3.9 理想光具组的基点和基面理想光具组的基点和基面1. 共轴球面系统的基点共轴球面系统的基点2. 基点的性质基点的性质3. 高斯公式高斯公式4. 两个子系统组成的共两个子系统组成的共 轴球面系统的基点轴球面系统的基点共轴光具组共轴光具组子子系系统统1子子系系统统m子子系系统统N物物像像y1 yyN y成像公式的应用成像公式的应用-逐次成像法逐次成像法 能否找到等效的能否找到等效的一个一个一个一个光具光具组代替整个光学系统？组代替整个光学系统？逐次成像 分析共轴球面系统的成像问题分析共轴球面系统的成像问题,如果每次都对各个球面用逐次如果每次都对各个球面用逐次成像法成像法,显然是不方便的显然是不方便的; 我们更关注一个物体的最终成像位置我们更关注一个物体的最终成像位置,而不关心中间像而不关心中间像;高斯理论（高斯理论（1841） 能否从一个最简单光具能否从一个最简单光具组开始考虑组开始考虑基点基点基点基点、基线基线基线基线和和基面基面基面基面？理想光具组物方任意点与像方理想光具组物方任意点与像方共轭共轭共轭共轭抽象的抽象的点点点点、线线线线和和面面面面几何理论几何理论 光光通通过过共共轴轴球球面面系系统统的的像像，决决定定于于光光依依次次在在每每个个球球面面上上折折射射和和反反射射的的结结果果前前一一折折射射面面所所成成的的像像，为为相相邻邻的的后后面面一一折折射射面面的的物物在在近近轴轴区区域域，单单心心光光束束经经系系统统后后，仍仍保保持持光光束束的的单单心心性性即即共共轴轴球球面面系系统统对对近近轴轴的的物物能能成成完完善善的的像像 共共轴轴球球面面系系统统有有几几个个特特殊殊的的点点，用用来来表表征征系系统统的的成成像像性质这几个特殊的点，叫作共轴球面系统的基点性质这几个特殊的点，叫作共轴球面系统的基点 若若知知基基点点的的位位置置，可可以以不不问问界界面面的的位位置置，曲曲率率半半径径，及及界界面面之之间间的的折折射射率率，可可把把复复杂杂的的系系统统当当作作一一个个整整体体，用用高高斯公式讨论共轭点，放大率等斯公式讨论共轭点，放大率等O1O2PP1/P/-s-ds1/s/n=1nn=1透镜两次经球面折射成像透镜两次经球面折射成像 . （1）第一次成像第一次成像, 以以O1为原点为原点, 向右为正向右为正, 由单球面折射成像公式得由单球面折射成像公式得厚透镜成像厚透镜成像第二次成像第二次成像, 以以O2为原点为原点, 向右为正向右为正 （2）简化（）和（）得简化（）和（）得简化上式得简化上式得组合系统的焦距：组合系统的焦距：d 0薄透镜焦距公式薄透镜焦距公式厚透镜的高斯公式厚透镜的高斯公式厚透镜的牛顿公式厚透镜的牛顿公式见例题见例题.共轴系统共轴系统FOO/ OO/：系统的主光轴（：系统的主光轴（principal optical axis） 像方焦点像方焦点(第二主焦点第二主焦点)：平行于光轴的入射光线的像点。：平行于光轴的入射光线的像点。 F 物方焦点物方焦点(第一主焦点第一主焦点) ：平行于光轴的出射光线对应的物点。：平行于光轴的出射光线对应的物点。 1 共轴球面系统的基点（共轴球面系统的基点（cardinal points） A 焦点（焦点（focal points）和焦面）和焦面F3CF2F1近轴近似近轴近似 焦平面焦平面焦曲面焦曲面的形成的形成B 主点（主点（principal points）和主平面（和主平面（principal planes） 主点主点定义定义: =+1 的一对共轭平面与光轴的交点的一对共轭平面与光轴的交点物方主点物方主点(第一主点第一主点)像方主点像方主点(第二主点第二主点)相应的共轭平面相应的共轭平面主平面主平面共轴系统共轴系统FFOO主主点点的的形形成成 111) 入射光线入射光线1的出射光线的出射光线1通过通过F；HHRR4 ) 两入射光线的延长线的交点两入射光线的延长线的交点 R 与两出射光线的延长线交点与两出射光线的延长线交点 R互为共轭互为共轭, 并且放大率并且放大率 =+1. hh3) 选取光线选取光线2的倾角使出射光线的倾角使出射光线2与光线与光线1有相同的高度；有相同的高度； 2 2) 入射光线入射光线2的出射光线的出射光线2平行于光轴；平行于光轴； 222主点的作用：主点的作用： H 到到 F的距离的距离 - 第一主焦距第一主焦距 f； H到到 F的距离的距离-第二主焦距第二主焦距 f ； 分别作为物空间和像空间的基准点。