概率论与数理统计复习概率论与数理统计复习随机事件及其概率随机事件及其概率一、主要内容：一、主要内容：1 1、随机事件的定义、关系及其运算、随机事件的定义、关系及其运算2 2、随机事件概率的定义（统计定义、古典概型定义）、随机事件概率的定义（统计定义、古典概型定义）3 3、随机事件概率的计算、随机事件概率的计算 注意利用：注意利用：(1)(1)、概率的加法公式、概率的加法公式 (2)(2)、概率的性质、概率的性质(3)(3)、条件概率公式、条件概率公式 (4)(4)、乘法公式、乘法公式(5)(5)、全概率公式、全概率公式 (6)(6)、贝叶斯公式、贝叶斯公式 (7)(7)、相互独立事件的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式二二. . 应记忆的公式应记忆的公式1.1.德莫根律德莫根律 2.2.加法公式加法公式3.3.条件概率公式条件概率公式4.4.乘法公式乘法公式5.5.全概率公式全概率公式6.6.贝叶斯公式贝叶斯公式 7.7.相互独立事件的概率计算公式相互独立事件的概率计算公式三三. . 例题分析例题分析解解例例1 1 将将3 3个球随机地放入个球随机地放入4 4个盒子中，求任意一个个盒子中，求任意一个盒子有盒子有3 3个球的概率个球的概率. .例例2 2解解例例3 3 有有3 3只盒子，甲盒中装有只盒子，甲盒中装有2 2支红钢笔，支红钢笔，4 4支蓝钢支蓝钢笔，乙盒中装有笔，乙盒中装有4 4支红钢笔，支红钢笔，2 2支蓝钢笔，丙盒中装支蓝钢笔，丙盒中装有有3 3支红钢笔，支红钢笔，3 3支蓝钢笔，今从中任取一支，设到支蓝钢笔，今从中任取一支，设到3 3只盒中取物的机会相同，求取出的钢笔是红钢笔只盒中取物的机会相同，求取出的钢笔是红钢笔的概率。的概率。 解解 设设 A 表示取到的一支钢笔为红色笔，表示取到的一支钢笔为红色笔，Bi 分别分别表示在甲、乙、丙盒中取钢笔，表示在甲、乙、丙盒中取钢笔，i=1=1，2 2，3,3,则则 P( (Bi）=1/3=1/3，则则由全概率公式由全概率公式 社会调查把居民按收入分为高、中、低三类调社会调查把居民按收入分为高、中、低三类调查结果是这三类居民分别占总户数的查结果是这三类居民分别占总户数的10%10%，60%60%，30%30%，而银行存款在一万元以上的户数在这三类居民，而银行存款在一万元以上的户数在这三类居民中分别为中分别为100 %100 %，60%60%，5%5% 1. 1. 求存款在一万元以上的户数在全体居民中的比率。求存款在一万元以上的户数在全体居民中的比率。 2. 2. 若若已已知知某某户户的的存存款款在在一一万万元元以以上上，求求该该户户属属中中等等收入家庭的概率收入家庭的概率. .例例4 41.1.由全概率公式知由全概率公式知2. 2. 由贝叶斯公式知由贝叶斯公式知 设设 Ai 分别表示分别表示“高、中、低收入家庭高、中、低收入家庭”的事件的事件(i=1，2，3); B 表示表示“存款在一万元以上的户数存款在一万元以上的户数”解解随机变量及其分布随机变量及其分布 一一 、主要内容、主要内容( (一一) ) 一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布 1. 1. 随机变量的分布函数及其性质随机变量的分布函数及其性质 2. 2. 离散型随机变量及其分布函数离散型随机变量及其分布函数 3. 3. 常见离散型随机变量及其分布律常见离散型随机变量及其分布律 (1)(1)两点分布两点分布 (2)(2)二项分布二项分布 (3)(3)泊松分布泊松分布 4. 4. 连续型随机变量及其分布函数连续型随机变量及其分布函数 5.5.常见连续型随机变量及其分布密度常见连续型随机变量及其分布密度 (1)(1)均匀分布均匀分布 (2)(2)正态分布正态分布 (3)(3)指数分布指数分布 ( (二二) ) 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布 1. 1. 二维随机变量的定义二维随机变量的定义 2. 2. 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数 3. 3. 二维离散型随机变量及其分布律二维离散型随机变量及其分布律 4. 4. 二维连续型随机变量的分布密度二维连续型随机变量的分布密度 5. 5. 边缘分布边缘分布, , 6. 6. 随机变量的独立性随机变量的独立性 7.7.