第三章第三章 几何元素间几何元素间 的相对位置的相对位置3.1 3.1 几何元素间的平行问题几何元素间的平行问题3.2 3.2 几何元素间的相交问题几何元素间的相交问题3.3 3.3 几何元素间的垂直问题几何元素间的垂直问题3.4 3.4 相对位置综合问题相对位置综合问题13.3. 几何元素间几何元素间的的 相交问题相交问题21.1.两直线相交两直线相交相交条件相交条件：两直线各同名投影均相交，且交点：两直线各同名投影均相交，且交点符合点的投影规律，即两直线只有一个公符合点的投影规律，即两直线只有一个公有点。有点。一一. .直线与直线相交直线与直线相交3例：例：判断两直线是否相交。判断两直线是否相交。abcdabcdX O X O abcd不相交不相交相交相交kkabcdkk1k24lkabcdab c d相叉条件：两条直线没有公有点，也不平行。相叉条件：两条直线没有公有点，也不平行。其投影的交点为两直线的重影点。其投影的交点为两直线的重影点。不相交，也不平行不相交，也不平行交叉交叉X O k1k2l1l2(k1)k2(l1)l22.2.交叉交叉5acbab c X O DEV: DEV: d d e e k k 判断可见性判断可见性( (利用重点利用重点) )， 交点是交点是可见点。可见点。d edekk1212 33( ) 面上找点面上找点X O dedeacbabck k1 212( )H H: : 水平投影的交点水平投影的交点 即交点即交点 线上找点线上找点 判断可见性判断可见性例：例：例：例：直线与平面相交直线与平面相交二二. . 直线与平面、平面与平面相交直线与平面、平面与平面相交1. 1. 有一个几何元素垂直于投影面的情况有一个几何元素垂直于投影面的情况相交的核相交的核心问题是心问题是求求公有点公有点6平面与平面相交平面与平面相交X O klklabcabc XOacbacb 小结：小结：例：例：例：例： 从有积聚性的投影出发从有积聚性的投影出发 利用利用面上找点或线上找点的方法面上找点或线上找点的方法 在需判断可见性的投影上找重影点，来判断可见性在需判断可见性的投影上找重影点，来判断可见性7直线与平面相交直线与平面相交2. 2. 一般情况一般情况PEFMNKABCacbab c X O effePHmnmnkk112 332( )( )例：例：分析：分析： 交点交点K K为为与与EFEF的公有点的公有点 含含 EFEF作作 P PHH 与与 P P 相交于直线相交于直线 MNMN MN MN与与 EFEF共面于共面于P,P,交于交于K K K K既在既在EFEF上，又在上，又在上，上， 交点交点K K即为即为与与EFEF的交点。的交点。解题步骤：解题步骤： 含已知线含已知线 EFEF作辅助面作辅助面 P P（垂直面）（垂直面） 求求 P P与已知面的交线与已知面的交线 MNMN 求求MNMN与与EFEF的交点的交点 K K ，即所求，即所求 利用重影点判断可见性利用重影点判断可见性K8平面与平面相交平面与平面相交XOacbacbdefdefPV1212kkQH3434ll55( )66( )例：例：求求ABCABC与与DEFDEF的交线。的交线。基本方法：线面求交基本方法：线面求交解题步骤：解题步骤： 利用辅助面法求利用辅助面法求ABAB与与DEFDEF的交点的交点K K 利用辅助面法求利用辅助面法求EFEF与与ABCABC的交点的交点L L 连接连接KLKL，即，即ABCABC与与DEFDEF的交线的交线 利用重影点判断可见性利用重影点判断可见性 完成完成ABCABC与与DEFDEF各边的轮廓各边的轮廓重点：重点： 利用辅助面法求交线利用辅助面法求交线 利用重影点判断可见性利用重影点判断可见性注意：注意： 所做的辅助面为垂直面所做的辅助面为垂直面 辅助面所包含的直线是任选的辅助面所包含的直线是任选的 交线在两平面图形的公有区内交线在两平面图形的公有区内 若所做的辅助面与交线平行，若所做的辅助面与交线平行， 交点在无穷远处，应重选辅助面交点在无穷远处，应重选辅助面9X O PV1212kk3434ll576QVdefdefgg7例：例：求求ABCABC与与DEFGDEFG的交线的交线。acbacb 取取 Q QP P，即，即 QvQvPv Pv 辅助面法：辅助面法： 取水平面取水平面 P P则：则：，C C ，从而简化作图，从而简化作图KLKL即为所求即为所求10本节要点本节要点一相交问题的核心求公有点一相交问题的核心求公有点二辅助平面法求交点二辅助平面法求交点三利用重影点判断可见性三利用重影点判断可见性11