分别作为物空间和像空间的基准点。图示：物图示：物PP1如何成像？如何成像？ PP1FFHH-ff光学系统的作用光学系统的作用等价等价于入射光线经过两主平面的于入射光线经过两主平面的两次折射两次折射P1PC节点（节点（nodal points）和节平面（和节平面（nodal planes） 节点节点-角放大率角放大率 的两共轭光线与光轴的交点。的两共轭光线与光轴的交点。节平面节平面-通过节点并垂直于光轴的平面通过节点并垂直于光轴的平面 HHOO-u-uNN图示：节点图示：节点N和和N的定义的定义 节点的解析位置：节点的解析位置： HHOO-u-uNN节点节点N和和N是一对物像共轭点是一对物像共轭点, 和和N相对于相对于H的位置的位置:同理同理N与与N分别在分别在H和和H的同一侧距离相同的位置的同一侧距离相同的位置 当成像系统的两边是相同介质时，可以证明当成像系统的两边是相同介质时，可以证明 D. 基点的一些特性基点的一些特性 焦点焦点 两焦点不共轭两焦点不共轭 焦距从主点量起焦距从主点量起, 分别为分别为 f和和f 节点节点和和节点和主点重合节点和主点重合 两节点共轭两节点共轭 主点主点 两主点共轭两主点共轭 两主平面上的任一对等高点共轭两主平面上的任一对等高点共轭2. 基点的性质证明基点的性质证明且有且有入入射射到到H 面面上上的的光光线线，由由H 面面上上的的等等高高点点出出射射；过过 H 、H 的近轴光线满足折射定律的近轴光线满足折射定律(1)平平行行于于光光轴轴的的入入射射平平行行光光，至至H 面面开开始始拐拐向向 点点；经经过过的的入入射射光光线线 ，至至面面开开始始拐拐折折，平平行行于于光光轴射出系统轴射出系统(2)过过 、 的一对共轭光线必定平行的一对共轭光线必定平行.(3)物物方方焦焦距距等等于于像像方方焦焦节节距距，像像方方焦焦距距等等于于物物方方焦焦节节距距, 即即(4) 证明证明 证明证明 证明证明六个基点中，只有四个是独立的但四个中必须至少有一六个基点中，只有四个是独立的但四个中必须至少有一个是焦点个是焦点. 共轴球面系统的物距共轴球面系统的物距像距像距物方焦距物方焦距像方焦距像方焦距物物方方主主平平面面像像方方主主平平面面像像方方焦焦平平面面物物方方焦焦平平面面高斯公式高斯公式对共轴球面系统，高斯公式仍适用对共轴球面系统，高斯公式仍适用.已知共轴球面系统的焦点、主点、及节点，对高为已知共轴球面系统的焦点、主点、及节点，对高为h的物的物由几何作图法求其像由几何作图法求其像. 证明高斯公式证明高斯公式:由几何关系，在相似三由几何关系，在相似三角形角形 PMR和和 FHR中中,在相似三角形在相似三角形和和中(1),(2)两式两边相加，则有两式两边相加，则有(1)(2)此此式式与与单单球球面面折折射射系系统统的的成成像像公公式式有有相相同同的的形形式式，但但必必须须注注意意，这这个个公公式式所所用用的的原原点点，不不是是系系统统哪哪一一个个折折射射面面的的顶顶点，而是组合系统的两个主点点，而是组合系统的两个主点.若共轴球面系统在空气中，若共轴球面系统在空气中， 则则上式可改写为上式可改写为(4)(3)已知两个子系统的基点已知两个子系统的基点:(1) 用作图法求合成系统的基点用作图法求合成系统的基点:4. 两个子系统组成的共轴球面系统的基点两个子系统组成的共轴球面系统的基点(例例:两个会聚系统组成一个发散系统两个会聚系统组成一个发散系统)可正可负可正可负;称为光学间隔可正可负称为光学间隔可正可负,可为零可为零. 0为发散系统；为发散系统； 0为会聚系统；为会聚系统； 为无焦系统为无焦系统.