怎样读懂教材？甘惠玲一个研究：学习的金字塔一个研究：学习的金字塔l2424小时后平均记忆率是多少？小时后平均记忆率是多少？l请对以下教学方式排序请对以下教学方式排序 视频、讲座、阅读、小组讨论、视频、讲座、阅读、小组讨论、 操作、应用、教给他人操作、应用、教给他人学习金字塔学习金字塔应用应用24小时后小时后平均记忆率平均记忆率阅读视频证明小组讨论实践活动教别人/应用讲座 课程内容课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。 课程内容的选择课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。 课程内容的组织课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系； 要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。 课程内容的呈现课程内容的呈现就注意层次性和多样性。数学课程的基本理念数学课程的基本理念数学课程标准（2011）数学课程的核心概念数学课程的核心概念 “数与代数数与代数” 的核心概念：的核心概念： 数感数感 符号意识符号意识 运算能力运算能力 “ 图形图形与几何与几何” 的核心的核心概念：概念： 空间观念空间观念 “概率与统计概率与统计” 的核心概念：的核心概念： 数据分析观念数据分析观念各领域共同各领域共同的核心概念：的核心概念：几何直观几何直观推理能力推理能力模型思想模型思想应用意识应用意识创新意识创新意识两种不同的数学两种不同的数学现成的数学现成的数学传统数学教育所教的数学。活动的数学活动的数学数学课程改革倡导的数学。做做思思知知用用数学活动圈的学习框架数学活动圈的学习框架 每个数学活动圈一般包括做、思、知、用做、思、知、用等四个环节。做做：做数学（由问题或任务驱动，每个学生都能做，起点公平）。思思：对做过的事情的思考，即反思。（根据学生创造的教学资源， 提出问题引导反思）。知知：抽象、归纳、揭示新的、未知的东西。这新的、未知的东西 必须具有一定的概括水平。（把知识做出来，把知识的系统 性做出来。这就是在老师指导下进行知识的再创造。）用用：把新知用到新的情景中，探究规律，解决 问题。 用可能就是第二圈的起点做，从而进入思维水平更高一 筹的第二数学活动圈的学习。 上述数学活动圈的教学，也深刻地反映新课程课堂教学的四个要素：创设情境，合作探究，展示交流与倾听对话。活动数学的教学主张活动数学的教学主张儿童有权像数学家那样做数学数学化数学化。作为活动数学的教学基本原则是有指导的再创造有指导的再创造，教与学在数学活动中实现统一。数学学习过程的重要问题是不连续性不连续性：较低水平的数学活动，成为较高水平数学活动分析的对象，通过反省思维反省思维才能实现水平提高的跳跃。知识和能力，如果是通过自己的活动获得的，就比别人强加得更好，也更具有实用性；发现是一件令人愉快的事，所以能通过再创造进行学习是有促动力的；它促进了将数学作为人类的活动来体验的观念的形成。活动数学的教材特点活动数学的教材特点 情景问题串 现实数学教育中的情景问题是指那些与学生熟悉的现实生活有关的问题。 情景问题是现实数学的出发点，也是学生应用数学的领域。现实世界与数学世界之间，具体与抽象之间的联系就是由这样的情景问题建立并沟通的。现实数学课程的教材内容完全是由这样的情景问题串连而成，可以说，现实数学教育的课本形式就是“情景问题串”。 学生在课堂上通过这些情景问题自己去发现数学概念和解决实际问题。 孙晓天：数学课程发展的国际视野新世纪小学数学教材的编写特色新世纪小学数学教材的编写特色情景问题串情景问题串内容的呈现过程学生的学习过程教师的教学过程目标的达成过程统一起来 解读教材一般应该以单元为单位，解读一个单元教材也有一定的程序。 先通读。整体上了解本单元的学习内容和结构，了解本单元与前后学习内容的关联，进而概括本单元主要的学习内容。 再研读。读懂每一节教材的“情境问题串”。p 每个问题所要揭示的新的、未知的东西是什么？p 问题与问题之间有什么内在的逻辑关系？p 遵循了哪些学生学习数学的心理规律？p 难点在哪里？哪些学生自己能学会，哪些需要教师教。p 能挖掘哪些潜在的思维价值与数学意义？ 怎样读懂教材？怎样读懂教材？【问题1】结合比较几块蛋糕或西瓜的大小，探讨判断大小的理由。 如果眼前没有实物让你指认哪块大哪块小，你能不能告诉人家指认大小的根据是什么？