数学基本思想：数学基本思想： 从从怎么看怎么看到到怎么办怎么办1.1. “在哪里在哪里”标准标准中的体现中的体现2. 2. “是什么是什么”数学基本思想的涵义数学基本思想的涵义3. 3. “有啥用有啥用”教育意义和价值辨析教育意义和价值辨析4. 4. “怎么办怎么办”教学中的实施建议教学中的实施建议数学基本思想数学基本思想1.“在在 哪哪 里里”标准标准中的体现中的体现“课程目标课程目标”u基础知识基础知识u基本技能基本技能“双基双基”u基础知识基础知识u基本技能基本技能u基本思想基本思想u基本活动经验基本活动经验“四基四基”“基本理念基本理念”n课程内容要反映社会的需要、数学的课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的的形成过程和蕴涵的数学思想方法数学思想方法。 “课程内容课程内容”与与“经历、体验、探索经历、体验、探索”相关，如：相关，如：n经历从生活中抽象出数的过程经历从生活中抽象出数的过程n体验数据中蕴含的信息体验数据中蕴含的信息n探索现实问题中的数量关系探索现实问题中的数量关系 思想无处不在2. 2. “是是 什什 么么”数学基本思想的涵义数学基本思想的涵义n关于数学：关于数学： 目前公认的还是恩格斯的定义：数学是关目前公认的还是恩格斯的定义：数学是关于客观世界数量关系和空间形式的科学。于客观世界数量关系和空间形式的科学。n关于思想：关于思想： 现代汉语词典现代汉语词典中，思想被解释为客观中，思想被解释为客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果；结果； 辞海辞海里称思想为理性认识；里称思想为理性认识； 中国大百科全书中国大百科全书视思想为相对于感性视思想为相对于感性认识的理性认识结果。认识的理性认识结果。 数学思想就是人们对于数学的看法。这些看法数学思想就是人们对于数学的看法。这些看法包括：数学在人类的知识体系中所占的地位，数学包括：数学在人类的知识体系中所占的地位，数学与生产实践的关系，数学与其他科学的关系，以及与生产实践的关系，数学与其他科学的关系，以及数学发展的规律，数学研究方法的特点等，这些看数学发展的规律，数学研究方法的特点等，这些看法随着数学的发展在不断地发展，反过来，这些看法随着数学的发展在不断地发展，反过来，这些看法在每一个时期对数学的进一步的发展都有着或多法在每一个时期对数学的进一步的发展都有着或多或少的影响。或少的影响。 丁石孙丁石孙 数学思想，是人们对数学科学研究的本质及规数学思想，是人们对数学科学研究的本质及规律的深刻认识。这种认识的主题是人类历史上过去、律的深刻认识。这种认识的主题是人类历史上过去、现在以及将来的有名与无名的数学家；而认识的客现在以及将来的有名与无名的数学家；而认识的客体则包括数学科学的对象及其特性，研究途径与方体则包括数学科学的对象及其特性，研究途径与方法的特点，研究成就的精神文化价值及对物质世界法的特点，研究成就的精神文化价值及对物质世界的实际作用，内部各种成果或结论之间的互相关联的实际作用，内部各种成果或结论之间的互相关联和相互支持的关系等。和相互支持的关系等。 曲立学曲立学 所谓数学思想，是指现实世界所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。的本质认识。 蔡上鹤蔡上鹤 “数学思想数学思想”应有两种意义的理解：应有两种意义的理解： 第一种意义是在与具体的数学知识内容特别是其最终的、严第一种意义是在与具体的数学知识内容特别是其最终的、严格的表述形式相对立的意义上得到了确认，也就是在对数学研究格的表述形式相对立的意义上得到了确认，也就是在对数学研究活动中的思维活动与思维活动的最终产物之间进行明确区分的基活动中的思维活动与思维活动的最终产物之间进行明确区分的基础上，界定了础上，界定了“数学思想数学思想”的意义。的意义。 第二种意义是指与具体的数学内容相分离并具有更大的普遍第二种意义是指与具体的数学内容相分离并具有更大的普遍意义的思维模式或原则，即如数学家们通常是如何去确定自己的意义的思维模式或原则，即如数学家们通常是如何去确定自己的研究方向的，他们在解决问题过程中采取哪些策略，此类问题属研究方向的，他们在解决问题过程中采取哪些策略，此类问题属于这一意义的于这一意义的“数学思想数学思想”范畴。