(2)解析法求基点：解析法求基点：在上图中，由几何关系得在上图中，由几何关系得由于由于于是于是（5）因因 和和 关于子系统关于子系统共轭共轭, 按高斯公式应有按高斯公式应有:解（解（5)、(6)和和(7)得合成系统像空间和物空间的焦距得合成系统像空间和物空间的焦距（6）（8）按牛顿公式按牛顿公式 应有应有（7）或或(9)有了子系统的基点，可以由上面四式确定合成系统基点的位置有了子系统的基点，可以由上面四式确定合成系统基点的位置.从图上可知从图上可知 将上式中各量及将上式中各量及代入代入,得得(10)同理得同理得(11) 对对于于由由两两个个以以上上的的共共轴轴球球面面系系统统组组成成的的复复杂杂系系统统，可可以以将将每每两两个个相相邻邻的的系系统统组组合合成成一一个个中中间间系系统统，利利用用上上面面的的公公式式，求求各各个个中中间间系系统统的的焦焦点点和和主主点点. 若若得得到到的的中中间间系系统统多多于于两两个个，则则须须将将每每两两个个相相邻邻的的系系统统再再进进行行组组合合，并并且且求求出出每每一一个个中中间间系系统统的的焦焦点点和和主主点点，依依此此类类推推，便便可可以以获获得得任任意意复复杂杂系系统统的的焦点和主点焦点和主点. 有了合成系统的焦点和主点，可以不考虑系统的结构，有了合成系统的焦点和主点，可以不考虑系统的结构，而直接用高斯公式讨论物空间和像空间的近轴关系而直接用高斯公式讨论物空间和像空间的近轴关系.(3)实验法求基点实验法求基点（a）实验法求焦点实验法求焦点 平行光从系统一边平行光轴入射，出射光的交点即为焦平行光从系统一边平行光轴入射，出射光的交点即为焦点点. 同样方法，使平行光从另一边平行光轴入射，出射光的同样方法，使平行光从另一边平行光轴入射，出射光的交点即为系统的另一个焦点交点即为系统的另一个焦点. （b）实验法求节点实验法求节点 因因为为系系统统光光轴轴上上节节点点是是 的的一一对对共共轭轭点点，当当 时时有有 ，所所以以在在此此情情况况下下，主主点点与与节节点点重重合合. 利利用用两两者者重重合合的的性性质质，并并根根据据系系统统绕绕节节点点作作不不大大的的转转动动时时，平平行行光光所所生生的的像像不不发发生生位位移移的的特特点点，可可确确定定主主点点和和节节点点的的位位置置，从从而而确定任意复杂系统的焦距确定任意复杂系统的焦距 .确定节点，主点实验光路图确定节点，主点实验光路图利用主点和节点重合的性质，并根据系统绕节点作不大的转利用主点和节点重合的性质，并根据系统绕节点作不大的转动时动时,平行光所成的像不发生位移的特点，可确定主点的位置，平行光所成的像不发生位移的特点，可确定主点的位置，从而能确定任意复杂系统的焦距从而能确定任意复杂系统的焦距.单球面折射单球面折射系统的基点系统的基点薄透镜的基点薄透镜的基点一些基本系一些基本系一些基本系一些基本系统的基点统的基点统的基点统的基点: :证明证明 为物，作图求其像为物，作图求其像从成像光线上取从成像光线上取四边形四边形为平行四边形为平行四边形，交光轴于交光轴于证：证：交光轴于交光轴于因此有因此有为过节点的一对共轭光线为过节点的一对共轭光线和和必定是节点必定是节点. 返回返回证明证明 由几何关系，有由几何关系，有光线光线 及其共轭光线及其共轭光线 分别过节点分别过节点证：证：过焦点过焦点 作光线作光线 平行与平行与 , 其共轭光其共轭光线线 与与 必交像方焦平面上必交像方焦平面上 点点.已知光轴上六个基点已知光轴上六个基点, 返回返回所以所以即物方焦距等于像方焦节距，像方焦距等于物方即物方焦距等于像方焦节距，像方焦距等于物方焦节距焦节距注：注： 对于共轴球面系统，若其物方折射律与像方折对于共轴球面系统，若其物方折射律与像方折射律相同射律相同,即即 n=n ,则有则有HF=-H F 此时此时N与与H重合，重合，N 与与H 重合重合 返回返回证明过证明过H和和H 的一对共轭光线符合折射定律的一对共轭光线符合折射定律.