随机变量简单函数的分布随机变量简单函数的分布1)1)一维随机变量函数的分布一维随机变量函数的分布2)2)二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布二、应记忆的公式二、应记忆的公式(1)(1) (2)(2)计算公式计算公式: : 离散离散型型 连续型连续型(5)(5)正态分布概率的计算公式正态分布概率的计算公式(4)(4)常见随机变量的分布律或分布密度常见随机变量的分布律或分布密度三、例题分析三、例题分析例例1 1 从从一一批批产产品品包包括括10件件正正品品, 3件件次次品品中中重重复复抽抽取取,每每次次取取1件件直直到到取取得得正正品品为为止止，若若每每件件产产品品被被抽抽到的机会相同到的机会相同, 求抽取次数求抽取次数 X 的分布律的分布律. P(X=1)=10/13, P(X=2)=(3/13) *(10/12)=5/26P(X=3)=(3/13)*(2/12)*(10/11)=5/143P(X=4)= (3/13)*(2/12)*(1/11)*(10/10)=1/286故故 X 的分布律为的分布律为 解解X1234P10/135/265/1431/286例例2 2解解 设随机变量设随机变量 X 的分布函数为的分布函数为求求:（1）A 的值；的值； （2）X 落在（落在（0.2, 0.6）内的概率；）内的概率； （3）X 的密度函数的密度函数 f（x）.例例3 3解解 设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为X-2-1013P1/51/61/51/1511/30求求 Y=X 2 的分布律的分布律. 由由 X 的分布律有的分布律有 Y 取值为取值为 4,1,0,9PY=0=PX=0=1/5PY=1=PX= -1+PX=1=1/6+1/15=7/30PY=4=PX=2+PX= -2=0+1/5=1/5PY=9=PX=3+PX= -3=11/30+0=11/30Y0149P 15730151130故故 Y 的分布律为的分布律为例例4设随机变量设随机变量 X 的分布密度为的分布密度为试求试求X 的分布函数的分布函数 F(x).解解 当当 x 0 时时，例例4 4解解查表得查表得 c/2=1.96，即即 c = 3.92.例例5 5解解（X，Y）的联合分布律的联合分布律为为YX01200.10.250.1510.150.200.15 X012 P0.250.450.30求（求（1 1）X 的边缘密度；（的边缘密度；（2 2）Y 的边缘密度的边缘密度. . Y01P0.50.5解解例例6随机变量的数字特征随机变量的数字特征 一一 、主要内容、主要内容 1. 1. 随机变量的数学期望随机变量的数学期望 2. 2. 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 3. 3. 数学期望的性质数学期望的性质 4. 4. 随机变量的方差随机变量的方差 5. 5. 随机变量函数的方差随机变量函数的方差 6. 6. 随机变量方差的性质随机变量方差的性质二、应记忆的公式二、应记忆的公式 1.1.随机变量的数学期望和方差的计算公式；随机变量的数学期望和方差的计算公式； 2.2.随机变量函数的数学期望和方差的计算公式；随机变量函数的数学期望和方差的计算公式； 3.3.常见常见7 7种随机变量的数学期望及方差种随机变量的数学期望及方差 （1 1）两点分布）两点分布 （2 2）二项分布）二项分布 （3 3）泊松分布）泊松分布 （4 4）均匀分布）均匀分布 （5 5）正态分布）正态分布 （6 6）指数分布）指数分布三、例题分析三、例题分析X-202P0.40.30.3例例1 1设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为求求 E(X)，E(3X 2 + 5).解解或或例例2 2设随机变量设随机变量 X 的概率密度为的概率密度为解解求求 Y=2X 的数学期望的数学期望.数理统计的基本概念与数理统计的基本概念与抽样分布抽样分布 一一 、主要内容、主要内容 1. 1. 总体和样本总体和样本 2. 2. 样本的分布样本的分布 3. 3. 统计量和样本矩（样本均值，样本方统计量和样本矩（样本均值，样本方 差，样本的原点矩和中心矩）差，样本的原点矩和中心矩） 4. 4. 经验分布函数经验分布函数 5. 5. 三大分布的定义及其性质三大分布的定义及其性质二、典型例题二、典型例题例例1 1 设总体设总体 X 的数学期望为的数学期望为E(X)8，方差，方差为为D(X)2， X1 , Xn 为来自为来自 X 的样本的样本, 则则8 2/n2 例例2 2解解由已知，由已知，所以所以从而从而参数估计参数估计 一一 、主要内容、主要内容 1 1参数点估计的概念，求点估计的两种参数点估计的概念，求点估计的两种 方法：矩估计和极大似然估计方法；方法：矩估计和极大似然估计方法； 2 2估计量的评选标准：无偏性、有效估计量的评选标准：无偏性、有效 性、一致性；性、一致性；3. 3. 正态总体的均值与方差的置信区间正态总体的均值与方差的置信区间. .二、典型例题二、典型例题例例1 1设总体的概率密度为设总体的概率密度为解解(2)(2)似然函数为似然函数为 某厂从当天生产的产品中随机抽取某厂从当天生产的产品中随机抽取10 10 个进个进行寿命测试，得数据如下：行寿命测试，得数据如下： 1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200设产品寿命服从正态分布，求当天生产的全部产设产品寿命服从正态分布，求当天生产的全部产品的平均寿命品的平均寿命 的置信水平为的置信水平为0.95 0.95 的置信区间的置信区间. .例例2 2解解故置信区间为故置信区间为