目录 上页 下页 返回 结束 二、空间曲线的切线与法平面二、空间曲线的切线与法平面 第六节一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数 三、曲面的切平面与法线三、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第九章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、一元向量值函数及其导数一元向量值函数及其导数引例引例: 已知空间曲线 的参数方程: 的向量方程 对 上的动点M ,即 是此方程确定映射,称此映射为一元向量 的终点M 的轨迹 , 此轨迹称为向量值函数的终端曲线 .值函数. 要用向量值函数研究曲线的连续性连续性和光滑性光滑性，就需要引进向量值函数的极限、连续和导数的概念.目录 上页 下页 返回 结束 定义定义: 给定数集 D R , 称映射为一元向量值函数（简称向量值函数）, 记为定义域自变量因变量向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、连续和导数密切相关,进行讨论.极限极限：连续连续：导数导数：严格定义见P90因此下面仅以 n = 3 的情形为代表目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数的导数运算法则向量值函数的导数运算法则: (P91)设是可导向量值函数, 是可导函数, 则C 是常向量, c 是任一常数,目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数导数的几何意义向量值函数导数的几何意义:在 R3中, 设的终端曲线为 , 切线的生成点击图中任意点动画开始或暂停表示终端曲线在t0处的切向量,其指向与t 的增长方向一致., 则设目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数导数的物理意义向量值函数导数的物理意义:设表示质点沿光滑曲线运动的位置向量, 则有 例例1. 设速度向量：加速度向量：解：解：目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设空间曲线 的向量方程为 求曲线 上对应于解解:的点处的单位切向量.故所求单位切向量为其方向与 t 的增长方向一致另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为= 6目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 一人悬挂在滑翔机上, 受快速上升气流影响作螺求旋式上升, 其位置向量为(1) 滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量;(2) 滑翔机在任意时刻 t 的速率;(3) 滑翔机的加速度与速度正交的时刻.解解: (1)(3) 由即即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交.目录 上页 下页 返回 结束 二、二、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面法平面.置.空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限位给定光滑曲线 在点法式可建立曲线的法平面方程利用点M (x, y, z) 处的切向量及法平面的法向量均为点向式可建立曲线的切线方程目录 上页 下页 返回 结束 1. 曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况因此曲线 在点 M 处的则 在点M 的导向量为法平面方程法平面方程 给定光滑曲线为0, 切线方程切线方程目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求曲线在点 M (1, 1, 1) 处的切线 方程与法平面方程. 解：解：点(1, 1, 1) 对应于故点M 处的切向量为因此所求切线方程为 法平面方程为即思考思考: 光滑曲线的切向量有何特点?答答:切向量目录 上页 下页 返回 结束 2. 曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线曲线上一点, 且有 可表示为处的切向量为 目录 上页 下页 返回 结束 则在点切线方程切线方程法平面方程法平面方程有或目录 上页 下页 返回 结束 也可表为法平面方程法平面方程(自己验证)目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求曲线在点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 切线方程解法解法1 令则即切向量目录 上页 下页 返回 结束 法平面方程即解法解法2 方程组两边对 x 求导, 得曲线在点 M(1,2, 1) 处有:切向量解得目录 上页 下页 返回 结束 切线方程即法平面方程即点 M (1,2, 1) 处的切向量目录 上页 下页 返回 结束 三、三、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点对应点 M,切线方程为不全为0 . 则 在且点 M 的切向量切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为 在该点的切平面切平面. 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. 目录 上页 下页 返回 结束 证证:在 上,得令由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以为法向量的平面上 , 从而切平面存在 .目录 上页 下页 返回 结束 曲面 在点 M 的法向量法向量: 法线方程法线方程 切平面方程切平面方程 过M点且垂直于切平面的直线 称为曲面 在点 M 的法线法线. 目录 上页 下页 返回 结束 曲面时, 则在点故当函数 法线方程法线方程令特别特别, 当光滑曲面 的方程为显式 在点有连续偏导数时, 切平面方程切平面方程法向量法向量目录 上页 下页 返回 结束 法向量法向量用将法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的方向角, 并假定法向量方向分别记为则向上,复习 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求球面在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程. 解解: 令所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程切平面方程 即法线方程法线方程法向量即(可见法线经过原点，即球心)目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 确定正数 使曲面在点解解: 二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切, 故又点 M 在球面上,于是有相切.与球面, 因此有目录 上页 下页 返回 结束 1. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程法平面方程1) 参数式情况.空间光滑曲线切向量内容小结内容小结目录 上页 下页 返回 结束 切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量2) 一般式情况.目录 上页 下页 返回 结束 空间光滑曲面曲面 在点法线方程法线方程1) 隐式情况 .的法向量法向量切平面方程切平面方程2. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线目录 上页 下页 返回 结束 空间光滑曲面切平面方程切平面方程法线方程法线方程2) 显式情况.法线的方向余弦方向余弦法向量法向量目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 如果平面与椭球面相切,提示提示: 设切点为则(二法向量平行) (切点在平面上)(切点在椭球面上)目录 上页 下页 返回 结束 证明 曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示提示: 在曲面上任意取一点则通过此 作业作业 P99 2，4，6，7，10，11，122. 设 f ( u ) 可微,第七节 证明原点坐标满足上述方程 .点的切平面为目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1. 证明曲面与定直线平行,证证: 曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为则(定向量)故结论成立 .的所有切平面恒目录 上页 下页 返回 结束 2. 求曲线在点(1,1,1) 的切线解解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.