证明证明:H、 H 点是点是放大率等于放大率等于+1的一对共轭点，的一对共轭点，即即又因又因故有故有此即为此即为折射定律折射定律. 返回返回例、已知物体例、已知物体AB求其成像位置。求其成像位置。 概念简单、直观形象但不够精确 HNFONFHOAB112233ABB. 解析法（公式法）解析法（公式法） BAFFHH-ffAB-x-sxsQRQROO相似三角形相似三角形和和同理同理和和 图解法 -概念简单、直观形象但不够精确 HNFONFHOAB112233AB 解析法（公式法）-精确BAFFHH-ffAB-x-sxsQRQROO3 厚透镜的基点和基面厚透镜的基点和基面共轴系统成像问题的求解方法：共轴系统成像问题的求解方法： 1）逐次成像法；）逐次成像法； 2）基点法。）基点法。 多球面系统中，逐次成像法不实用多球面系统中，逐次成像法不实用 如果先确定出系统的基点，则成像问题简化。如果先确定出系统的基点，则成像问题简化。 两种方法都可行。但在一个固定的光学系统中，对物体两种方法都可行。但在一个固定的光学系统中，对物体 的每个位置每次要用逐次成像法，计算烦琐、工作量大的每个位置每次要用逐次成像法，计算烦琐、工作量大1) 焦点及焦距 第一主焦距（物方主焦距）：（以O点为参照点）第二主焦距 (像方主焦距）: -ffrnnFFOCA. 单球面折射成像系统的基点的确定 2）主点 - 放大率 = + 1的一对 共轭点放大率 =+1 的一对共轭点（在光轴上）主点相对于焦点的位置 xH 和 xH 和和nnFFOrC-ff 和H H 主点H和H 重合于球面顶点O点 主点主点H和和H与与O点重合点重合H相对于相对于F的坐标：的坐标：-f F相对于相对于O的坐标：的坐标：f F相对于相对于O的坐标：的坐标：fH相对于相对于F的坐标：的坐标：-f3）节点 角放大率=+1的 一对共轭点角放大率 = +1 的一对共轭点（在光轴上）节点相对于焦点的位置 xN 和 xN 和N点相对于H点的位置： 此外N点相对于H点的位置： 节点N和N 重合于球面的球心C点 OH HrCnn节点节点 N 和和 N 重合于球面的球心重合于球面的球心 C 点点 N N入射光线 节点N和N 重合于球面球心C点 出射光线B. 由两个子系统构成的组合系统的基点由两个子系统构成的组合系统的基点 两个子系统构成最简单的组合系统。 例如一只透镜就是一个双球面构成的成像系统。 这种组合系统研究清楚了，其规律可以推广到一般 的共轴系统。 子系统1子系统2子系统3组合新的子系统新组合 系统系统 I的主点、焦点、节点及焦距的主点、焦点、节点及焦距 系统系统 II的主点、焦点、节点及焦距的主点、焦点、节点及焦距 F1到到F2的距离：的距离：D（光学间隔）光学间隔） H1到到H2的距离：的距离：d 给定的结构参数：OOF1H1H1F1F2H2H2F2dD子系统子系统 I子系统子系统 II各系统的参数：各系统的参数：两系统间的参数：两系统间的参数：O OO OF F1 1H H1 1H H1 1F F1 1F F2 2H H2 2H H2 2d dD DI II II I系统第二主点系统第二主点H H和第二主焦点和第二主焦点F F的图解确定的图解确定 F FH HF F2 2II I系统第一主点系统第一主点H和第一主焦点和第一主焦点F的图解确定的图解确定 OOF2H2H2F2F1H1H1dD DFHF1F1H1H1F1F2H2dD DII I系统第二主焦距系统第二主焦距 f 的图解确定的图解确定FHF2R1R2R2f1-f2H2f2-f = ?x2Rh 1）系统第二主焦距系统第二主焦距 f 的确定的确定： R1F1H1H1F1F2H2dD DII IFHF2R1R2R2R1f1-f2H2f2-f = ?x2Rh设法消去设法消去x2 子系统子系统II中中F1与与F共轭共轭: F1相对于相对于F2的坐标的坐标- F相对于相对于F2的坐标为的坐标为 x2F1H1H1F1F2H2dD DII IFHF2R1R2R2R1f1-f2H2f2x2RhNewton 