范畴。 郑毓信郑毓信 现实世界的空间形式和数量现实世界的空间形式和数量关系反映在人们的意识中经过思关系反映在人们的意识中经过思维活动而产生的结果。维活动而产生的结果。 邵光华邵光华n全域性数学思想全域性数学思想 如：符号化思想如：符号化思想 集合论思想集合论思想 n局域性数学思想局域性数学思想 如：方程与函数思想如：方程与函数思想 概率与统计思想概率与统计思想 n一般性数学思想一般性数学思想 如：数学化归方法如：数学化归方法数学解题的一般方法数学解题的一般方法 数形结合方法数形结合方法数学转化的基本方法数学转化的基本方法 关于数学思想的认识之所以出现如此大的差关于数学思想的认识之所以出现如此大的差异，主要是因为人们看待数学思想的视角不同。异，主要是因为人们看待数学思想的视角不同。有些学者是从有些学者是从数学领域内部数学领域内部来看待数学思想的，来看待数学思想的，有些学者是跳出数学领域而站在有些学者是跳出数学领域而站在哲学认识论哲学认识论高度高度来审视数学思想的，还有些学者是从来审视数学思想的，还有些学者是从数学教育数学教育角角度释义的。尽管观点不同，但透过这些观点能够度释义的。尽管观点不同，但透过这些观点能够看出，看出，“数学思想的历史也就是数学基本概念、数学思想的历史也就是数学基本概念、重要理论产生和发展的历史，也是数学家和哲学重要理论产生和发展的历史，也是数学家和哲学家的数学观发展的历史家的数学观发展的历史”，从数的概念的产生和，从数的概念的产生和发展，到微积分的发明和现代数学各分支的形成，发展，到微积分的发明和现代数学各分支的形成，无不体现着某种数学思想。无不体现着某种数学思想。基本数学思想基本数学思想 人们通常所说的等量替换、图形结合、递归法等，人们通常所说的等量替换、图形结合、递归法等，只是数学思想方法而不是数学思想。基本数学思想不只是数学思想方法而不是数学思想。基本数学思想不应当是个案的，而必须是一般的。这大概需要满足两应当是个案的，而必须是一般的。这大概需要满足两个条件：个条件： 一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想。那些思想。 二是学习过数学的人所具有的思维特征。二是学习过数学的人所具有的思维特征。 这就可以归纳为三种基本思想，即抽象、推理和这就可以归纳为三种基本思想，即抽象、推理和模型。模型。 史宁中史宁中联合国教科文组织的刻画：联合国教科文组织的刻画：抽象抽象从现实问题到数学问题的发展从现实问题到数学问题的发展推理推理从数学问题到数学对象、结论的发展从数学问题到数学对象、结论的发展模型模型多级抽象和推理的结果、对象、结论多级抽象和推理的结果、对象、结论 的呈现形式的呈现形式 “先后关联、起承转合、相互交织先后关联、起承转合、相互交织”n通过抽象，人们把外部世界与数学有关的东西通过抽象，人们把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象，其思抽象到数学内部，形成数学研究的对象，其思维特征是抽象能力强；维特征是抽象能力强；n通过推理，人们得到数学的命题和计算方法，通过推理，人们得到数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展，其思维特征是逻辑能力促进数学内部的发展，其思维特征是逻辑能力强；强；n通过模型，人们创造出具有表现力的数学语言，通过模型，人们创造出具有表现力的数学语言，构建了数学与外部世界的桥梁，其思维特征是构建了数学与外部世界的桥梁，其思维特征是应用能力强。应用能力强。 关于关于“推理推理”的两个例子的两个例子：1.1.19231923年，当时北洋政府颁布的年，当时北洋政府颁布的小学算术课程小学算术课程纲要纲要中：中：“1.1.宜注意从学生生活里使学生发宜注意从学生生活里使学生发展需要工具的动机。展需要工具的动机。2.2.计算宜注重练习，以计算宜注重练习，以便养成正确而迅速的习惯。便养成正确而迅速的习惯。3.3.