这才是这个问题所要揭示的东西。从大的能切成小的，从小的切不出大的。整体大，部分小，整体大于部分。【问题2】结合比较几种杯子所装饮料多少的具体情境，探讨比较多少的方法及理由,体会方法的多样性。圆筒杯的高度相同，口径大的装得多，口径小的装得少。口径小的杯子可以放进口径大的杯子里，但口径大的杯子放不进口径小的杯子里。以左边第一个杯子（倒掉饮料）为标准，它装不下第二个杯子里的饮料，但装第三个杯子的饮料绰绰有余。【问题3】结合比较两种瓶子所装饮料多少的具体情境，探讨比较多少的一般方法，感受度量的思想。 两个瓶子高矮胖瘦不同，无法靠观察判断。因此，就需要找标准做参照物进行比较。标准可以是一个空杯（瓶）或几个大小相同的空杯（瓶）。感受度量的思想生活中的简单推理（逆向思维）生活中的简单推理（两个量的比)【问题1】体会比较高矮的 正确姿势：背靠背站直，两眼平视，双脚脚跟着地【问题2】探索比两根跳绳长短的方法 。反思：上述比长短与比高矮有哪些相同点？【问题3】探索比较花圃旁边两条小路长短的方法 （借助一个“标准”进行比较）。反思：比较道路的长短与比较跳绳的长短有什么不同之处？为什么要找一个“标准”？从第2题到第4题，比长短或高矮的“标准”分别是什么？【问题1】利用数数的经验，解决身边的加法问题，获得数学事实：2支铅笔与3支铅笔合在一起是5支铅笔。【问题2】上一个问题的情景变式：2只熊猫与3只熊猫合在一起是5只熊猫。重点是增加了画图表示数与加法是“继续往下数的”计数策略【问题3】从解决实际问题中抽象 出数学模型：3+2=5。认识加号“+”的意义 。【问题4】学会加法的“继续往下数”的计数策略。加法（+）除了合在一起的意思，还有添加的意思。加法的现实意义：合并，添加。加法的数学意义：继续往下数的计数策略。理解加法意义的标志，能解释加法算式的现实背景。本节情景问题串与加法是同构的。减法的现实意义：拿走剩下。减法的数学意义是什么呢？减法是“往回数”的计数策略。1 2 3 4 5古人计数认识20以内比10更大的数【问题1】用一根小棒表示一只羊，摆一摆，数一数羊圈里一共有多少只羊，认识比10多1的数就是10的后继数11。3只羊跑出羊圈，牧羊人摆出3块小石头计数。【问题2】经历用十进制、位值制计数法表示10的后继数11的图式化过程： 小棒图式计数器图式符号图式。从而认识数位（十位、个位）及计数单位。用小棒表示10和11，是十进制计数法，用计数器表示10和11，是十进位值制计数法。【问题3】通过在计数器上表示19及其后继数20的过程，了解十进制计数法的本质特征：满十进一。即10个小单位聚成一个大单位。读尺活动。感受1120的数的语音模式与排列顺序，顺着数越数越大，倒着数越数越小。比较大小活动。交流20以内数比较大小的方法。了解古人用十进制和位值制表示数的方法。数的直观形式数的直观形式（实物或图形）（实物或图形）数的语音形式数的语音形式 数的数的书写形式书写形式（数词）（数词） （数字）（数字）有几瓶牛奶9加几的加法【问题1】结合解决问题的过程，经历9+5从直观运算到算法运算的探究过程，理解算理，掌握算法。学生的基础： 加法是“继续往下数”的计数策略； 10以内的加减法； 20以内没有进位或退位的加减法。解决 问题的过程： 把实际问题变成数学问题（列式）； 根据所列算式，探索算法。 已有的算法：加法计数策略； 探索新的算法两个层次：利用小棒进行十进制计数法的具体操作（凑十），得出结果，再用算式记录（表示）操作的过程与结果。 再进一步，就是摆脱直观（去情景化），直接把算式作为运算的工具或手段，达到算法运算的水平。如，10+5=15，9+5=14。（理由）【问题2】在计数器上进行9+5的直观运算，理解十进位值制计数法的原理及其“满十进一”的法则。【问题3】结合“圈一圈”的直观操作，掌握“凑十”的口算方法，并能书面记录口算的过程与结果。进而，在“去情景化”的条件下，会口算9加几的算式。感受加法交换律。加法的计数策略。星星合唱队100以内加减混合运算重视对解读数学情景、获取数学信息能力的培养；强调体验分析问题，分步解题的策略。【问题1】通过估计合唱队人数的变化趋势，理解情境中数学信息的意义；理解情境中数学信息的意义，才能作出正确判断：合唱队的人数比原来多了。【问题2】列式计算前，要确定先求什么，再求什么。这就是分析问题，寻找解题思路 。当数学信息比较多，不能直接算出答案时，就需要采取辅助问题的策略。问题2呈现的解法，辅助问题是什么？还有其他的解法吗？