第二节3几种特殊类型函数的积分1有理函数的积分2三角函数有理式的积分3简单无理函数的积分4小结有理函数的定义：有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之. .一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是这有理函数是真分式真分式；这有理函数是这有理函数是假分式假分式； 利用多项式除法利用多项式除法, 假分式可以化成一个假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和.例例难点难点 将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：特殊地：分解后为分解后为（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中则分解后为则分解后为特殊地：特殊地：分解后为分解后为真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法例例1 1代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入例例2 2例例3 3整理得整理得例例4 4 求积分求积分 解解例例5 5 求积分求积分 解解例例6 6 求积分求积分解解令令说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：现三类情况：多项式；多项式；讨论积分讨论积分令令则则记记这三类积分均可积出这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数. .三角有理式的定义：三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为二、三角函数有理式的积分令令（万能置换公式）（万能置换公式）例例7 7 求积分求积分解解由万能置换公式由万能置换公式例例8 8 求积分求积分解（一）解（一）解（二）解（二）修改万能置换公式修改万能置换公式, 令令解（三）解（三） 可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式.结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法, 便知万能置换不一便知万能置换不一定是最佳方法定是最佳方法, 故三角有理式的计算中故三角有理式的计算中先考虑其它手段先考虑其它手段, 不得已才用万能置换不得已才用万能置换.例例9 9 求积分求积分解解讨论类型讨论类型解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号. .例例1010 求积分求积分解解 令令三、简单无理函数的积分例例1111 求积分求积分解解 令令说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时, 取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.例例1212 求积分求积分解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式简单无理式的积分简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）注意：必须化成真分式）三角有理式的积分三角有理式的积分.（万能置换公式）（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）（注意：万能公式并不万能）四、小结思考题思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？将分式分解成部分分式之和时应注意什么？思考题解答思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式分解后的部分分式必须是最简分式.练习题练习题练习题答案练习题答案（1）常用积分公式汇集成的表称为）常用积分公式汇集成的表称为积分表积分表.（2）积分表是按照被积函数的类型来排列的）积分表是按照被积函数的类型来排列的.（4）积分表见）积分表见高等数学高等数学（四版）上册（四版）上册（同济大学数学教研室主编）第（同济大学数学教研室主编）第452页页（3）求积分时，可根据被积函数的类型直接）求积分时，可根据被积函数的类型直接 或经过简单变形后，查得所需结果或经过简单变形后，查得所需结果.一、关于积分表的说明例例1 1 求求被积函数中含有被积函数中含有在积分表（一）中查得公式（在积分表（一）中查得公式（7）现在现在于是于是二、例题例例2 2 求求被积函数中含有三角函数被积函数中含有三角函数在积分表（十一）中查得此类公式有两个在积分表（十一）中查得此类公式有两个选公式（选公式（105）将将 代入得代入得例例3 3 求求表中不能直接查出表中不能直接查出, 需先进行需先进行变量代换变量代换.令令被积函数中含有被积函数中含有在积分表（六）中查得公式（在积分表（六）中查得公式（37）将将 代入得代入得例例4 4 求求在积分表（十一）中查得公式（在积分表（十一）中查得公式（95）利用此公式可使正弦的幂次减少两次利用此公式可使正弦的幂次减少两次, 重复使重复使用可使正弦的幂次继续减少用可使正弦的幂次继续减少, 直到求出结果直到求出结果. 这个公式叫这个公式叫递推公式递推公式.现在现在于是于是对积分对积分 使用公式（使用公式（93）说明说明初等函数在其定义域内原函数一定存在，初等函数在其定义域内原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数但原函数不一定都是初等函数.例例练练 习习 题题练习题答案练习题答案