问题以切合学问题以切合学生生活的为主，成人的事务非学生所能想象的，生生活的为主，成人的事务非学生所能想象的，虽是实用，也不相宜。虽是实用，也不相宜。 4.4.方法、原理、方法、原理、宜用归纳的建造，不宜用演绎的推宜用归纳的建造，不宜用演绎的推广广。”关于关于“推理推理”的两个例子：的两个例子：2. 2. 19401940年当时国民政府颁布的年当时国民政府颁布的小学算术科课程标准小学算术科课程标准：“（二）一二学年计算的问题，要具体而有兴趣，（二）一二学年计算的问题，要具体而有兴趣，让儿童直观，第三学年以上也应使问题儿童生，让儿童直观，第三学年以上也应使问题儿童生活化。活化。（四）教学新的方法和原理应从（四）教学新的方法和原理应从实在的需要出发，先使儿童从观察实测实在的需要出发，先使儿童从观察实测具体的事实和计算日常生活中的问题，具体的事实和计算日常生活中的问题，明白方法的功用，然后用归纳法一步一明白方法的功用，然后用归纳法一步一步的进行，切忌用演绎法推求。步的进行，切忌用演绎法推求。（五）解（五）解决问题的计算法应从儿童的经验和常识之证验，不必决问题的计算法应从儿童的经验和常识之证验，不必多用伦理的分析。多用伦理的分析。”推理的意义是什么？推理的意义是什么？n“归纳地建造归纳地建造”可谓一语中的。归纳就是可谓一语中的。归纳就是发现。这个七、八十年前发现。这个七、八十年前“归纳地建造归纳地建造”的提法，远比今天有关思想、方法的一些的提法，远比今天有关思想、方法的一些复杂表述具体有效。复杂表述具体有效。n“不宜用演绎的推展不宜用演绎的推展”“”“切忌用演绎法推切忌用演绎法推求求”，听上去更是斩钉截铁，如此明确的，听上去更是斩钉截铁，如此明确的态度，很值得我们深思。态度，很值得我们深思。弗赖登塔尔：弗赖登塔尔： “数数 学学 化化” 数数 学学 化化n从情景问题中发现数学问题从情景问题中发现数学问题n利利用用生生活活中中积积累累的的常常识识和和已已习习得得的的知知识识与方法，去寻求解决问题与方法，去寻求解决问题n在在解解决决问问题题的的过过程程中中探探索索新新的的概概念念和和方方法，进入未知的数学领域法，进入未知的数学领域n一步步地实现数学的抽象化及形式化。一步步地实现数学的抽象化及形式化。 抽象、推理、模型都蕴涵其中抽象、推理、模型都蕴涵其中数学化数学化=水平数学化水平数学化+垂直数学化垂直数学化 “把现实问题转把现实问题转 “把数学问题转化把数学问题转化 化为数学问题化为数学问题” 为抽象的数学形式为抽象的数学形式”（1 1）把现实问题转化为数学问题（水平数学化）把现实问题转化为数学问题（水平数学化）n确定情景问题中包含的数学成分确定情景问题中包含的数学成分n建立数学建立数学成分成分与已知的数学模型之间的联系与已知的数学模型之间的联系n通过不同方法使这些数学成分形象化和公式化通过不同方法使这些数学成分形象化和公式化n找出蕴含其中的关系和规则找出蕴含其中的关系和规则n考虑相同数学成分在不同情景问题中的表现考虑相同数学成分在不同情景问题中的表现n作出形式化的表述作出形式化的表述 （抽象：（抽象：从现实问题到数学问题的发展从现实问题到数学问题的发展）(2)把数学问题转化为抽象的数学形式（垂直数学化）把数学问题转化为抽象的数学形式（垂直数学化）n 用公式表示关系用公式表示关系; ;n 对有关规则做出必要推理对有关规则做出必要推理; ;n 尝试建立和使用不同的数学模型尝试建立和使用不同的数学模型; ;n 对得出的数学模型进行调整和加工对得出的数学模型进行调整和加工; ;n 综合不同数学模型的共性综合不同数学模型的共性, ,形成功能更强的新模型形成功能更强的新模型; ;n 用数学公式和语言精确表述得到的新概念和新方法用数学公式和语言精确表述得到的新概念和新方法; ;（推理：（推理：从数学问题到数学对象、结论的发展从数学问题到数学对象、结论的发展）观观 点：点：抽象抽象+ +推理推理+ +模型模型 数学化数学化基本思想的特征基本思想的特征n具有隐性知识的特性：具有隐性知识的特性：所知比能言多所知比能言多n形式多样：形式多样：诀窍、技巧、直觉、思维、意识、诀窍、技巧、直觉、思维、意识、约定俗成的默契；信念、价值取向约定俗成的默契；信念、价值取向n载体的非技术性：载体的非技术性：大脑，环境，氛围，大脑，环境，氛围，n内容不确定性：内容不确定性：没有形成完整体系，不能精确没有形成完整体系，不能精确阐述阐述n流通困难：流通困难：灌输不进去，只能靠经历、体验、灌输不进去，只能靠经历、体验、探索、领悟、传递、转化探索、领悟、传递、转化3. 