矢量、矢量场和梯度算子2024/9/11坐标变换坐标系 Oxyz 任一点 P 的坐标：坐标系 Oxyz 任一点 P 的坐标：坐标变换坐标变换2024/9/12标量与矢量的定义定义：如果某个量在任一坐标系中仅需一个数（分量）描述， 并且在坐标变换下其分量是不变的，则称其为标量标量推论：如果 a 和 b 是两个标量，则 a+b 和 ab 也都是标量。例子：质量m、电荷q、温度、 Newton时间t， etc.定义：如果某个量在任一坐标系中需三个数（分量）描述， 并且在坐标变换下其分量与坐标的变换规律一样， 则称其为矢量矢量。即推论：位矢是一个矢量矢量的表示:2024/9/13标量与矢量运算如何由给定的标量和矢量得到新的标量和矢量。设 a、b为标量，推论:位移、速度、加速度、动量等物理量是矢量其分量定义为矢量的线性组合仍然是矢量力为矢量是一个物理的假设，而不是数学的推论为矢量。1.数乘：其分量定义为2.矢量和：2024/9/14标量与矢量运算(续)推论：动能3.标量积：矢量的长度：证明：如果对于任意矢量、功是标量是一个标量，则必是某个矢量 的分量。2024/9/15标量与矢量运算(续)4.矢量积：证明：推论：角动量、力矩是（赝）矢量。2024/9/16标量与矢量运算(续)标量积的几何意义：证明：矢量积的几何意义：大小为 ，即两个矢量张成的平行四边形的面积，方向满足右手法则。为两个矢量之间的夹角：2024/9/17单位基矢l 单位基矢：l“完整”的矢量指定了坐标系并且给出了矢量分量的含义突出了矢量是坐标变换下得不变量l 单位基矢的变换：2024/9/18矢量的混合积的大小为三个矢量所张成的平行六面体的体积，正负取决于这三个矢量是否满足右手法则确定。2024/9/19标量场及其几何表示标量场：标量在空间的分布，对于空间任一点都指定或者赋 予某个唯一的标量（数）代数表示：函数几何表示：等值面、等值线-q+q-q+3q-q+q-q+q-q+q-q+q2024/9/110矢量及其几何表示矢量场：矢量在空间的分布，对于空间任一点都指定或者赋予某个唯一的矢量代数表示：函数几何表示：箭头、场线2024/9/111场在空间某个方向上的变化率在每一点处的数值都满足矢量分量的变换规律在 方向上的变化率 方向导数2024/9/112场在空间某个方向上的变化率(续)是一个矢量场的三个分量梯度算子在 方向上的方向导数2024/9/113梯度算子梯度算子是一个矢量算子标量场梯度是一个矢量场：矢量场散度是一个标量场：矢量场旋度是一个矢量场：梯度算子是一个矢量微分算符：作为矢量，满足通常矢量点乘和叉乘运算法则作为矢量，满足通常矢量点乘和叉乘运算法则作为算符，需作用于表达式中的所有对象作为算符，需作用于表达式中的所有对象2024/9/114与位置有关的矢量微分公式证明：证明：2024/9/115与梯度算子有关的一些矢量恒等式2024/9/116关于梯度算子恒等式的符号法证明例例: :用符号法证明用符号法证明证(1) 视视 为为“算符算符”，分别作用，分别作用 和和 （加上下标以示区别），得两项：（加上下标以示区别），得两项：(2) 视视 矢和矢和 为为“矢量矢量”，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：(3) 代回原式并舍去矢量算符的下标得代回原式并舍去矢量算符的下标得证毕证毕2024/9/117梯度算子补例补例: :用符号法证明用符号法证明证(1) 视视 为为“算符算符”，分别作用，分别作用 和和 （加上下标以示区别），得两项：（加上下标以示区别），得两项：(2) 视视 矢和矢和 A 为为“矢量矢量”，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：(3) 代回原式并舍去矢量算符的下标得代回原式并舍去矢量算符的下标得证毕证毕2024/9/118梯度算子补例补例: :用符号法证明用符号法证明证(1) 视视 为为“算符算符”，分别作用，分别作用 A 和和 B（加上下标以示区别），得两项：（加上下标以示区别），得两项：(2) 视视 A 矢和矢和 B 为为“矢量矢量”，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：(3) 代回原式并舍去矢量算符的下标得代回原式并舍去矢量算符的下标得证毕证毕2024/9/119梯度算子补例补例: :用符号法证明用符号法证明证(1) 视视 为为“算符算符”，分别作用，分别作用 A 和和 B（加上下标以示区别），得两项：（加上下标以示区别），得两项：(2) 视视 A 矢和矢和 B 为为“矢量矢量”，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：(3) 代回原式并舍去矢量算符的下标得代回原式并舍去矢量算符的下标得证毕证毕2024/9/120场随空间的二阶变化标量场梯度 是矢量场：矢量场散度 是标量场：矢量场旋度 是矢量场：Laplace(标量)算符是一个矢量场，其分量为2024/9/121场随空间的二阶变化矢量场的旋度是无源（散）场：标量场的梯度是无旋场：标量场梯度 是矢量场：矢量场散度 是标量场：矢量场旋度 是矢量场：2024/9/122