至于算式，可以分步列式，也可以列综合算式。列综合算式就需要理解混合运算顺序规定的合理性。体会分步解题策略的实践逻辑是理解混合运算顺序合理性的基础。【问题3】独立分析问题和解决问题。【问题1】摆一摆、数一数，进一步熟悉2块一数、5块一数等数数的数字模式，因为乘法与这样的数字模式有本质的联系。 从0开始，5个5个地跳着往下数，是相同加数连加运算的计数策略，也是本单元乘法的计数策略。一般地，从0开始几个一数地跳着往下数是重复加法的计数策略。【问题3】把数几行几列的物体数目作为相同加数连加算式的现实背景，也是乘法的现实背景，有助于解释为什么儿童数学可以不分乘数与被乘数。结合现实情景，从相同加数的连加计算引入乘法。“几个几”是乘法的一个来源，但不是乘法的唯一来源。“几个几”还是加法的思维，不是乘法的本质特征。乘法思维的特征是“多一对应关系”，即两个数量的倍数比较。把相同加数连加算式改写为乘法算式是理解乘法意义的初级阶段。连加运算的计数策略也是乘法的计数策略。用乘法的计数策略计算乘法的积。情景图中每个游艺项目，都可以情景图中每个游艺项目，都可以理解为是两个数量之间多一对应理解为是两个数量之间多一对应关系。如，坐小飞机的人数与小关系。如，坐小飞机的人数与小飞机的架数之间是飞机的架数之间是“二一对应关二一对应关系系”。 表示小飞机，表示小飞机， 表表示乘客。上图表示乘客人数是小示乘客。上图表示乘客人数是小飞机数量的飞机数量的2 2倍。因为小飞机有倍。因为小飞机有4 4架，所以乘客的人数是架，所以乘客的人数是4 42=82=8（人）或（人）或2 24=84=8（人）。（人）。 上图可以画成如下形式：上图可以画成如下形式：把矩形点阵把矩形点阵( (点子图点子图) )作为乘作为乘法的直观模型，培养乘法运法的直观模型，培养乘法运算的心理意象。算的心理意象。问题问题1 1是把点子图翻译成乘是把点子图翻译成乘法算式；问题法算式；问题2 2是把乘法算是把乘法算式翻译成点子图。式翻译成点子图。 5+5+5+5=4+4+4+4+4 5+5+5+5=4+4+4+4+4或者或者 5 54=44=45.5. 第一个等式两边形式不对第一个等式两边形式不对称，令人费解。第二个等式就称，令人费解。第二个等式就容易理解了，表示容易理解了，表示5 5的的4 4倍等于倍等于4 4的的5 5倍。倍。 松果松果“个个”数与数与“堆堆”数之数之间是间是“五一对应关系五一对应关系”，即松，即松果的个数是堆数的果的个数是堆数的5 5倍。目前倍。目前教材是学习除法之后才认识倍教材是学习除法之后才认识倍的，其实，最好先建立倍与乘的，其实，最好先建立倍与乘法的联系，学习除法时再加深法的联系，学习除法时再加深对倍的认识。乘除法本质上是对倍的认识。乘除法本质上是单位量的转换活动：单位量的转换活动： “堆堆”转换成转换成“个个”用用乘法；乘法；“个个”转换成转换成“堆堆”用用除法。除法。本册乘法口诀的问题串都是同本册乘法口诀的问题串都是同构的：填表构的：填表 ；根据表格写乘；根据表格写乘法算式，编乘法口诀；探究规法算式，编乘法口诀；探究规律，记忆口诀。律，记忆口诀。 后续乘法口诀的学习，应当：后续乘法口诀的学习，应当：要逐步放手，给学生更多自要逐步放手，给学生更多自主学习的机会；主学习的机会；探索乘法口探索乘法口诀的规律时，应该把已经学习诀的规律时，应该把已经学习的口诀作为探索的对象，引导的口诀作为探索的对象，引导学生发现、概括乘法运算的规学生发现、概括乘法运算的规律。律。5 5的乘法的计数策略。的乘法的计数策略。 感受感受5 5的乘法的规律。的乘法的规律。【问题1】通过分物的操作认识“分到的一样多”、“平均分”、“等分”都是同一种分物方法的不同的描述。【问题2】经历平均分萝卜的具体操作与交流，体会平均分分法的多样性。【问题3】观察怎样画图记录小数目平均分的过程。解释各图分的过程与结果，图与是相同策略的不同描述。图还可以简化：按份数画圈，圈的数目表示每份数。每道练习册题都能够用画圈的方式解答。【问题1】已知总数与平均分的份数，求每份数的平均分。（份数即单位数，每份数是单位量）【问题2】已知总数与平均分的单位量，求单位数。【问题3】分配和分组 是平均分的两种原型，都能够用画圈的方法完成平均分。练习题要求会画圈进行小数目的平均分。所以，问题串的教学不能停留在直观操作（动作认知），必须发展到画圈作业（图形认知）。【问题1】大数目平均分，往往一步不能到位，要分步到位。 表示大数目平均的过程与结果的最佳策略是利用表格。