公式: -f 2）系统第一主焦距系统第一主焦距f 的确定的确定：II IF2F2F1dD DFF1f1H1H1-f2-f1f-x1H2H2R1R1R2R2 HhRII IF2F2F1dD DFF1f1H1H1-f2-f1f-x1H2H2R1R1R2R2HhR子系统I中F与F2共轭 分别以第一主点分别以第一主点H和第二主点和第二主点 H为基准的焦距公式：为基准的焦距公式： 和因此必须要确定因此必须要确定 H 和和 H 的解析位置的解析位置F1H1H1F1F2H2dD DII IFHF2f1-f2H2f2x2-f HF-x1fF1H1H1F1F2H2dD DII IFHF2f1-f2H2f2x2-f HF -x1f3）确定）确定H和和 H的解析位置的解析位置 -f1H 相对于相对于H1的坐标的坐标 LH H： -LH1 HLH2 H已知条件已知条件:1 H 相对于H2 的坐标 LH2 H： F1H1H1F1F2H2dDII IFHF2f1-f2H2f2x2-f HF -x1f-f1已知条件:LH2 H-LH1 HF1H1H1F1F2H2dD DII IFHF2f1-f2H2f2x2-f HF -x1f-f1LH H-LH H和和主点H, H的位置:从H, H量出的焦距:12F1H1H1F1F2H2dD DII IHF2f1-f2H2f2H-f1LH H-LH H和和主点H, H的位置:F-f Ff从H, H量出的焦距:12C. 第一主焦距与第二主焦距的比值第一主焦距与第二主焦距的比值 单球面折射系统中的焦距比单球面折射系统中的焦距比 nnnLnn 两个单球面构成的组合系统两个单球面构成的组合系统:(如透镜）如透镜） nnn”II I 物像空间折射率分别为物像空间折射率分别为 n, n 的共轴系统：的共轴系统： 物像空间的折射率相同时：物像空间的折射率相同时：并且节点与主点和重合并且节点与主点和重合 例例1双凸透镜的厚度为双凸透镜的厚度为 d，前后表面曲率半径分别前后表面曲率半径分别为为r1和和r2折射率为折射率为 n，推导其在空气中的焦距。推导其在空气中的焦距。 例例2、置于空气中的两共轴透镜的焦距分别为、置于空气中的两共轴透镜的焦距分别为 f1、 f1和和 f2、 f2 ，主点间主点间隔为隔为d，证明组合系统的焦距为证明组合系统的焦距为 dO1O2nC1C2r1-r2H1H1H2H2ddO1O2nC1C2r1-r2解解1： 球球面面1 ： 球球面面2 ： 组合系统的焦距组合系统的焦距：d 0薄透镜焦距公式薄透镜焦距公式解解2： H1H1H2H2d已知：已知：并且：并且：和和两接触的薄透镜两接触的薄透镜 d 0： 例例3、求厚透镜的基点。厚透镜的参数为：、求厚透镜的基点。厚透镜的参数为： r1=15cm , r2=-10cm , d=3.0cm, n = 1.5。dO1O2nC1C2r1-r2例例4、图解确定双凸透镜的基点。透镜的参数为：、图解确定双凸透镜的基点。透镜的参数为：r1=3.0cm , r2=-5.0cm , d=2.0cm, n = 1.5。 O1O2nC1C2r1-r2d解解3： r1=15cm , r2=-10cm , d=3.0cm, n = 1.5O1面：面：O2面：面：dO1O2nC1C2r1-r2已知：已知：和和dO1O2nC1C2r1-r2已求出：已求出：和和H HH2、H2H1、H1解解4： r1=3.0cm , r2=-5.0cm , d=2.0cm, n = 1.5从已知参数可求出：从已知参数可求出：O1O2nC1C2r1-r2d图解确定H和F: C1C22F1F2F1 F261510953H?FC1C22F1F2F1 F261510953FH图解确定 H 和 F : FH?double convex double concave HHHHHHHHHHHHmeniscus convex meniscus concave planar convex planar concave 一些厚透镜的主点一些厚透镜的主点