖每每人人发发2枝枝。后后又又改改为为一一等等奖奖每每人人发发9枝枝，二二等等奖奖每每人人发发4枝枝，三三等等奖奖每每人人发发1枝。问：一、二、三等奖的学生各有几人？枝。问：一、二、三等奖的学生各有几人？【思路导航】【思路导航】【练练习习5】1、某某人人打打靶靶，8发发打打了了53环环，全全部部命命中中在在10环环、7环环和和5环环。他命中他命中10环、环、7环和环和5环各几发？环各几发？2、篮篮子子里里有有煮煮蛋蛋、茶茶叶叶蛋蛋和和皮皮蛋蛋30个个，价价值值24元元。已已知知煮煮蛋蛋每每个个0.60元元，茶叶蛋每个茶叶蛋每个1元，皮蛋每个元，皮蛋每个1.20元。问篮子里最多有几个皮蛋？元。问篮子里最多有几个皮蛋？