【问题2】观察淘气与笑笑怎样利用表格记录平均分。看懂，就是能够根据表格 记录描述平均分的过程与结果。【问题3】经历利用表格进行平均分，把间接经验变成直接经验。这是第一次出现有剩余的的平均分。【问题1】是已知香蕉总数，把香蕉平均分。没有规定单位量或单位数，所以，答案唯一。至少要给出分组或分配两种平均分各一种解答。，【问题2】引入除法算式，用数学符号学表示平均分。从此，平均分从图形认知进入到符号认知的抽象阶段。【问题3】不仅 认识除法算式各部分的名称，而且要理解其中每个数的意义。【问题4】把前面的平均分问题用符号表示。练习中圈一圈，填一填，是除法的直观运算，到除法的符号表达。列出除法算式，就是把实际问题抽象为除法问题。这是解决实际问题的第一步；通过直观运算，得到结果，是解决问题的第二步。【问题1】结合解决实际问题的过程，探索除法运算的方法。第一步把实际问题变成除法问题。为此，要从问题中找到相关的数学信息：总数20元、单位量5元，求单位数。就是要求20中有多少个5？第二步探索算法：从直观运算到算法运算。前两种算法学生有经验（画圈和多一对应关系）；第三种算法用重复减法表示除法，从而理解除法是跳着往回数的计数策略，是乘法的逆向过程；第四种算法，与第三种算法一样，是脱离具体情境的算法，用乘法口诀求商。【问题2】解题方法的优化，突出乘法口诀求商的算法。【问题3】重视 提出问题、解决问题能力培养。怎样做教学设计？怎样做教学设计？ 数学教学应根据具体的教学内容，注意使学生在获得间接经验的同时也能获得直接经验，即从学生的实际出发，创设问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习，不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。 数学课程标准（2011版）问题情境与习题的区别问题情境与习题的区别 习题所表现的只是已知条件与要求发现的未知东西之间客观给定的关系，它不考虑解题者主观的状态。学生并非总能领会所提出的习题的。因此，把领会习题阶段区分出来作为解决习题的任何一种过程的第一阶段，就绝非偶然了。问题情境则不然，它不仅仅包括已知与未知的客观关系，而且要求主体参予这一关系。 “问题情境是主体与客体思维上相互作用的一种特殊类型，它的特点首先是当主体完成要求发现（揭示或掌握）新的、主体前所未知的知识或动作方式的作业时产生的一种心理状态。”（馬丘什金） 问题情境的主要成分问题情境的主要成分p 问题情境的核心成分是新的、未知的东西，是为了正 确地完成所提出的作业和必要的动作而应当加以揭示 的东西。为了在教学中设置问题情境，就必须向儿童 提出要求他们完成的任务，把需要掌握的知识放在未 知东西的地位上。未知的东西不同于某种具体的未知 的数量或关系，未知的东西的最大特点是具有一定的 概括性。（未知东西的概括性乃是问题情境难度的标 志。）p 问题情境的第二个组成成分是对未知东西的需要。对 新知识的需要也是问题情境产生的基本条件。p 问题情境的第三个组成成分是学生的可能性。 这种可能性既包括学生的创造能力，又包括学 生已达到的知识水平。 问题情境与数学活动问题情境与数学活动 问题情境是始终指向新的、未知的东西，既能产生学生的认识需要，又能切合学生的可能性，引导学生主动学习、合作探究、达成目标的一串问题。 作为问题情境的问题串，有时可以分成具有内在逻辑关系的若干数学活动单元；每个活动单元都以做什么、想什么为线索，合作探究、展示交流、倾听对话，师生共同创造新的知识，达成教学目标。活动数学（问题教学）教学过程的设计框架活动数学（问题教学）教学过程的设计框架潜在发展水平潜在发展水平最最近近发发展展区区数学活动数学活动1 1数学活动数学活动2 2数学活动数学活动3 3做什么做什么想什么想什么（反思）（反思）教什么教什么展示交流展示交流质疑讨论质疑讨论倾听对话倾听对话课题引入课题引入回顾小结回顾小结把把教教学学与与研研究究变变成成一一件件事事情情现有发展水平现有发展水平“过生日过生日”教学过程的设计教学过程的设计【课题引入【课题引入】 请看淘气一家为谁过生日？（淘气的妈妈）请看淘气一家为谁过生日？（淘气的妈妈） 在餐桌上有在餐桌上有3 3个空盘子，哪个盘子最大？哪个盘子最小？个空盘子，哪个盘子最大？哪个盘子最小？在生活中，同学们经常会遇到比大小或比多少的问题，而且在生活中，同学们经常会遇到比大小或比多少的问题，而且也有这方面的生活经验，能提出哪些比大小或比多少的问题也有这方面的生活经验，能提出哪些比大小或比多少的问题呢？