2.5 2.5 平面向量应用举例平面向量应用举例 2.5.1 2.5.1 平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 问题提出问题提出1.1.用有向线段表示向量，使得向量可以进用有向线段表示向量，使得向量可以进行线性运算和数量积运算，并具有鲜明的行线性运算和数量积运算，并具有鲜明的几何背景，从而沟通了平面向量与平面几几何背景，从而沟通了平面向量与平面几何的内在联系，在某种条件下，平面向量何的内在联系，在某种条件下，平面向量与平面几何可以相互转化与平面几何可以相互转化. .2.2.平行、垂直、夹角、距离、全等、相似平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等，是平面几何中常见的问题，而这些问等，是平面几何中常见的问题，而这些问题都可以由向量的线性运算及数量积表示题都可以由向量的线性运算及数量积表示出来出来. . 因此，平面几何中的某些问题可以用向因此，平面几何中的某些问题可以用向量方法来解决，但解决问题的数学思想、量方法来解决，但解决问题的数学思想、方法和技能，需要我们在实践中去探究、方法和技能，需要我们在实践中去探究、领会和总结领会和总结. . 探究（一）：推断线段长度关系探究（一）：推断线段长度关系 思考思考1 1：如图，在平行四边形：如图，在平行四边形ABCDABCD中中, ,已知已知AB=2AB=2，AD=1AD=1，BD=2BD=2，那么对角线，那么对角线ACAC的长是的长是否确定？否确定？A AB BC CD D思考思考2 2：如上图，设向：如上图，设向 , ,则则向量向量 等于什么等于什么? ?向量向量 等于什么等于什么? ?思考思考3 3：AB=2,AD=1,BD=2,AB=2,AD=1,BD=2,用向量语言怎样表述用向量语言怎样表述? ?A AB BC CD D思考思考4 4：利用：利用 , ,若求若求 需要解决什么需要解决什么 问题问题? ?思考思考5 5：利用：利用 , ,如何求如何求 ? ? 等于多少？等于多少？思考思考6 6：根据上述思路，你能推断平行四：根据上述思路，你能推断平行四边形两条对角线的长度与两条邻边的长度边形两条对角线的长度与两条邻边的长度之间具有什么关系吗？之间具有什么关系吗？ 平行四边形两条对角线长的平方和等平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍于两条邻边长的平方和的两倍. . 思考思考7 7：如果不用向量方法，你能证明上：如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？述结论吗？ 探究（二）：推断直线位置关系探究（二）：推断直线位置关系 思考思考1 1：三角形的三条高线具有什么位置关系：三角形的三条高线具有什么位置关系? ? 交于一点交于一点思考思考2 2：如图：如图, ,设设ABCABC的两条高的两条高ADAD与与BEBE相交于点相交于点P,P,要说明要说明ABAB边上的高边上的高CFCF经过点经过点P,P,你有哪些办法你有哪些办法? ?A AB BC CD DE EF FP P证明证明 PCABPCAB思考思考4 4：对于：对于PABCPABC，PBAC,PBAC,用向量观点用向量观点可分别转化为什么结论？可分别转化为什么结论？思考思考3 3：设向量：设向量 , ,那么那么PCBAPCBA可转化为什么向量关系？可转化为什么向量关系？ D DA AB BC CE EF FP P思考思考6 6：你能用其它方法证明三角形的三条：你能用其它方法证明三角形的三条高线交于一点吗？高线交于一点吗？A AB BC CD DE EF FP P思考思考5 5：如何利用：如何利用 这两个结论这两个结论推出推出 ？ 探究（三）：计算夹角的大小探究（三）：计算夹角的大小 思考思考1 1：如图，在等腰：如图，在等腰ABCABC中，中，D D、E E分别分别是两条腰是两条腰ABAB、ACAC的中点，若的中点，若CDBECDBE，你认，你认为为AA的大小是否为定值？的大小是否为定值？A AB BC CD DE E 探究（三）：计算夹角的大小探究（三）：计算夹角的大小 思考思考1 1：如图，在等腰：如图，在等腰ABCABC中，中，D D、E E分别分别是两条腰是两条腰ABAB、ACAC的中点，若的中点，若CDBECDBE，你认，你认为为AA的大小是否为定值？的大小是否为定值？思考思考2 2：设向量：设向量 , ,可以利可以利用哪个向量原理求用哪个向量原理求AA的大小？的大小？A AB BC CD DE E思考思考4 4 将将CDBECDBE转化为向量运算可得什么结论转化为向量运算可得什么结论? ?A AB BC CD DE E思考思考3 3 以以 为为基底基底, ,向量向量 如何表示如何表示? ?思考思考5 5：因为因为ABCABC是等腰三角形，则是等腰三角形，则 , ,结结合上述结论合上述结论 等于多少等于多少? ?A AB BC CD DE E 理论迁移理论迁移例例1 1 如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中中, ,点点E E、F F分别是分别是ADAD、DCDC的中点的中点,BE,BE、BFBF分别与分别与ACAC相交于点相交于点M M、N,N,试推断试推断AMAM、MNMN、NCNC的长度具有什么关系的长度具有什么关系, ,并证明并证明你的结论你的结论. .结论结论:AM=MN=NC :AM=MN=NC 例例2 2 如图，如图，ABCABC的三条高分别为的三条高分别为AD,BE, AD,BE, CF,CF,作作DGBE,DHCFDGBE,DHCF，垂足分别为，垂足分别为G G、H H，试推断试推断EFEF与与GHGH是否平行是否平行. .A AB BC CD DE EF FP PG GH H 结论结论:EFGH :EFGH 小结作业小结作业1.1.用向量方法解决平面几何问题的基本思用向量方法解决平面几何问题的基本思路：路：几何问题向量化几何问题向量化 向量运算关系向量运算关系化化 向量关系几何化向量关系几何化. .2.2.用向量方法研究几何问题，需要用向量用向量方法研究几何问题，需要用向量的观点看问题，将几何问题化归为向量问的观点看问题，将几何问题化归为向量问题来解决题来解决. .它既是一种数学思想，也是一它既是一种数学思想，也是一种数学能力种数学能力. .其中其中合理设置向量，并建立合理设置向量，并建立向量关系向量关系，是解决问题的关键，是解决问题的关键. .第第2626期作业期作业P113 P113 习题习题2.5 2.5 A A组组 1 1，2 2 B B组组 3 3