3. “有有 啥啥 用用”教育意义和价值辨析教育意义和价值辨析 （1 1）以基本思想为目标，使学生有）以基本思想为目标，使学生有可能通过自己的发现习得新的数学知识可能通过自己的发现习得新的数学知识内容，在一个探究过程中，领悟数学概内容，在一个探究过程中，领悟数学概念和方法的来龙去脉及用途。念和方法的来龙去脉及用途。学生学习学生学习教师教学教师教学 （2 2）有助于改变）有助于改变“只听不想、只只听不想、只学不问、只知不识学不问、只知不识”的教学状态；促的教学状态；促进重新审视：进重新审视：“教什么？怎么教教什么？怎么教? ?教得教得怎么样？学什么怎么样？学什么? ?怎么学？学得怎么样怎么学？学得怎么样？”这些带有根本性的问题，为转变这些带有根本性的问题，为转变教学模式、教学观念、教学行为提供教学模式、教学观念、教学行为提供基本支点。基本支点。数学教育数学教育 （3 3）数学基本思想本身反映了数）数学基本思想本身反映了数学作为学作为“成长载体成长载体”的教育价值，使的教育价值，使那些可以普遍迁移的，如兴趣、好奇那些可以普遍迁移的，如兴趣、好奇心（洞察力）、质疑能力、探究能力、心（洞察力）、质疑能力、探究能力、反思精神、合作精神、创新精神的养反思精神、合作精神、创新精神的养成成为可能的现实。成成为可能的现实。关注数学基本思想关注数学基本思想n从把数学仅仅看成是供记忆复制的一套程序转向从把数学仅仅看成是供记忆复制的一套程序转向思考、探索思考、探索n从强调机械操练转向强调猜想、发现和解决问题从强调机械操练转向强调猜想、发现和解决问题n从把数学看成一个孤立的概念和程序的结合体转从把数学看成一个孤立的概念和程序的结合体转向把数学看成一个思想和应用相互交织的整体向把数学看成一个思想和应用相互交织的整体n 强项适度强项适度 弥补弱项弥补弱项4. 4. “怎怎 么么 办办”教学中的实施建议教学中的实施建议案例：案例：“找规律找规律搭配中学问搭配中学问”执教执教 储冬生储冬生n一、提出问题一、提出问题n师：看着这幅图，你获取了那些信息？师：看着这幅图，你获取了那些信息？n师：根据获得的两个数学信息，你能提出师：根据获得的两个数学信息，你能提出一个数学问题吗？一个数学问题吗？ 5 5件上衣和件上衣和4 4条裤子能搭配出多少套不条裤子能搭配出多少套不同的穿法？同的穿法？n师：究竟能搭配成多少套呢？师：究竟能搭配成多少套呢？n二、探索规律二、探索规律n1 1、课件演示、课件演示n1件上衣和件上衣和3条裤子能搭配出多少套不同的穿法？条裤子能搭配出多少套不同的穿法？n师：首先我们得把问题搞清楚，什么是一种搭配呢？师：首先我们得把问题搞清楚，什么是一种搭配呢？像这样挑选一件上衣和一条裤子称作一种搭配。像这样挑选一件上衣和一条裤子称作一种搭配。n师：看来要一下子解决师：看来要一下子解决“5 5件上衣和件上衣和4 4条裤子能搭配多条裤子能搭配多少套少套”这个问题确实有些难度，我们研究复杂的问题这个问题确实有些难度，我们研究复杂的问题往往可以选择往往可以选择“从简单的情况开始从简单的情况开始”去考虑。去考虑。1 1件上衣件上衣和和3 3条裤子，有多少种不同的搭配呢？条裤子，有多少种不同的搭配呢？n（在课件上依次显示）（在课件上依次显示） n2 2、学具操作、学具操作n2件上衣和件上衣和3条裤子能搭配出多少套不同的穿法条裤子能搭配出多少套不同的穿法？n师：如果再增加一件上衣，变成师：如果再增加一件上衣，变成“2 2件上衣，件上衣，3 3条裤子条裤子”，又该有多少种搭配呢？，又该有多少种搭配呢？n师：同桌两人借助学具来模拟着摆一摆、找一师：同桌两人借助学具来模拟着摆一摆、找一找。找。n师：谁来汇报一下你们的想法。师：谁来汇报一下你们的想法。n3 3、符号表达、符号表达n2件上衣和件上衣和4条裤子能搭配出多少套不同的穿法？条裤子能搭配出多少套不同的穿法？