呢？ （让学生把能想到的问题都提出来，进行交流）（让学生把能想到的问题都提出来，进行交流） 这节课我们来解决这些问题。这节课我们来解决这些问题。【数学活动数学活动1 1】同桌互相说一说，哪块最大？哪个最小？同桌互相说一说，哪块最大？哪个最小？ 【反思反思】怎样判断在蛋糕中第怎样判断在蛋糕中第块最大？在西瓜中第块最大？在西瓜中第块最小？如果有人说第块最小？如果有人说第块蛋糕比第块蛋糕比第块大，你会怎么反驳？块大，你会怎么反驳？ （生活经验：从大的可以切出小的，从小的不可切出大的）（生活经验：从大的可以切出小的，从小的不可切出大的） 【讲解讲解】可以根据可以根据“整体大于部分整体大于部分”判断大小。判断大小。【数学活动数学活动2 2】独立思考，完成多少的排序后，与同桌交流。独立思考，完成多少的排序后，与同桌交流。 【反思反思】有什么理由可以说明第有什么理由可以说明第杯装得最多，杯装得最多，第第杯最少？杯最少？ （生活经验：杯子里装得饮料同样高，口径大的杯子（生活经验：杯子里装得饮料同样高，口径大的杯子比口径小的装得多。）比口径小的装得多。） 【讲解讲解】口径小的杯子可以浸没在口径大的杯子里，口径小的杯子可以浸没在口径大的杯子里，口径大的却放不进口径小的杯里。所以小杯里装的饮料是口径大的却放不进口径小的杯里。所以小杯里装的饮料是大杯里饮料的一部分。大杯里饮料的一部分。【数学活动数学活动3 3】先独立思考，再小组合作，解决下面的问题。先独立思考，再小组合作，解决下面的问题。 【汇报汇报】小组代表展示、交流比较的过程与方法，并小组代表展示、交流比较的过程与方法，并进行质疑、解释等。（至少要出现两种不同的比较方法）进行质疑、解释等。（至少要出现两种不同的比较方法） 【反思反思】上述不同的比较方法，有什么相同之处？上述不同的比较方法，有什么相同之处？ （都至少要借助（都至少要借助1 1只空杯或空瓶。）只空杯或空瓶。） 【讲解讲解】所借助的所借助的1 1只空杯或空瓶的作用相同，只空杯或空瓶的作用相同，就是作为比较的就是作为比较的“标准标准”，用，用“标准标准”进行比较进行比较（测量）的方法，数学上叫（测量）的方法，数学上叫“度量度量”。“度度”是是标准的意思，标准的意思，“量量”就是测量。就是测量。【课堂练习【课堂练习】教材第教材第1919页，练一练第页，练一练第1 15 5题。题。 【反馈反馈】请学生汇报第请学生汇报第3 3、4 4、5 5题题 答案，并说明理由。答案，并说明理由。 （感悟其中简单推理的思想方法）（感悟其中简单推理的思想方法）【回顾小结【回顾小结】 请大家回顾一下。通过比大小和比多少的学习，学会了哪请大家回顾一下。通过比大小和比多少的学习，学会了哪些比较的方法？明白了哪些道理？些比较的方法？明白了哪些道理？ 结合生活经验，明确了结合生活经验，明确了“整体大于部分整体大于部分”，这个道理是普，这个道理是普通常识。通常识。 比多少一般要找一个比多少一般要找一个“标准标准” ，通过，通过“标准标准”来比较的来比较的方法叫方法叫“度量度量”。【数学活动1】你能画个图表示胖胖应付多少钱吗？（作品展示交流） 【反思1】先求什么，再求什么？ 【反思2】你能画表来表达图意吗？ 【讲解】表格用到常见的数量、单价与价格之间的数量关系；从表格容易找到辅助问题先求面包的价格。 【反思3】能根据上述图或表，列出算式，算出结果？数量数量/ /个个单价单价/ /元元价格价格/ /元元蛋糕16面包43合计？【数学活动2】观察淘气和笑笑所列的算式，与同桌同伴讨论这两种列式的相同和不同的地方。（都把两步列式综合成一个算式，但算式中先后出现的运算不同） 【反思】有加法又有乘法，先算什么，再算什么？为什么？ 【讲解】运算运算的顺序（先乘后加）的合理性，是符合解决问题的实践逻辑。 【数学活动3】结合购物情景图，同桌互相解释下面算式的意义，再独立算一算。 45+7； 5+73。（注意：45、73都有两种解释） 【做一做】结合购物情景图，再提出一个有加法又有乘法的问题，并给予解答。看谁的问题更有挑战性。【数学活动1】解决问题2，需要知道哪些数学信息？请独立思考，独立解答。 展示交流解答的过程与结果：分步列式计算：29+25=54，549=6（条）。 【反思】如何把两步列式综合成一个算式？ 【数学活动2】组织讨论：淘气列的综合算式是： 29+259。笑笑认为这样列式不行，你的看法呢？ (先同桌交流，再全班讨论) 【讲解 】根据淘气的列式，应该先算除法，再算加法。这样的运算顺序不符合解决问题的实践逻辑。 正确的运算顺序应该先算加法，再算除法，为此引入小括号，要先算括号里面的：（29+25）9。【数学活动3】请独立思考、独立解决问题3。如果分步列式解决问题的，请再列出综合算式。 （交流综合算式，解释算式所表示的实际意义。）【数学活动1】独立思考，解决问题1。 （交流笑笑、淘气、妙想分别看到投票箱的几个面？可能有不同的答案，暂不评价。） 【反思】淘气是站在投票箱的后面，对着投票箱的上面观察投票箱，所以，他只看到箱子的一个面。那么，请说一说，笑笑和妙想分别是站在什么位置观察投票箱？（笑笑站在箱子的左面，从箱的左上方的角度观察箱子；妙想站在箱子的右前方，从箱子的右前上方的角度观察箱子。描述物体的相对位置，是空间观念的表现。） 通过反思澄清思路，修正错误。 【做一做 】讲台上放一个投票箱，请存困惑的学生分别站到淘气、笑笑、妙想的位置，看看能看到箱子的几个面。 【数学活动2】想一想，站在不同位置，每次最多能看到箱子几个面？ 每次最多能看到3个面。 如果认为每次最多能看到4个面的，可以上讲台演示一下：站在什么位置，最多能看到4个面的。 【反思】为什么每次最多只能看到3个面呢？ （长方体六个面是两两相对的，看到前面，就看不到后面；看到左面，就看不到右面；看到上面，就看不到下面。总之，看到一个面就看不到相对的另一个面。）【数学活动3】独立思考，解决问题3。 同桌先讨论：怎样把判断推理的过程说清楚！再全班交流。 【讲解】从妙想的角度突破，她看到小熊的脸；由此可知笑笑看到小熊的后脑勺。再从奇思的角度判断，小熊的鼻子在左侧，由此可知淘气看到小熊的鼻子在右侧。 【做一做】讲台上放一只“熊猫”请一些学生（想象力比较差的）先后从熊猫的前后左右四个角度观察熊猫，体验看到了什么，想想自己原来的判断是否正确。【数学活动1】完成问题1的操作画树叶与数学书封面的边线。（请学生演示画的过程，从一点出发，又回到这一点 ） 【反思1】树叶与封面的边线有什么相同或不同的特点？ （所画的边线都是封闭的平面图形；一个是曲边的平面图形，一个是直边的平面图形。） 【反思2】给所画的封闭的边线，起一个合适的名字。 （图形封闭的边线是图形的“一周”。图形一周的长度是图形的周长。） 【反思3】图形的“一周”与图形的“周长”主要区别在哪里？ （图形的一周是空间概念，可以可以摸，可以描；图形的周长中数量的概念，可以量，可以算。【数学活动2】解决问题3。（提供同桌一片树叶） （重点交流测量树叶周长的办法。用一根线围树叶一周，这根线的长度等于树叶一周的长度，所以量这根线的长度，就得到树叶的周长 ；把树叶的边线沿直尺滚动一周，可量得周长。） 【反思】有人说图形的周长越大，那么图形一周所围的区域也越大，你说呢？ （学生可能认同这个观点，暂不评价。）【数学活动3】独立思考，独立解决问题4。 （交流答案：从左到右，图形的周长分别是20cm、18cm、30cm） 【反思】通过解答问题，你有什么发现？ 【讲解】图形的一周是一条闭合的曲线或折线，图形一周所围的面是一个平面区域，是两个不同的概念。 两个图形，图形A的周长大于图形B，但图形A未必比图形B大。 【数学活动1】看一看，比一比。问题1哪本书的封面大？哪枚硬币的表面大？哪片树叶的叶面大？ （靠目测就可以比出大小。） 【反思】以硬币为例，能说一说比较物体表面大小的根据吗？ （表面大的可以盖隹小的，小的盖不了大的。） 【讲解】比较两个物体表面大小，是表示物体表面的边线所围成的平面区域的大小，物体表面的凹凸不平都略而不计。这样的平面区域的大小，就是封闭图形的大小。 物体表面或封闭图形的大小是它们的面积。 【数学活动2】独立思考，想出解决问题2的办法。（目测无法比出图形面积的大小时，应该怎样比较图形面积的大小？） 办法1：把其中一个图形剪开，看能否盖住另一个图形。 办法 2：在两个图形上画大小一样的方格，数一数，方格多的图形的面积大。 办法 3：用相同大小的小正方形去摆图形，看所用的小正方形谁多，谁的面积就大。 先在小组讨论，再全班交流比较的办法。 【反思】用摆小正方形的办法，要注意什么问题？ （小正方形之间不能有缝隙，也不能互相重叠。） 【讲解】不留缝隙也不重叠，叫密铺。 【数学活动3】做问题3。 （展示交流学生作品） 【反思】你有什么发现？ （这些图形的形状不同，但面积相同。） 【讲解】把一个图形剪开，再拼成形状不同的图形，图形剪拼前后的面积不会改变。