第三节第三节 n维向量及向量组的线性维向量及向量组的线性相关性相关性N维向量的概念维向量的概念线性相关与线性无关的概念线性相关与线性无关的概念线性相关性的判定线性相关性的判定定义定义1 1分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量. .分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量，一、 维向量的概念例如例如n维实向量维实向量n维复向量维复向量第第1个分量个分量第第n个分量个分量第第2个分量个分量n维向量的表示方法 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，也就是行矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： 维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列，也就是列矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如：注意注意行向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是两个不同的两个不同的向量向量；行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行运算；进行运算；当没有明确说明是行向量还是列向量时，当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作都当作列向量列向量.叫做叫做 维向量空间维向量空间 时，时， 维向量没有直观的几何形象维向量没有直观的几何形象叫做叫做 维向量空间维向量空间 中的中的 维超平面维超平面确定飞机的状态，需确定飞机的状态，需要以下要以下6个参数：个参数：飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的水平转角机身的仰角机身的仰角机翼的转角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量 维向量的实际意义维向量的实际意义课堂讨论课堂讨论在日常工作、学习和生活中，有许多问题都在日常工作、学习和生活中，有许多问题都需要用向量来进行描述，请同学们举例说明需要用向量来进行描述，请同学们举例说明向量的表示方法：行向量与列向量；向量的表示方法：行向量与列向量； 向量空间：向量空间：解析几何与线性代数中向量的联系与区别、解析几何与线性代数中向量的联系与区别、向量空间的概念；向量空间的概念； 向量在生产实践与科学研究中的广泛应用向量在生产实践与科学研究中的广泛应用小结 维向量的概念，实向量、复向量；维向量的概念，实向量、复向量；若一个本科学生大学阶段共修若一个本科学生大学阶段共修3636门课程门课程, ,成绩成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例几例, ,说明向量的实际应用说明向量的实际应用思考题如果我们还需要考察其它指标，如果我们还需要考察其它指标，比如平均成绩、总学分等，维数还将增加比如平均成绩、总学分等，维数还将增加思考题解答答答36维的维的 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组例如例如向量、向量组与矩阵向量组向量组 , , ， 称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵.线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应定义定义线性组合线性组合 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示注意注意定义定义二、线性相关性的概念则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用结论结论定理定理2 2下面举例说明定理的应用下面举例说明定理的应用.证明证明（略）（略）解解例例解解例例分析分析证证定理定理3 3证明证明说明说明说明说明. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；在线性方程组中的应用；（重点重点）. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理两个定理（难点难点）四、小结思考题证明证明（）、（）略（）、（）略（）（）充分性充分性必要性必要性思考题解答