4.3.2 4.3.2 空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式 问题提出问题提出 1. 1. 在平面直角坐标系中两点间在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么？的距离公式是什么？ 2. 2. 在空间直角坐标系中，假设在空间直角坐标系中，假设两个点的坐标，那么这两点之间的距两个点的坐标，那么这两点之间的距离是惟一确定的，我们希望有一个求离是惟一确定的，我们希望有一个求两点间距离的计算公式，对此，我们两点间距离的计算公式，对此，我们从理论上进行探究从理论上进行探究. .知识探究一知识探究一:与坐标原点的距离公式与坐标原点的距离公式 思考思考1:1:在空间直角坐标系中，坐标轴在空间直角坐标系中，坐标轴上的点上的点A Ax x，0 0，0 0，B B0 0，y y，0 0，C C0 0，0 0，z z，与坐标原点，与坐标原点O O的距离的距离分别是什么？分别是什么？xyzOA AB BC C|OA|=|x|OA|=|x|OB|=|y|OB|=|y|OC|=|z|OC|=|z|思考思考2:2:在空间直角坐标系中，坐标平在空间直角坐标系中，坐标平面上的点面上的点A Ax x，y y，0 0，B B0 0，y y，z z，C Cx x，0 0，z z，与坐标原点，与坐标原点O O的的距离分别是什么？距离分别是什么？xyzOA AB BC C思考思考3:3:在空间直角坐标系中，设点在空间直角坐标系中，设点 P Px x，y y，z z在在xOyxOy平面上的射影为平面上的射影为M M，那么点，那么点M M的坐标是什么？的坐标是什么？|PM|,|OM|PM|,|OM|的值分别是什么？的值分别是什么？xyzOPMM(x,y,0)M(x,y,0)|PM|=|z|PM|=|z|思考思考4:4:基于上述分析，你能得到点基于上述分析，你能得到点 P Px x，y y，z z与坐标原点与坐标原点O O的距离公式的距离公式吗？吗？xyzOPM思考思考5:5:在空间直角坐标系中，方程在空间直角坐标系中，方程 x2+y2+z2=r2x2+y2+z2=r2r0r0为常数表示什为常数表示什么图形是什么？么图形是什么？ O Ox xy yz zP P知识探究二知识探究二:空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式 在空间中，设点在空间中，设点P1P1x1x1，y1y1，z1z1，P2P2x2x2，y2y2，z2z2在在xOyxOy平面上的射平面上的射影分别为影分别为M M、N.N.xyzOP2MP1N思考思考1:1:点点M M、N N之间的距离如何？之间的距离如何？思考思考2:2:假设直线假设直线P1P2P1P2垂直于垂直于xOyxOy平面，平面，那么点那么点P1P1、P2P2之间的距离如何？之间的距离如何？xyzOP2P1|P|P1 1P P2 2|=|z|=|z1 1-z-z2 2| |思考思考3:3:假设直线假设直线P1P2P1P2平行于平行于xOyxOy平面，平面，那么点那么点P1P1、P2P2之间的距离如何？之间的距离如何？MNxyzOP2P1思考思考4:4:假设直线假设直线P1P2 P1P2 是是xOyxOy平面的一平面的一条斜线，那么点条斜线，那么点P1P1、P2P2的距离如何计的距离如何计算？算？MNxyzOP2P1A A思考思考5:5:在上述图形背景下，点在上述图形背景下，点P P1 1（x x1 1，y y1 1，z z1 1）与）与P P2 2（x x2 2，y y2 2，z z2 2）之间的距离是）之间的距离是它对任意两点它对任意两点P P1 1、P P2 2都成立吗？都成立吗？ 例例1 1 在空间中，点在空间中，点A(1, 0, -1)A(1, 0, -1)，B (4, 3, -1)B (4, 3, -1)，求，求A A、B B两点之间的距两点之间的距离离. .理论迁移理论迁移 例例2 2 两点两点 A(-4, 1, 7) A(-4, 1, 7)和和B(3, 5, B(3, 5, -2)-2)，点，点P P在在z z轴上，假设轴上，假设|PA|=|PB|PA|=|PB|，求点求点P P的坐标的坐标. . 例例3 3 如图，点如图，点P P、Q Q分别在棱长为分别在棱长为1 1的正方体的对角线的正方体的对角线ABAB和棱和棱CDCD上运动，上运动，求求P P、Q Q两点间的距离的最小值，并指两点间的距离的最小值，并指出此时出此时P P、Q Q两点的位置两点的位置. . OxyzABCPQDMN作业作业: :P138P138练习：练习：1 1，2 2，3 3，4. 4.