解决 问题2，有的办法就是根据这个道理。 【数学活动1】请你用画图的方法 表示一半。（把作品展示在黑板上） 【反思1】表示一半的图形，有哪些共同的特征？ （平均分、分2份，取1份） 【反思2】你能创造一个符号表示一半吗？（处理好个性化表征与通用表征的关系） 【讲解】一半可以用 表示，这个符号包含表示一半的3个特征。读作二分之一。 是认识的第一个分数。 1212【数学活动2】独立完成问题2。 （作品展示交流） 【反思】涂出图形的一半，下图涂的对吗？ 【讲解】对图形的平均分是指对图形面积的平均分。涂色的形状可以不同，但面积要相等【数学活动3】发给学生不同形状的纸张，每人一张。用折纸、涂色的方法 创造一个新的分数。 （展示交流所创造的分数，互相评价） 【反思】请先想出一个分数，再画图表示它的意思。 （展示交流作品，互相评价） 【讲解】今天是第一次认识分数，认一认分数各部分的名称：分母、分子和分数线，并理解分数表示多少？它是表示一个整体的一部分。【数学活动1】经历从生活中的平移现象抽象平行线的过程。 以平拉窗为例，学生跟着做： 观察平拉窗左右平移；用铅笔模仿窗框在方格纸上左右平移；在方格纸上画出两条直线表示铅笔平移前后的位置。 再观察升旗的横杆的平移象， 【反思】所画的两条直线有什么特征？ （在一个平面上；不会相交；两线之间空格数是一样的，或者说两线之间是等宽的。） 【讲解】这样的两条直线互相平行。【数学活动2】独立思考，尝试问题2。 （展示学生作品） 【反思1】在学过的平面图形中，哪些图形中有平行线段？ （长方形、正方形、平行四边形的对边都是平行线段。） 【反思2】两条平行线段，必须长度相等吗？ 【讲解】两条线段是否平行与线段的长度无关，关键是这两条线段所在的直线是否互相平行。 【数学活动3】独立思考，尝试问题3。 交流办法，必须听到学生自己想出的办法。的 【反思1】用一张长方形的纸，能折出一组平行线。那么，用一张形状不规则的纸，能折出一组平行线吗？ （先折出一条直线，再折出这条直线的两条垂线，这两条垂线就是一组平行线。） 【反思2】用一付三角尺，你会画出一组平行线吗？（随堂练习的拓展题）【数学活动1】说一说，淘气和笑笑分别坐在哪个位置？ 【反思】这张座位表为什么用两个数来确定淘气或笑笑的位置？ （座位表已经规定了从左到右的顺序与位置，也规定了从前到后的顺序与位置；确定位置的两个数，其实就是分别确定座位表中从左到右与从前到后的顺序与位置的两个序数） 【讲解】淘气的位置可以用数对（2，4）表示；笑笑的位置可以用数对（1，1）表示。【数学活动2】观察座位表与方格图，说一说两者的区别与联系。 【反思】什么样的方格纸能够用数对确定位置？ （规定了从左到右的纵向直线的顺序，和从前到后的横向直线的顺序，就能用数对确定格点的位置） 【讲解】用方格纸确定位置，实际上就是对用座位表确定位置的抽象。 【数学活动3】在方格纸中描出奇思与妙想的位置，并与同伴说一说他们分别坐在第几组，第几排。在方格纸上描出你3个好朋友的位置，并用数对表示出来。【数学活动1】我们已经知道怎样求特殊的平行四边形长方形的面积（长宽）。小组讨论：怎样求情景图中平行四边形的面积？ 全班交流 ，聚焦讨论：能不能用两个邻边长度相乘？ 对学生各种想法，暂不评价。 【数学方法 2】用方格纸数一数平行四边形的面积。 （平行四边形的面积是18平方米） 【反思】平行四边形的面积与什么有关？ （猜想：平行四边形面积=底高） 【讲解】从特例推出一般，是归纳猜想。 从长方形的面积=长宽，推出平行四边形面积=两个邻边长度的积，也是归纳猜想。 凡是猜想是都需要验证。 一个特例可以推翻一个猜想。【数学活动3】把平行四边形割补成长方形。 全班交流各种割补的方法 。 【反思1】为什么要沿平行四边形的一条高进行切割？ 【讲解】构造长方形的直角。 【反思2】拼成的长方形与原来的平行四边形有什么关系？ （长底，宽高） 【数学活动4】计算平行四边形草坪的面积。 【反思 】要求平行四边形的面积，需要度量哪些图形的要素？（填一填 ） 【讲解】求平行四边形面积有两种基本策略：用方格纸度量；公式度量。工具度量是本原性的方法 ，任何图形都可以用这种方法 得到面积或面积的近似值；但不是所有的图形都能推导出适合的面积公式。 【数学活动1】独立思考，解决问题1，并用 算式记录解决 问题的过程与结果。 全班交流。可能的解答： 12=0.5；12=1/2。 【反思】0.5与1/2相等吗? 【讲解】解释 0.5=5/10=1/2。