n师：如果再增加师：如果再增加1 1条裤子，请大家猜猜看，搭条裤子，请大家猜猜看，搭配的种类会增加吗？增加多少呢？那现在就是配的种类会增加吗？增加多少呢？那现在就是8 8种。种。n师：你能不能在作业纸上借助于文字、图形、师：你能不能在作业纸上借助于文字、图形、字母、符号等将这些不同的搭配方法给表示出字母、符号等将这些不同的搭配方法给表示出来呢？来呢？n学生先在自己的作业纸上操作，然后汇报交流，学生先在自己的作业纸上操作，然后汇报交流，教师点评，比较。教师点评，比较。n4 4、体悟规律、体悟规律n3件上衣和件上衣和3条裤子能搭配出多少套不同条裤子能搭配出多少套不同的穿法？的穿法？n师：如果增加的是师：如果增加的是1 1件上衣呢？那现在就件上衣呢？那现在就是是“3 3件上衣，件上衣，3 3条裤子条裤子”，谁能直接说，谁能直接说说出共有多少种搭配呢？说出共有多少种搭配呢？ n师：你们是怎么想的？师：你们是怎么想的？n5 5、运用规律、运用规律n5件上衣和件上衣和4条裤子能搭配出多少套不同的穿法条裤子能搭配出多少套不同的穿法？n师：现在你能很快说出师：现在你能很快说出5 5件上衣和件上衣和4 4条裤子一共条裤子一共能搭配出，多少种不同的可能性吗？能搭配出，多少种不同的可能性吗？n师：回想一下我们是怎样解决这个问题的？师：回想一下我们是怎样解决这个问题的？n师师: :如果是如果是5 5件上衣和件上衣和2020条裤子呢？条裤子呢？nn6 6、变式练习、变式练习n2 2条领带和条领带和3 3件衬衫，有几种搭配方式件衬衫，有几种搭配方式？n2 2张桌子和张桌子和3 3张椅子，有几种搭配方式张椅子，有几种搭配方式？n从杭州到上海，有从杭州到上海，有2 2条直达的铁路和条直达的铁路和3 3条直达的公路。一共有多少种不同的走条直达的公路。一共有多少种不同的走法？法？n三、尝试应用三、尝试应用n1.1.小华从学校经过街心花园到少年宫，一共有小华从学校经过街心花园到少年宫，一共有几条路线可以走？几条路线可以走？n三、尝试应用三、尝试应用n2.2.用声母用声母b b、p p、d d和韵母和韵母a a、u u以及以及4 4个声个声调一共可以有多少种不同的发音？调一共可以有多少种不同的发音？n3.3.音乐老师要选一名男生和一名女生主音乐老师要选一名男生和一名女生主持节目，一共有持节目，一共有1212种不同的搭配方法。种不同的搭配方法。你知道参加选拔的有几名男生和几名女你知道参加选拔的有几名男生和几名女生吗？生吗？ n四、反思提炼四、反思提炼n师：这种搭配的规律，在中学数学里数师：这种搭配的规律，在中学数学里数学家给它取了一个很专业的名称叫做学家给它取了一个很专业的名称叫做“乘法原理乘法原理”。这个规律也是我们。这个规律也是我们乘法的乘法的基本原型之一基本原型之一。数学上的很多命名都是。数学上的很多命名都是有他的意义的。有他的意义的。n五、拓展延生五、拓展延生n汉字的组成：汉字的组成：造字中的偏旁和部首造字中的偏旁和部首n简单的游戏：简单的游戏：猜拳游戏中的石头、剪刀、猜拳游戏中的石头、剪刀、布布n动画的表情：动画的表情：海绵宝宝的眼睛、嘴巴和海绵宝宝的眼睛、嘴巴和鼻子鼻子思考：从儿童出发，回到原点思考思考：从儿童出发，回到原点思考 儿童可持续发展需要些什么？儿童可持续发展需要些什么？数学教育能为儿童的发展提供些什么？数学教育能为儿童的发展提供些什么？假如他不从事有关数学的工作，今天的假如他不从事有关数学的工作，今天的数学学习还能给他留下些什么？数学学习还能给他留下些什么？ 儿童可持续发展需要些什么？儿童可持续发展需要些什么？数学教育能为儿童的发展提供些什么？数学教育能为儿童的发展提供些什么？假如他不从事有关数学的工作，今天的假如他不从事有关数学的工作，今天的数学学习还能给他留下些什么？数学学习还能给他留下些什么？ n实：实：课堂教学要朴实，淡化形式注重实质课堂教学要朴实，淡化形式注重实质n事：事：课上学生要有事情做（操作课上学生要有事情做（操作+ +思维）思维）n求：求：教学要追求一种奋发向上，求索不止教学要追求一种奋发向上，求索不止 精神状态（追求境界、品味、探究、精神状态（追求境界、品味、探究、 生成）生成）n是：是：真理、规律、法则、概念真理、规律、法则、概念建建 议：实事求是议：实事求是