1b【数学活动2】认一认分数与除法的关系： ab= （b0）。 再举个例子，理解这个关系： 3个蛋糕平均分给7个人，每人分到多少个蛋糕？ 【反思】a个蛋糕平均分给b个人，每人分到多少个蛋糕？ 【讲解】每个人分到1 个蛋糕的 ，a个 就是 。 分数可以视为除法的商。因此，方程bx=a（a、b为整数，且b0）都有解 。 ab1babab【数字活动3】以2 与 为例，说明假分数与带分数如何互相转化？ 【反思】假分数与带分数互相转化的关键步骤是什么？化为带分数的关键步骤是什么？ 【讲解】关键掌握假分数如何化为带分数：把假分数的分母除以分子得到商与余数，这个商与余数分别是所化成的带分数的整数部分与分数部分的分子。而带分数化为假分数是假分数化为带分数的逆向过程。1373【数学活动1】独立解答问题1，再全班交流。 【反思 】圆区别于其他图形的特征是什么？想一想，说一说。 【讲解】圆有一个中心，圆上任意一点到中心的距离都相等。所以，套圈游戏站成圆圈的方式更公平。【数学活动2】想办法画一个圆，体验圆的结构特征（一中同长）。 【反思1】用圆规画圆要注意什么？ 【讲解】介绍圆的结构、各要素的名称（圆心、直径、半径）及符号表示。 【反思2】看图，能说一句话描述圆心、直径与半径之间的关系吗？ 【讲解】圆心在直径上，并把直径分成两条半径。 【数学活动3】独立解答问题3。 【反思】半径都相等，直径都等于半径的2倍，对吗？ 【 讲解】要在同一个圆中这个前提下，上述说法才能成立。必须注意每一个数学结论的适用范围。【数学活动4】独立解答问题4 。 （圆的两个基本要素，一个定位，一个定形。） 【数学活动1】你能用图解的方法 ，求航模小组有多少人吗？ 【讲解】 图解法是把图形作为直观运算的对象，通过操作情境解决问题。 图解法对于数量较小时管用，数量较大时，就凸显局限性。所以，还必须探讨一般的分析问题与解决问题的方法 。 【反思】能列一张表来整理问题中的已知数与未知数的数量关系吗？ 从上表可以找到两个解题思路： 先求摄影小组有多少人？ 先求航模小组人数是气象小组的几分之几？ 气象小组摄影小组航模小组人数/人12？相对数量的关系11/313/4【数学活动2】画个图表示情景问题中的数量关系。0 1/3 10 120 1 0 ？ ？【数学活动3】根据所列的表或图，列算式计算，解决问题。 【反思1】比较根据两种思路所列的算式，你有什么发现？ 【讲解】整数的运算顺序与运算律在分数范围也同样适用。两种思路的主要区别是求航模小组人数时选择的单位量不同。 【反思2】能否选择航模小组人数为单位量，来分析与解决问题呢？ 设：航模小组x人，则摄影小组 x人。 x=12 314343【数学活动1】观察图片，哪几张与图A像？ 【反思】为什么有的图像图A，有的不像，你有什么猜想？ 长与宽是长方形的两个特征 量，像不像很可能与图A的长与宽有关。 【数学活动2】小组合作，研究问题2。 全班 交流学习成果。 【反思1】比物体的形状与比物体的长度、质量等，有什么区别？ 【讲解】物体的长度、质量等是物体可以度量的属性，而物体的形状是物体不可以度量的属性。怎么刻画物体不可度量的属性，使它也能进行比较呢？前人发明的办法就是找到两个具有对等关系的、可以度量的量来构成一个“比”。“比”的现实意义就是用来表示物体不可度量的属性的。 【反思2】比的数学意义是什么？两个具有对等关系的量应该怎样进一步量化，把“比”与已有的数学知识联系起来？【数学活动3】认识比的数学意义。 （包括比的定义，比的符号表示，比的各部分名称等） 【反思】会表示情景图中各图的长与宽的比及其比值吗？ 【数学活动4】寻找现实生活中的比。 糖水甜不甜（糖的质量与水的体积的比）； 跑得快不快（行程与时间的比）； 便宜不便宜（价格与数量的比）； 处理好预设与生成的关系处理好预设与生成的关系p课堂教学预设与生成的关系，实际上就是理想与现实的关系。课前预设在课堂上并非都能生成， 课堂生成的也并非课前都有预设。有课前的预设，才能知道课堂上哪些预设没生成，有没有超越预设的生成。p根据教学目标与教材内容（数学活动），可以预设的是要学生做什么、想什么，但在开放的课堂上， 学生会怎么做、怎么想、怎么说是不可能都预设到的。p由于预设与生成两者之间存在张力，所以教学反思才显得特别重要，对专业发展是不可或缺的。p反思的重点有两个：一是哪些预设生成了，哪些预设没 有生成，为什么？二是有没有出现偶发事件？当时有没 有处理，处理是否妥当，有没有更好的处理办法。谢谢倾听！